Страница 38, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Сделай прикидку и подбери частное. Ответ проверь с помощью умножения.

а) $228 : 57 \approx$

Ответ: $228 : 57 =$

б) $4716 : 786 \approx$

Ответ: $4716 : 786 =$

2. Выполни деление, укажи частное и остаток. Сделай проверку.

$375 : 46 =$

3. Составь выражения:

а) Муравей полз 6 мин со скоростью $k$ м/мин и 9 мин со скоростью $m$ м/мин. Какое расстояние прополз муравей за всё это время?

б) Катер проплыл $d$ км за 5 часов. За сколько времени он проплывёт с той же скоростью $n$ км?

4*. Продолжи ряд на 3 числа: 15, 20, 26, 33, 41, ____________

1. Сделай прикидку и подбери частное. Ответ проверь с помощью умножения.

а)

Прикидка: Округлим делимое 228 до 240 и делитель 57 до 60.
$240 : 60 = 4$
Предполагаемое частное – 4.

Проверка умножением:
$57 \cdot 4 = 228$
Прикидка верна.

Ответ: $228 : 57 = 4$

б)

Прикидка: Округлим делимое 4716 до 4800 и делитель 786 до 800.
$4800 : 800 = 6$
Предполагаемое частное – 6.

Проверка умножением:
$786 \cdot 6 = 4716$
Прикидка верна.

Ответ: $4716 : 786 = 6$

2. Выполни деление, укажи частное и остаток. Сделай проверку.

Выполним деление $375$ на $46$.
Чтобы найти частное, подберем число, при умножении которого на 46 получится число, наиболее близкое к 375, но не превышающее его.
Попробуем умножить 46 на 8:
$46 \cdot 8 = 368$
Это меньше, чем 375.
Найдем остаток:
$375 - 368 = 7$
Остаток 7 меньше делителя 46, значит деление выполнено верно. Частное равно 8, остаток 7.

Проверка:
$(частное \cdot делитель) + остаток = делимое$
$8 \cdot 46 + 7 = 368 + 7 = 375$
Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: $375 : 46 = 8$ (ост. $7$)

3. Составь выражения:

а) Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных на каждом участке.
Расстояние, пройденное за первые 6 минут: $6 \cdot k$ (м)
Расстояние, пройденное за следующие 9 минут: $9 \cdot m$ (м)
Общее расстояние: $6 \cdot k + 9 \cdot m$ (м)

Ответ: $6 \cdot k + 9 \cdot m$

б) Сначала найдем скорость катера. Скорость равна расстоянию, деленному на время.
Скорость катера: $d : 5$ (км/ч)
Теперь найдем время, за которое катер проплывет расстояние $n$ км с этой же скоростью. Время равно расстоянию, деленному на скорость.
Время: $n : (d : 5)$ (ч)

Ответ: $n : (d : 5)$

4*. Продолжи ряд на 3 числа: 15, 20, 26, 33, 41, ...

Найдем закономерность в последовательности, вычисляя разность между соседними числами:
$20 - 15 = 5$
$26 - 20 = 6$
$33 - 26 = 7$
$41 - 33 = 8$
Каждое следующее число получается путем прибавления к предыдущему числа, которое на 1 больше, чем прибавлялось в прошлый раз. Следующие числа, которые нужно прибавить, это 9, 10 и 11.
Следующее число ряда: $41 + 9 = 50$
Второе число: $50 + 10 = 60$
Третье число: $60 + 11 = 71$

Ответ: $50, 60, 71$

2 1. Сделай прикидку и подбери частное. Ответ проверь с помощью умножения.

а) $192 : 64 \approx$

Ответ: $192 : 64 =$

б) $5684 : 812 \approx$

Ответ: $5684 : 812 =$

2. Выполни деление, укажи частное и остаток. Сделай проверку.

$296 : 37 =$

3. Составь выражения:

а) Повозка ехала 4 ч со скоростью b км/ч, а потом ещё 3 ч со скоростью c км/ч. Сколько километров проехала повозка за всё это время?

б) Плот проплыл по течению реки a км за 2 часа. Какое расстояние проплывёт плот по этой реке за 9 часов?

1. Сделай прикидку и подбери частное. Ответ проверь с помощью умножения.

а)

Сделаем прикидку. Округлим делитель 64 до 60. Делимое 192 близко к числу 180, которое делится на 60.
$180 : 60 = 3$.
Предположим, что частное равно 3.
Теперь выполним проверку умножением:
$64 \times 3 = 192$.
Результат совпал с делимым, значит, деление выполнено верно.
Ответ: $192 : 64 = 3$.

б)

Сделаем прикидку. Округлим делитель 812 до 800, а делимое 5684 до 5600.
$5600 : 800 = 56 : 8 = 7$.
Предположим, что частное равно 7.
Выполним проверку умножением:
$812 \times 7 = (800 + 10 + 2) \times 7 = 800 \times 7 + 10 \times 7 + 2 \times 7 = 5600 + 70 + 14 = 5684$.
Результат совпал с делимым, значит, деление выполнено верно.
Ответ: $5684 : 812 = 7$.

2. Выполни деление, укажи частное и остаток. Сделай проверку.

Чтобы разделить 296 на 37, нужно найти такое число, при умножении которого на 37 мы получим 296 или число, максимально близкое к нему.
Попробуем подобрать частное. Последняя цифра делимого 6. На какую цифру нужно умножить 7 (последняя цифра делителя), чтобы в результате получить число, оканчивающееся на 6? Это может быть 8, так как $7 \times 8 = 56$.
Проверим число 8:
$37 \times 8 = 296$.
Деление выполняется без остатка.
$296 : 37 = 8$.
Проверка: (частное $\times$ делитель) + остаток = делимое.
$8 \times 37 + 0 = 296$.
$296 = 296$.
Ответ: частное 8, остаток 0.

3. Составь выражения:

а)

Расстояние ($S$) равно произведению скорости ($v$) на время ($t$), то есть $S = v \times t$.
1. Расстояние, которое повозка проехала за первые 4 часа: $S_1 = b \times 4$ км.
2. Расстояние, которое повозка проехала за следующие 3 часа: $S_2 = c \times 3$ км.
3. Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных на каждом участке: $S_{общ} = S_1 + S_2 = b \times 4 + c \times 3$.
Ответ: $b \times 4 + c \times 3$.

б)

Скорость плота равна скорости течения реки.
1. Сначала найдем скорость течения реки ($v$). Для этого разделим расстояние ($S$) на время ($t$):
$v = a : 2$ (км/ч).
2. Теперь, зная скорость, найдем расстояние, которое плот проплывёт за 9 часов. Для этого умножим скорость на новое время:
$S_{новое} = v \times 9 = (a : 2) \times 9$ (км).
Ответ: $(a : 2) \times 9$.

1 Из начала координатного луча вышел Пятачок и вылетела Сова. Пятачок пришёл в точку A (3), а Сова прилетела в точку B (7). На каком расстоянии друг от друга находятся теперь Пятачок и Сова? Составь выражение и найди его значение.

O

0

A

B

? ед.

Как найти целое?

Как найти часть?

Для того чтобы определить расстояние между Пятачком и Совой, необходимо найти разницу между их координатами на числовом луче. Пятачок находится в точке A(3), а Сова — в точке B(7). Поскольку оба начали движение из точки 0, расстояние от начала луча до Совы можно рассматривать как «целое», а расстояние до Пятачка и расстояние между ними — как «части». Чтобы найти расстояние между ними (одну из частей), нужно из координаты Совы вычесть координату Пятачка.

Составим выражение:
$7 - 3$

Найдем его значение:
$7 - 3 = 4$ (ед.)

Ответ: расстояние между Пятачком и Совой составляет 4 единицы.

Как найти целое?

Чтобы найти целое, нужно сложить все его части. В данном примере, если бы мы знали расстояние, которое прошел Пятачок (часть 1, равная 3) и расстояние между ним и Совой (часть 2, равная 4), мы могли бы найти весь путь Совы (целое), сложив эти части: $3 + 4 = 7$.

Ответ: чтобы найти целое, нужно сложить его части.

Как найти часть?

Чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть. В нашей задаче мы искали одну из частей — расстояние между героями. Для этого мы из целого (путь Совы от начала координат, равный 7) вычли другую, известную часть (путь Пятачка, равный 3): $7 - 3 = 4$.

Ответ: чтобы найти часть, нужно из целого вычесть другую часть.

2 а) Попробуй составить выражение к задаче:

«Андрей и Валера едут по координатному лучу навстречу друг другу. Сейчас Андрей находится в точке $A(a)$, а Валера — в точке $B(b)$. На каком расстоянии друг от друга находятся Андрей и Валера?»

0 ——— $A(a)$ ——— ? ——— $B(b)$ ———>

Что ты пока не знаешь?

Поставь перед собой цель и составь план.

б) Определи расстояние между Андреем и Валерой, отвечая на вопросы:

На каком расстоянии от начала луча находится точка $A(a)$? ____ ед.

На каком расстоянии от начала луча находится точка $B(b)$? ____ ед.

Что неизвестно: целое или часть? ____

Каким действием это надо найти? Составь выражение: ____

Сделай вывод и проверь себя по учебнику, с. 63. Если нужно, исправь ошибки.

а)

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатном луче, нужно из большей координаты вычесть меньшую. Андрей находится в точке A с координатой $a$, а Валера — в точке B с координатой $b$. Судя по схеме, точка B находится дальше от начала луча, чем точка A, поэтому координата $b$ больше координаты $a$ ($b > a$). Расстояние от начала луча до точки B ($b$) — это целое, которое состоит из двух частей: расстояния до точки A ($a$) и расстояния между A и B. Чтобы найти искомое расстояние, нужно из целого вычесть известную часть. Таким образом, выражение для нахождения расстояния между Андреем и Валерой выглядит так: $b - a$.

Ответ: $b - a$

б)

На каком расстоянии от начала луча находится точка A(a)?
Точка A(a) находится на расстоянии a единиц от начала луча.

Ответ: $a$ ед.

На каком расстоянии от начала луча находится точка B(b)?
Точка B(b) находится на расстоянии b единиц от начала луча.

Ответ: $b$ ед.

Что неизвестно: целое или часть?
Неизвестна часть. Расстояние от начала луча до точки B ($b$) можно рассматривать как «целое». Оно состоит из двух «частей»: расстояния до точки A ($a$) и расстояния между точками A и B. Нам нужно найти расстояние между A и B, то есть неизвестную часть.

Ответ: часть.

Каким действием это надо найти? Составь выражение:
Чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть. Это действие — вычитание. Выражение для нахождения расстояния: $b - a$.

Ответ: Вычитанием. Выражение: $b - a$.

3 Отметь точки на координатном луче и вычисли расстояние между ними:

a) C(35), D(91)

CD =

б) $M(\frac{3}{4})$, $N(3 \frac{1}{4})$

MN =

а) C(35), D(91)

Сначала определим цену одного деления на координатном луче. Расстояние между большими отметками (например, 0 и 21) равно 21. Это расстояние разделено на 3 маленьких отрезка. Значит, длина одного маленького отрезка составляет $21 \div 3 = 7$.
Чтобы отметить точку C(35), нужно отсчитать от начала координат 5 таких отрезков, так как $35 = 5 \times 7$. Точка C будет находиться на 2 деления правее отметки 21.
Чтобы отметить точку D(91), нужно отсчитать от начала координат 13 таких отрезков, так как $91 = 13 \times 7$. Точка D будет находиться на 1 деление правее отметки 84.
Для вычисления расстояния между точками C и D нужно из большей координаты вычесть меньшую.
$CD = 91 - 35 = 56$.
Ответ: 56.

б) M($\frac{3}{4}$), N($3\frac{1}{4}$)

Определим цену одного деления на этом координатном луче. Расстояние между большими отметками (например, 0 и 1) равно 1. Это расстояние разделено на 4 маленьких отрезка. Значит, длина одного маленького отрезка составляет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$.
Точка M с координатой $\frac{3}{4}$ будет находиться на третьем делении от 0.
Точка N с координатой $3\frac{1}{4}$ будет находиться на первом делении после отметки 3.
Чтобы вычислить расстояние между точками M и N, нужно из большей координаты вычесть меньшую.
$MN = 3\frac{1}{4} - \frac{3}{4}$.
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \times 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.
Теперь выполним вычитание: $MN = \frac{13}{4} - \frac{3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

4* Продолжи ряд на три дроби: $ \frac{3}{4}, \frac{4}{12}, \frac{5}{20}, \frac{6}{30}, \frac{7}{42}, \underline{\hspace{2cm}} $

Для того чтобы продолжить ряд дробей, необходимо определить закономерность, по которой он построен. Проанализируем последовательности числителей и знаменателей по отдельности.

Анализ последовательности числителей

Числители дробей образуют ряд: 3, 4, 5, 6, 7, ...
Это простая арифметическая прогрессия, где каждый следующий член увеличивается на 1. Следовательно, следующие три числителя будут: $7+1=8$, $8+1=9$ и $9+1=10$.

Анализ последовательности знаменателей

Знаменатели дробей образуют ряд: 4, 12, 20, 30, 42, ...
Давайте найдем связь между числителем ($a$) и знаменателем ($b$) для каждой дроби в ряду.

• Для дроби $\frac{4}{12}$: числитель $a=4$, знаменатель $b=12$. Заметим, что $12 = 4 \times 3$. Это можно записать как $b = a \times (a-1)$.
• Для дроби $\frac{5}{20}$: числитель $a=5$, знаменатель $b=20$. Заметим, что $20 = 5 \times 4$. Это также соответствует формуле $b = a \times (a-1)$.
• Для дроби $\frac{6}{30}$: числитель $a=6$, знаменатель $b=30$. Заметим, что $30 = 6 \times 5$. Это также соответствует формуле $b = a \times (a-1)$.
• Для дроби $\frac{7}{42}$: числитель $a=7$, знаменатель $b=42$. Заметим, что $42 = 7 \times 6$. Это также соответствует формуле $b = a \times (a-1)$.

Таким образом, мы обнаружили закономерность: начиная со второй дроби, знаменатель равен произведению числителя этой дроби на число, которое на единицу меньше этого числителя.
(Стоит отметить, что для первой дроби $\frac{3}{4}$ это правило не выполняется: $3 \times (3-1) = 6 \neq 4$. Вероятно, в условии задачи для первого члена допущена опечатка. Для продолжения ряда будем использовать четко прослеживаемую закономерность).

Нахождение следующих трех дробей

Используя установленные закономерности, найдем следующие три члена ряда.

1. Шестой член ряда:
Следующий числитель: $a=8$.
Соответствующий знаменатель по формуле $b = a \times (a-1)$: $b = 8 \times (8-1) = 8 \times 7 = 56$.
Получаем дробь: $\frac{8}{56}$.

2. Седьмой член ряда:
Следующий числитель: $a=9$.
Соответствующий знаменатель: $b = 9 \times (9-1) = 9 \times 8 = 72$.
Получаем дробь: $\frac{9}{72}$.

3. Восьмой член ряда:
Следующий числитель: $a=10$.
Соответствующий знаменатель: $b = 10 \times (10-1) = 10 \times 9 = 90$.
Получаем дробь: $\frac{10}{90}$.

Ответ: Следующие три дроби в ряду: $\frac{8}{56}, \frac{9}{72}, \frac{10}{90}$.

1. a) Построй отрезок $AB$ по координатам его концов:

$A (1; 5), B (7; 1)$

b) Отметь точку $M$ – середину отрезка $AB$. Определи координаты точки $M$.

$M (\_;\_)$

2. Два лыжника бегут навстречу друг другу. Скорость первого лыжника равна 200 м/мин, а скорость второго лыжника составляет 90 % скорости первого. Сейчас расстояние между ними равно 1 км 900 м. Через сколько времени оно сократится до 1 км 140 м?

3*. В большом ящике лежат 3 ящика поменьше, а в каждом из этих меньших ящиков лежит ещё по 3 ящика. Сколько всего ящиков?

1. а) Чтобы построить отрезок AB на координатной плоскости, нужно отметить две точки по их координатам и соединить их прямой линией. Координаты точки A (1; 5) означают, что нужно отложить 1 единицу по горизонтальной оси X и 5 единиц по вертикальной оси Y. Координаты точки B (7; 1) означают, что нужно отложить 7 единиц по оси X и 1 единицу по оси Y. Соединив эти две точки, получим отрезок AB.

1. б) Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, вычисляются как среднее арифметическое координат его концов A($x_A$; $y_A$) и B($x_B$; $y_B$).
Формула для нахождения координат середины отрезка:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставим значения координат точек A(1; 5) и B(7; 1):
$x_M = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_M = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Координаты точки M (4; 3).
Ответ: M(4; 3).

2. Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов.
1. Найдём скорость второго лыжника. Она составляет 90% от скорости первого.
$v_2 = 200 \times \frac{90}{100} = 200 \times 0.9 = 180$ м/мин.
2. Поскольку лыжники бегут навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдём скорость сближения.
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 200 + 180 = 380$ м/мин.
3. Вычислим, на какое расстояние должно сократиться расстояние между ними. Для этого переведём начальное и конечное расстояния в метры и найдём их разность.
Начальное расстояние: $1$ км $900$ м $= 1900$ м.
Конечное расстояние: $1$ км $140$ м $= 1140$ м.
Расстояние, которое должны преодолеть лыжники вместе: $1900 - 1140 = 760$ м.
4. Теперь найдём время, разделив расстояние на скорость сближения.
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{760 \text{ м}}{380 \text{ м/мин}} = 2$ мин.
Ответ: через 2 минуты.

3*. Чтобы посчитать общее количество ящиков, нужно сложить количество ящиков на каждом уровне.
1. Есть 1 большой ящик.
2. Внутри него находятся 3 ящика поменьше.
3. В каждом из этих 3 ящиков лежит ещё по 3 ящика. Общее число самых маленьких ящиков: $3 \times 3 = 9$.
4. Сложим все ящики вместе: 1 большой + 3 средних + 9 маленьких.
$1 + 3 + 9 = 13$ ящиков.
Ответ: всего 13 ящиков.

2 1. a) Построй отрезок CD по координатам его концов:

$C(1; 5)$, $D(7; 1)$

б) Отметь точку N - середину отрезка CD.

Определи координаты точки N.

$N(\_; \_)$

2. Два вертолёта летят навстречу друг другу. Скорость первого вертолёта равна 300 км/ч, а скорость второго вертолёта составляет 70% скорости первого. Сейчас расстояние между ними равно 2550 км. Через сколько времени оно сократится до 1020 км?

1. а) Для того чтобы построить отрезок CD, необходимо на координатной плоскости отметить точку C с координатами (1; 5) и точку D с координатами (7; 1). После этого следует соединить эти две точки прямой линией.

б) Координаты точки N, которая является серединой отрезка CD, находятся по формуле для координат середины отрезка. Для точек с координатами $C(x_C; y_C)$ и $D(x_D; y_D)$ координаты середины $N(x_N; y_N)$ вычисляются так:

$x_N = \frac{x_C + x_D}{2}$

$y_N = \frac{y_C + y_D}{2}$

Подставим в формулы координаты точек $C(1; 5)$ и $D(7; 1)$:

$x_N = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_N = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, точка N имеет координаты (4; 3).

Ответ: N(4; 3).

2. Решение задачи по шагам:

1. Вычислим скорость второго вертолёта, которая составляет 70% от скорости первого (300 км/ч):

$v_2 = 300 \cdot \frac{70}{100} = 300 \cdot 0.7 = 210$ км/ч.

2. Так как вертолёты летят навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сближения} = 300 + 210 = 510$ км/ч.

3. Найдём расстояние, которое вертолёты должны пролететь вместе, чтобы расстояние между ними сократилось с 2550 км до 1020 км:

$S = 2550 - 1020 = 1530$ км.

4. Определим время, необходимое для этого, разделив расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{1530}{510} = 3$ часа.

Ответ: через 3 часа.