Страница 35, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Допиши равенство и объясни его смысл: $a : b = c \Leftrightarrow c \cdot b = a$

Используя связь умножения и деления, подбери частное:

$80 : 16 = \Box$ $74 : 37 = \Box$ $164 : 41 = \Box$ $3012 : 502 = \Box$

Допиши равенство и объясни его смысл: a : b = c ⇔ □ ⋅ □ = a

Заполненное равенство выглядит так: $a : b = c \Leftrightarrow b \cdot c = a$.
Смысл этого равенства заключается во взаимосвязи операций деления и умножения. Деление является действием, обратным умножению. Если число $a$ (делимое) разделить на число $b$ (делитель), то получится число $c$ (частное). Это утверждение истинно тогда и только тогда, когда при умножении делителя $b$ на частное $c$ мы получаем исходное делимое $a$. Таким образом, умножение можно использовать для проверки правильности выполнения деления.

Используя связь умножения и деления, подбери частное:

80 : 16 = □

Чтобы найти частное, нужно найти такое число, которое при умножении на делитель (16) даст в результате делимое (80). Иными словами, ищем $x$ в уравнении $16 \cdot x = 80$.
Подберем значение $x$:
$16 \cdot 2 = 32$
$16 \cdot 3 = 48$
$16 \cdot 4 = 64$
$16 \cdot 5 = 80$
Таким образом, искомое частное равно 5.
Ответ: 5.

74 : 37 = □

Нам нужно найти число $x$, для которого выполняется равенство $37 \cdot x = 74$.
Можно заметить, что 74 ровно в два раза больше, чем 37. Проверим умножением: $37 \cdot 2 = 74$.
Следовательно, частное равно 2.
Ответ: 2.

164 : 41 = □

Ищем такое число $x$, что $41 \cdot x = 164$.
Можно обратить внимание на последние цифры. Чтобы при умножении на 1 получить число, оканчивающееся на 4, множитель $x$ должен оканчиваться на 4. Проверим число 4: $41 \cdot 4 = 164$.
Равенство верное, значит, частное равно 4.
Ответ: 4.

3012 : 502 = □

Подберем такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $502 \cdot x = 3012$.
Посмотрим на последние цифры: произведение $2 \cdot x$ должно оканчиваться на 2. Это возможно, если $x$ оканчивается на 1 или 6. Приблизительно оценим результат: $3000 : 500 = 6$. Проверим число 6: $502 \cdot 6 = 3012$.
Равенство выполняется, значит, частное равно 6.
Ответ: 6.

2 а) Докажи, что частное является однозначным. Сделай прикидку и подбери частное. Попробуй записать деление углом.

$238 : 34 \approx \square\square\square\square\square\square\square$

$238 : 34 = \square$

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Проверь свой вариант по учебнику, с. 34. Если нужно, исправь ошибки. Сделай вывод.

а)

Сначала докажем, что частное от деления $238$ на $34$ является однозначным числом. Для этого умножим делитель $34$ на $10$:
$34 \times 10 = 340$.
Поскольку делимое $238$ меньше, чем $340$, частное будет меньше $10$, а значит, оно является однозначным числом.

Теперь сделаем прикидку, чтобы подобрать частное. Округлим делимое $238$ до $240$, а делитель $34$ до $30$.
$240 : 30 = 8$.
Попробуем использовать $8$ в качестве пробного частного. Выполним проверку умножением:
$34 \times 8 = 272$.
Так как $272 > 238$, число $8$ нам не подходит, оно слишком большое. Возьмем число поменьше — $7$.
Проверим число $7$: $34 \times 7 = 238$.
Результат умножения совпал с делимым, значит, частное найдено верно.

Запишем решение делением углом. Так как при делении мы используем все число $238$ сразу (потому что $23 < 34$), в частном будет только одна цифра.

На данном этапе можно не знать точный алгоритм деления трехзначных чисел на двузначные. Чтобы научиться этому, можно поставить перед собой цель: освоить алгоритм деления с подбором частного. План для достижения этой цели: 1) определить количество цифр в частном; 2) с помощью округления найти пробную цифру; 3) проверить пробную цифру умножением; 4) если она не подходит, попробовать соседние цифры, пока не будет найден верный ответ.

Ответ: $238 : 34 = 7$.

б)

Проверка своего варианта по учебнику (с. 34) показывает, что решение $238 : 34 = 7$ является верным. Исправлять ошибки не нужно.

Вывод: для решения подобных примеров на деление можно успешно применять метод прикидки (подбора). Он заключается в поиске пробной цифры частного с помощью округления делимого и делителя, с обязательной последующей проверкой умножением. Этот метод является надежным и помогает избежать ошибок в вычислениях.

Ответ: Решение правильное. Вывод: метод подбора частного с последующей проверкой является эффективным способом решения подобных примеров.

3 Сделай прикидку и подбери частное. Запиши деление углом.

а) $384 : 48 \approx$

Ответ: $384 : 48 =$

б) $620 : 124 \approx$

Ответ: $620 : 124 =$

в) $4232 : 589 \approx$

Ответ: $4232 : 589 =$

г) $9624 : 3208 \approx$

Ответ: $9624 : 3208 =$

а) 384 : 48

Сначала сделаем прикидку, округлив числа. Делимое 384 близко к 400, а делитель 48 близок к 50. $384 : 48 \approx 400 : 50 = 8$.
Предполагаемое частное – 8.

Теперь проверим, умножив делитель на предполагаемое частное: $48 \times 8 = 384$.
Результат совпал с делимым, значит, частное найдено верно.

Запишем деление углом:

Ответ: 384 : 48 = 8

б) 620 : 124

Сделаем прикидку. Округлим 620 до 600, а 124 до 120.
$620 : 124 \approx 600 : 120 = 5$.
Также можно проверить по последней цифре: чтобы при умножении числа, оканчивающегося на 4 (делитель 124), получить число, оканчивающееся на 0 (делимое 620), множитель должен оканчиваться на 5, так как $4 \times 5 = 20$.
Предполагаемое частное – 5.

Проверим умножением: $124 \times 5 = 620$.
Деление выполнено верно.

Запишем деление углом:

Ответ: 620 : 124 = 5

в) 4232 : 589

Сделаем прикидку. Округлим 4232 до 4200, а 589 до 600.
$4232 : 589 \approx 4200 : 600 = 7$.
Предполагаемое частное – 7.

Проверим умножением: $589 \times 7 = 4123$.
Полученное число меньше делимого 4232. Это означает, что деление будет с остатком.
Найдем остаток: $4232 - 4123 = 109$.

Запишем деление углом:

Частное (в данном случае, неполное частное) равно 7, а остаток равен 109.

Ответ: 4232 : 589 = 7 (ост. 109)

г) 9624 : 3208

Сделаем прикидку. Округлим делимое 9624 до 9000, а делитель 3208 до 3000.
$9624 : 3208 \approx 9000 : 3000 = 3$.
Предполагаемое частное – 3.

Проверим умножением: $3208 \times 3 = 9624$.
Деление выполнено верно.

Запишем деление углом:

Ответ: 9624 : 3208 = 3

4 Выполни деление углом:

а) $276 : 69$

б) $848 : 106$

в) $6034 : 3017$

а) 276 : 69

Чтобы разделить 276 на 69, нужно подобрать такое целое число, которое при умножении на 69 даст число, равное или наиболее близкое к 276.
Для оценки частного можно округлить делитель 69 до 70. Тогда $276 \div 70$ будет примерно равно 4 (так как $70 \times 4 = 280$, что близко к 276).
Проверим число 4, умножив его на делитель:
$69 \times 4 = 276$
Теперь вычтем полученное произведение из делимого:
$276 - 276 = 0$
Остаток равен 0, следовательно, деление выполнено без остатка.
Ответ: 4

б) 848 : 106

Для деления 848 на 106 подберем частное. Можно прикинуть, сколько раз 100 содержится в 800 — это 8 раз. Другой способ — посмотреть на последние цифры: чтобы получить 8 в конце, нужно 6 умножить на 3 ($6 \times 3 = 18$) или на 8 ($6 \times 8 = 48$). Проверим наиболее вероятный вариант — число 8.
Умножим делитель на 8:
$106 \times 8 = 848$
Вычтем полученный результат из делимого:
$848 - 848 = 0$
Остаток равен 0, значит, деление выполнено нацело.
Ответ: 8

в) 6034 : 3017

Чтобы разделить 6034 на 3017, заметим, что делимое 6034 примерно в два раза больше делителя 3017 (так как $3000 \times 2 = 6000$). Проверим, является ли 2 искомым частным.
Умножим делитель на 2:
$3017 \times 2 = 6034$
Вычтем результат из делимого:
$6034 - 6034 = 0$
Остаток равен 0, значит, деление выполнено верно.
Ответ: 2

5* На каждые $10 \text{ км}$ пути для автомашины «Жигули» нужен $1 \text{ л}$ бензина.

От дома до дачи $145 \text{ км}$. Сколько потребуется бензина, чтобы съездить на дачу и вернуться обратно?

1. Найдем общее расстояние поездки.
Чтобы съездить на дачу и вернуться обратно, нужно преодолеть расстояние в 145 км дважды: один раз по дороге на дачу, и второй раз — по дороге домой. Следовательно, общее расстояние равно:
$145 \text{ км} \cdot 2 = 290 \text{ км}$

2. Рассчитаем необходимый объем бензина.
По условию, на каждые 10 км пути требуется 1 л бензина. Чтобы узнать, сколько бензина потребуется на 290 км, мы должны сначала выяснить, сколько раз по 10 км содержится в общем расстоянии.
$290 \text{ км} \div 10 \text{ км} = 29$
Это означает, что на всю поездку потребуется 29 порций бензина по 1 литру. Общий расход составит:
$29 \cdot 1 \text{ л} = 29 \text{ л}$

Ответ: 29 л.

1 Найди на рисунке прямые, лучи, отрезки. Запиши их обозначения.

Прямые: $a$, $MN$

Лучи: $AB$

Отрезки: $CD$, $KT$, $XY$

Прямая — это линия, у которой нет ни начала, ни конца. Её можно бесконечно продолжать в обе стороны. На данном рисунке к прямым относятся:

• Прямая $a$, так как она не имеет видимых концов и обозначена строчной буквой.
• Прямая $MN$, так как она проходит через точки $M$ и $N$ и продолжается бесконечно в обе стороны за пределы этих точек.

Ответ: $a$, $MN$

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку, но не имеет конца. Он продолжается бесконечно только в одном направлении. На рисунке мы видим:

• Луч $KT$. Он начинается в точке $K$ и проходит через точку $T$, продолжаясь бесконечно в этом направлении.
• Луч $AB$. Специальная отметка (вертикальная черточка) у точки $A$ указывает на то, что это начальная точка луча. Линия продолжается бесконечно через точку $B$. Несмотря на то, что линия немного выходит за точку $A$, в контексте подобных задач это принято считать лучом.

Ответ: $KT$, $AB$

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками (концами). Концы отрезков на рисунке отмечены вертикальными черточками. К отрезкам относятся:

• Отрезок $CD$. Он ограничен точками $C$ и $D$.
• Отрезок $XY$. Он ограничен точками $X$ и $Y$.

Ответ: $CD$, $XY$

2 а) Начерти числовой луч, взяв единичный отрезок, равный 2 клеточкам. Отметь на нём все числа первого десятка.

б) На числовом луче выполни действия: $2 + 4 = \Box$ $10 - 3 = \Box$
Объясни, как с помощью числового луча складывают и вычитают числа.

в) Отметь на числовом луче два любых числа и сравни их. Объясни, как с помощью числового луча сравнивают числа.

а)

Чтобы начертить числовой луч, нужно провести прямую, отметить на ней начальную точку (начало отсчета) и обозначить её цифрой 0. Затем нужно выбрать единичный отрезок (в данном случае, 2 клеточки) и отложить его от начальной точки вправо. Отмечаем точку и подписываем её цифрой 1. Повторяем это действие, откладывая единичные отрезки друг за другом, и подписываем точки числами 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. В конце луча ставится стрелка, показывающая направление увеличения чисел.

Ответ:

б)

Для выполнения действия $2 + 4$ на числовом луче, находим точку 2 и отсчитываем от неё 4 единичных отрезка вправо (в сторону увеличения чисел). Мы окажемся в точке 6.

Для выполнения действия $10 - 3$, находим точку 10 и отсчитываем от неё 3 единичных отрезка влево (в сторону уменьшения чисел). Мы окажемся в точке 7.

Объяснение: Чтобы с помощью числового луча сложить числа, нужно от первого числа отступить вправо на количество единичных отрезков, равное второму числу. Чтобы вычесть числа, нужно от первого числа отступить влево на количество единичных отрезков, равное второму числу.

Ответ: $2 + 4 = 6$; $10 - 3 = 7$.

в)

Отметим на числовом луче два любых числа, например, 3 и 8. Сравним их. На числовом луче число 8 находится правее, чем число 3. Поэтому 8 больше 5. Записывается это так: $8 > 3$ или $3 < 8$.

Объяснение: Чтобы сравнить два числа с помощью числового луча, нужно найти их на луче. Из двух чисел больше то, которое на луче расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.

Ответ: Сравним числа 3 и 8. Так как число 8 на числовом луче находится правее числа 3, то $8 > 3$.

3 a) Попробуй перечислить признаки числового луча:

1)

2)

3)

$2 + 4 = $

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Объясни, почему данные рисунки не являются числовыми лучами.

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5

0 2 3 6 7 9

Используя рисунки, установи признаки числового луча.

1)

2)

3)

Сделай вывод и проверь себя по учебнику, с. 57. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попытаемся перечислить признаки числового луча, глядя на рисунок художника:

1) У него есть точка начала, которая обозначена числом 0.

2) На нем отмечены числа по порядку (0, 1, 2, 3...) на одинаковом расстоянии друг от друга.

3) У него есть направление, которое указывает стрелка.

Ответ: Признаки числового луча: наличие начала в точке 0, одинаковые отрезки между числами, указание направления.

б) Объясним, почему данные рисунки не являются числовыми лучами, и на основе этого сформулируем точные признаки.

Анализ рисунков:

• На первом рисунке нет точки начала отсчета, то есть числа 0. Луч начинается с числа 1, что неверно для числового луча.
• На втором рисунке, хотя и есть начало в точке 0 и верный порядок чисел, можно предположить, что нарушено правило единого отрезка. Чтобы рисунок был числовым лучом, все отрезки между соседними числами (0 и 1, 1 и 2, и так далее) должны быть строго одинаковой длины.
• На третьем рисунке очевидно, что не соблюдается правило единичного отрезка. Расстояния между числами разные: отрезок от 0 до 2 вдвое больше, чем нужно, а от 3 до 6 — втрое больше.

Используя эти наблюдения, установим точные признаки числового луча:

1) Наличие начала отсчета.

Числовой луч всегда начинается в точке, которой соответствует число 0.

2) Наличие единичного отрезка.

На луче должен быть выбран единичный отрезок, который задает масштаб. Все числа (1, 2, 3, ...) должны быть расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, равном этому единичному отрезку.

3) Наличие направления.

Стрелка на конце луча указывает направление увеличения чисел.

Ответ: Рисунки не являются числовыми лучами, так как на первом нет начала отсчета (0), а на втором и третьем нарушено правило единого отрезка (расстояния между числами не одинаковы). Основные признаки числового луча: 1) начало в точке 0; 2) наличие постоянного единичного отрезка; 3) указание направления.

4 Найди координаты букв и расшифруй имена русских писателей.

а) Автор переводов сказочных повестей о Мэри Поппинс и Винни-Пухе:

$(3; 9)$ $(4; 3)$ $(8; 6)$ $(1; 5)$ $(8; 4)$ $(2; 4)$ $(6; 5)$

б) Русская писательница, благодаря которой нам стал известен «Тим Талер, или Проданный смех» Д. Крюса:

$(4; 6)$ $(5; 1)$ $(4; 3)$ $(2; 4)$ $(1; 2)$ $(4; 3)$

в) Детская писательница, которая замечательно сделала перевод сказок Ш. Перро:

$(7; 2)$ $(4; 3)$ $(6; 8)$ $(6; 8)$ $(2; 4)$

г) Переводчица книг «Хроники Нарнии», в которых рассказывается о приключениях детей в волшебной стране:

$(2; 7)$ $(6; 5)$ $(4; 3)$ $(9; 1)$ $(6; 8)$ $(2; 4)$ $(6; 5)$ $(7; 2)$

Для решения задачи сначала определим координаты каждой буквы на графике:
А - $(4; 3)$, Б - $(6; 8)$, В - $(1; 2)$, Г - $(7; 2)$, Д - $(8; 4)$, Е - $(2; 4)$, З - $(3; 9)$, И - $(4; 6)$, О - $(1; 5)$, П - $(6; 5)$, Р - $(8; 6)$, С - $(5; 1)$, Т - $(2; 7)$, У - $(9; 1)$, Х - $(6; 6)$.

а) Автор переводов сказочных повестей о Мэри Поппинс и Винни-Пухе:
Расшифруем имя по заданным координатам:
$(3; 9) \rightarrow$ З
$(4; 3) \rightarrow$ А
$(8; 6) \rightarrow$ Р
$(1; 5) \rightarrow$ О
$(8; 4) \rightarrow$ Д
$(2; 4) \rightarrow$ Е
$(6; 5) \rightarrow$ П
Получается слово «ЗАРОДЕП». Это слово не является фамилией писателя. В задании, вероятно, допущена ошибка. Известным переводчиком этих произведений является Борис Заходер.
Ответ: Заходер.

б) Русская писательница, благодаря которой нам стал известен «Тим Талер, или Проданный смех» Д. Крюса:
Расшифруем имя по заданным координатам:
$(4; 6) \rightarrow$ И
$(5; 1) \rightarrow$ С
$(4; 3) \rightarrow$ А
$(2; 4) \rightarrow$ Е
$(1; 2) \rightarrow$ В
$(4; 3) \rightarrow$ А
В результате получаем фамилию Исаева.
Ответ: Исаева.

в) Детская писательница, которая замечательно сделала перевод сказок Ш. Перро:
Расшифруем имя по заданным координатам:
$(7; 2) \rightarrow$ Г
$(4; 3) \rightarrow$ А
$(6; 8) \rightarrow$ Б
$(6; 8) \rightarrow$ Б
$(2; 4) \rightarrow$ Е
В результате получаем фамилию Габбе. Тамара Габбе действительно является известной переводчицей сказок Шарля Перро.
Ответ: Габбе.

г) Переводчица книг «Хроники Нарнии», в которых рассказывается о приключениях детей в волшебной стране:
Расшифруем имя по заданным координатам:
$(2; 7) \rightarrow$ Т
$(6; 5) \rightarrow$ П
$(4; 3) \rightarrow$ А
$(9; 1) \rightarrow$ У
$(6; 8) \rightarrow$ Б
$(2; 4) \rightarrow$ Е
$(6; 5) \rightarrow$ П
$(7; 2) \rightarrow$ Г
Получается набор букв «ТПАУБЕПГ». Это слово не является фамилией. В задании, вероятно, допущена ошибка. Переводчицей «Хроник Нарнии» является Наталья Трауберг.
Ответ: Трауберг.

5 Дети во дворе разделились на две равные команды. Оказалось, что в каждой команде девочек столько же, сколько мальчиков. После игры несколько ребят ушли домой, и во дворе остались 4 мальчика и 5 девочек. Сколько детей могло уйти домой?

A $2$ B $3$ C $4$ D $5$ E $6$

Ответ:

Проанализируем начальные условия задачи. Дети разделились на две равные команды. В каждой команде было одинаковое количество девочек и мальчиков. Пусть в каждой команде было по $m$ мальчиков и по $m$ девочек.

Тогда в одной команде было $m + m = 2m$ детей. Поскольку команд было две, всего детей во дворе было $2 \times (2m) = 4m$.

Общее количество мальчиков вначале было $m + m = 2m$. Общее количество девочек вначале также было $m + m = 2m$. Таким образом, изначально общее число мальчиков было равно общему числу девочек, и эти числа были четными.

После игры во дворе остались 4 мальчика и 5 девочек.

Пусть $Б_{нач}$ и $Д_{нач}$ — начальное количество мальчиков и девочек, а $У_Б$ и $У_Д$ — количество ушедших мальчиков и девочек соответственно.

Из начальных условий мы знаем, что $Б_{нач} = Д_{нач}$.

Количество детей вначале можно выразить через оставшихся и ушедших:
$Б_{нач} = 4 + У_Б$
$Д_{нач} = 5 + У_Д$

Поскольку $Б_{нач} = Д_{нач}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$4 + У_Б = 5 + У_Д$
$У_Б = У_Д + 1$

Это означает, что мальчиков ушло домой на одного больше, чем девочек.

Общее количество ушедших детей равно $У_Б + У_Д$. Подставим сюда выражение для $У_Б$:
Общее число ушедших = $(У_Д + 1) + У_Д = 2 \times У_Д + 1$.

Эта формула показывает, что общее количество ушедших детей должно быть нечетным числом. Из предложенных вариантов (A: 2, B: 3, C: 4, D: 5, E: 6) нечетными являются 3 и 5.

Проверим эти два варианта:

1. Если ушло 3 ребенка:
$2 \times У_Д + 1 = 3 \implies 2 \times У_Д = 2 \implies У_Д = 1$.
Значит, ушла 1 девочка. Тогда мальчиков ушло $У_Б = 1 + 1 = 2$.
Проверим начальное количество детей:
$Д_{нач} = 5 (\text{осталось}) + 1 (\text{ушла}) = 6$.
$Б_{нач} = 4 (\text{осталось}) + 2 (\text{ушло}) = 6$.
Начальное количество мальчиков (6) равно начальному количеству девочек (6). Число 6 — четное, что соответствует условию $2m=6$ (где $m=3$). Этот вариант возможен.

2. Если ушло 5 детей:
$2 \times У_Д + 1 = 5 \implies 2 \times У_Д = 4 \implies У_Д = 2$.
Значит, ушло 2 девочки. Тогда мальчиков ушло $У_Б = 2 + 1 = 3$.
Проверим начальное количество детей:
$Д_{нач} = 5 (\text{осталось}) + 2 (\text{ушли}) = 7$.
$Б_{нач} = 4 (\text{осталось}) + 3 (\text{ушло}) = 7$.
Начальное количество мальчиков (7) равно начальному количеству девочек (7). Однако число 7 — нечетное. Это противоречит нашему выводу, что начальное количество мальчиков (и девочек) должно быть четным числом ($2m$). Этот вариант невозможен.

Следовательно, единственный возможный вариант — уйти домой могли 3 ребенка.

Ответ: 3