Страница 80, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

2 Закрась указанные части фигур:

$ \frac{3}{9} $

$ \frac{2}{5} $

$ 4\% $

$ \frac{1}{6} $

$ \frac{5}{17} $

$\frac{3}{9}$
Квадрат разделен на 9 равных частей. Чтобы закрасить $\frac{3}{9}$ фигуры, необходимо закрасить 3 части из 9. Знаменатель дроби (9) показывает общее количество равных частей, на которые разделена фигура, а числитель (3) — сколько таких частей нужно взять (закрасить). Дробь $\frac{3}{9}$ можно сократить до $\frac{1}{3}$, что означает, что нужно закрасить треть всей фигуры.
Ответ: необходимо закрасить 3 из 9 маленьких квадратов.

$\frac{5}{17}$
Прямоугольник разделен на 17 равных частей. Дробь $\frac{5}{17}$ указывает, что из 17 равных частей фигуры нужно закрасить 5. Здесь 17 — это общее количество частей, а 5 — количество частей, которые следует закрасить.
Ответ: необходимо закрасить 5 из 17 маленьких прямоугольников.

$\frac{2}{5}$
Круг разделен на 5 равных секторов. Чтобы закрасить $\frac{2}{5}$ фигуры, нужно закрасить 2 из этих 5 секторов. Знаменатель (5) — это общее количество секторов, а числитель (2) — количество секторов для закрашивания.
Ответ: необходимо закрасить 2 из 5 секторов круга.

$\frac{1}{6}$
Шестиугольник разделен на 6 равных треугольников. Дробь $\frac{1}{6}$ показывает, что нужно закрасить 1 из 6 равных частей фигуры. Таким образом, мы закрашиваем один любой треугольник из шести.
Ответ: необходимо закрасить 1 из 6 треугольников.

4%
Большой квадрат разделен на 100 маленьких квадратов ($10 \times 10 = 100$). Процент — это сотая часть числа. Следовательно, 4% — это 4 части из 100. Это можно представить в виде дроби $\frac{4}{100}$. Значит, чтобы закрасить 4% фигуры, нужно закрасить 4 из 100 маленьких квадратов.
Ответ: необходимо закрасить 4 из 100 маленьких квадратов.

3 Прочитай дроби. Назови их числители и знаменатели и объясни, что они обозначают: $\frac{2}{9}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{11}{24}$, $\frac{9}{542}$, $\frac{37}{9000}$.

$\frac{2}{9}$

Эта дробь читается как «две девятых».
Её числитель (число над чертой) равен 2.
Её знаменатель (число под чертой) равен 9.
Дробь обозначает, что нечто целое разделили на 9 равных частей (на это указывает знаменатель) и взяли 2 такие части (на это указывает числитель).
Ответ: Числитель — 2, знаменатель — 9. Дробь обозначает, что из 9 равных частей целого взяли 2 части.

$\frac{4}{5}$

Эта дробь читается как «четыре пятых».
Её числитель равен 4.
Её знаменатель равен 5.
Дробь обозначает, что целое разделили на 5 равных частей и взяли 4 такие части.
Ответ: Числитель — 4, знаменатель — 5. Дробь обозначает, что из 5 равных частей целого взяли 4 части.

$\frac{7}{10}$

Эта дробь читается как «семь десятых».
Её числитель равен 7.
Её знаменатель равен 10.
Дробь обозначает, что целое разделили на 10 равных частей и взяли 7 таких частей.
Ответ: Числитель — 7, знаменатель — 10. Дробь обозначает, что из 10 равных частей целого взяли 7 частей.

$\frac{11}{24}$

Эта дробь читается как «одиннадцать двадцать четвёртых».
Её числитель равен 11.
Её знаменатель равен 24.
Дробь обозначает, что целое разделили на 24 равные части и взяли 11 таких частей.
Ответ: Числитель — 11, знаменатель — 24. Дробь обозначает, что из 24 равных частей целого взяли 11 частей.

$\frac{9}{542}$

Эта дробь читается как «девять пятьсот сорок вторых».
Её числитель равен 9.
Её знаменатель равен 542.
Дробь обозначает, что целое разделили на 542 равные части и взяли 9 таких частей.
Ответ: Числитель — 9, знаменатель — 542. Дробь обозначает, что из 542 равных частей целого взяли 9 частей.

$\frac{37}{9000}$

Эта дробь читается как «тридцать семь девятитысячных».
Её числитель равен 37.
Её знаменатель равен 9000.
Дробь обозначает, что целое разделили на 9000 равных частей и взяли 37 таких частей.
Ответ: Числитель — 37, знаменатель — 9000. Дробь обозначает, что из 9000 равных частей целого взяли 37 частей.

4 Прочитай дроби, выражающие части величин, и запиши их с помощью знака %.

$ \frac{2}{100} $ $ \frac{6}{100} $ $ \frac{25}{100} $ $ \frac{41}{100} $ $ \frac{78}{100} $ $ \frac{95}{100} $

Процент (от лат. per centum — «на сотню») — это одна сотая часть любой величины. Для обозначения процентов используется знак %. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь со знаменателем 100 в проценты, достаточно взять числитель этой дроби и добавить к нему знак %.

Общее правило можно записать в виде формулы: $\frac{x}{100} = x\%$.

Применим это правило к каждой из данных дробей.

$\frac{2}{100}$

Дробь $\frac{2}{100}$ означает две сотые. Согласно определению процента, это равно 2%.

$\frac{2}{100} = 2\%$

Ответ: 2%

$\frac{6}{100}$

Дробь $\frac{6}{100}$ означает шесть сотых. Это равно 6%.

$\frac{6}{100} = 6\%$

Ответ: 6%

$\frac{25}{100}$

Дробь $\frac{25}{100}$ означает двадцать пять сотых. Это равно 25%.

$\frac{25}{100} = 25\%$

Ответ: 25%

$\frac{41}{100}$

Дробь $\frac{41}{100}$ означает сорок одну сотую. Это равно 41%.

$\frac{41}{100} = 41\%$

Ответ: 41%

$\frac{78}{100}$

Дробь $\frac{78}{100}$ означает семьдесят восемь сотых. Это равно 78%.

$\frac{78}{100} = 78\%$

Ответ: 78%

$\frac{95}{100}$

Дробь $\frac{95}{100}$ означает девяносто пять сотых. Это равно 95%.

$\frac{95}{100} = 95\%$

Ответ: 95%

5 Запиши проценты от величин в виде дробей со знаменателем 100. Прочитай дроби и объясни их смысл.

15% = $\frac{15}{100}$

43% = $\frac{43}{100}$

8% = $\frac{8}{100}$

56% = $\frac{56}{100}$

72% = $\frac{72}{100}$

99% = $\frac{99}{100}$

Процент — это одна сотая часть величины. Чтобы записать проценты в виде дроби со знаменателем 100, нужно убрать знак процента (%) и записать число процентов в числитель дроби, а в знаменатель поставить 100.

15 %
Записываем в виде дроби: $15\% = \frac{15}{100}$.
Эта дробь читается как "пятнадцать сотых".
Смысл этой дроби в том, что некоторую величину разделили на 100 равных частей и взяли 15 таких частей.
Ответ: $\frac{15}{100}$

43 %
Записываем в виде дроби: $43\% = \frac{43}{100}$.
Эта дробь читается как "сорок три сотых".
Смысл этой дроби в том, что некоторую величину разделили на 100 равных частей и взяли 43 такие части.
Ответ: $\frac{43}{100}$

8 %
Записываем в виде дроби: $8\% = \frac{8}{100}$.
Эта дробь читается как "восемь сотых".
Смысл этой дроби в том, что некоторую величину разделили на 100 равных частей и взяли 8 таких частей.
Ответ: $\frac{8}{100}$

56 %
Записываем в виде дроби: $56\% = \frac{56}{100}$.
Эта дробь читается как "пятьдесят шесть сотых".
Смысл этой дроби в том, что некоторую величину разделили на 100 равных частей и взяли 56 таких частей.
Ответ: $\frac{56}{100}$

72 %
Записываем в виде дроби: $72\% = \frac{72}{100}$.
Эта дробь читается как "семьдесят две сотых".
Смысл этой дроби в том, что некоторую величину разделили на 100 равных частей и взяли 72 такие части.
Ответ: $\frac{72}{100}$

99 %
Записываем в виде дроби: $99\% = \frac{99}{100}$.
Эта дробь читается как "девяносто девять сотых".
Смысл этой дроби в том, что некоторую величину разделили на 100 равных частей и взяли 99 таких частей.
Ответ: $\frac{99}{100}$

6 Запиши с помощью цифр дроби:

а) три восьмых; $ \frac{3}{8} $

б) пять одиннадцатых; $ \frac{5}{11} $

в) тринадцать сорок восьмых; $ \frac{13}{48} $

г) двадцать девять сотых. $ \frac{29}{100} $ Как иначе можно записать последнюю дробь с помощью знака % ?

а) Дробь "три восьмых" означает, что мы берем 3 части из 8 равных частей целого. Число 3 является числителем (то, что над чертой), а число 8 — знаменателем (то, что под чертой).
Запись в виде дроби: $ \frac{3}{8} $.
Ответ: $ \frac{3}{8} $.

б) Дробь "пять одиннадцатых" означает, что мы берем 5 частей из 11 равных частей. Число 5 — это числитель, а 11 — знаменатель.
Запись в виде дроби: $ \frac{5}{11} $.
Ответ: $ \frac{5}{11} $.

в) Дробь "тринадцать сорок восьмых" означает, что мы берем 13 частей из 48 равных частей. Число 13 — это числитель, а 48 — знаменатель.
Запись в виде дроби: $ \frac{13}{48} $.
Ответ: $ \frac{13}{48} $.

г) Дробь "двадцать девять сотых" означает, что мы берем 29 частей из 100 равных частей. Число 29 — это числитель, а 100 — знаменатель.
Запись в виде дроби: $ \frac{29}{100} $.
Чтобы записать эту дробь с помощью знака процента (%), нужно вспомнить, что процент — это сотая часть числа. Таким образом, любая дробь со знаменателем 100 легко переводится в проценты: числитель дроби становится числом процентов.
$ \frac{29}{100} = 29\% $.
Ответ: $ \frac{29}{100} $, что можно записать как $29\%$.

7 Целое разделено на 100 равных частей. Как называются 5, 17, 36, 40, 54, 89 таких частей? Запиши их с помощью дробей и с помощью знака %.

Одна сотая часть целого называется процентом. Таким образом, если целое разделено на 100 равных частей, то 1 такая часть — это 1 процент (1%). Соответственно, N таких частей называются N процентами (N%).

Чтобы записать N частей из 100 в виде обыкновенной дроби, нужно число N записать в числитель, а число 100 — в знаменатель. Для записи с помощью знака процента к числу N справа дописывают знак %.

5 частей из 100 называются пятью процентами. Запись в виде дроби — это $ \frac{5}{100} $. Запись с помощью знака процента — это 5%.

Ответ: пять процентов; $ \frac{5}{100} $; 5%.

17 частей из 100 называются семнадцатью процентами. Запись в виде дроби — это $ \frac{17}{100} $. Запись с помощью знака процента — это 17%.

Ответ: семнадцать процентов; $ \frac{17}{100} $; 17%.

36 частей из 100 называются тридцатью шестью процентами. Запись в виде дроби — это $ \frac{36}{100} $. Запись с помощью знака процента — это 36%.

Ответ: тридцать шесть процентов; $ \frac{36}{100} $; 36%.

40 частей из 100 называются сорока процентами. Запись в виде дроби — это $ \frac{40}{100} $. Запись с помощью знака процента — это 40%.

Ответ: сорок процентов; $ \frac{40}{100} $; 40%.

54 части из 100 называются пятьюдесятью четырьмя процентами. Запись в виде дроби — это $ \frac{54}{100} $. Запись с помощью знака процента — это 54%.

Ответ: пятьдесят четыре процента; $ \frac{54}{100} $; 54%.

89 частей из 100 называются восемьюдесятью девятью процентами. Запись в виде дроби — это $ \frac{89}{100} $. Запись с помощью знака процента — это 89%.

Ответ: восемьдесят девять процентов; $ \frac{89}{100} $; 89%.

8 Заполни таблицу:

$\frac{28}{11}$ $\frac{31}{7}$ $\frac{23}{4}$ $\frac{77}{12}$ $\frac{257}{12}$

$3\frac{1}{9}$ $2\frac{5}{11}$ $3\frac{17}{18}$ $4\frac{6}{29}$ $7\frac{8}{15}$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо преобразовать неправильные дроби в смешанные числа и наоборот.

Для первого столбца (число $\frac{28}{11}$)

Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{28}{11}$ в смешанное число, нужно разделить числитель (28) на знаменатель (11) с остатком.
$28 \div 11 = 2$ и остаток $6$.
Неполное частное (2) становится целой частью, остаток (6) – числителем дробной части, а знаменатель (11) остается прежним.
Таким образом, $\frac{28}{11} = 2\frac{6}{11}$.
Ответ: $2\frac{6}{11}$.

Для второго столбца (число $\frac{31}{7}$)

Разделим числитель (31) на знаменатель (7) с остатком.
$31 \div 7 = 4$ и остаток $3$.
Целая часть – 4, числитель дробной части – 3, знаменатель – 7.
Таким образом, $\frac{31}{7} = 4\frac{3}{7}$.
Ответ: $4\frac{3}{7}$.

Для третьего столбца (число $3\frac{1}{9}$)

Чтобы преобразовать смешанное число $3\frac{1}{9}$ в неправильную дробь, нужно целую часть (3) умножить на знаменатель (9) и к результату прибавить числитель (1). Полученное число будет новым числителем, а знаменатель останется прежним.
Новый числитель: $3 \times 9 + 1 = 27 + 1 = 28$.
Знаменатель остается 9.
Таким образом, $3\frac{1}{9} = \frac{28}{9}$.
Ответ: $\frac{28}{9}$.

Для четвертого столбца (число $2\frac{5}{11}$)

Преобразуем смешанное число $2\frac{5}{11}$ в неправильную дробь.
Новый числитель: $2 \times 11 + 5 = 22 + 5 = 27$.
Знаменатель остается 11.
Таким образом, $2\frac{5}{11} = \frac{27}{11}$.
Ответ: $\frac{27}{11}$.

Для пятого столбца (число $\frac{23}{4}$)

Преобразуем неправильную дробь $\frac{23}{4}$ в смешанное число.
$23 \div 4 = 5$ и остаток $3$.
Таким образом, $\frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}$.
Ответ: $5\frac{3}{4}$.

Для шестого столбца (число $3\frac{17}{18}$)

Преобразуем смешанное число $3\frac{17}{18}$ в неправильную дробь.
Новый числитель: $3 \times 18 + 17 = 54 + 17 = 71$.
Знаменатель остается 18.
Таким образом, $3\frac{17}{18} = \frac{71}{18}$.
Ответ: $\frac{71}{18}$.

Для седьмого столбца (число $\frac{77}{12}$)

Преобразуем неправильную дробь $\frac{77}{12}$ в смешанное число.
$77 \div 12 = 6$ и остаток $5$.
Таким образом, $\frac{77}{12} = 6\frac{5}{12}$.
Ответ: $6\frac{5}{12}$.

Для восьмого столбца (число $4\frac{6}{29}$)

Преобразуем смешанное число $4\frac{6}{29}$ в неправильную дробь.
Новый числитель: $4 \times 29 + 6 = 116 + 6 = 122$.
Знаменатель остается 29.
Таким образом, $4\frac{6}{29} = \frac{122}{29}$.
Ответ: $\frac{122}{29}$.

Для девятого столбца (число $\frac{257}{12}$)

Преобразуем неправильную дробь $\frac{257}{12}$ в смешанное число.
$257 \div 12 = 21$ и остаток $5$.
Таким образом, $\frac{257}{12} = 21\frac{5}{12}$.
Ответ: $21\frac{5}{12}$.

Для десятого столбца (число $7\frac{8}{15}$)

Преобразуем смешанное число $7\frac{8}{15}$ в неправильную дробь.
Новый числитель: $7 \times 15 + 8 = 105 + 8 = 113$.
Знаменатель остается 15.
Таким образом, $7\frac{8}{15} = \frac{113}{15}$.
Ответ: $\frac{113}{15}$.

Итоговая заполненная таблица:

9. Составь и реши уравнения:

а) Вася задумал число, вычел его из 36, разность умножил на 6 и получил 144. Какое число задумал Вася?

б) Костя разделил 920 на задуманное число, к частному прибавил 18 и получил 41. Какое число задумал Костя?

а)

Пусть $x$ — это число, которое задумал Вася. Согласно условию задачи, сначала Вася вычел это число из 36, что можно записать как $(36 - x)$. Затем он умножил полученную разность на 6, то есть $(36 - x) \cdot 6$. В результате получилось 144. Составим и решим уравнение:

$(36 - x) \cdot 6 = 144$

Чтобы найти неизвестный множитель $(36 - x)$, нужно произведение (144) разделить на известный множитель (6):

$36 - x = 144 : 6$

$36 - x = 24$

Теперь, чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого (36) вычесть разность (24):

$x = 36 - 24$

$x = 12$

Проверим: $(36 - 12) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$. Решение верное.

Ответ: Вася задумал число 12.

б)

Пусть $y$ — это число, которое задумал Костя. По условию, Костя разделил 920 на это число, что записывается как $920 : y$. К полученному частному он прибавил 18, то есть $(920 : y) + 18$. В результате получилось 41. Составим и решим уравнение:

$(920 : y) + 18 = 41$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $(920 : y)$, нужно из суммы (41) вычесть известное слагаемое (18):

$920 : y = 41 - 18$

$920 : y = 23$

Теперь, чтобы найти неизвестный делитель $y$, нужно делимое (920) разделить на частное (23):

$y = 920 : 23$

$y = 40$

Проверим: $(920 : 40) + 18 = 23 + 18 = 41$. Решение верное.

Ответ: Костя задумал число 40.

Придумай свою задачу про «задуманное число», которая решается с помощью уравнения.

Задача

Я задумал число. Если это число умножить на 3, из полученного произведения вычесть 7, а затем результат разделить на 2, то получится 11. Какое число я задумал?

Решение

1. Обозначим задуманное число переменной $x$.

2. Составим уравнение, последовательно выполняя действия, описанные в условии задачи:

• Умножим задуманное число на 3: $3 \cdot x$

• Из полученного произведения вычтем 7: $3x - 7$

• Результат разделим на 2: $\frac{3x - 7}{2}$

• Согласно условию, итоговый результат равен 11.

Таким образом, получаем уравнение:

$\frac{3x - 7}{2} = 11$

3. Теперь решим полученное уравнение:

Сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$( \frac{3x - 7}{2} ) \cdot 2 = 11 \cdot 2$

$3x - 7 = 22$

Теперь перенесем -7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 22 + 7$

$3x = 29$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{29}{3}$

$x = 9\frac{2}{3}$

4. Проверим решение. Подставим найденное значение $x = \frac{29}{3}$ в левую часть исходного уравнения:

$\frac{3 \cdot \frac{29}{3} - 7}{2} = \frac{29 - 7}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Результат (11) совпадает с тем, что дано в условии задачи. Значит, уравнение решено верно.

Ответ: задуманное число равно $9\frac{2}{3}$.

11 Выполни действия:

$4 \text{ м}^2 9 \text{ см}^2 + 96 \text{ см}^2;$ $3 \text{ т } 8 \text{ ц} : 5;$ $7 \text{ мин } 3 \text{ с} - 5 \text{ мин } 18 \text{ с};$

$5 \text{ м } 6 \text{ см} - 4 \text{ дм } 8 \text{ см};$ $9 \text{ кг } 75 \text{ г} \cdot 320;$ $2 \text{ ч } 40 \text{ мин} : 8.$

4 м² 9 см² + 96 см²

Для решения этого примера сначала сложим величины в одинаковых единицах измерения, то есть квадратные сантиметры:

$9 \text{ см²} + 96 \text{ см²} = 105 \text{ см²}$

Теперь добавим полученный результат к квадратным метрам:

$4 \text{ м²} + 105 \text{ см²} = 4 \text{ м²} 105 \text{ см²}$

Зная, что $1 \text{ дм²} = 100 \text{ см²}$, можно также представить ответ в виде $4 \text{ м²} 1 \text{ дм²} 5 \text{ см²}$.

Ответ: $4 \text{ м²} 105 \text{ см²}$.

3 т 8 ц : 5

Чтобы выполнить деление, сначала переведем все в одну, наименьшую единицу измерения – центнеры (ц). Мы знаем, что $1 \text{ тонна (т)} = 10 \text{ центнеров (ц)}$.

$3 \text{ т} 8 \text{ ц} = 3 \times 10 \text{ ц} + 8 \text{ ц} = 30 \text{ ц} + 8 \text{ ц} = 38 \text{ ц}$.

Теперь разделим полученное значение на 5:

$38 \text{ ц} : 5 = 7 \text{ ц}$ и $3 \text{ ц}$ в остатке.

Переведем остаток в килограммы (кг). Мы знаем, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.

$3 \text{ ц} = 300 \text{ кг}$.

Теперь разделим килограммы на 5:

$300 \text{ кг} : 5 = 60 \text{ кг}$.

Таким образом, итоговый результат составляет 7 центнеров и 60 килограммов.

Ответ: $7 \text{ ц} 60 \text{ кг}$.

7 мин 3 с – 5 мин 18 с

Чтобы вычесть, нам нужно, чтобы количество секунд в уменьшаемом было не меньше, чем в вычитаемом. Так как $3 \text{ с} < 18 \text{ с}$, мы "займем" 1 минуту у 7 минут и переведем ее в секунды. В 1 минуте 60 секунд.

$7 \text{ мин} 3 \text{ с} = 6 \text{ мин} + (60 \text{ с} + 3 \text{ с}) = 6 \text{ мин} 63 \text{ с}$.

Теперь выполним вычитание:

$(6 \text{ мин} 63 \text{ с}) - (5 \text{ мин} 18 \text{ с}) = (6 - 5) \text{ мин} + (63 - 18) \text{ с} = 1 \text{ мин} 45 \text{ с}$.

Ответ: $1 \text{ мин} 45 \text{ с}$.

5 м 6 см – 4 дм 8 см

Для удобства вычислений переведем все величины в наименьшую единицу измерения – сантиметры (см). Используем соотношения: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

$5 \text{ м} 6 \text{ см} = 5 \times 100 \text{ см} + 6 \text{ см} = 506 \text{ см}$.

$4 \text{ дм} 8 \text{ см} = 4 \times 10 \text{ см} + 8 \text{ см} = 48 \text{ см}$.

Выполним вычитание:

$506 \text{ см} - 48 \text{ см} = 458 \text{ см}$.

Теперь переведем результат обратно в метры, дециметры и сантиметры:

$458 \text{ см} = 400 \text{ см} + 50 \text{ см} + 8 \text{ см} = 4 \text{ м} 5 \text{ дм} 8 \text{ см}$.

Ответ: $4 \text{ м} 5 \text{ дм} 8 \text{ см}$.

9 кг 75 г · 320

Для выполнения умножения переведем исходную массу в наименьшую единицу измерения – граммы (г). В 1 килограмме 1000 граммов.

$9 \text{ кг} 75 \text{ г} = 9 \times 1000 \text{ г} + 75 \text{ г} = 9075 \text{ г}$.

Теперь умножим это значение на 320:

$9075 \times 320 = 2904000 \text{ г}$.

Переведем результат в более крупные единицы. Сначала в килограммы:

$2904000 \text{ г} : 1000 = 2904 \text{ кг}$.

Затем представим килограммы в тоннах и центнерах ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}, 1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$):

$2904 \text{ кг} = 2000 \text{ кг} + 904 \text{ кг} = 2 \text{ т} 904 \text{ кг}$.

$904 \text{ кг} = 900 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 9 \text{ ц} 4 \text{ кг}$.

Итоговый результат: $2 \text{ т} 9 \text{ ц} 4 \text{ кг}$.

Ответ: $2 \text{ т} 9 \text{ ц} 4 \text{ кг}$.

2 ч 40 мин : 8

Чтобы выполнить деление, переведем время в наименьшую единицу измерения – минуты (мин). В 1 часе 60 минут.

$2 \text{ ч} 40 \text{ мин} = 2 \times 60 \text{ мин} + 40 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 40 \text{ мин} = 160 \text{ мин}$.

Теперь разделим полученное значение на 8:

$160 \text{ мин} : 8 = 20 \text{ мин}$.

Ответ: $20 \text{ мин}$.

12 Проверь истинность высказывания:

a) $25 \cdot 706 + 6300 / 18 - 17194 > 70122 / (1000 - 913);$

б) $(522432 / 576 \cdot 32 + 176 \cdot 176) \cdot 400 < 5080 \cdot 8025.$

а) $25 \cdot 706 + 6300 : 18 - 17194 > 70122 : (1000 - 913)$

Для проверки истинности высказывания необходимо вычислить значения левой и правой частей неравенства, соблюдая порядок выполнения арифметических действий.

Вычислим значение левой части:

1) Первым действием выполним умножение: $25 \cdot 706 = 17650$.

2) Вторым действием выполним деление: $6300 : 18 = 350$.

3) Третьим действием выполним сложение: $17650 + 350 = 18000$.

4) Четвертым действием выполним вычитание: $18000 - 17194 = 806$.

Таким образом, значение левой части неравенства равно 806.

Теперь вычислим значение правой части:

1) Сначала выполним действие в скобках: $1000 - 913 = 87$.

2) Затем выполним деление: $70122 : 87 = 806$.

Таким образом, значение правой части неравенства равно 806.

Подставим полученные значения в исходное неравенство:

$806 > 806$.

Данное неравенство является неверным, так как число 806 равно самому себе, а не больше. Следовательно, исходное высказывание ложно.

Ответ: высказывание ложно.

б) $(522432 : 576 \cdot 32 + 176 \cdot 176) \cdot 400 < 5080 \cdot 8025$

Для проверки истинности высказывания вычислим значения левой и правой частей неравенства.

Вычислим значение левой части, начиная с действий в скобках:

1) Выполним деление: $522432 : 576 = 907$.

2) Результат деления умножим на 32: $907 \cdot 32 = 29024$.

3) Выполним второе умножение в скобках: $176 \cdot 176 = 30976$.

4) Сложим результаты, полученные в скобках: $29024 + 30976 = 60000$.

5) Теперь умножим результат из скобок на 400: $60000 \cdot 400 = 24000000$.

Значение левой части неравенства равно 24 000 000.

Теперь вычислим значение правой части:

1) Выполним умножение: $5080 \cdot 8025 = 40767000$.

Значение правой части неравенства равно 40 767 000.

Подставим полученные значения в исходное неравенство:

$24000000 < 40767000$.

Данное неравенство является верным, так как 24 000 000 действительно меньше, чем 40 767 000. Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: высказывание истинно.

13 Игра «Крестики-нолики».

Найди в таблице «выигрышную» строчку, столбец или диагональ (сумма чисел в них должна равняться числу, записанному около таблицы).

Target Sum: $6\frac{5}{9}$

$\frac{4}{9}$ $5\frac{3}{9}$ $4$

$4\frac{1}{9}$ $1\frac{4}{9}$ $1\frac{5}{9}$

$2\frac{4}{9}$ $\frac{2}{9}$ $3\frac{8}{9}$

Target Sum: $7\frac{3}{5}$

$4\frac{3}{5}$ $1\frac{3}{5}$ $2\frac{1}{5}$

$3\frac{1}{5}$ $3\frac{4}{5}$ $4$

$1\frac{3}{5}$ $4\frac{1}{5}$ $2\frac{2}{5}$

Target Sum: $8\frac{3}{8}$

$4\frac{1}{8}$ $1\frac{3}{8}$ $1\frac{5}{8}$

$\frac{7}{8}$ $2\frac{6}{8}$ $4\frac{2}{8}$

$2\frac{3}{8}$ $3\frac{7}{8}$ $2\frac{4}{8}$

Таблица с числом $6\frac{5}{9}$

Чтобы найти «выигрышную» комбинацию, нужно проверить суммы чисел в каждой строке, столбце и диагонали. Искомая сумма для первой таблицы — $6\frac{5}{9}$.

Проверим сумму чисел в третьей строке: $2\frac{4}{9}$, $\frac{2}{9}$ и $3\frac{8}{9}$.

Выполним сложение: $2\frac{4}{9} + \frac{2}{9} + 3\frac{8}{9} = (2+3) + (\frac{4}{9} + \frac{2}{9} + \frac{8}{9}) = 5 + \frac{14}{9} = 5 + 1\frac{5}{9} = 6\frac{5}{9}$.

Полученная сумма совпадает с числом, указанным над таблицей.

Ответ: выигрышная комбинация — третья строка.

Таблица с числом $7\frac{3}{5}$

Для второй таблицы искомая сумма чисел равна $7\frac{3}{5}$.

Проверим диагональ, идущую из правого верхнего угла в левый нижний. Она состоит из чисел $2\frac{1}{5}$, $3\frac{4}{5}$ и $1\frac{3}{5}$.

Выполним сложение: $2\frac{1}{5} + 3\frac{4}{5} + 1\frac{3}{5} = (2+3+1) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5} + \frac{3}{5}) = 6 + \frac{8}{5} = 6 + 1\frac{3}{5} = 7\frac{3}{5}$.

Полученная сумма совпадает с числом, указанным над таблицей.

Ответ: выигрышная комбинация — диагональ из правого верхнего угла в левый нижний.

Таблица с числом $8\frac{3}{8}$

Для третьей таблицы искомая сумма чисел равна $8\frac{3}{8}$.

Проверим третий столбец, состоящий из чисел $1\frac{5}{8}$, $4\frac{2}{8}$ и $2\frac{4}{8}$.

Выполним сложение: $1\frac{5}{8} + 4\frac{2}{8} + 2\frac{4}{8} = (1+4+2) + (\frac{5}{8} + \frac{2}{8} + \frac{4}{8}) = 7 + \frac{11}{8} = 7 + 1\frac{3}{8} = 8\frac{3}{8}$.

Полученная сумма совпадает с числом, указанным над таблицей.

Ответ: выигрышная комбинация — третий столбец.

5 Вычисли удобным способом:

а) $72 + 194 + 28 + 6 + 338 + 12;$

б) $495 + 293 + 105 + 200 + 507;$

в) $41 + 42 + \dots + 48 + 49 + 50;$

г) $4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9;$

д) $7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5;$

е) $4 \cdot 97 \cdot 25 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2.$

а) Чтобы вычислить сумму $72 + 194 + 28 + 6 + 338 + 12$ удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы были круглыми числами. Для этого посмотрим на последние цифры чисел.
Группируем $72$ и $28$ (так как $2 + 8 = 10$), $194$ и $6$ (так как $4 + 6 = 10$), а также $338$ и $12$ (так как $8 + 2 = 10$).
$72 + 194 + 28 + 6 + 338 + 12 = (72 + 28) + (194 + 6) + (338 + 12)$
Вычисляем суммы в скобках:
$72 + 28 = 100$
$194 + 6 = 200$
$338 + 12 = 350$
Теперь сложим полученные результаты:
$100 + 200 + 350 = 650$
Ответ: 650

б) Для вычисления суммы $495 + 293 + 105 + 200 + 507$ сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа.
Группируем $495$ и $105$ (так как последние цифры $5$ и $5$ в сумме дают $10$) и $293$ и $507$ (так как последние цифры $3$ и $7$ в сумме дают $10$). Число $200$ уже является круглым.
$495 + 293 + 105 + 200 + 507 = (495 + 105) + (293 + 507) + 200$
Вычисляем суммы в скобках:
$495 + 105 = 600$
$293 + 507 = 800$
Сложим полученные суммы и оставшееся число:
$600 + 800 + 200 = 1400 + 200 = 1600$
Ответ: 1600

в) Нужно найти сумму чисел от $41$ до $50$: $41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 + 50$.
Удобный способ — это попарное сложение чисел: первого с последним, второго с предпоследним и так далее. Всего в ряду $50 - 41 + 1 = 10$ чисел.
Составим пары:
$41 + 50 = 91$
$42 + 49 = 91$
$43 + 48 = 91$
$44 + 47 = 91$
$45 + 46 = 91$
Получилось $10 \div 2 = 5$ пар, сумма каждой из которых равна $91$.
Общая сумма равна произведению количества пар на сумму в каждой паре:
$5 \cdot 91 = 455$
Ответ: 455

г) В произведении $4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9$ воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Удобно сгруппировать множители так, чтобы получить круглое число.
Сгруппируем $2$ и $5$, так как их произведение равно $10$.
$4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9 = 4 \cdot (2 \cdot 5) \cdot 9 = 4 \cdot 10 \cdot 9$
Теперь перемножим оставшиеся числа:
$(4 \cdot 9) \cdot 10 = 36 \cdot 10 = 360$
Ответ: 360

д) В выражении $7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5$ сгруппируем пары множителей $2$ и $5$, так как $2 \cdot 5 = 10$.
В данном произведении есть три множителя $2$ и три множителя $5$. Мы можем составить три пары $(2 \cdot 5)$. Оставшиеся множители — $7$ и $3$.
$7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 3)$
Вычислим произведение:
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 21 = 1000 \cdot 21 = 21000$
Ответ: 21000

е) В произведении $4 \cdot 97 \cdot 25 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$ найдем множители, которые удобно перемножить между собой.
Сгруппируем $4$ и $25$, так как $4 \cdot 25 = 100$.
Также сгруппируем оставшиеся пары двоек и пятерок: $2 \cdot 5 = 10$. Таких пар две.
$4 \cdot 97 \cdot 25 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 = (4 \cdot 25) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 97$
Теперь выполним умножение:
$100 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 97 = 100 \cdot 100 \cdot 97 = 10000 \cdot 97 = 970000$
Ответ: 970000

6 a) На фабрике в первый день сшили 78 одинаковых плащей, а во второй — 82 таких же плаща. На все плащи ушло 640 м ткани. Сколько ткани идёт на один плащ?

б) В первый ларёк привезли 18 одинаковых ящиков с фруктами, а во второй — 24 таких же ящика. В первый ларёк привезено на 72 кг фруктов меньше, чем во второй. Сколько фруктов привезли во второй ларёк?

а)

1. Чтобы узнать, сколько ткани уходит на один плащ, сначала нужно найти общее количество плащей, сшитых за два дня. Для этого сложим количество плащей за первый и второй день:
$78 + 82 = 160$ (плащей) — всего сшили за два дня.

2. Теперь разделим общее количество ткани на общее количество сшитых плащей, чтобы найти расход ткани на один плащ:
$640 \text{ м} \div 160 \text{ плащей} = 4$ (м) — ткани уходит на один плащ.

Ответ: 4 м.

б)

1. Сначала найдем, на сколько ящиков больше привезли во второй ларёк, чем в первый:
$24 - 18 = 6$ (ящиков) — разница в количестве.

2. По условию, эта разница в 6 ящиков составляет 72 кг фруктов. Теперь мы можем найти вес фруктов в одном ящике:
$72 \text{ кг} \div 6 \text{ ящиков} = 12$ (кг) — вес фруктов в одном ящике.

3. Зная вес одного ящика, найдем общую массу фруктов, привезённых во второй ларёк. Для этого умножим количество ящиков на вес одного ящика:
$24 \text{ ящика} \times 12 \text{ кг/ящик} = 288$ (кг) — фруктов привезли во второй ларёк.

Ответ: 288 кг.

7 Найди значение выражения:

$$(754 \cdot 7006 - 962524) : 540 - 3008 : 47 + (500 \cdot 3050 - 5087).$$

Для нахождения значения выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь – сложение и вычитание (также слева направо).

Выражение: $(754 \cdot 7006 - 962524) : 540 - 3008 : 47 + (500 \cdot 3050 - 5087)$.

Решим по действиям:

1. Выполним действия в первых скобках $(754 \cdot 7006 - 962524)$:

Сначала выполняем умножение:
$754 \cdot 7006 = 5282524$.

Затем выполняем вычитание:
$5282524 - 962524 = 4320000$.

2. Выполним действия во вторых скобках $(500 \cdot 3050 - 5087)$:

Сначала выполняем умножение:
$500 \cdot 3050 = 1525000$.

Затем выполняем вычитание:
$1525000 - 5087 = 1519913$.

3. Подставим результаты в исходное выражение:

После вычислений в скобках выражение принимает вид:
$4320000 : 540 - 3008 : 47 + 1519913$.

4. Теперь выполним деление слева направо:

Первое деление:
$4320000 : 540 = 8000$.

Второе деление:
$3008 : 47 = 64$.

5. Подставим результаты деления в выражение:

Выражение принимает вид:
$8000 - 64 + 1519913$.

6. Выполним оставшиеся действия вычитания и сложения слева направо:

Вычитание:
$8000 - 64 = 7936$.

Сложение:
$7936 + 1519913 = 1527849$.

Ответ: $1527849$.

8 Викторина «Хочу всё знать».

а) Расположи значения переменной $x$ в порядке убывания и расшифруй имя знаменитого древнегреческого писателя.

$a$
$\downarrow$
$-3\frac{6}{11}$
$\downarrow$
да $>4\frac{5}{11}?$ нет
$\swarrow \quad \searrow$
$-1\frac{9}{11} \quad +2\frac{8}{11}$
$\searrow \quad \swarrow$
$x$

б) Запиши частное в виде смешанного числа. Расположи полученные смешанные числа в порядке возрастания и расшифруй имя выдающегося афинского полководца.

С $1265 : 18$
Ф $1090 : 17$
К $644 : 9$
И $941 : 14$
О $637 : 9$
Е $1097 : 17$
Л $428 : 5$
М $905 : 14$
Т $1267 : 18$

a)

Чтобы расшифровать имя, нужно для каждой буквы найти значение переменной $x$, следуя алгоритму на схеме.

1. Р, $a = 5\frac{3}{11}$
$5\frac{3}{11} - 3\frac{6}{11} = 4\frac{14}{11} - 3\frac{6}{11} = 1\frac{8}{11}$.
$1\frac{8}{11} < 4\frac{5}{11}$ (Нет), значит $x = 1\frac{8}{11} + 2\frac{8}{11} = 3\frac{16}{11} = 4\frac{5}{11}$.

2. А, $a = 6\frac{8}{11}$
$6\frac{8}{11} - 3\frac{6}{11} = 3\frac{2}{11}$.
$3\frac{2}{11} < 4\frac{5}{11}$ (Нет), значит $x = 3\frac{2}{11} + 2\frac{8}{11} = 5\frac{10}{11}$.

3. У, $a = 7\frac{5}{11}$
$7\frac{5}{11} - 3\frac{6}{11} = 6\frac{16}{11} - 3\frac{6}{11} = 3\frac{10}{11}$.
$3\frac{10}{11} < 4\frac{5}{11}$ (Нет), значит $x = 3\frac{10}{11} + 2\frac{8}{11} = 5\frac{18}{11} = 6\frac{7}{11}$.

4. П, $a = 8$
$8 - 3\frac{6}{11} = 7\frac{11}{11} - 3\frac{6}{11} = 4\frac{5}{11}$.
$4\frac{5}{11}$ не больше $4\frac{5}{11}$ (Нет), значит $x = 4\frac{5}{11} + 2\frac{8}{11} = 6\frac{13}{11} = 7\frac{2}{11}$.

5. Х, $a = 9\frac{1}{11}$
$9\frac{1}{11} - 3\frac{6}{11} = 8\frac{12}{11} - 3\frac{6}{11} = 5\frac{6}{11}$.
$5\frac{6}{11} > 4\frac{5}{11}$ (Да), значит $x = 5\frac{6}{11} - 1\frac{9}{11} = 4\frac{17}{11} - 1\frac{9}{11} = 3\frac{8}{11}$.

6. Т, $a = 11\frac{4}{11}$
$11\frac{4}{11} - 3\frac{6}{11} = 10\frac{15}{11} - 3\frac{6}{11} = 7\frac{9}{11}$.
$7\frac{9}{11} > 4\frac{5}{11}$ (Да), значит $x = 7\frac{9}{11} - 1\frac{9}{11} = 6$.

7. Л, $a = 12\frac{2}{11}$
$12\frac{2}{11} - 3\frac{6}{11} = 11\frac{13}{11} - 3\frac{6}{11} = 8\frac{7}{11}$.
$8\frac{7}{11} > 4\frac{5}{11}$ (Да), значит $x = 8\frac{7}{11} - 1\frac{9}{11} = 7\frac{18}{11} - 1\frac{9}{11} = 6\frac{9}{11}$.

Расположим полученные значения $x$ в порядке убывания:

$7\frac{2}{11} > 6\frac{9}{11} > 6\frac{7}{11} > 6 > 5\frac{10}{11} > 4\frac{5}{11} > 3\frac{8}{11}$

Соответствующие буквы: П, Л, У, Т, А, Р, Х.

Ответ: Плутарх.

б)

Выполним деление и запишем частное в виде смешанного числа для каждой буквы.

С: $1265 : 18 = 70\frac{5}{18}$
Ф: $1090 : 17 = 64\frac{2}{17}$
К: $644 : 9 = 71\frac{5}{9}$
И: $941 : 14 = 67\frac{3}{14}$
О: $637 : 9 = 70\frac{7}{9}$
Е: $1097 : 17 = 64\frac{9}{17}$
Л: $428 : 5 = 85\frac{3}{5}$
М: $905 : 14 = 64\frac{9}{14}$
Т: $1267 : 18 = 70\frac{7}{18}$

Теперь расположим полученные смешанные числа в порядке возрастания. Для этого сравним сначала целые части, а затем, при необходимости, дробные.

1. $64\frac{2}{17}$ (Ф)
2. $64\frac{9}{17}$ (Е) (так как $\frac{2}{17} < \frac{9}{17}$)
3. $64\frac{9}{14}$ (М) (так как $\frac{9}{17} < \frac{9}{14}$)
4. $67\frac{3}{14}$ (И)
5. $70\frac{5}{18}$ (С)
6. $70\frac{7}{18}$ (Т) (так как $\frac{5}{18} < \frac{7}{18}$)
7. $70\frac{7}{9} = 70\frac{14}{18}$ (О) (так как $\frac{7}{18} < \frac{14}{18}$)
8. $71\frac{5}{9}$ (К)
9. $85\frac{3}{5}$ (Л)

Составим слово из букв в полученном порядке: Ф, Е, М, И, С, Т, О, К, Л.

Ответ: Фемистокл.

9 Чему равна половина половины седьмой части?

Чтобы решить эту задачу, необходимо последовательно выполнить математические действия, которые описаны в вопросе. Давайте представим это в виде дробей.

Сначала определим, что такое "седьмая часть". Математически это дробь $ \frac{1}{7} $.

Далее, нам нужно найти "половину седьмой части". "Половина" — это $ \frac{1}{2} $. Чтобы найти половину от седьмой части, нужно умножить эти дроби:
$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{7} = \frac{1 \times 1}{2 \times 7} = \frac{1}{14} $.

Наконец, нам нужно найти "половину" от полученного результата, то есть "половину половины седьмой части". Мы берем половину от $ \frac{1}{14} $:
$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{14} = \frac{1 \times 1}{2 \times 14} = \frac{1}{28} $.

Таким образом, половина половины седьмой части равна одной двадцать восьмой.

Ответ: $ \frac{1}{28} $.