Страница 93, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

23. В соревнованиях по ориентированию на местности участвовало 86 школьников. Победителями стали 5 человек, а две третьих всех остальных ребят за хорошие результаты были награждены грамотами. Сколько ребят получили грамоты?

23. Сделаем чертёж по задаче.

Пояснение:

Для того, чтобы узнать, сколько ребят получили грамоты, нужно количество человек, которые составили одну часть, умножить на 2. Но мы не знаем сколько человек составляют одну часть.

Это значение можно узнать, разделив количество школьников, оставшихся без победы, на 3 части. Но и это значение неизвестно.

Поэтому первым действием найдём количество школьников оставшихся без победы. Для этого от всех участников нужно вычесть победителей.

Затем делением найдём, сколько человек составляют одну часть.

Третьим действием умножением ответим на вопрос задачи, сколько ребят получили грамоты.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 86 − 5 = 81 (шк.) – не были победителями.
2) 81 : 3 = 27 (шк.) – составляют одну часть.
3) 27 ∙ 2 = 54 (шк.)
Ответ: 54 школьника получили грамоты.

1. Найдем количество школьников, которые не стали победителями.
Для этого необходимо из общего числа участников соревнований вычесть количество победителей.

$86 - 5 = 81$ (школьник)

2. Найдем количество ребят, награжденных грамотами.
Согласно условию задачи, грамоты за хорошие результаты получили две третьих ($ \frac{2}{3} $) от всех остальных ребят. Чтобы найти эту величину, нужно количество остальных ребят умножить на дробь $ \frac{2}{3} $.

$81 \cdot \frac{2}{3} = \frac{81 \cdot 2}{3} = 27 \cdot 2 = 54$ (ребят)

Ответ: 54 ребят получили грамоты.

24. 1) Запиши равенство и проверь, верно ли оно:частное чисел 72 180 и 9 равно разности чисел 90 000 и 81 980.

2) Запиши неравенство и проверь, верно ли оно: произведение чисел 4 070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18 396 и 14 174.

24.

1) 72 180 : 9 = 90 000 − 81 980 равенство верно.
72 180 : 9 = 8 020
8 020 = 8 020

2) 4 070 ∙ 8 < 18 396 + 14 174 неравенство верно.
33 560 < 32 570

1) Запиши равенство и проверь, верно ли оно: частное чисел 72 180 и 9 равно разности чисел 90 000 и 81 980.

Сначала запишем данное утверждение в виде математического равенства:

$72180 : 9 = 90000 - 81980$

Теперь проверим, верно ли это равенство, вычислив значения его левой и правой частей.

1. Вычислим значение левой части (частное):

$72180 : 9 = 8020$

2. Вычислим значение правой части (разность):

$90000 - 81980 = 8020$

3. Сравним полученные результаты:

$8020 = 8020$

Так как левая и правая части равны, исходное равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

2) Запиши неравенство и проверь, верно ли оно: произведение чисел 4 070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18 396 и 14 174.

Запишем данное утверждение в виде математического неравенства:

$4070 \cdot 8 < 18396 + 14174$

Теперь проверим, верно ли это неравенство, вычислив значения его левой и правой частей.

1. Вычислим значение левой части (произведение):

$4070 \cdot 8 = 32560$

2. Вычислим значение правой части (сумма):

$18396 + 14174 = 32570$

3. Подставим полученные значения в исходное неравенство:

$32560 < 32570$

Так как полученное числовое неравенство истинно (32 560 действительно меньше 32 570), исходное утверждение является верным.

Ответ: неравенство верно.

25. Длины сторон треугольника равны 12 см 5 мм, 4 см, 10 см 5 мм. Вырази длины сторон в миллиметрах и найди периметр этого треугольника.

25. Пояснение:

Периметр – это сумма длин сторон треугольника. Поэтому, чтобы найти периметр, нужно сложить длины трёх сторон.

Но сначала выразим длины сторон в миллиметрах.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

12 см 5 мм = 125 мм
14 см = 40 мм
10 см 5 мм = 105 мм
125 + 40 + 105 = 270 мм = 27 см
Ответ: 27 сантиметров равен периметр треугольника.

Выражение длин сторон в миллиметрах

Для перевода длин сторон из сантиметров и миллиметров в миллиметры, мы используем основное соотношение: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

• Первая сторона: $12 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
  Переводим сантиметры в миллиметры и прибавляем оставшиеся миллиметры: $12 \text{ см} \times 10 + 5 \text{ мм} = 120 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 125 \text{ мм}$.

• Вторая сторона: $4 \text{ см}$.
  Переводим сантиметры в миллиметры: $4 \text{ см} \times 10 = 40 \text{ мм}$.

• Третья сторона: $10 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
  Переводим сантиметры в миллиметры и прибавляем оставшиеся миллиметры: $10 \text{ см} \times 10 + 5 \text{ мм} = 100 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 105 \text{ мм}$.

Ответ: длины сторон треугольника равны 125 мм, 40 мм и 105 мм.

Нахождение периметра этого треугольника

Периметр треугольника ($P$) – это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр, сложим длины сторон, выраженные в миллиметрах.

$P = 125 \text{ мм} + 40 \text{ мм} + 105 \text{ мм}$

Выполним сложение:

$125 + 40 = 165$

$165 + 105 = 270$

Таким образом, периметр равен $270 \text{ мм}$. Эту величину можно также выразить как $27 \text{ см}$.

Ответ: периметр этого треугольника равен 270 мм.

26. Начерти тупой, прямой и острый углы с общей стороной.

26.

общая сторона
тупой угол – зелёный (больше прямого),
прямой угол – красный (90°),
острый угол – голубой (меньше прямого).

Для выполнения этого задания необходимо последовательно начертить три вида углов — острый, прямой и тупой — так, чтобы у них была одна общая сторона и общая вершина.

Сначала вспомним определения углов:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого строго равна $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Порядок построения:

1. Начнем с построения общей стороны. Начертим луч с началом в точке O и назовем его OA. Этот луч будет служить общей стороной для всех трех углов.
2. Далее начертим острый угол. Из вершины O проведем второй луч, OB, таким образом, чтобы угол, образованный лучами OA и OB (угол $\angle AOB$), был меньше $90^\circ$. Например, $\angle AOB = 45^\circ$.
3. Теперь начертим прямой угол. Из той же вершины O и используя тот же луч OA, проведем третий луч, OC, перпендикулярно лучу OA. Угол $\angle AOC$ будет равен $90^\circ$.
4. Наконец, начертим тупой угол. Снова из вершины O и используя общую сторону OA, проведем четвертый луч, OD, так, чтобы угол $\angle AOD$ был больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Например, $\angle AOD = 135^\circ$.

В результате получится чертеж, где из одной вершины O исходят четыре луча (OA, OB, OC, OD), образуя три угла с общей стороной OA.

Ниже представлен пример такого чертежа:

На данном чертеже луч OA является общей стороной для трех углов: острого $\angle AOB$ (обозначен синим цветом), прямого $\angle AOC$ (обозначен красным цветом и символом прямого угла) и тупого $\angle AOD$ (обозначен зеленым цветом).

Ответ:
Чтобы начертить тупой, прямой и острый углы с общей стороной, необходимо из одной точки (вершины) O провести луч OA (общая сторона). Затем из той же вершины O провести еще три луча (OB, OC, OD) так, чтобы выполнялись условия: $\angle AOB < 90^\circ$ (острый), $\angle AOC = 90^\circ$ (прямой) и $90^\circ < \angle AOD < 180^\circ$ (тупой). Пример такого построения показан на чертеже выше.

27. В дом отдыха приехали 70 женщин и 50 мужчин. Сколько столов они заняли в столовой, если за каждый стол сели по 4 человека?

27. Сделаем краткую запись в таблице.

Пояснение:

Вспомним соотношение К₁ К ОК.

К₁ = ОК : К; К = ОК : К₁; ОК = К₁ ∙ К.

Для того, чтобы узнать, сколько столов заняли отдыхающие в столовой, нужно общее количество всех отдыхающих (ОК) разделить на количество человек, сидящих за 1 столом. Но мы не знаем общее количество всех отдыхающих .

Поэтому первым действием сложением найдём, сколько всего было отдыхающих.

Затем ответим на вопрос задачи, сколько столов заняли отдыхающие в столовой.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 70 + 50 = 120 (чел.) – приехало в дом отдыха.
2) 120 : 4 = 30 (ст.)
Ответ: 30 столов заняли отдыхающие в столовой.

Чтобы найти, сколько столов заняли отдыхающие, нужно сначала определить общее количество человек. Для этого сложим количество женщин и мужчин:

$70 + 50 = 120$ (человек)

Всего в дом отдыха приехало 120 человек.

Теперь, зная, что за каждый стол садилось по 4 человека, мы можем вычислить количество занятых столов. Для этого разделим общее количество человек на вместимость одного стола:

$120 \div 4 = 30$ (столов)

Ответ: 30 столов.

28. Найди:

1) площадь прямоугольника DEKM;

2) площадь и периметр треугольников DEK и DKM.

28. Пояснение:

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно ширину умножить на длину.

Периметр – это сумма длин всех сторон.

Ширина прямоугольника DEKM равна 10 мм.

Длина прямоугольника DEKM равна 25 мм.

Чтобы найти площадь треугольников, достаточно площадь прямоугольника разделить на 2, так как прямоугольник состоит из этих двух треугольников. Эти треугольники равны, поэтому и площади и периметры их равны.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 10 ∙ 25 = 250 (мм²) – площадь прямоугольника DEKM.
2) 250 : 2 = 125 (мм²) – площадь треугольников DEK и DKM.
3) 26 + 28 + 10 = 64 (мм) – периметр треугольников DEK и DKM.
Ответ: 250 квадратных миллиметров равна площадь прямоугольника DEKM, 125 квадратных миллиметров равна площадь треугольников DEK и DKM. 64 миллиметров равен периметр треугольников DEK и DKM.

Поскольку в условии задачи не приведены численные значения длин сторон прямоугольника, решение будет представлено в общем виде. Обозначим длину стороны $DE$ как $a$, а длину стороны $EK$ как $b$. В прямоугольнике $DEKM$ противоположные стороны равны, следовательно, $DE = KM = a$ и $EK = DM = b$.

1) площадь прямоугольника DEKM

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину. Для прямоугольника $DEKM$ формула будет выглядеть следующим образом:

$S_{DEKM} = DE \cdot EK$

Подставив наши переменные, получаем:

$S_{DEKM} = a \cdot b$

Ответ: Площадь прямоугольника DEKM равна $a \cdot b$. Для получения численного ответа необходимо знать значения $a$ и $b$.

2) площадь и периметр треугольников DEK и DKM

Диагональ $DK$ делит прямоугольник $DEKM$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle DEK$ (с прямым углом при вершине $E$) и $\triangle DKM$ (с прямым углом при вершине $M$).

Площадь треугольников:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (сторон, образующих прямой угол).

Для $\triangle DEK$ катетами являются стороны $DE = a$ и $EK = b$. Его площадь:

$S_{\triangle DEK} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot EK = \frac{1}{2}ab$

Для $\triangle DKM$ катетами являются стороны $KM = a$ и $DM = b$. Его площадь:

$S_{\triangle DKM} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot DM = \frac{1}{2}ab$

Площади обоих треугольников равны и составляют половину площади прямоугольника.

Периметр треугольников:

Периметр ($P$) треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для нахождения периметра нам необходимо вычислить длину гипотенузы $DK$, которая является общей для обоих треугольников. Используем теорему Пифагора для $\triangle DEK$:

$DK^2 = DE^2 + EK^2 = a^2 + b^2$

$DK = \sqrt{a^2 + b^2}$

Теперь найдем периметры. Так как треугольники равны, их периметры также будут одинаковы.

Периметр $\triangle DEK$:

$P_{\triangle DEK} = DE + EK + DK = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}$

Периметр $\triangle DKM$:

$P_{\triangle DKM} = DK + KM + MD = \sqrt{a^2 + b^2} + a + b$

Ответ: Площадь каждого из треугольников ($DEK$ и $DKM$) равна $S = \frac{1}{2}ab$. Периметр каждого из треугольников равен $P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}$. Для получения численных ответов необходимо знать значения $a$ и $b$.

29. В трёх корзинах 96 кг слив. В первой корзине 28 кг, во второй - третья часть всех слив. Сколько килограммов слив в третьей корзине?

29. Сделаем чертёж по задаче.

Пояснение:

Для того, чтобы узнать, сколько килограммов слив в третьей корзине, нужно из всего количества слив вычесть сливы в первой и во второй корзинах. Это можно сделать двумя способами.

Но сначала (первым действием) нужно узнать, сколько слив было во второй корзине. Так как сливы во второй корзине составляли третью часть, значит нужно все количество слив разделить на 3.

Далее можно найти вместе сливы в первой и во второй корзинах. И получившееся значение вычесть из всех слив.

Можно другим способом. Из всего количества слив вычесть сначала сливы первой корзины, потом вычесть сливы второй корзины.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь один из выбранных способов:

Способ 1.
1) 96 : 3 = 32 (кг) – слив во второй корзине.
2) 28 + 32 = 60 (кг) – слив в первой и второй корзине.
3) 96 − 60 = 36 (кг)
Ответ: 36 килограммов слив в третьей корзине.

Способ 2.
1) 96 : 3 = 32 (кг) – слив во второй корзине.
2) 96 − 28 = 68 (кг) – слив в первой и второй корзине.
3) 68 − 32 = 36 (кг)
Ответ: 36 килограммов слив в третьей корзине.

Для того чтобы найти количество слив в третьей корзине, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Вычислим массу слив во второй корзине.

В условии сказано, что во второй корзине находится треть всех слив. Общая масса слив в трёх корзинах составляет 96 кг. Чтобы найти одну треть, нужно общее количество разделить на 3.

$96 : 3 = 32$ (кг)

Таким образом, во второй корзине 32 кг слив.

2. Вычислим общую массу слив в первой и второй корзинах.

В первой корзине 28 кг слив, а во второй, как мы только что подсчитали, 32 кг. Сложим эти два значения, чтобы узнать, сколько слив в двух корзинах вместе.

$28 + 32 = 60$ (кг)

Итак, в первой и второй корзинах вместе находится 60 кг слив.

3. Вычислим массу слив в третьей корзине.

Общая масса слив во всех трёх корзинах равна 96 кг. Чтобы найти массу слив в третьей корзине, нужно из общей массы вычесть массу слив в первых двух корзинах.

$96 - 60 = 36$ (кг)

Следовательно, в третьей корзине находится 36 кг слив.

Ответ: 36 кг.

30. Периметр квадрата равен 36 см. Найди его площадь.

30. Пояснение:

У квадрата все стороны равны.

Поэтому площадь находим, умножая длины двух одинаковых сторон (а ∙ а).

Периметр находим, умножая длину стороны на 4 (Р =а ∙ 4) (заменяем сумму одинаковых слагаемых умножением).

Поэтому, зная периметр квадрата, можно делением найти длину его стороны (а = Р : 4).

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 36 : 4 = 9 (см) – сторона квадрата.
2) 9 ∙ 9 = 81 (см²) – площадь квадрата.
Ответ: 81 квадратный сантиметр площадь квадрата.

Чтобы найти площадь квадрата, нам сначала нужно узнать длину его стороны. Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у квадрата все стороны равны, его периметр $P$ можно вычислить по формуле:

$P = 4 \cdot a$

где $a$ — это длина стороны квадрата.

По условию задачи, периметр $P$ равен 36 см. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти длину стороны $a$:

$36 = 4 \cdot a$

Чтобы найти $a$, разделим периметр на 4:

$a = \frac{36}{4} = 9$ см.

Итак, длина стороны квадрата равна 9 см.

Теперь мы можем найти площадь квадрата. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле:

$S = a^2$

Подставим значение стороны $a = 9$ см в эту формулу:

$S = 9^2 = 9 \cdot 9 = 81$ см².

Ответ: площадь квадрата равна 81 см².

31.

31. Вспомним порядок действий в выражениях и правила умножения и деления на 10, 100:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

Чтобы умножить число на 10, 100, надо в его записи справа приписать 1 нуль, 2 нуля.

Чтобы разделить число на 10, 100, достаточно у делимого справа отбросить 1 нуль, 2 нуля.

Для решения данного примера необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняется деление, а затем сложение.

1. Выполняем деление: $5000 : 100 = 50$.

2. Выполняем сложение: $50 + 499 = 549$.

Таким образом, итоговое выражение равно: $50 + 499 = 549$.

Ответ: 549

В данном выражении пробел между числами 50 и 100, скорее всего, обозначает операцию умножения. Исходя из этого предположения, выражение принимает вид: $(50 \cdot 100 - 100) : 100$.

Решение выполняется по действиям: сначала операции в скобках (умножение, затем вычитание), после чего – деление.

1. Выполняем умножение в скобках: $50 \cdot 100 = 5000$.

2. Выполняем вычитание в скобках: $5000 - 100 = 4900$.

3. Выполняем деление: $4900 : 100 = 49$.

Ответ: 49

При решении этого примера сначала выполняются действия в скобках (сначала умножение, потом вычитание), затем деление и в последнюю очередь – вычитание.

1. Первое действие в скобках – умножение: $130 \cdot 4 = 520$.

2. Второе действие в скобках – вычитание: $600 - 520 = 80$.

3. Теперь выполняем деление: $80 : 10 = 8$.

4. Последнее действие – вычитание: $900 - 8 = 892$.

Ответ: 892

Согласно правилам порядка выполнения действий, сначала выполняются деление и умножение (слева направо), а затем вычитание и сложение (также слева направо).

1. Первое действие – деление: $130 : 5 = 26$.

2. Второе действие – умножение: $26 \cdot 2 = 52$.

3. Теперь выражение выглядит так: $800 - 250 + 52$. Выполняем вычитание: $800 - 250 = 550$.

4. Последнее действие – сложение: $550 + 52 = 602$.

Ответ: 602

В этом примере сначала выполняются деление и умножение в порядке их следования (слева направо), а затем – вычитание.

1. Выполняем деление: $348 : 4 = 87$.

2. Затем выполняем умножение: $87 \cdot 6 = 522$.

3. Последним действием выполняем вычитание: $900 - 522 = 378$.

Ответ: 378

В данном примере сначала последовательно выполняются операции деления слева направо, а затем – вычитание.

1. Первое деление: $612 : 6 = 102$.

2. Второе деление: $102 : 3 = 34$.

3. Выполняем вычитание: $696 - 34 = 662$.

Ответ: 662

32. Запиши и прочитай наименьшее семизначное и наибольшее пятизначное числа.

32. Наименьшее семизначное число – 1 000 000 – один миллион.

Наибольшее пятизначное число – 99 999 – девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.

Наименьшее семизначное число
Семизначное число — это число, в записи которого используется семь цифр. Чтобы найти наименьшее из таких чисел, нужно, чтобы цифра в самом старшем разряде (в данном случае, в разряде миллионов) была наименьшей возможной. Число не может начинаться с нуля, поэтому наименьшая возможная цифра для первого разряда — это $1$. Все последующие шесть разрядов должны быть заполнены наименьшей возможной цифрой, то есть нулём, чтобы итоговое число было минимальным.
Таким образом, мы получаем число $1,000,000$.
Прочитаем это число: один миллион.
Ответ: $1,000,000$ (один миллион).

Наибольшее пятизначное число
Пятизначное число — это число, которое состоит из пяти цифр. Чтобы найти наибольшее из таких чисел, необходимо, чтобы цифры во всех его разрядах были наибольшими из возможных. Самая большая цифра, которую мы можем использовать, — это $9$.
Следовательно, все пять цифр в записи этого числа должны быть девятками. В результате мы получаем число $99,999$.
Прочитаем это число: девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.
Ответ: $99,999$ (девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).

33. Покупателю продали дыни по одинаковой цене за 1 кг: одну массой 5 кг, другую массой 3 кг. Вся эта покупка стоила а р. Запиши по данному условию выражения, которые показывают: 1) сколько стоил 1 кг дыни; 2) сколько стоила каждая дыня.

33. Сделаем краткую запись в таблице.

Пояснение:

Вспомним соотношение К₁ К ОК.

К₁ = ОК : К; К = ОК : К₁; ОК = К₁ ∙ К.

1) сколько стоил 1 кг дыни: а : (5 + 3);
2) сколько стоила каждая дыня: а : (5 + 3) ∙ 5, а : (5 + 3) ∙ 3.

1) сколько стоил 1 кг дыни;

Чтобы найти стоимость 1 кг дыни, нужно сначала определить общую массу двух дынь. Для этого сложим их массы:
$5 + 3 = 8$ (кг) – это общая масса двух дынь.
По условию, общая стоимость покупки составляет $a$ рублей. Чтобы найти цену за 1 кг, необходимо общую стоимость разделить на общую массу.
Таким образом, выражение для стоимости 1 кг дыни будет выглядеть так: $a : (5 + 3)$.
Ответ: $a : (5 + 3)$.

2) сколько стоила каждая дыня.

Чтобы найти стоимость каждой дыни, нужно цену за 1 кг (которую мы нашли в первом пункте) умножить на массу каждой дыни.
Цена за 1 кг дыни: $a : (5 + 3)$.
Стоимость первой дыни, масса которой 5 кг, равна:
$5 \cdot (a : (5 + 3))$.
Стоимость второй дыни, масса которой 3 кг, равна:
$3 \cdot (a : (5 + 3))$.
Ответ: стоимость первой дыни выражается как $5 \cdot (a : (5 + 3))$, а стоимость второй – $3 \cdot (a : (5 + 3))$.

8. Объясни, как можно узнать:

1) одно из двух слагаемых, если известны сумма и другое слагаемое;

2) уменьшаемое, если известны разность и вычитаемое;

3) вычитаемое, если известны уменьшаемое и разность.

1) одно из двух слагаемых, если известны сумма и другое слагаемое;

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Это правило основано на том, что сложение и вычитание являются взаимообратными действиями.

Запишем операцию сложения в виде формулы. Пусть у нас есть два слагаемых, $a$ и $b$, и их сумма $c$:
$a + b = c$
Если нам известна сумма $c$ и одно из слагаемых (например, $b$), то чтобы найти другое слагаемое ($a$), мы должны выполнить обратное действие — вычитание:
$a = c - b$
Аналогично, если известно слагаемое $a$:
$b = c - a$

Пример: Сумма двух чисел равна 25, а одно из слагаемых равно 10. Найдем второе слагаемое.
Второе слагаемое = $25 - 10 = 15$.

Ответ: Чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть другое слагаемое.

2) уменьшаемое, если известны разность и вычитаемое;

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Уменьшаемое — это число, из которого вычитают, то есть самое большое число в выражении с вычитанием (при условии, что результат положительный).

Рассмотрим компоненты вычитания. Пусть $x$ — уменьшаемое, $y$ — вычитаемое, а $z$ — разность:
$x - y = z$
Из этой формулы видно, что уменьшаемое $x$ было уменьшено на величину $y$, и в результате получилось $z$. Чтобы восстановить исходное значение $x$, нужно к результату $z$ вернуть (прибавить) то, что мы вычли ($y$):
$x = z + y$

Пример: После того как из некоторого числа вычли 12, получили 30. Найдем исходное число (уменьшаемое).
Уменьшаемое = $30 + 12 = 42$.

Ответ: Чтобы найти уменьшаемое, нужно сложить разность и вычитаемое.

3) вычитаемое, если известны уменьшаемое и разность.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Вычитаемое — это число, которое отнимают от уменьшаемого.

Вернемся к нашей формуле вычитания, где $x$ — уменьшаемое, $y$ — вычитаемое, а $z$ — разность:
$x - y = z$
Из этой формулы нам нужно найти $y$. Вычитаемое $y$ — это как раз та разница, которая существует между начальным числом (уменьшаемым $x$) и конечным результатом (разностью $z$). Чтобы найти эту разницу, нужно из большего числа вычесть меньшее:
$y = x - z$

Пример: Уменьшаемое равно 50, а разность равна 22. Найдем вычитаемое.
Вычитаемое = $50 - 22 = 28$.

Ответ: Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

9. Заполни таблицы.

Для заполнения таблиц необходимо выполнить обратные арифметические операции, чтобы найти недостающие числа.

Таблица сложения (Слагаемое + Слагаемое = Сумма)

Первый столбец: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Дано: Слагаемое = 25, Сумма = 31.
Решение: $31 - 25 = 6$.
Ответ: 6.

Второй столбец: Аналогично, находим неизвестное слагаемое вычитанием.
Дано: Слагаемое = 12, Сумма = 20.
Решение: $20 - 12 = 8$.
Ответ: 8.

Третий столбец: Снова находим неизвестное слагаемое вычитанием.
Дано: Слагаемое = 70, Сумма = 95.
Решение: $95 - 70 = 25$.
Ответ: 25.

Таблица вычитания (Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность)

Первый столбец: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Дано: Уменьшаемое = 80, Разность = 5.
Решение: $80 - 5 = 75$.
Ответ: 75.

Второй столбец: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Дано: Вычитаемое = 17, Разность = 3.
Решение: $17 + 3 = 20$.
Ответ: 20.

Третий столбец: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Дано: Уменьшаемое = 25, Разность = 10.
Решение: $25 - 10 = 15$.
Ответ: 15.

Итоговые заполненные таблицы:

10. Реши уравнения.

$x - 59 = 76$

В данном уравнении неизвестное $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

$x = 76 + 59$

$x = 135$

Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$135 - 59 = 76$

$76 = 76$

Равенство верно, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $135$

$84 - x = 43$

В этом уравнении неизвестное $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 84 - 43$

$x = 41$

Выполним проверку:

$84 - 41 = 43$

$43 = 43$

Равенство верно, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $41$

$x + 48 = 95$

В данном уравнении неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 95 - 48$

$x = 47$

Проверим полученный результат:

$47 + 48 = 95$

$95 = 95$

Равенство верно, решение правильное.

Ответ: $47$

$34 + x = 82$

Здесь неизвестное $x$ также является слагаемым. Для его нахождения необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 82 - 34$

$x = 48$

Сделаем проверку:

$34 + 48 = 82$

$82 = 82$

Равенство верно, корень уравнения найден верно.

Ответ: $48$

11. Объясни, что означают записи на полях, и реши уравнения.

В задании требуется объяснить "записи на полях", которые на изображении отсутствуют. Скорее всего, имеются в виду общие математические правила, на которых основаны данные уравнения. Эти правила касаются свойств нуля при сложении и вычитании.

• Свойство нуля: Если к числу прибавить ноль или из числа вычесть ноль, то число не изменится. Это правило можно записать в виде формул $a + 0 = a$ и $a - 0 = a$. На этом правиле основаны первые три уравнения.
• Условие равенства разности нулю: Разность двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа равны. То есть, если $a - b = 0$, то $a = b$. На этом правиле основано четвертое уравнение.

Теперь решим каждое уравнение, применяя правила нахождения их неизвестных компонентов.

$156 - x = 156$

В данном уравнении $x$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 156 - 156$
$x = 0$
Проверка: $156 - 0 = 156$. Верно.
Ответ: $x=0$.

$987 + x = 987$

Здесь $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 987 - 987$
$x = 0$
Проверка: $987 + 0 = 987$. Верно.
Ответ: $x=0$.

$x + 267 = 267$

В этом уравнении $x$ также является неизвестным слагаемым. Находим его, вычитая из суммы известное слагаемое.
$x = 267 - 267$
$x = 0$
Проверка: $0 + 267 = 267$. Верно.
Ответ: $x=0$.

$x - 17 = 0$

Здесь $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 0 + 17$
$x = 17$
Проверка: $17 - 17 = 0$. Верно.
Ответ: $x=17$.

12. Найди значения выражений.

$1970 + 0$

Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число.

$1970 + 0 = 1970$

Ответ: 1970

$1970 - 0$

Вычитание нуля из любого числа не изменяет это число.

$1970 - 0 = 1970$

Ответ: 1970

$239 + (437 - 437)$

Согласно порядку действий, сначала выполняем вычисление в скобках.

1. $437 - 437 = 0$

Теперь подставляем полученное значение в исходное выражение:

2. $239 + 0 = 239$

Ответ: 239

$365 - (260 + 105)$

Сначала выполняем действие в скобках.

1. $260 + 105 = 365$

Теперь подставляем полученное значение в исходное выражение:

2. $365 - 365 = 0$

Ответ: 0

$560 - (260 + 300) + 99$

Порядок действий: сначала операция в скобках, затем остальные действия по порядку слева направо.

1. Вычисляем сумму в скобках: $260 + 300 = 560$.

2. Подставляем результат в выражение и выполняем вычитание: $560 - 560 = 0$.

3. Выполняем сложение: $0 + 99 = 99$.

Ответ: 99

$(87 - 87) + (78 - 78)$

Сначала выполняем действия в каждой из скобок.

1. $87 - 87 = 0$

2. $78 - 78 = 0$

Теперь складываем полученные результаты:

3. $0 + 0 = 0$

Ответ: 0

13. Чему равна сумма двух слагаемых, если одно из них равно нулю?

Чему равна разность, если вычитаемое равно нулю?

Чему равна сумма двух слагаемых, если одно из них равно нулю?

Пусть одно слагаемое равно некоторому числу $a$, а второе слагаемое, согласно условию, равно $0$. Сумма этих двух слагаемых записывается как $a + 0$.
В математике существует свойство сложения с нулем, которое гласит: если к любому числу прибавить нуль, то получится то же самое число.
Это свойство можно записать в виде формулы: $a + 0 = a$.
Следовательно, если одно из слагаемых равно нулю, то сумма будет равна другому слагаемому.
Например, если одно слагаемое равно $12$, а другое $0$, то их сумма $12 + 0 = 12$.
Ответ: Сумма равна другому слагаемому.

Чему равна разность, если вычитаемое равно нулю?

В операции вычитания число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым.
Пусть уменьшаемое равно некоторому числу $a$. Согласно условию, вычитаемое равно $0$. Разность записывается как $a - 0$.
В математике существует свойство вычитания нуля, которое гласит: если из любого числа вычесть нуль, то получится то же самое число.
Это свойство можно записать в виде формулы: $a - 0 = a$.
Следовательно, если вычитаемое равно нулю, то разность будет равна уменьшаемому.
Например, если уменьшаемое равно $25$, а вычитаемое $0$, то их разность $25 - 0 = 25$.
Ответ: Разность равна уменьшаемому.

14. Приведи примеры, когда сумма двух слагаемых равна одному из них; когда разность равна уменьшаемому; когда разность равна нулю.

когда сумма двух слагаемых равна одному из них
Это происходит в том случае, если одно из слагаемых равно нулю. Обозначим слагаемые как $a$ и $b$. Их сумма равна $a + b$. Если сумма должна быть равна одному из слагаемых, например, $a$, то мы получаем уравнение $a + b = a$. Если вычесть $a$ из обеих частей этого уравнения, получится $b = 0$. Таким образом, одно из слагаемых обязательно должно быть нулем.
Например: $15 + 0 = 15$. Сумма (15) равна первому слагаемому (15).
Ответ: $9 + 0 = 9$.

когда разность равна уменьшаемому
Это происходит в том случае, если вычитаемое равно нулю. В выражении для нахождения разности есть уменьшаемое и вычитаемое. Обозначим их как $a$ (уменьшаемое) и $b$ (вычитаемое). Разность равна $a - b$. Если разность ($a - b$) равна уменьшаемому ($a$), то мы получаем уравнение $a - b = a$. Это равенство верно только тогда, когда $b = 0$.
Например: $27 - 0 = 27$. Разность (27) равна уменьшаемому (27).
Ответ: $71 - 0 = 71$.

когда разность равна нулю
Это происходит в том случае, если уменьшаемое равно вычитаемому. Обозначим уменьшаемое как $a$ и вычитаемое как $b$. Если их разность равна нулю, мы получаем уравнение $a - b = 0$. Если прибавить $b$ к обеим частям этого уравнения, получится $a = b$. Следовательно, уменьшаемое и вычитаемое должны быть одним и тем же числом.
Например: $12 - 12 = 0$. Уменьшаемое (12) равно вычитаемому (12).
Ответ: $36 - 36 = 0$.

15. Какие свойства сложения ты знаешь (с. 118)? Объясни, почему верны следующие равенства.

Существует два основных свойства сложения:

1. Переместительное свойство сложения. Оно гласит, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. В виде формулы это записывается так: $a + b = b + a$.
2. Сочетательное свойство сложения. Оно гласит, что при сложении трёх и более чисел их можно группировать в любом порядке. Результат от этого не изменится. В виде формулы это записывается так: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Объясним, почему верны представленные равенства, используя эти свойства.

16 + 75 = 75 + 16

Это равенство является верным благодаря переместительному свойству сложения. В левой и правой частях равенства используются одни и те же слагаемые (16 и 75), но они поменялись местами. Согласно переместительному свойству, это не влияет на итоговую сумму.

Проверим это вычислением:

Левая часть: $16 + 75 = 91$

Правая часть: $75 + 16 = 91$

Поскольку результаты в обеих частях равны ($91 = 91$), равенство верно.

Ответ: равенство верно благодаря переместительному свойству сложения.

8 + 17 + 3 = 8 + 20

Это равенство является верным благодаря сочетательному свойству сложения. Это свойство позволяет нам группировать слагаемые для удобства вычислений. В левой части равенства $8 + 17 + 3$ мы можем сначала сложить 17 и 3.

Используем сочетательное свойство, чтобы сгруппировать второе и третье слагаемые:

$8 + 17 + 3 = 8 + (17 + 3)$

Теперь вычислим сумму в скобках:

$17 + 3 = 20$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$8 + 20$

Мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой. Проверим итоговый результат:

Левая часть: $8 + 17 + 3 = 25 + 3 = 28$

Правая часть: $8 + 20 = 28$

Результаты равны, следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно благодаря сочетательному свойству сложения.

16. Используя и перестановку, и группировку слагаемых, числа можно складывать в любом порядке. Объясни, как можно легче выполнить сложение.

Чтобы легче выполнить сложение, можно использовать свойства сложения: перестановочное (от перемены мест слагаемых сумма не меняется) и сочетательное (можно группировать слагаемые в любом порядке). Самый простой способ — найти и сгруппировать такие числа, которые в сумме дают "круглое" число (например, оканчивающееся на 0). Для этого нужно смотреть на последние цифры слагаемых.

54 + 18 + 26 + 2
В этом выражении мы ищем пары чисел, которые удобно сложить.
1. Заметим, что число 54 оканчивается на 4, а число 26 — на 6. Сумма этих последних цифр $4 + 6 = 10$. Значит, удобно сгруппировать 54 и 26.
2. Аналогично, число 18 оканчивается на 8, а число 2 — на 2. Сумма $8 + 2 = 10$. Сгруппируем 18 и 2.
Переставим и сгруппируем слагаемые:
$54 + 18 + 26 + 2 = (54 + 26) + (18 + 2)$
Теперь вычислим сумму в каждой скобке:
$54 + 26 = 80$
$18 + 2 = 20$
Сложим полученные результаты:
$80 + 20 = 100$
Ответ: 100

27 + 16 + 13 + 7 + 3 + 14
Здесь также найдем удобные для сложения пары и тройки чисел.
1. У числа 27 последняя цифра 7, а у числа 13 — 3. Их сумма $7 + 3 = 10$. Группируем 27 и 13.
2. У числа 16 последняя цифра 6, а у числа 14 — 4. Их сумма $6 + 4 = 10$. Группируем 16 и 14.
3. Оставшиеся числа 7 и 3 также в сумме дают 10. Группируем их.
Переставим и сгруппируем слагаемые:
$27 + 16 + 13 + 7 + 3 + 14 = (27 + 13) + (16 + 14) + (7 + 3)$
Вычислим сумму в каждой группе:
$27 + 13 = 40$
$16 + 14 = 30$
$7 + 3 = 10$
Теперь сложим полученные круглые числа:
$40 + 30 + 10 = 80$
Ответ: 80

Магический квадрат — это квадратная таблица, в которой сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях одинакова. Эта сумма называется магической константой.

Для начала определим магическую константу. В квадрате полностью заполнен первый столбец. Сумма чисел в нем равна: $S = 250 + 0 + 350 = 600$.
Следовательно, сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали должна равняться 600.

Зная магическую константу, последовательно находим недостающие числа.

Вычислим число во второй строке. В ней известны числа 0 и 200. Третье число (в правом столбце) равно: $600 - (0 + 200) = 400$.

Теперь вычислим число в правом верхнем углу, используя побочную диагональ (сверху-справа вниз-налево). В ней известны числа 200 и 350. Недостающее число равно: $600 - (200 + 350) = 50$.

Далее найдем центральное число в верхней строке. В ней известны числа 250 и 50. Третье число равно: $600 - (250 + 50) = 300$.

Найдем число в правом нижнем углу, используя главную диагональ (сверху-слева вниз-направо). В ней известны числа 250 и 200. Недостающее число равно: $600 - (250 + 200) = 150$.

Последнее неизвестное число находится в центре нижней строки. Найдем его, используя второй столбец. В нем известны числа 300 и 200. Искомое число равно: $600 - (300 + 200) = 100$.

Для проверки можно сложить числа в третьей строке: $350 + 100 + 150 = 600$. И в третьем столбце: $50 + 400 + 150 = 600$. Все расчеты верны.

Ответ:
Заполненный магический квадрат выглядит следующим образом: