Страница 42, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Найди и подчеркни ошибки. Выполни деление правильно.

$\begin{array}{r|lr}91350 & 15 & 69 \\\cline{2-2}-90 & 6090 \\\cline{1-1}\quad 135 & \\- \quad 135 & \\\cline{1-1}\quad \quad 0 &\end{array}$

2. Выполни деление и сделай проверку: $82566 : 27$

3. Марина сделала 52 фотографии. Из них 40 штук она наклеила в альбом, а остальные раздала поровну четырём своим подругам. Сколько фотографий получила каждая из подруг?

4*. Кирилл написал фразу «Я люблю решать задачи и примеры». Затем он сосчитал количество букв в каждом слове и перемножил полученные числа. Какой результат у него получился?

1. В примере допущены две ошибки:
1. После вычитания $91 - 90 = 1$ и сноса следующей цифры 3, получается число 13. Так как $13 < 15$, в частном нужно было записать 0, прежде чем сносить следующую цифру 5.
2. В конце деления не был учтен последний 0 в делимом 91350. Его нужно было снести и дописать 0 в частное.

Правильное выполнение деления:

$ \begin{array}{r|l} \underline{91}350 & 15 \\ \underline{90}\phantom{350} & 6090 \\ 13\phantom{50} \\ \underline{\phantom{1}0}\phantom{50} \\ 135\phantom{0} \\ \underline{135}\phantom{0} \\ 00 \\ \underline{\phantom{0}0} \\ 0 \end{array} $
Ответ: 6090.

2. Выполним деление столбиком:

$ \begin{array}{r|l} \underline{82}566 & 27 \\ \underline{81}\phantom{566} & 3058 \\ 15\phantom{66} \\ \underline{\phantom{1}0}\phantom{66} \\ 156\phantom{6} \\ \underline{135}\phantom{6} \\ 216 \\ \underline{216} \\ 0 \end{array} $
$82566 : 27 = 3058$

Сделаем проверку. Для этого умножим частное на делитель:

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}3058 \\ 27\end{array} \\ \hline \begin{array}{r}21406 \\ 61160\end{array} \\ \hline 82566 \end{array} $
$3058 \times 27 = 82566$. Результат совпадает с делимым, значит, деление выполнено верно.
Ответ: 3058.

3. 1) Сначала узнаем, сколько фотографий осталось у Марины после того, как она вклеила 40 штук в альбом:
$52 - 40 = 12$ (фотографий)

2) Теперь разделим оставшиеся 12 фотографий поровну на четырёх подруг:
$12 : 4 = 3$ (фотографии)

Ответ: каждая из подруг получила 3 фотографии.

4*. 1) Посчитаем количество букв в каждом слове фразы «Я люблю решать задачи и примеры»:
«Я» — 1 буква
«люблю» — 5 букв
«решать» — 6 букв
«задачи» — 6 букв
«и» — 1 буква
«примеры» — 7 букв

2) Теперь перемножим все полученные числа:
$1 \times 5 \times 6 \times 6 \times 1 \times 7 = 5 \times 36 \times 7 = 180 \times 7 = 1260$

Ответ: у Кирилла получился результат 1260.

2 1. Найди и подчеркни ошибки. Выполни деление правильно.

$ \begin{array}{r} 85080 \\ \underline{-84} \\ 108 \\ \underline{-108} \\ 0 \end{array} \quad \begin{array}{|l} 12 \\ \hline 79 \end{array} $

2. Выполни деление и сделай проверку: $122661 : 59$

3. От торта массой 800 г отрезали пять равных кусков. После этого осталось 200 г торта. Чему равна масса каждого отрезанного куска?

1.

В представленном решении допущены две ошибки:

1. Пропущен ноль в частном. После того как из 85 вычли 84, получили остаток 1. Снесли 0, получилось 10. Так как 10 меньше делителя 12, в частное нужно записать 0 и только потом сносить следующую цифру. Этот шаг был пропущен.

2. Не учтен последний ноль в делимом. Деление было остановлено, хотя в числе 85080 остался последний ноль, который также нужно было снести и разделить.

Выполним деление правильно:

1. Делим 85 на 12. Берем по 7. $7 \times 12 = 84$. Остаток: $85 - 84 = 1$.
2. Сносим 0. Получаем 10. 10 меньше 12, поэтому в частное записываем 0. Остаток 10.
3. Сносим 8. Получаем 108. Делим 108 на 12. Берем по 9. $9 \times 12 = 108$. Остаток: $108 - 108 = 0$.
4. Сносим последний 0. Делим 0 на 12. Получаем 0. Записываем 0 в частное.

Таким образом, правильный результат деления – 7090.

Ответ: $85080 \div 12 = 7090$.

2.

Выполним деление $122\;661$ на $59$ столбиком.

1. Первое неполное делимое – 122. $122 \div 59 = 2$. Остаток: $122 - 118 = 4$.
2. Сносим 6. Получаем 46. Так как $46 < 59$, в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру 6. Получаем 466. $466 \div 59 = 7$. Остаток: $466 - 413 = 53$.
4. Сносим 1. Получаем 531. $531 \div 59 = 9$. Остаток: $531 - 531 = 0$.
Результат: 2079.

Сделаем проверку. Для этого умножим полученное частное на делитель:

$\begin{array}{r} \times\begin{array}{r}2079\\59\end{array}\\ \hline \begin{array}{r}18711\\10395\phantom{0}\end{array}\\ \hline 122661 \end{array}$

Результат умножения $122661$ совпадает с исходным делимым, значит, деление выполнено верно.

Ответ: $122661 \div 59 = 2079$.

3.

1. Сначала найдем общую массу всех отрезанных кусков. Для этого из первоначальной массы торта вычтем массу оставшейся части:

$800 \text{ г} - 200 \text{ г} = 600 \text{ г}$

Таким образом, масса пяти отрезанных кусков составляет 600 г.

2. Теперь, зная общую массу пяти равных кусков, найдем массу одного куска. Для этого разделим общую массу на количество кусков:

$600 \text{ г} \div 5 = 120 \text{ г}$

Ответ: масса каждого отрезанного куска равна 120 г.

1. Покажи движение Матвея по координатному лучу и вставь в рассказ пропущенные числа.

Матвей вышел из точки ___ и пошёл налево со скоростью ___ ед./ч. Через 2 ч он оказался в точке ___, которая удалена от станции на расстояние ___ ед. Ещё через ___ ч он пришёл на станцию. Всего он шёл до станции ___ ч.

2. Расстояние от школы до бассейна 360 м. Надя идёт из школы в бассейн со скоростью 40 м/мин. Построй шкалу с ценой деления 40 м и покажи на ней движение Нади.

Через сколько минут после выхода Надя была на расстоянии 120 м от бассейна?

3. Составь выражение к задаче и вычисли:

«Найти 30% площади прямоугольника со сторонами 15 см и 40 см».

4*. Напиши формулы зависимости координаты $x$ от времени движения $t$, описывающие движение в задачах 1 и 2.

1. Покажи движение Матвея по координатному лучу и вставь в рассказ пропущенные числа.

Проанализируем движение Матвея по координатному лучу. Станция находится в точке с координатой 5. Матвей начинает движение из точки с координатой 25 и движется влево, в сторону станции. Чтобы заполнить пропуски в рассказе, необходимо определить его скорость.

Предположим, что через 2 часа он оказался в одной из отмеченных на луче точек, например, в точке 15. Это позволяет нам найти скорость и проверить, подходят ли полученные данные для всего пути.

1) Найдём расстояние, которое Матвей прошёл за первые 2 часа: $S_1 = 25 - 15 = 10$ единиц.

2) Рассчитаем его скорость: $v = S_1 / t_1 = 10 / 2 = 5$ ед./ч.

3) Теперь проверим, сколько времени ему потребуется на оставшийся путь. После 2 часов движения он находится в точке 15. Расстояние от этой точки до станции (точка 5) составляет: $S_2 = 15 - 5 = 10$ единиц.

4) Время, которое он потратит на оставшийся путь при скорости 5 ед./ч: $t_2 = S_2 / v = 10 / 5 = 2$ часа.

5) Общее время в пути составит: $T = t_1 + t_2 = 2 + 2 = 4$ часа.

Все числа получились целыми, что подтверждает правильность нашего предположения. Теперь мы можем вставить найденные значения в текст.

Матвей вышел из точки 25 и пошёл налево со скоростью 5 ед./ч. Через 2 ч он оказался в точке 15, которая удалена от станции на расстояние 10 ед. Ещё через 2 ч он пришёл на станцию. Всего он шёл до станции 4 ч.

Ответ: Матвей вышел из точки 25 и пошёл налево со скоростью 5 ед./ч. Через 2 ч он оказался в точке 15, которая удалена от станции на расстояние 10 ед. Ещё через 2 ч он пришёл на станцию. Всего он шёл до станции 4 ч.

2. Расстояние от школы до бассейна 360 м. Надя идёт из школы в бассейн со скоростью 40 м/мин. Построй шкалу с ценой деления 40 м и покажи на ней движение Нади.

Для построения шкалы отметим начальную точку «Школа» как 0 м, а конечную «Бассейн» как 360 м. Поскольку цена деления составляет 40 м, на шкале должны быть отметки: 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360. Движение Нади изображается стрелкой, направленной от 0 к 360.

Теперь ответим на вопрос: «Через сколько минут после выхода Надя была на расстоянии 120 м от бассейна?»

1) Сначала определим координату точки, в которой находилась Надя. Бассейн находится в точке 360 м. Если Надя находится на расстоянии 120 м от него, двигаясь со стороны школы, её координата будет: $x = 360 - 120 = 240$ м.

2) Теперь найдём время, за которое Надя прошла 240 м от школы. Её скорость — 40 м/мин. Время движения $t$ вычисляется по формуле $t = S / v$, где $S$ — пройденное расстояние, а $v$ — скорость.

3) Подставим значения: $t = \frac{240 \text{ м}}{40 \text{ м/мин}} = 6$ мин.

Ответ: Через 6 минут после выхода Надя была на расстоянии 120 м от бассейна.

3. Составь выражение к задаче и вычисли: «Найти 30% площади прямоугольника со сторонами 15 см и 40 см».

1) Сначала нужно найти площадь прямоугольника ($S$). Площадь равна произведению его сторон:
$S = 15 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 600 \text{ см}^2$.

2) Затем нужно найти 30% от этой площади. 30% можно представить в виде десятичной дроби $0.3$ или обыкновенной дроби $\frac{30}{100}$. Чтобы найти процент от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Таким образом, выражение для решения задачи выглядит так:

$(15 \cdot 40) \cdot 0.3$

Теперь вычислим его значение:

$600 \cdot 0.3 = 180 \text{ см}^2$.

Ответ: $(15 \cdot 40) \cdot 0.3 = 180 \text{ см}^2$.

4*. Напиши формулы зависимости координаты x от времени движения t, описывающие движение в задачах 1 и 2.

Общая формула зависимости координаты от времени при равномерном прямолинейном движении имеет вид: $x(t) = x_0 + v \cdot t$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$, $x_0$ — начальная координата, а $v$ — скорость. Знак скорости зависит от направления движения: если движение происходит в положительном направлении оси, скорость положительна, если в отрицательном — отрицательна.

Для задачи 1 (движение Матвея):
Начальная координата $x_0 = 25$.
Матвей движется влево, то есть против направления координатной оси, поэтому его скорость отрицательна: $v = -5$ ед./ч.
Формула: $x = 25 - 5t$ (где $t$ измеряется в часах).

Для задачи 2 (движение Нади):
Начальная координата $x_0 = 0$ (Школа).
Надя движется вправо, по направлению оси, поэтому её скорость положительна: $v = 40$ м/мин.
Формула: $x = 0 + 40t$, или $x = 40t$ (где $t$ измеряется в минутах).

Ответ: Для задачи 1: $x = 25 - 5t$. Для задачи 2: $x = 40t$.

2 1. Покажи движение пса Шарика по координатному лучу и вставь в рассказ пропущенные числа.

Пёс Шарик вышел из точки 24 и пошёл налево со скоростью 4 ед./ч.
Через 2 ч он оказался в точке 16, которая удалена от озера на расстояние 12 ед. Ещё через 3 ч он пришёл на озеро. Всего он шёл до озера 5 ч.

2. Расстояние от дома до школы 600 м. Толя идёт из дома в школу со скоростью 60 м/мин. Построй шкалу с ценой деления 60 м и покажи на ней движение Толи.

Через сколько минут после выхода Толя был на расстоянии 240 м от школы? 6

3. Составь выражение к задаче и вычисли:

«Найти 20% площади прямоугольника со сторонами 80 дм и 50 дм».

$$(80 \times 50) \times 0.20 = 4000 \times 0.20 = 800$$

1. Покажи движение пса Шарика по координатному лучу и вставь в рассказ пропущенные числа.

Для решения задачи проанализируем координатный луч. Пёс Шарик начинает движение в точке 24 и движется налево к озеру, которое находится в точке 4.

1. Определим общee расстояние, которое прошёл Шарик: $24 - 4 = 20$ единиц.

2. В тексте сказано, что через 2 часа он оказался в некой точке. Чтобы все числа в задаче были целыми, предположим, что его скорость кратна расстоянию, которое он проходит. Пусть его скорость равна 4 ед./ч. Тогда за 2 часа он пройдёт расстояние: $4 \text{ ед./ч} \times 2 \text{ ч} = 8$ единиц.

3. Его положение через 2 часа будет: $24 - 8 = 16$.

4. Расстояние от этой точки до озера (точки 4) равно: $16 - 4 = 12$ единиц.

5. Время, которое ему понадобится, чтобы дойти до озера от точки 16: $12 \text{ ед.} \div 4 \text{ ед./ч} = 3$ часа.

6. Общее время в пути: $2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5$ часов.

Заполненный рассказ:

Пёс Шарик вышел из точки 24 и пошёл налево со скоростью 4 ед./ч. Через 2 ч он оказался в точке 16, которая удалена от озера на расстояние 12 ед. Ещё через 3 ч он пришёл на озеро. Всего он шёл до озера 5 ч.

Движение на луче можно показать двумя стрелками: первая от точки 24 до точки 16 (движение за первые 2 часа), и вторая от точки 16 до точки 4 (оставшийся путь).

Ответ: 24, 4, 16, 12, 3, 5.

2. Расстояние от дома до школы 600 м. Толя идёт из дома в школу со скоростью 60 м/мин. Построй шкалу с ценой деления 60 м и покажи на ней движение Толи. Через сколько минут после выхода Толя был на расстоянии 240 м от школы?

Сначала построим шкалу. Расстояние от Дома (0 м) до Школы (600 м) разделено на 10 одинаковых отрезков. Цена одного деления: $600 \text{ м} \div 10 = 60 \text{ м}$. Шкала будет иметь отметки: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600.

Движение Толи: так как его скорость 60 м/мин, а цена деления 60 м, то каждую минуту Толя проходит одно деление шкалы. Его движение можно отметить точками на шкале для каждой минуты: через 1 мин — в точке 60 м, через 2 мин — в точке 120 м и так далее, до точки 600 м через 10 минут.

Теперь ответим на вопрос: "Через сколько минут после выхода Толя был на расстоянии 240 м от школы?"

1. Найдём, какое расстояние Толя прошёл от дома. Если до школы осталось 240 м, то он прошёл: $600 \text{ м} - 240 \text{ м} = 360 \text{ м}$.

2. Найдём, сколько времени ему на это понадобилось. При скорости 60 м/мин время равно: $t = \text{Расстояние} \div \text{Скорость} = 360 \text{ м} \div 60 \text{ м/мин} = 6 \text{ мин}$.

Ответ: через 6 минут.

3. Составь выражение к задаче и вычисли: «Найти 20% площади прямоугольника со сторонами 80 дм и 50 дм».

1. Сначала найдём площадь прямоугольника ($S$) по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ — его стороны.

$S = 80 \text{ дм} \times 50 \text{ дм} = 4000 \text{ дм}^2$.

2. Теперь найдём 20% от полученной площади. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту ($20\% = \frac{20}{100} = 0.2$).

Выражение для решения задачи целиком:

$(80 \times 50) \div 100 \times 20$

Выполним вычисления:

$(80 \times 50) \div 100 \times 20 = 4000 \div 100 \times 20 = 40 \times 20 = 800 \text{ дм}^2$.

Ответ: 800 дм².

1. a) Построй четырёхугольник ABCD по координатам его вершин:

A (1; 0), B (0; 4), C (3; 6), D (6; 1)

б) Проведи диагонали AC и BD и найди координаты их точки пересечения M.

$M ( \text{_} ; \text{_} )$

y

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

2. Реши уравнение:

$210-(14 \cdot x + 36) : 4 = 180$

3. Составь выражения:

а) Олег прошёл путь от дома до школы, равный $n$ м, за 8 мин, а его сестра Настя – за 12 мин. На сколько скорость Насти меньше скорости Олега?

б) Два катера плывут навстречу друг другу со скоростями $a$ км/ч и $b$ км/ч. Сейчас между ними $m$ км. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?

4*. На доске в строчку написаны двадцать пятерок. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 1000. Сколько плюсов поставил Вася? Подчеркни правильный ответ.

A 6 B 8 C 9 D 10 E 11

1. а) Построй четырёхугольник ABCD по координатам его вершин: A (1; 0), B (0; 4), C (3; 6), D (6; 1)

б) Проведи диагонали AC и BD и найди координаты их точки пересечения M.

Сначала построим четырёхугольник. Для этого отметим на координатной плоскости точки с заданными координатами:

• Точка A имеет координаты (1; 0).
• Точка B имеет координаты (0; 4).
• Точка C имеет координаты (3; 6).
• Точка D имеет координаты (6; 1).

Соединив последовательно точки A, B, C и D отрезками, мы получим четырёхугольник ABCD.
Далее, для выполнения пункта б), проведём диагонали этого четырёхугольника. Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины. В нашем случае это отрезки AC и BD.
На графике видно, что диагонали AC и BD пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку M. Чтобы найти её координаты, посмотрим, какому значению по оси x и по оси y она соответствует. Точка M находится на пересечении линий сетки, соответствующем значению 2 по оси x и значению 3 по оси y.
Следовательно, координаты точки пересечения M(2; 3).
Ответ: M(2; 3).

2. Реши уравнение:

Дано уравнение: $210 - (14 \cdot x + 36) : 4 = 180$.
В этом уравнении выражение $(14 \cdot x + 36) : 4$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (210) вычесть разность (180):
$(14 \cdot x + 36) : 4 = 210 - 180$
$(14 \cdot x + 36) : 4 = 30$
Теперь выражение в скобках $14 \cdot x + 36$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (30) умножить на делитель (4):
$14 \cdot x + 36 = 30 \cdot 4$
$14 \cdot x + 36 = 120$
В получившемся уравнении $14 \cdot x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (120) вычесть известное слагаемое (36):
$14 \cdot x = 120 - 36$
$14 \cdot x = 84$
Наконец, $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение (84) разделить на известный множитель (14):
$x = 84 : 14$
$x = 6$
Проверим решение, подставив $x=6$ в исходное уравнение:
$210 - (14 \cdot 6 + 36) : 4 = 210 - (84 + 36) : 4 = 210 - 120 : 4 = 210 - 30 = 180$.
$180 = 180$. Равенство верное.
Ответ: $x=6$.

3. Составь выражения:

а) Олег прошёл путь от дома до школы, равный n м, за 8 мин, а его сестра Настя – за 12 мин. На сколько скорость Насти меньше скорости Олега?

Скорость вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ - расстояние, $t$ - время.
1. Найдём скорость Олега: $v_{Олега} = n / 8$ (м/мин).
2. Найдём скорость Насти: $v_{Насти} = n / 12$ (м/мин).
3. Чтобы найти, на сколько скорость Насти меньше скорости Олега, вычтем скорость Насти из скорости Олега:
$v_{Олега} - v_{Насти} = n/8 - n/12$.
Это выражение и является ответом. Его можно также упростить, приведя к общему знаменателю 24:
$n/8 - n/12 = (3n)/24 - (2n)/24 = n/24$.
Ответ: $n/8 - n/12$ (или $n/24$).

б) Два катера плывут навстречу друг другу со скоростями a км/ч и b км/ч. Сейчас между ними m км. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?

1. При движении навстречу друг другу скорости объектов складываются. Скорость сближения катеров равна $a + b$ (км/ч).
2. За 3 часа катера сблизятся на расстояние, равное скорости сближения, умноженной на время: $3 \cdot (a + b)$ (км).
3. Изначально расстояние между катерами было $m$ км. Через 3 часа оно уменьшится на расстояние, которое они прошли вместе. Новое расстояние будет равно разности начального расстояния и расстояния сближения.
$m - 3 \cdot (a + b)$.
Ответ: $m - 3 \cdot (a + b)$.

4*. На доске в строчку написаны двадцать пятёрок. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 1000. Сколько плюсов поставил Вася? Подчеркни правильный ответ.

Нам нужно расставить плюсы между двадцатью цифрами 5, чтобы в сумме получилось 1000.
Все числа, которые мы можем составить (5, 55, 555 и т.д.), оканчиваются на 5. Чтобы сумма таких чисел оканчивалась на 0, их количество должно быть чётным (например, $5+5=10$, $5+55=60$).
Если поставить $k$ плюсов, то получится $k+1$ слагаемое. Значит, количество слагаемых $k+1$ должно быть чётным. Это возможно, только если количество плюсов $k$ — нечётное число.
Из предложенных вариантов (A) 6, (B) 8, (C) 9, (D) 10, (E) 11 нечётными являются 9 и 11.
Попробуем составить сумму 1000, используя двадцать цифр 5. Для этого удобно начать с крупных чисел.
Предположим, одно из слагаемых - это 555. Оно состоит из трёх пятёрок.
Оставшаяся сумма, которую нужно набрать: $1000 - 555 = 445$.
Оставшееся количество пятёрок: $20 - 3 = 17$.
Теперь попробуем составить 445 из 17 пятёрок. Используем числа 55. Каждое такое число состоит из двух пятёрок.
Попробуем взять восемь чисел 55: $8 \cdot 55 = 440$. На это ушло $8 \cdot 2 = 16$ пятёрок.
Осталось получить $445 - 440 = 5$. Для этого нам понадобится одно число 5, которое состоит из одной пятёрки.
Проверим, сколько всего пятёрок мы использовали: $3$ (в числе 555) + $16$ (в восьми числах 55) + $1$ (в числе 5) = $20$ пятёрок. Условие выполнено.
Наша сумма выглядит так: $555 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 5$.
Теперь посчитаем количество слагаемых в этой сумме: одно число 555, восемь чисел 55 и одно число 5. Всего $1 + 8 + 1 = 10$ слагаемых.
Количество плюсов всегда на единицу меньше количества слагаемых. Значит, Вася поставил $10 - 1 = 9$ плюсов.
Этот ответ соответствует варианту (C).
Ответ: 9.