Страница 77, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

Сравни две задачи. Чем они похожи и чем различаются?

1) Зверёк землеройка за сутки съел 12 г пищи. Чему равна масса зверька, если она составляет $\frac{1}{3}$ массы съеденной им за сутки пищи?

2) В доме 12 однокомнатных квартир, что составляет $\frac{1}{3}$ всех квартир этого дома. Сколько всего в нем квартир?

Эти две задачи похожи тем, что в их условиях используются одинаковые числа: 12 и дробь $\frac{1}{3}$. Обе задачи решаются с использованием дробей. Однако, они различаются по своей сути и, следовательно, по способу решения.

• В первой задаче нам дано целое (12 г пищи), и нужно найти его часть (массу зверька, которая составляет $\frac{1}{3}$ от массы пищи). Это задача на нахождение части от целого.
• Во второй задаче нам дана часть (12 квартир), которая составляет определённую долю ($\frac{1}{3}$) от целого, и нужно найти это целое (общее количество квартир). Это задача на нахождение целого по его части.

Из-за этого различия в задачах используются разные арифметические действия.

1)

В этой задаче нам известно целое — масса съеденной пищи, которая равна 12 г. Масса зверька составляет $\frac{1}{3}$ от этой величины. Чтобы найти массу зверька, нужно найти часть от целого, то есть умножить целое на дробь.

Решение: $12 \cdot \frac{1}{3} = \frac{12}{3} = 4$ г.

Ответ: масса зверька равна 4 г.

2)

В этой задаче нам известна часть — 12 однокомнатных квартир. Эта часть составляет $\frac{1}{3}$ от всех квартир в доме. Чтобы найти целое (общее количество квартир), нужно известную часть разделить на дробь, которую она составляет.

Решение: $12 : \frac{1}{3} = 12 \cdot 3 = 36$ квартир.

Ответ: всего в доме 36 квартир.

2 а) В коробке было 18 пирожных. Съели $ \frac{1}{6} $ всех пирожных. Сколько пирожных осталось?

б) Сделав 16 одинаковых деталей, рабочий выполнил $ \frac{1}{8} $ часть задания. Сколько деталей ему осталось сделать?

а)

1. Узнаем, сколько пирожных съели. Для этого нужно общее количество пирожных умножить на съеденную часть:
$18 \cdot \frac{1}{6} = \frac{18}{6} = 3$ (пирожных).

2. Теперь найдем, сколько пирожных осталось. Для этого из начального количества вычтем количество съеденных пирожных:
$18 - 3 = 15$ (пирожных).

Ответ: 15 пирожных.

б)

1. По условию, 16 сделанных деталей составляют $\frac{1}{8}$ всего задания. Чтобы найти общее количество деталей, которое нужно сделать, нужно количество сделанных деталей разделить на соответствующую им часть:
$16 \div \frac{1}{8} = 16 \cdot 8 = 128$ (деталей).

2. Теперь, чтобы найти, сколько деталей осталось сделать, вычтем из общего количества деталей количество уже сделанных:
$128 - 16 = 112$ (деталей).

Ответ: осталось сделать 112 деталей.

3 Туристы прошли $ \frac{1}{5} $ маршрута, что составило 28 км. Сколько километров им осталось пройти?

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Найти общую длину маршрута, а затем вычесть пройденное расстояние.

1. Сначала найдём общую длину всего маршрута. Из условия известно, что $ \frac{1}{5} $ маршрута составляет 28 км. Чтобы найти целое (весь маршрут), нужно число разделить на дробь, что эквивалентно умножению на знаменатель дроби:
$28 \times 5 = 140$ км.
Итак, общая длина маршрута — 140 км.

2. Теперь найдём, сколько километров осталось пройти. Для этого из общей длины маршрута вычтем то расстояние, которое туристы уже прошли:
$140 - 28 = 112$ км.

Способ 2: Найти оставшуюся часть маршрута в долях, а затем вычислить её в километрах.

1. Весь маршрут можно принять за 1 (или $ \frac{5}{5} $). Туристы прошли $ \frac{1}{5} $ маршрута. Найдём, какая часть маршрута осталась:
$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
Осталось пройти $ \frac{4}{5} $ всего маршрута.

2. Теперь вычислим, сколько это составляет в километрах. Мы знаем, что $ \frac{1}{5} $ маршрута — это 28 км. Чтобы найти, сколько составляют $ \frac{4}{5} $ маршрута, нужно расстояние одной части умножить на 4:
$28 \times 4 = 112$ км.

Ответ: 112 км

1 Незнайка и Кнопочка вышли одновременно навстречу друг другу из точек 0 и 40 координатного луча. Определи по схеме скорость и направление их движения. Отметь точки, в которых будут Незнайка и Кнопочка через 1 мин после выхода, через 2 мин, 3 мин, 4 мин. Что ты замечаешь?

$4$ ед./мин $6$ ед./мин

Стрелки на моделях одновременного движения показывают положение объектов в один и тот же момент времени. Эти схемы помогают отвечать на самые разные вопросы.

$15$ ед./ч $10$ ед./ч

$90 - 15$

Например, о движении Знайки и Тюбика можно сказать, что: они вышли одновременно в противоположных направлениях из точки 60, скорость Знайки $10$ ед./ч, а скорость Тюбика - $15$ ед./ч, за каждый час расстояние между ними увеличивалось на $25$ ед. и через 3 ч после выхода стало равно $90 - 15 = 75$ ед. и т. д.

Таким образом, по схеме одновременного движения можно определить:

1) из каких точек началось движение;

2) направление и скорость движения объектов;

3) расстояние между объектами в данный момент времени;

4) как изменялось расстояние между ними- уменьшалось или увеличивалось, и на сколько;

5) где и когда произошла встреча (если она состоялась).

Сначала определим по схеме скорость и направление движения персонажей. Незнайка начинает движение из точки с координатой $0$. Стрелка, указывающая вправо, показывает, что он движется в положительном направлении координатного луча. Его скорость, указанная на схеме, составляет $v_Н = 4$ ед./мин. Кнопочка начинает движение из точки с координатой $40$. Стрелка, указывающая влево, показывает, что она движется в отрицательном направлении, то есть навстречу Незнайке. Ее скорость составляет $v_К = 6$ ед./мин.

Теперь найдем их положение в указанные моменты времени. Положение объекта можно рассчитать по формуле $S = S_0 \pm v \cdot t$, где $S_0$ — начальная координата, $v$ — скорость, $t$ — время. Для Незнайки, движущегося в положительном направлении, используем знак «+», для Кнопочки, движущейся в отрицательном, — знак «-».

через 1 мин
Положение Незнайки: $0 + 4 \cdot 1 = 4$.
Положение Кнопочки: $40 - 6 \cdot 1 = 34$.
Ответ: Через 1 мин Незнайка будет в точке 4, а Кнопочка — в точке 34.

через 2 мин
Положение Незнайки: $0 + 4 \cdot 2 = 8$.
Положение Кнопочки: $40 - 6 \cdot 2 = 40 - 12 = 28$.
Ответ: Через 2 мин Незнайка будет в точке 8, а Кнопочка — в точке 28.

через 3 мин
Положение Незнайки: $0 + 4 \cdot 3 = 12$.
Положение Кнопочки: $40 - 6 \cdot 3 = 40 - 18 = 22$.
Ответ: Через 3 мин Незнайка будет в точке 12, а Кнопочка — в точке 22.

через 4 мин
Положение Незнайки: $0 + 4 \cdot 4 = 16$.
Положение Кнопочки: $40 - 6 \cdot 4 = 40 - 24 = 16$.
Ответ: Через 4 мин Незнайка и Кнопочка встретятся в точке 16.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что расстояние между Незнайкой и Кнопочкой постоянно и равномерно уменьшается. Это происходит потому, что они движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей: $v_{\text{сбл.}} = v_Н + v_К = 4 \text{ ед./мин} + 6 \text{ ед./мин} = 10$ ед./мин.
Это означает, что каждую минуту расстояние между ними сокращается на 10 единиц.
Начальное расстояние между ними было $40 - 0 = 40$ единиц.
Через 1 мин расстояние стало $34 - 4 = 30$ единиц.
Через 2 мин расстояние стало $28 - 8 = 20$ единиц.
Через 3 мин расстояние стало $22 - 12 = 10$ единиц.
Через 4 мин расстояние стало $16 - 16 = 0$ единиц, что означает их встречу.
Зная начальное расстояние и скорость сближения, можно было заранее рассчитать время до встречи: $t_{\text{встр.}} = \frac{S}{v_{\text{сбл.}}} = \frac{40}{10} = 4$ мин.
Ответ: Каждую минуту расстояние между Незнайкой и Кнопочкой уменьшается на 10 единиц (их скорость сближения). Через 4 минуты они встречаются в точке с координатой 16.

1 Из деревни Петрищево в село Михайловское, расстояние между которыми 15 км, в 10 ч утра вышел пешеход. Через 2 ч по той же дороге вслед за ним выехал велосипедист. На рисунке приведены графики их движения.

s км

Михайловское

Грибцово

Петрищево

пешеход

велосипедист

t ч

а) Чему равны скорости движения пешехода и велосипедиста? Как отражено на графике, что скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

б) На каком расстоянии от Петрищева находился пешеход в момент выезда велосипедиста?

в) В котором часу пешеход и велосипедист были в Грибцове? Когда они прибыли в Михайловское?

г) На каком расстоянии от Петрищева они были в 13 ч? Что означает на рисунке точка пересечения графиков?

График движения позволяет определить скорость движущихся объектов, их положение и направление движения.

Точка пересечения графиков показывает время и место встречи.

а) Чему равны скорости движения пешехода и велосипедиста? Как отражено на графике, что скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

Чтобы найти скорость, нужно разделить пройденное расстояние на затраченное время ($v = S/t$).

Скорость пешехода ($v_п$):

Пешеход вышел в 10:00 из точки $s=0$ км и прибыл в Михайловское ($s=15$ км) в 15:00. Время в пути составило $t_п = 15:00 - 10:00 = 5$ часов. Скорость пешехода: $v_п = \frac{15 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 3 \text{ км/ч}$.

Скорость велосипедиста ($v_в$):

Велосипедист выехал в 12:00 из точки $s=0$ км и прибыл в Михайловское ($s=15$ км) в 13:30. Время в пути составило $t_в = 13:30 - 12:00 = 1,5$ часа. Скорость велосипедиста: $v_в = \frac{15 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

На графике зависимостей расстояния от времени скорость представлена углом наклона (крутизной) прямой. График движения велосипедиста идёт под большим углом к оси времени, чем график пешехода. Это означает, что за один и тот же промежуток времени велосипедист проходит большее расстояние, следовательно, его скорость выше.

Ответ: Скорость пешехода — 3 км/ч, скорость велосипедиста — 10 км/ч. На графике это отражено тем, что линия графика велосипедиста более крутая (имеет больший угол наклона к оси времени).

б) На каком расстоянии от Петрищева находился пешеход в момент выезда велосипедиста?

Велосипедист выехал в 12:00. К этому моменту пешеход был в пути 2 часа ($12:00 - 10:00 = 2$ ч). Зная скорость пешехода (3 км/ч), можем найти пройденное им расстояние: $S = v_п \times t = 3 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 6$ км. Этот же результат можно увидеть на графике: в момент времени $t=12:00$ линия графика пешехода соответствует расстоянию $s=6$ км.

Ответ: В момент выезда велосипедиста пешеход находился на расстоянии 6 км от Петрищева.

в) В котором часу пешеход и велосипедист были в Грибцове? Когда они прибыли в Михайловское?

Из схемы на рисунке видно, что Грибцово находится на расстоянии 3 км от Петрищева.

Пешеход в Грибцове ($s=3$ км): Время движения: $t = \frac{S}{v_п} = \frac{3 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 1$ час. Пешеход вышел в 10:00, значит, в Грибцове он был в $10:00 + 1$ час = 11:00.

Велосипедист в Грибцове ($s=3$ км): Время движения: $t = \frac{S}{v_в} = \frac{3 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0,3$ часа. $0,3$ часа = $0,3 \times 60$ минут = 18 минут. Велосипедист выехал в 12:00, значит, в Грибцове он был в $12:00 + 18$ минут = 12:18.

Прибытие в Михайловское ($s=15$ км): Время прибытия можно определить по конечным точкам графиков. Пешеход прибыл в 15:00. Велосипедист прибыл в 13:30.

Ответ: Пешеход был в Грибцове в 11:00, а велосипедист — в 12:18. В Михайловское пешеход прибыл в 15:00, а велосипедист — в 13:30.

г) На каком расстоянии от Петрищева они были в 13 ч? Что означает на рисунке точка пересечения графиков?

Положение в 13:00:

Пешеход: к 13:00 он был в пути 3 часа ($13:00 - 10:00 = 3$ ч). Расстояние: $S = v_п \times t = 3 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 9$ км.

Велосипедист: к 13:00 он был в пути 1 час ($13:00 - 12:00 = 1$ ч). Расстояние: $S = v_в \times t = 10 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 10$ км.

Точка пересечения графиков:

Точка, в которой графики пересекаются, имеет одинаковые координаты времени и расстояния для обоих объектов. Это означает момент времени и место, где велосипедист догнал пешехода. До этой точки пешеход был впереди, а после неё — велосипедист стал опережать пешехода.

Ответ: В 13:00 пешеход был на расстоянии 9 км от Петрищева, а велосипедист — на расстоянии 10 км. Точка пересечения графиков означает время и место встречи пешехода и велосипедиста.