Страница 28, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Сделай оценку произведений:

а) $\quad \cdot \quad < 37 \cdot 46 < \quad \cdot \quad$

$\quad < 37 \cdot 46 < \quad$

б) $\quad \cdot \quad < 153 \cdot 24 < \quad \cdot \quad$

$\quad < 153 \cdot 24 < \quad$

в) $\quad \cdot \quad < 569 \cdot 832 < \quad \cdot \quad$

$\quad < 569 \cdot 832 < \quad$

а)

Чтобы сделать оценку произведения $37 \cdot 46$, найдём для каждого множителя границы в виде чисел, кратных 10. Это называется "оценка" или "прикидка".

Для первого множителя (37) ближайшие круглые числа — это 30 и 40. Значит, $30 < 37 < 40$.

Для второго множителя (46) ближайшие круглые числа — это 40 и 50. Значит, $40 < 46 < 50$.

Чтобы найти нижнюю границу произведения, перемножим меньшие из этих чисел: $30 \cdot 40 = 1200$.

Чтобы найти верхнюю границу произведения, перемножим большие числа: $40 \cdot 50 = 2000$.

Таким образом, получаем следующие два неравенства:

$30 \cdot 40 < 37 \cdot 46 < 40 \cdot 50$

$1200 < 37 \cdot 46 < 2000$

Ответ: $30 \cdot 40 < 37 \cdot 46 < 40 \cdot 50$ и $1200 < 37 \cdot 46 < 2000$.

б)

Для оценки произведения $153 \cdot 24$ найдём границы для каждого множителя в виде "круглых" чисел.

Для числа 153 возьмём границы, кратные 100: $100 < 153 < 200$.

Для числа 24 возьмём границы, кратные 10: $20 < 24 < 30$.

Нижняя граница произведения (оценка снизу) получается умножением меньших границ: $100 \cdot 20 = 2000$.

Верхняя граница произведения (оценка сверху) получается умножением больших границ: $200 \cdot 30 = 6000$.

Заполняем пропуски в неравенствах:

$100 \cdot 20 < 153 \cdot 24 < 200 \cdot 30$

$2000 < 153 \cdot 24 < 6000$

Ответ: $100 \cdot 20 < 153 \cdot 24 < 200 \cdot 30$ и $2000 < 153 \cdot 24 < 6000$.

в)

Для оценки произведения $569 \cdot 832$ найдём для каждого множителя границы в виде чисел, кратных 100.

Для числа 569: $500 < 569 < 600$.

Для числа 832: $800 < 832 < 900$.

Находим нижнюю границу, перемножая меньшие числа: $500 \cdot 800 = 400000$.

Находим верхнюю границу, перемножая большие числа: $600 \cdot 900 = 540000$.

Таким образом, получаем итоговые неравенства:

$500 \cdot 800 < 569 \cdot 832 < 600 \cdot 900$

$400000 < 569 \cdot 832 < 540000$

Ответ: $500 \cdot 800 < 569 \cdot 832 < 600 \cdot 900$ и $400000 < 569 \cdot 832 < 540000$.

2 $A = \{3, 5, 9, 14, 23\}$. Перечисли элементы множества A, которые являются решениями неравенства $3 \cdot x + 8 \le 35$.

Чтобы найти, какие элементы из множества $A = \{3, 5, 9, 14, 23\}$ являются решениями неравенства $3 \cdot x + 8 \le 35$, нужно последовательно подставить каждое число из множества $A$ вместо $x$ и проверить истинность получившегося неравенства.

1. Проверяем для $x = 3$:
$3 \cdot 3 + 8 = 9 + 8 = 17$
$17 \le 35$ (верно).

2. Проверяем для $x = 5$:
$3 \cdot 5 + 8 = 15 + 8 = 23$
$23 \le 35$ (верно).

3. Проверяем для $x = 9$:
$3 \cdot 9 + 8 = 27 + 8 = 35$
$35 \le 35$ (верно).

4. Проверяем для $x = 14$:
$3 \cdot 14 + 8 = 42 + 8 = 50$
$50 \le 35$ (неверно).

5. Проверяем для $x = 23$:
$3 \cdot 23 + 8 = 69 + 8 = 77$
$77 \le 35$ (неверно).

Таким образом, решениями неравенства являются те элементы множества $A$, для которых проверка показала верный результат.

Ответ: 3, 5, 9.

3 C – множество решений неравенства $9 \le x < 12$, D – множество решений неравенства $10 < x \le 14$. Запиши множества C и D. Найди их пересечение $C \cap D$ и объединение $C \cup D$.

$C = \{\}$ $C \cap D = \{\}$

$D = \{\}$ $C \cup D = \{\}$

C

Множество C — это множество решений неравенства $9 \le x < 12$. Предполагая, что $x$ — целое число, найдем все числа, которые больше или равны 9 и строго меньше 12. Это числа: 9, 10, 11.

Ответ: C = {9, 10, 11}

D

Множество D — это множество решений неравенства $10 < x \le 14$. Решениями будут целые числа $x$, которые строго больше 10 и меньше или равны 14. Это числа: 11, 12, 13, 14.

Ответ: D = {11, 12, 13, 14}

C ∩ D

Пересечение множеств $C \cap D$ — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат одновременно и множеству C, и множеству D. Сравнивая множества C = {9, 10, 11} и D = {11, 12, 13, 14}, видим, что единственным общим элементом является 11.

Ответ: $C \cap D = \{11\}$

C ∪ D

Объединение множеств $C \cup D$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Для этого нужно объединить все элементы из C = {9, 10, 11} и D = {11, 12, 13, 14}, исключив повторения.

Ответ: $C \cup D = \{9, 10, 11, 12, 13, 14\}$

4 Составь выражения к задачам:

a) На теплоходе в 3 одинаковые каюты разместили поровну $k$ человек. Сколько таких кают потребуется, чтобы разместить в них $m$ человек? $3m/k$

б) В 5 одинаковых вагонах $d$ мест. Сколько мест в 14 таких вагонах? $14d/5$

в) Самолёту надо пролететь всего $n$ км. Он уже пролетел $c$ км. С какой скоростью ему надо лететь, чтобы пролететь оставшийся путь за 2 часа? $(n-c)/2$

г) Масса 4 одинаковых яблок равна $a$ г, а масса 3 одинаковых груш – $b$ г. На сколько граммов масса одной груши больше массы одного яблока? $b/3 - a/4$

а) Сначала найдём, сколько человек помещается в одной каюте. Для этого общее количество человек $k$ разделим на количество кают, то есть на 3. Вместимость одной каюты равна $k : 3$ человек. Теперь, чтобы узнать, сколько кают потребуется для $m$ человек, нужно общее количество человек $m$ разделить на вместимость одной каюты. Получаем выражение: $m : (k : 3)$.

Ответ: $m : (k : 3)$

б) Сначала определим количество мест в одном вагоне. Для этого общее количество мест $d$ разделим на количество вагонов, то есть на 5. Количество мест в одном вагоне равно $d : 5$. Чтобы найти количество мест в 14 таких вагонах, нужно количество мест в одном вагоне умножить на 14. Получаем выражение: $(d : 5) \cdot 14$.

Ответ: $d : 5 \cdot 14$

в) Сначала найдём оставшийся путь, который нужно пролететь самолёту. Для этого из всего пути $n$ км вычтем уже проделанный путь $c$ км. Оставшийся путь равен $n - c$ км. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Так как оставшийся путь самолёт должен пролететь за 2 часа, требуемая скорость равна $(n - c) : 2$ км/ч.

Ответ: $(n - c) : 2$

г) Сначала найдём массу одного яблока. Для этого общую массу 4 яблок, равную $a$ г, разделим на их количество. Масса одного яблока составляет $a : 4$ г. Затем найдём массу одной груши. Для этого общую массу 3 груш, равную $b$ г, разделим на их количество. Масса одной груши составляет $b : 3$ г. Чтобы узнать, на сколько граммов масса одной груши больше массы одного яблока, нужно из массы груши вычесть массу яблока. Получаем выражение: $(b : 3) - (a : 4)$ г.

Ответ: $b : 3 - a : 4$

5* Вставь пропущенные цифры, не выполняя вычислений. Проверь с помощью калькулятора.

а) $145724 : 34 = \phantom{0}286$

б) $46191 : 519 = 8\phantom{0}$

в) $192864 : 6027 = \phantom{0}2$

г) $3076435 : 41 = \phantom{0}503\phantom{0}$

а) Чтобы найти первую цифру частного, нужно определить, сколько раз делитель $34$ содержится в первых цифрах делимого. Возьмем первые три цифры делимого — $145$. Оценим, на какую цифру нужно умножить $34$, чтобы получить число, близкое к $145$ и не превышающее его. $34 \times 4 = 136$. $34 \times 5 = 170$. Так как $170 > 145$, а $136 < 145$, то первая цифра частного — это $4$.
Проверка по последней цифре: произведение последней цифры делителя ($4$) на последнюю цифру частного ($6$) дает $4 \times 6 = 24$. Последняя цифра результата ($4$) совпадает с последней цифрой делимого ($145724$).
Ответ: $145724 : 34 = 4286$

б) Чтобы найти последнюю цифру частного, нужно посмотреть на последние цифры делимого и делителя. Делимое $46191$ оканчивается на $1$. Делитель $519$ оканчивается на $9$. Произведение последней цифры делителя ($9$) и искомой последней цифры частного должно давать число, которое оканчивается на ту же цифру, что и делимое ($1$). Проверим таблицу умножения на $9$: только $9 \times 9 = 81$ дает в конце $1$. Следовательно, пропущенная цифра — это $9$.
Ответ: $46191 : 519 = 89$

в) Чтобы найти первую цифру частного, выполним оценку. Округлим делимое $192864$ до $180000$, а делитель $6027$ до $6000$. $180000 : 6000 = 180 : 6 = 30$. Частное примерно равно $30$. В задании частное имеет вид $\_2$, что очень похоже на $32$. Значит, первая пропущенная цифра — это $3$.
Проверка по последней цифре: произведение последней цифры делителя ($7$) на последнюю цифру частного ($2$) дает $7 \times 2 = 14$. Последняя цифра результата ($4$) совпадает с последней цифрой делимого ($192864$).
Ответ: $192864 : 6027 = 32$

г) В этом примере пропущены две цифры: первая и последняя. Найдем их по отдельности.
1. Чтобы найти первую цифру, посмотрим, сколько раз делитель $41$ содержится в первых цифрах делимого. Возьмем $307$. Оценим: $300 : 40 \approx 7$. Проверим: $41 \times 7 = 287$ (меньше $307$), $41 \times 8 = 328$ (больше $307$). Значит, первая цифра частного — $7$.
2. Чтобы найти последнюю цифру, используем правило последней цифры. Делимое $3076435$ оканчивается на $5$. Делитель $41$ оканчивается на $1$. Произведение последней цифры делителя ($1$) и последней цифры частного должно оканчиваться на $5$. $1 \times \_ = \_5$. Единственная цифра, которая удовлетворяет этому условию, — это $5$.
Ответ: $3076435 : 41 = 75035$

3 Реши уравнения:

$2\frac{7}{8} + x = 3\frac{4}{8}$

$4\frac{2}{7} - y = 1\frac{6}{7}$

$n - \frac{3}{5} = 6\frac{4}{5}$

$2\frac{7}{8} + x = 3\frac{4}{8}$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 3\frac{4}{8} - 2\frac{7}{8}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{4}{8}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{7}{8}$), поэтому необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого.
$3\frac{4}{8} = 2 + 1 + \frac{4}{8} = 2 + \frac{8}{8} + \frac{4}{8} = 2\frac{12}{8}$
Теперь выполним вычитание:
$x = 2\frac{12}{8} - 2\frac{7}{8} = \frac{12-7}{8} = \frac{5}{8}$
Проверка:
$2\frac{7}{8} + \frac{5}{8} = 2 + \frac{7+5}{8} = 2 + \frac{12}{8} = 2 + 1\frac{4}{8} = 3\frac{4}{8}$
$3\frac{4}{8} = 3\frac{4}{8}$
Верно.
Ответ: $x = \frac{5}{8}$

$4\frac{2}{7} - y = 1\frac{6}{7}$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$y = 4\frac{2}{7} - 1\frac{6}{7}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{7}$), поэтому "займем" единицу у целой части уменьшаемого.
$4\frac{2}{7} = 3 + 1 + \frac{2}{7} = 3 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 3\frac{9}{7}$
Теперь выполним вычитание:
$y = 3\frac{9}{7} - 1\frac{6}{7} = (3-1) + (\frac{9-6}{7}) = 2\frac{3}{7}$
Проверка:
$4\frac{2}{7} - 2\frac{3}{7} = 3\frac{9}{7} - 2\frac{3}{7} = 1\frac{6}{7}$
$1\frac{6}{7} = 1\frac{6}{7}$
Верно.
Ответ: $y = 2\frac{3}{7}$

$n - \frac{3}{5} = 6\frac{4}{5}$
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $n$, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$n = 6\frac{4}{5} + \frac{3}{5}$
$n = 6 + \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = 6 + \frac{4+3}{5} = 6 + \frac{7}{5}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{5}$ в смешанное число: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
$n = 6 + 1\frac{2}{5} = 7\frac{2}{5}$
Проверка:
$7\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = 6 + 1\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = 6 + \frac{7}{5} - \frac{3}{5} = 6 + \frac{4}{5} = 6\frac{4}{5}$
$6\frac{4}{5} = 6\frac{4}{5}$
Верно.
Ответ: $n = 7\frac{2}{5}$

4 Сравни дроби:

а) $ \frac{6}{6} \Box \frac{121}{121} $

б) $ \frac{7}{8} \Box \frac{8}{7} $

в) $ \frac{12}{5} \Box \frac{19}{6} $

а) Сравним дроби $\frac{6}{6}$ и $\frac{121}{121}$.

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна единице. Это означает, что целое разделили на несколько частей и взяли все эти части.

Вычислим значение первой дроби: $\frac{6}{6} = 1$.

Вычислим значение второй дроби: $\frac{121}{121} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, то и исходные дроби равны.

Ответ: $\frac{6}{6} = \frac{121}{121}$

б) Сравним дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{7}$.

Дробь $\frac{7}{8}$ является правильной, так как ее числитель (7) меньше знаменателя (8). Любая правильная дробь меньше 1.

Дробь $\frac{8}{7}$ является неправильной, так как ее числитель (8) больше знаменателя (7). Любая такая неправильная дробь больше 1.

Следовательно, $\frac{7}{8} < 1$, а $\frac{8}{7} > 1$. Из этого следует, что $\frac{7}{8}$ меньше, чем $\frac{8}{7}$.

Другой способ — привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 7 это $8 \times 7 = 56$.

$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 7}{8 \times 7} = \frac{49}{56}$

$\frac{8}{7} = \frac{8 \times 8}{7 \times 8} = \frac{64}{56}$

Так как $49 < 64$, то $\frac{49}{56} < \frac{64}{56}$.

Ответ: $\frac{7}{8} < \frac{8}{7}$

в) Сравним дроби $\frac{12}{5}$ и $\frac{19}{6}$.

Обе дроби являются неправильными (числитель больше знаменателя). Для их сравнения можно выделить целую часть или привести их к общему знаменателю.

Способ 1: Выделение целой части.

Для дроби $\frac{12}{5}$ разделим 12 на 5 с остатком: $12 \div 5 = 2$ и $2$ в остатке. Таким образом, $\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$.

Для дроби $\frac{19}{6}$ разделим 19 на 6 с остатком: $19 \div 6 = 3$ и $1$ в остатке. Таким образом, $\frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}$.

Теперь сравним полученные смешанные числа. Сначала сравниваем их целые части: $2 < 3$. Так как целая часть первого числа меньше целой части второго, то и первая дробь меньше второй.

Способ 2: Приведение к общему знаменателю.

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 6. Так как у них нет общих делителей, кроме 1, наименьшее общее кратное равно их произведению: $5 \times 6 = 30$.

Приведем первую дробь к знаменателю 30: $\frac{12}{5} = \frac{12 \times 6}{5 \times 6} = \frac{72}{30}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 30: $\frac{19}{6} = \frac{19 \times 5}{6 \times 5} = \frac{95}{30}$.

Сравним числители полученных дробей: $72 < 95$. Следовательно, $\frac{72}{30} < \frac{95}{30}$.

Ответ: $\frac{12}{5} < \frac{19}{6}$

1. По диаграмме продолжительности жизни животных определи:

а) Сколько лет живёт бегемот?

б) На сколько меньше лет живёт лошадь, чем слон?

в) На сколько больше лет живёт крокодил, чем верблюд?

2. Составь выражения:

а) Ширина прямоугольника $k$ см, а длина в 2 раза больше. Найти периметр этого прямоугольника.

б) Ширина прямоугольника равна $c$ м, что составляет $\frac{4}{5}$ длины. Чему равна площадь этого прямоугольника?

3. Верно ли высказывание:

$35206 - 35100 : 26 > 580 \cdot 419$ да, нет

4*. В прямоугольнике $4 \times 7$, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала? Раскрась их.

1. По диаграмме продолжительности жизни животных определи:

а) Сколько лет живёт бегемот?

На диаграмме находим строку "бегемот". Конец соответствующей ей полосы находится на отметке 50 на горизонтальной оси "лет". Это означает, что бегемот живёт 50 лет.

Ответ: 50 лет.

б) На сколько меньше лет живёт лошадь, чем слон?

Сначала определим по диаграмме продолжительность жизни лошади и слона. Лошадь живёт 30 лет, а слон — 70 лет. Чтобы найти, на сколько меньше живёт лошадь, вычтем её возраст из возраста слона: $70 - 30 = 40$ лет.

Ответ: на 40 лет.

в) На сколько больше лет живёт крокодил, чем верблюд?

Определим по диаграмме продолжительность жизни крокодила и верблюда. Крокодил живёт 90 лет, а верблюд — 20 лет. Чтобы найти, на сколько больше живёт крокодил, вычтем возраст верблюда из возраста крокодила: $90 - 20 = 70$ лет.

Ответ: на 70 лет.

2. Составь выражения:

а) Ширина прямоугольника k см, а длина в 2 раза больше. Найти периметр этого прямоугольника.

Пусть ширина прямоугольника равна $a$, а длина равна $b$. По условию, ширина $a = k$ см. Длина в 2 раза больше ширины, следовательно, $b = k \cdot 2$ см. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$. Подставим значения ширины и длины в формулу: $P = 2 \cdot (k + k \cdot 2)$.

Ответ: $2 \cdot (k + 2k)$.

б) Ширина прямоугольника равна с м, что составляет 4/5 длины. Чему равна площадь этого прямоугольника?

Пусть ширина прямоугольника равна $a$, а длина равна $b$. По условию, ширина $a = c$ м. Известно, что ширина составляет $\frac{4}{5}$ длины, то есть $c = \frac{4}{5} \cdot b$. Чтобы найти длину $b$, нужно ширину $c$ разделить на дробь $\frac{4}{5}$: $b = c : \frac{4}{5}$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Подставим выражения для ширины и длины: $S = c \cdot (c : \frac{4}{5})$.

Ответ: $c \cdot (c : \frac{4}{5})$.

3. Верно ли высказывание:

$35206 - 35100 : 26 > 580 \cdot 419$

Чтобы проверить верность высказывания, вычислим значения левой и правой частей неравенства.
Вычисляем левую часть, соблюдая порядок действий (сначала деление, потом вычитание):
1) $35100 : 26 = 1350$
2) $35206 - 1350 = 33856$
Вычисляем правую часть:
3) $580 \cdot 419 = 243020$
Теперь сравним результаты: $33856 > 243020$. Данное неравенство является ложным, так как число 33856 меньше числа 243020. Следовательно, исходное высказывание неверно.

Ответ: нет.

4*.

В прямоугольнике 4x7, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала? Раскрась их.

Для нахождения количества клеток, которые пересекает диагональ в прямоугольнике со сторонами $m$ и $n$ клеток, можно использовать формулу: $N = m + n - \text{НОД}(m, n)$, где $\text{НОД}(m, n)$ — это наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$.
В нашем случае стороны прямоугольника $m = 4$ и $n = 7$.
Найдем наибольший общий делитель для 4 и 7. Числа 4 и 7 являются взаимно простыми (у них нет общих делителей, кроме 1), поэтому $\text{НОД}(4, 7) = 1$.
Подставим значения в формулу: $N = 4 + 7 - 1 = 10$.
Таким образом, диагональ разрезает 10 клеточек.

Ответ: 10 клеточек.