Страница 79, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Какая часть фигур закрашена? Какая часть фигур осталась незакрашенной? Запиши эти дроби в виде $\frac{m}{n}$.

Закрашена

Фигура: A: $\frac{4}{9}$ B: $\frac{4}{10}$ C: $\frac{8}{16}$ D: $\frac{4}{8}$ E: $\frac{3}{4}$ F: $\frac{5}{8}$ K: $\frac{3}{6}$ M: $\frac{3}{6}$

Незакрашена

Фигура: A: $\frac{5}{9}$ B: $\frac{6}{10}$ C: $\frac{8}{16}$ D: $\frac{4}{8}$ E: $\frac{1}{4}$ F: $\frac{3}{8}$ K: $\frac{3}{6}$ M: $\frac{3}{6}$

A

Фигура А разделена на 9 равных квадратов. Из них 4 квадрата закрашены, а 5 остались незакрашенными. Следовательно, закрашенная часть составляет $ \frac{4}{9} $ фигуры, а незакрашенная часть составляет $ \frac{5}{9} $ фигуры.

Ответ: закрашено $ \frac{4}{9} $, не закрашено $ \frac{5}{9} $.

B

Фигура B разделена на 8 равных прямоугольников. Из них 3 закрашены, а 5 остались незакрашенными. Таким образом, закрашенная часть составляет $ \frac{3}{8} $, а незакрашенная — $ \frac{5}{8} $.

Ответ: закрашено $ \frac{3}{8} $, не закрашено $ \frac{5}{8} $.

C

Фигура C разделена на 16 равных квадратов. Закрашено 8 квадратов, и 8 квадратов не закрашены. Закрашенная часть составляет $ \frac{8}{16} $. Незакрашенная часть также составляет $ \frac{8}{16} $. Обе дроби можно сократить до $ \frac{1}{2} $.

Ответ: закрашено $ \frac{1}{2} $, не закрашено $ \frac{1}{2} $.

D

Фигура D состоит из 6 равных треугольников. Из них 4 треугольника закрашены, а 2 остались незакрашенными. Закрашенная часть составляет $ \frac{4}{6} $, или $ \frac{2}{3} $. Незакрашенная часть составляет $ \frac{2}{6} $, или $ \frac{1}{3} $.

Ответ: закрашено $ \frac{2}{3} $, не закрашено $ \frac{1}{3} $.

E

Фигура E (круг) разделена на 4 равные части (сектора). 3 части закрашены, 1 часть не закрашена. Закрашенная часть составляет $ \frac{3}{4} $, незакрашенная — $ \frac{1}{4} $.

Ответ: закрашено $ \frac{3}{4} $, не закрашено $ \frac{1}{4} $.

F

Фигура F (круг) разделена на 8 равных секторов. 5 секторов закрашены, а 3 — нет. Закрашенная часть составляет $ \frac{5}{8} $, незакрашенная — $ \frac{3}{8} $.

Ответ: закрашено $ \frac{5}{8} $, не закрашено $ \frac{3}{8} $.

K

Фигура K (круг) разделена на 6 равных секторов. 4 сектора закрашены, 2 остались незакрашенными. Закрашенная часть составляет $ \frac{4}{6} $, или $ \frac{2}{3} $. Незакрашенная часть составляет $ \frac{2}{6} $, или $ \frac{1}{3} $.

Ответ: закрашено $ \frac{2}{3} $, не закрашено $ \frac{1}{3} $.

M

Фигура M (шестиугольник) разделена на 6 равных треугольников. 3 треугольника закрашены, и 3 не закрашены. Закрашенная часть составляет $ \frac{3}{6} $, или $ \frac{1}{2} $. Незакрашенная часть также составляет $ \frac{3}{6} $, или $ \frac{1}{2} $.

Ответ: закрашено $ \frac{1}{2} $, не закрашено $ \frac{1}{2} $.

3 Автомобиль за 5 ч проехал 450 км, а велосипедист за 2 ч проехал 36 км. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости велосипедиста?

$s$ $v$ $t$

Автомобиль

s: 450 км

t: 5 ч

Велосипедист

s: 36 км

t: 2 ч

Чтобы решить задачу, необходимо сначала найти скорость автомобиля и скорость велосипедиста, а затем сравнить их. Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = s / t$, где $s$ – это расстояние, а $t$ – время.

1. Вычисление скорости автомобиля.
Автомобиль проехал 450 км за 5 часов. Подставим эти значения в формулу:
$v_{автомобиля} = 450 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 90 \text{ км/ч}$.

2. Вычисление скорости велосипедиста.
Велосипедист проехал 36 км за 2 часа. Подставим эти значения в формулу:
$v_{велосипедиста} = 36 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 18 \text{ км/ч}$.

3. Сравнение скоростей.
Чтобы узнать, во сколько раз скорость автомобиля больше скорости велосипедиста, разделим скорость автомобиля на скорость велосипедиста:
$90 \text{ км/ч} / 18 \text{ км/ч} = 5$.

Ответ: Скорость автомобиля больше скорости велосипедиста в 5 раз.

4 Катер за 4 ч прошёл 104 км. За сколько времени он пройдёт 174 км, если увеличит скорость на 3 км/ч?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдём первоначальную скорость катера. Для этого разделим расстояние, которое он прошёл, на время, затраченное на этот путь.

Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — расстояние, а $t$ — время.

$v_1 = \frac{104 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 26 \text{ км/ч}$

2. Найдём новую скорость катера. По условию задачи, катер увеличил свою скорость на 3 км/ч.

$v_2 = 26 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 29 \text{ км/ч}$

3. Найдём время, за которое катер пройдёт 174 км. Для этого разделим новое расстояние на новую скорость.

$t_2 = \frac{174 \text{ км}}{29 \text{ км/ч}} = 6 \text{ ч}$

Заполним таблицу на основе вычислений:

Ответ: 6 часов.

5 Самолёт пролетел за первые 2 ч пути 1700 км. На оставшийся путь ему потребовалось при той же скорости на 3 ч больше. Сколько всего километров пролетел самолёт?

$s$ $v$ $t$

I

II

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорость самолёта.

Скорость ($v$) — это расстояние ($s$), делённое на время ($t$). Известно, что за первые 2 часа ($t_1$) самолёт пролетел 1700 км ($s_1$).

$v = s_1 / t_1 = 1700 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 850 \text{ км/ч}$

2. Найдём время, затраченное на оставшийся путь.

В условии сказано, что на оставшийся путь самолёту потребовалось на 3 часа больше, чем на первый отрезок пути.

$t_2 = t_1 + 3 \text{ ч} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

3. Найдём расстояние, которое самолёт пролетел на оставшемся пути.

Самолёт летел с той же скоростью (850 км/ч). Чтобы найти расстояние второго отрезка ($s_2$), умножим скорость на время второго отрезка ($t_2$).

$s_2 = v * t_2 = 850 \text{ км/ч} * 5 \text{ ч} = 4250 \text{ км}$

4. Найдём, сколько всего километров пролетел самолёт.

Для этого сложим расстояние, пройденное на первом и втором отрезках пути.

$S_{общ} = s_1 + s_2 = 1700 \text{ км} + 4250 \text{ км} = 5950 \text{ км}$

Ответ: всего самолёт пролетел 5950 километров.

6. На иве сидело 5 птиц, а $a$ птиц улетело. Сколько осталось?

Составь выражение.

Какие значения может принимать переменная $a$?

Запиши множество значений выражения.

Составь выражение.
Изначально на иве было 5 птиц. После того как a птиц улетело, их количество уменьшилось. Чтобы найти, сколько птиц осталось, нужно из первоначального количества вычесть количество улетевших. Это можно записать в виде математического выражения.
Ответ: $5 - a$.

Какие значения может принимать переменная a?
Переменная a обозначает количество улетевших птиц. Это число должно быть целым и неотрицательным, так как мы не можем иметь дело с частью птицы или отрицательным их количеством. Кроме того, количество улетевших птиц не может превышать количество птиц, которые изначально сидели на иве. Таким образом, a может быть любым целым числом от 0 (ни одна птица не улетела) до 5 (улетели все птицы).
Математически это можно записать как $a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
Ответ: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

7. а) Отметь точки $A(\frac{9}{5})$, $B(2\frac{3}{5})$, $C(\frac{16}{5})$, $D(4\frac{2}{5})$ на координатном луче.

0 1 2 3 4 5

б) Переведи числа $2\frac{3}{5}$ и $4\frac{2}{5}$ в неправильные дроби.

в) Запиши дроби $\frac{9}{5}$ и $\frac{16}{5}$ в виде смешанных чисел.

Проверь свои ответы по координатному лучу.

а) Отметь точки A($\frac{9}{5}$), B($2\frac{3}{5}$), C($\frac{16}{5}$), D($4\frac{2}{5}$) на координатном луче.

Координатный луч на рисунке разделен на единичные отрезки (от 0 до 1, от 1 до 2 и т.д.). Каждый такой отрезок, в свою очередь, разделен на 5 равных частей (делений). Это означает, что цена одного деления равна $\frac{1}{5}$ единичного отрезка.

Чтобы отметить точки, определим их точное положение на луче:

Точка A($\frac{9}{5}$): Это неправильная дробь. Чтобы найти ее место на луче, переведем ее в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель: $9 \div 5 = 1$ (остаток 4). Таким образом, $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$. Это означает, что точка A находится на 4-м делении после целого числа 1.

Точка B($2\frac{3}{5}$): Это смешанное число. Целая часть равна 2, дробная — $\frac{3}{5}$. Это означает, что точка B находится на 3-м делении после целого числа 2.

Точка C($\frac{16}{5}$): Это неправильная дробь. Переведем ее в смешанное число: $16 \div 5 = 3$ (остаток 1). Таким образом, $\frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$. Это означает, что точка C находится на 1-м делении после целого числа 3.

Точка D($4\frac{2}{5}$): Это смешанное число. Целая часть равна 4, дробная — $\frac{2}{5}$. Это означает, что точка D находится на 2-м делении после целого числа 4.

Ответ: Расположение точек на луче: A находится на 4-м делении после 1, B — на 3-м делении после 2, C — на 1-м делении после 3, D — на 2-м делении после 4.

б) Переведи числа $2\frac{3}{5}$ и $4\frac{2}{5}$ в неправильные дроби.

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Полученный результат будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется без изменений.

Для числа $2\frac{3}{5}$:

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

Для числа $4\frac{2}{5}$:

$4\frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{20 + 2}{5} = \frac{22}{5}$

Проверка по координатному лучу: Точка B имеет координату $2\frac{3}{5}$. Если считать деления от нуля, то до точки B их будет $2 \cdot 5 + 3 = 13$ делений. Так как цена деления $\frac{1}{5}$, то координата равна $\frac{13}{5}$. Точка D имеет координату $4\frac{2}{5}$. До нее от нуля $4 \cdot 5 + 2 = 22$ деления, что соответствует координате $\frac{22}{5}$.

Ответ: $2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$; $4\frac{2}{5} = \frac{22}{5}$.

в) Запиши дроби $\frac{9}{5}$ и $\frac{16}{5}$ в виде смешанных чисел.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть (то есть записать ее в виде смешанного числа), нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Неполное частное от деления будет целой частью смешанного числа, остаток — числителем его дробной части, а знаменатель останется тот же.

Для дроби $\frac{9}{5}$:

Делим 9 на 5 с остатком: $9 = 1 \cdot 5 + 4$. Неполное частное равно 1, остаток равен 4.

Следовательно, $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

Для дроби $\frac{16}{5}$:

Делим 16 на 5 с остатком: $16 = 3 \cdot 5 + 1$. Неполное частное равно 3, остаток равен 1.

Следовательно, $\frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$.

Проверка по координатному лучу: Точка A с координатой $\frac{9}{5}$ находится на 4 деления правее отметки 1, что соответствует смешанному числу $1\frac{4}{5}$. Точка C с координатой $\frac{16}{5}$ находится на 1 деление правее отметки 3, что соответствует смешанному числу $3\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$; $\frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$.

3. В 9 ч утра из города в деревню, между которыми 16 км, вышли туристы. Пройдя 8 км со скоростью 4 км/ч, они сделали привал на 1 ч, после чего продолжали путь со скоростью 3 км/ч. В 12 ч 20 мин по той же дороге вслед за туристами выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч.

а) Построй графики движения туристов и велосипедиста.

б) На каком расстоянии от города и от деревни были туристы и велосипедист в 12 ч 40 мин?

в) Когда и на каком расстоянии от города велосипедист догнал туристов? Когда они прибыли в деревню?

s км

16

14

12

10

8

6

4

2

0

деревня

город

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600 t ч

а)

Для построения графиков движения определим ключевые точки (время, расстояние от города) для туристов и велосипедиста.

Движение туристов:
1. Начало пути: 9:00, расстояние 0 км. Точка (9:00, 0).
2. Первый участок: туристы прошли 8 км со скоростью 4 км/ч. Время в пути на этом участке: $t = s / v = 8 / 4 = 2$ часа. Они достигли отметки 8 км в 9:00 + 2 ч = 11:00. Точка (11:00, 8).
3. Привал: длился 1 час. С 11:00 до 12:00 расстояние не менялось. Точка (12:00, 8).
4. Второй участок: оставшиеся $16 - 8 = 8$ км они шли со скоростью 3 км/ч. Время в пути на этом участке: $t = 8 / 3$ часа = 2 и 2/3 часа = 2 часа 40 минут. Они прибыли в деревню в 12:00 + 2 ч 40 мин = 14:40. Точка (14:40, 16).
График движения туристов — это ломаная линия, проходящая через точки (9:00, 0), (11:00, 8), (12:00, 8) и (14:40, 16).

Движение велосипедиста:
1. Начало пути: 12:20, расстояние 0 км. Точка (12:20, 0).
2. Весь путь: велосипедист проехал 16 км со скоростью 12 км/ч. Время в пути: $t = s / v = 16 / 12 = 4/3$ часа = 1 и 1/3 часа = 1 час 20 минут. Он прибыл в деревню в 12:20 + 1 ч 20 мин = 13:40. Точка (13:40, 16).
График движения велосипедиста — это отрезок прямой, соединяющий точки (12:20, 0) и (13:40, 16).

Ответ: Графики строятся по указанным выше точкам на координатной плоскости, где по оси абсцисс отложено время (t, ч), а по оси ординат — расстояние от города (s, км).

б)

Положение туристов в 12:40:
В 12:00 туристы вышли с привала, который был на отметке 8 км от города. К 12:40 они шли 40 минут со скоростью 3 км/ч.
40 минут = $40/60$ часа = $2/3$ часа.
За это время они прошли: $s = v \cdot t = 3 \cdot (2/3) = 2$ км.
Таким образом, в 12:40 они были на расстоянии $8 + 2 = 10$ км от города.
Расстояние от деревни: $16 - 10 = 6$ км.

Положение велосипедиста в 12:40:
Велосипедист выехал в 12:20. К 12:40 он был в пути 20 минут со скоростью 12 км/ч.
20 минут = $20/60$ часа = $1/3$ часа.
За это время он проехал: $s = v \cdot t = 12 \cdot (1/3) = 4$ км.
Таким образом, в 12:40 он был на расстоянии 4 км от города.
Расстояние от деревни: $16 - 4 = 12$ км.

Ответ: В 12 ч 40 мин туристы были на расстоянии 10 км от города и 6 км от деревни, а велосипедист — на расстоянии 4 км от города и 12 км от деревни.

в)

Когда и где велосипедист догнал туристов:
Встреча произойдет после 12:20, когда туристы уже идут по второму участку пути.
В 12:20 (момент выезда велосипедиста) туристы были в пути 20 минут после привала. За это время они прошли $3 \text{ км/ч} \cdot (20/60) \text{ ч} = 1$ км. Значит, они находились на расстоянии $8 + 1 = 9$ км от города.
Скорость сближения велосипедиста и туристов равна разности их скоростей: $v_{сбл} = 12 - 3 = 9$ км/ч.
Начальное расстояние между ними было 9 км.
Время, через которое велосипедист догонит туристов: $t_{встр} = s / v_{сбл} = 9 / 9 = 1$ час.
Встреча произойдет через 1 час после выезда велосипедиста, то есть в 12:20 + 1 ч = 13:20.
За этот час велосипедист проедет $12 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 12$ км.
Следовательно, встреча произошла на расстоянии 12 км от города.

Когда они прибыли в деревню:
Время прибытия было рассчитано в пункте а).
Время прибытия туристов: 14:40.
Время прибытия велосипедиста: 13:40.

Ответ: Велосипедист догнал туристов в 13:20 на расстоянии 12 км от города. Велосипедист прибыл в деревню в 13:40, а туристы — в 14:40.

4 Между пунктами A и B по шоссе $70 \text{ км}$. В $8 \text{ ч}$ утра из пункта A по направлению к B выехал велосипедист со скоростью $20 \text{ км/ч}$. Через $2 \text{ ч}$ после выезда он отдыхал $1 \text{ ч}$, а затем продолжил путь с той же скоростью. В $10 \text{ ч}$ из пункта A по той же дороге вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью $30 \text{ км/ч}$. Через $1 \text{ ч}$ пути он сделал остановку на $15 \text{ мин}$, а затем увеличил скорость до $40 \text{ км/ч}$.

Построй графики движения велосипедиста и мотоциклиста ($1 \text{ кл.} — 15 \text{ мин}$, $1 \text{ кл.} — 5 \text{ км}$). Определи время и место их встречи.

Какие ещё вопросы можно задать по графикам движения велосипедиста и мотоциклиста?

Построй графики движения велосипедиста и мотоциклиста (1 кл. — 15 мин, 1 кл. — 5 км).

Для построения графиков движения примем за ось абсцисс (горизонтальную) время $t$ в часах, а за ось ординат (вертикальную) — расстояние $S$ от пункта А в километрах.

Масштаб:

По оси времени: 1 клетка = 15 минут, значит 1 час = 4 клетки.

По оси расстояния: 1 клетка = 5 км.

График движения велосипедиста (ломаная линия, соединяющая точки):

1. Велосипедист выезжает в 8:00 из пункта А. Начальная точка графика — (8:00; 0 км).

2. Он едет 2 часа со скоростью 20 км/ч. За это время он проедет $20 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 40 \text{ км}$. В 10:00 он будет на расстоянии 40 км от А. Вторая точка — (10:00; 40 км).

3. Затем он отдыхает 1 час (с 10:00 до 11:00). В это время его расстояние от А не меняется. Третья точка — (11:00; 40 км). Этот отрезок графика будет горизонтальным.

4. После отдыха он продолжает движение с той же скоростью 20 км/ч. Например, к 12:00 он проедет еще 20 км и будет на расстоянии 60 км от А. Четвертая точка — (12:00; 60 км).

График движения мотоциклиста (ломаная линия, соединяющая точки):

1. Мотоциклист выезжает в 10:00 из пункта А. Начальная точка графика — (10:00; 0 км).

2. Он едет 1 час со скоростью 30 км/ч. За это время он проедет $30 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 30 \text{ км}$. В 11:00 он будет на расстоянии 30 км от А. Вторая точка — (11:00; 30 км).

3. Затем он делает остановку на 15 минут (с 11:00 до 11:15). Его расстояние от А не меняется. Третья точка — (11:15; 30 км). Этот отрезок графика также будет горизонтальным.

4. После остановки он увеличивает скорость до 40 км/ч. Например, за следующие 45 минут (до 12:00) он проедет $40 \text{ км/ч} \times 0.75 \text{ ч} = 30 \text{ км}$. Его положение в 12:00 будет $30 \text{ км} + 30 \text{ км} = 60 \text{ км}$ от А. Четвертая точка — (12:00; 60 км).

Графики будут представлять собой две ломаные линии. Точка пересечения этих линий и будет местом и временем их встречи.

Ответ: Графики построены по указанным точкам.

Определи время и место их встречи.

Время и место встречи можно определить по точке пересечения графиков движения. Как видно из расчетов для построения графиков, в 12:00 и велосипедист, и мотоциклист находились на расстоянии 60 км от пункта А. Это и есть точка их встречи.

Проверим это аналитически. Найдем момент времени $t$ (в часах, отсчитывая от 11:15), когда их расстояния от пункта А станут равны. Пусть $t$ — время движения после 11:15.

Положение велосипедиста в 11:15: он находится на 40 км от А и едет со скоростью 20 км/ч. Его координата через время $t$ после 11:15 будет: $S_в(t) = 40 + 20 \times t$.

Положение мотоциклиста в 11:15: он находится на 30 км от А и начинает ехать со скоростью 40 км/ч. Его координата через время $t$ после 11:15 будет: $S_м(t) = 30 + 40 \times t$.

Приравняем их координаты, чтобы найти время встречи:

$40 + 20t = 30 + 40t$

$40 - 30 = 40t - 20t$

$10 = 20t$

$t = \frac{10}{20} = 0.5$ часа.

0.5 часа — это 30 минут. Значит, встреча произойдет через 30 минут после 11:15, то есть в 11:45.

Проверим расчет. В моих первоначальных расчетах для графика была ошибка. Давайте пересчитаем положение велосипедиста в 11:15. С 11:00 до 11:15 (15 минут или 0.25 часа) он проехал $20 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 5 \text{ км}$. Его положение в 11:15: $40 + 5 = 45$ км. Тогда уравнение для велосипедиста: $S_в(t) = 45 + 20 \times t$.

Приравняем снова:

$45 + 20t = 30 + 40t$

$15 = 20t$

$t = \frac{15}{20} = 0.75$ часа.

0.75 часа — это 45 минут. Значит, встреча произойдет через 45 минут после 11:15, то есть в 12:00.

Теперь найдем место встречи, подставив $t = 0.75$ в любое из уравнений:

$S_м = 30 + 40 \times 0.75 = 30 + 30 = 60$ км.

$S_в = 45 + 20 \times 0.75 = 45 + 15 = 60$ км.

Оба расчета сходятся. Встреча произошла в 12:00 на расстоянии 60 км от пункта А.

Ответ: Они встретятся в 12:00 на расстоянии 60 км от пункта А.

Какие ещё вопросы можно задать по графикам движения велосипедиста и мотоциклиста?

По построенным графикам можно задать следующие вопросы:

1. Кто прибудет в пункт В (на 70 км) раньше и на сколько?

2. Какое расстояние было между велосипедистом и мотоциклистом в 11:00?

3. В какой промежуток времени расстояние между ними сокращалось быстрее всего?

4. Какова была средняя скорость каждого из них на всем пути от А до В?

5. На сколько минут мотоциклист догнал бы велосипедиста раньше, если бы не делал остановку?

Ответ: Приведены примеры возможных вопросов.