Страница 70, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

10 Реши задачу. Затем придумай свою задачу про другие величины, которая решается так же.

«Серёжа ехал на велосипеде 3 ч со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью он должен был ехать, чтобы преодолеть это расстояние за 2 ч?»

Реши задачу.

Данная задача решается в два действия. Чтобы найти, с какой скоростью Серёжа должен был ехать, нам сначала нужно узнать, какое именно расстояние он проехал. После этого мы сможем рассчитать новую скорость для нового времени.

1. Сначала найдём расстояние, которое проехал Серёжа. Для этого воспользуемся формулой расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

   $12 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$.

   Таким образом, общее расстояние, которое преодолел Серёжа, составляет 36 км.

2. Теперь, зная расстояние, мы можем найти новую скорость. По условию, это расстояние нужно преодолеть за 2 часа. Воспользуемся формулой для нахождения скорости: $v = S / t$.

   $36 \text{ км} \div 2 \text{ ч} = 18 \text{ км/ч}$.

   Это значит, что для преодоления того же пути за 2 часа, скорость должна быть 18 км/ч.

Ответ: чтобы преодолеть это расстояние за 2 часа, Серёжа должен был ехать со скоростью 18 км/ч.

Затем придумай свою задачу про другие величины, которая решается так же.

Задача: Кондитер украшает торты. Работая с производительностью 4 торта в час, он выполнил заказ за 3 часа. С какой производительностью ему нужно было бы работать, чтобы выполнить этот же заказ за 2 часа?

Решение:

1. Сначала определим общее количество тортов в заказе. Для этого умножим производительность кондитера на время его работы.

   $4 \text{ торта/час} \times 3 \text{ ч} = 12 \text{ тортов}$.

   Всего в заказе было 12 тортов.

2. Теперь найдём, с какой производительностью нужно работать, чтобы украсить 12 тортов за 2 часа. Для этого разделим общее количество тортов на новое время.

   $12 \text{ тортов} \div 2 \text{ ч} = 6 \text{ тортов/час}$.

   Следовательно, кондитеру нужно было бы украшать по 6 тортов в час.

Ответ: чтобы выполнить заказ за 2 часа, кондитеру нужно было бы работать с производительностью 6 тортов в час.

11 Объясни смысл равенств: $(a + b) + c = a + (b + c)$,

$a - (b + c) = a - b - c$.

Используя эти свойства сложения и вычитания, вычисли устно наиболее простым способом:

а) (54 + 72) + 28 =

б) 39 + (1 + 26) =

в) 196 + 207 + 4 + 593 =

г) 316 - 198 - 2 =

д) 164 - (64 + 15) =

Смысл равенств заключается в следующем:

1. Равенство $(a + b) + c = a + (b + c)$ выражает сочетательное свойство сложения. Оно означает, что при сложении трёх и более чисел результат не зависит от порядка действий (от того, как сгруппированы слагаемые). Можно сначала сложить первые два числа, а потом к результату прибавить третье, или наоборот — сначала сложить второе и третье, а потом к результату прибавить первое.

2. Равенство $a - (b + c) = a - b - c$ выражает правило вычитания суммы из числа. Чтобы вычесть сумму из числа, можно последовательно вычесть из этого числа каждое слагаемое.

Используя эти свойства, вычислим устно наиболее простым способом:

а) $(54 + 72) + 28$. Удобнее сгруппировать слагаемые так, чтобы получился "круглый" результат. Применим сочетательное свойство: $54 + (72 + 28)$. Сначала сложим числа в скобках: $72 + 28 = 100$. Затем выполним оставшееся действие: $54 + 100 = 154$.
Ответ: 154

б) $39 + (1 + 26)$. Здесь также удобнее перегруппировать слагаемые: $(39 + 1) + 26$. Сначала сложим $39 + 1 = 40$. Затем прибавим 26: $40 + 26 = 66$.
Ответ: 66

в) $196 + 207 + 4 + 593$. Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа: $(196 + 4) + (207 + 593)$. Вычисляем суммы в скобках: $196 + 4 = 200$ и $207 + 593 = 800$. Теперь складываем полученные результаты: $200 + 800 = 1000$.
Ответ: 1000

г) $316 - 198 - 2$. Используем правило вычитания суммы из числа в обратном порядке: $a - b - c = a - (b + c)$. Получаем: $316 - (198 + 2)$. Вычисляем сумму в скобках: $198 + 2 = 200$. Затем выполняем вычитание: $316 - 200 = 116$.
Ответ: 116

д) $164 - (64 + 15)$. Применим правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Получаем: $164 - 64 - 15$. Вычисляем по порядку: $164 - 64 = 100$, а затем $100 - 15 = 85$.
Ответ: 85

12 Мама купила 2 кг яблок по цене 45 р. за 1 кг и в три раза больше помидоров по цене на 9 р. больше, чем цена яблок. Сколько сдачи она должна получить с 500 р.?

Для того чтобы узнать, сколько сдачи получит мама, необходимо выполнить несколько действий.

1. Рассчитаем стоимость яблок.

Мама купила 2 кг яблок по цене 45 рублей за 1 кг. Стоимость яблок равна произведению их веса на цену за килограмм:

$2 \text{ кг} \times 45 \text{ р./кг} = 90 \text{ р.}$

2. Определим вес помидоров.

По условию, помидоров было куплено в три раза больше, чем яблок. Вес яблок составляет 2 кг. Следовательно, вес помидоров:

$2 \text{ кг} \times 3 = 6 \text{ кг}$

3. Узнаем цену помидоров.

Цена помидоров на 9 рублей больше, чем цена яблок. Цена яблок — 45 рублей за кг. Значит, цена помидоров:

$45 \text{ р./кг} + 9 \text{ р.} = 54 \text{ р./кг}$

4. Рассчитаем стоимость помидоров.

Зная вес помидоров (6 кг) и их цену (54 р./кг), можно найти их общую стоимость:

$6 \text{ кг} \times 54 \text{ р./кг} = 324 \text{ р.}$

5. Найдем общую стоимость всей покупки.

Общая стоимость покупки — это сумма стоимости яблок и стоимости помидоров:

$90 \text{ р.} + 324 \text{ р.} = 414 \text{ р.}$

6. Рассчитаем сдачу.

Мама заплатила 500 рублей. Чтобы найти сдачу, нужно из уплаченной суммы вычесть общую стоимость покупки:

$500 \text{ р.} - 414 \text{ р.} = 86 \text{ р.}$

Ответ: мама должна получить 86 рублей сдачи.

13) 1) A — множество натуральных решений неравенства $4 \le x < 8$, а B — множество натуральных решений неравенства $5 < x \le 9$. Запиши множества A и B с помощью фигурных скобок, найди их объединение и пересечение.

2) Найди объединение и пересечение множеств натуральных решений неравенств $3 \le x < 7$ и $x \ge 5$.

1)

Сначала найдем натуральные числа, которые являются решениями каждого неравенства, и запишем множества $A$ и $B$ с помощью фигурных скобок.

Множество $A$ — это множество натуральных решений неравенства $4 \le x < 8$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, это те, которые больше или равны 4 и строго меньше 8.
Таким образом, $A = \{4, 5, 6, 7\}$.

Множество $B$ — это множество натуральных решений неравенства $5 < x \le 9$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, это те, которые строго больше 5 и меньше или равны 9.
Таким образом, $B = \{6, 7, 8, 9\}$.

Теперь найдем объединение и пересечение этих множеств.

Объединение множеств ($A \cup B$) содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
$A \cup B = \{4, 5, 6, 7\} \cup \{6, 7, 8, 9\} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Пересечение множеств ($A \cap B$) содержит только те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно.
$A \cap B = \{4, 5, 6, 7\} \cap \{6, 7, 8, 9\} = \{6, 7\}$.

Ответ: $A = \{4, 5, 6, 7\}$; $B = \{6, 7, 8, 9\}$; объединение $A \cup B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$; пересечение $A \cap B = \{6, 7\}$.

2)

Найдем объединение и пересечение множеств натуральных решений неравенств $3 \le x < 7$ и $x \ge 5$.

Пусть $M$ — множество натуральных решений неравенства $3 \le x < 7$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, это 3, 4, 5, 6.
$M = \{3, 4, 5, 6\}$.

Пусть $N$ — множество натуральных решений неравенства $x \ge 5$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, это 5, 6, 7, 8 и так далее.
$N = \{5, 6, 7, 8, \dots\}$.

Объединение множеств ($M \cup N$) содержит все элементы из обоих множеств.
$M \cup N = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{5, 6, 7, 8, \dots\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots\}$.
Это множество всех натуральных чисел, больших или равных 3.

Пересечение множеств ($M \cap N$) содержит только общие для них элементы.
$M \cap N = \{3, 4, 5, 6\} \cap \{5, 6, 7, 8, \dots\} = \{5, 6\}$.

Ответ: Объединение: $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots\}$ (или множество натуральных чисел $x$, таких что $x \ge 3$). Пересечение: $\{5, 6\}$.

14 Сделай прикидку результата и вычисли:

a) $186\,438 : 46$;

б) $8090 \cdot 2005$.

а) 186 438 : 46

Сначала сделаем прикидку (приблизительную оценку) результата. Для этого округлим делимое и делитель до чисел, с которыми удобно выполнять вычисления.

Округлим 186 438 до 184 000 (поскольку 184 делится на 46, $184 = 4 \cdot 46$), а 46 оставим как есть или округлим до 50. Возьмем 184 000 и 46.

Примерный результат: $184\ 000 : 46 = 4000$.

Другой способ прикидки: округлим 186 438 до 200 000, а 46 до 50.

Примерный результат: $200\ 000 : 50 = 20\ 000 : 5 = 4000$.

Таким образом, мы ожидаем, что ответ будет около 4000.

Теперь выполним точное вычисление делением в столбик:

$ \begin{array}{r|l} \_\,186438 & 46 \\ \underline{184}\phantom{000} & 4053 \\ \_\,24\phantom{00} \\ \underline{0}\phantom{00} \\ \_\,243\phantom{0} \\ \underline{230}\phantom{0} \\ \_\,138 \\ \underline{138} \\ 0 \end{array} $

1. Делим 186 на 46. Берем по 4. $46 \cdot 4 = 184$. Остаток $186 - 184 = 2$.

2. Сносим 4. Получаем 24. 24 меньше 46, поэтому в частное пишем 0.

3. Сносим 3. Получаем 243. Делим 243 на 46. Берем по 5. $46 \cdot 5 = 230$. Остаток $243 - 230 = 13$.

4. Сносим 8. Получаем 138. Делим 138 на 46. Берем по 3. $46 \cdot 3 = 138$. Остаток $138 - 138 = 0$.

Точный результат деления равен 4053, что близко к нашей прикидке.

Ответ: $4053$.

б) 8090 · 2005

Сначала сделаем прикидку результата. Округлим множители до круглых чисел.

Округлим 8090 до 8000, а 2005 до 2000.

Примерный результат: $8000 \cdot 2000 = 16\ 000\ 000$.

Ожидаемый результат – около 16 миллионов.

Теперь выполним точное вычисление умножением в столбик:

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}8090\\2005\end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 40450\\ + \underline{16180\phantom{000}}\\ \end{array}\\ \hline 16220450 \end{array} $

1. Умножаем 8090 на 5: $8090 \cdot 5 = 40450$.

2. Умножаем 8090 на 2000 (пропуская умножение на нули): $8090 \cdot 2 = 16180$. Сдвигаем результат на три позиции влево (так как умножаем на тысячи).

3. Складываем полученные результаты: $40450 + 16180000 = 16220450$.

Точный результат умножения равен 16 220 450, что близко к нашей прикидке (16 000 000).

Ответ: $16\ 220\ 450$.

15 Найди значения выражений:

а) $59 \cdot (536 - 78769 \div 347) + 69898 - 82320 \div 84;$

б) $194815 + 206 \cdot (376200 \div 495 - 193) - 50 \cdot (48600 \div 8).$

а) $59 \cdot (536 - 78769 : 347) + 69898 - 82320 : 84$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (в них сначала деление, затем вычитание), затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним деление в скобках: $78769 : 347 = 227$.

2. Выполним вычитание в скобках: $536 - 227 = 309$.

3. Теперь выражение выглядит так: $59 \cdot 309 + 69898 - 82320 : 84$.

4. Выполним умножение: $59 \cdot 309 = 18231$.

5. Выполним деление: $82320 : 84 = 980$.

6. Подставим полученные значения в выражение: $18231 + 69898 - 980$.

7. Выполним сложение: $18231 + 69898 = 88129$.

8. Выполним вычитание: $88129 - 980 = 87149$.

Ответ: 87149.

б) $194815 + 206 \cdot (376200 : 495 - 193) - 50 \cdot (48600 : 8)$

Решаем по порядку действий: сначала действия в обеих скобках, затем умножение, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним действия в первой скобке:

- Деление: $376200 : 495 = 760$.

- Вычитание: $760 - 193 = 567$.

2. Выполним действие во второй скобке:

- Деление: $48600 : 8 = 6075$.

3. Подставим значения из скобок в выражение: $194815 + 206 \cdot 567 - 50 \cdot 6075$.

4. Выполним умножение слева направо:

- $206 \cdot 567 = 116802$.

- $50 \cdot 6075 = 303750$.

5. Подставим полученные значения: $194815 + 116802 - 303750$.

6. Выполним сложение: $194815 + 116802 = 311617$.

7. Выполним вычитание: $311617 - 303750 = 7867$.

Ответ: 7867.

16. В словах НОЗИБ, ФЕЛЕТОН, АБРЕЗ, ГРИТ переставь буквы так, чтобы получились слова русского языка. Какое слово могло бы быть лишним? Придумай несколько вариантов решения.

Сначала переставим буквы в предложенных наборах, чтобы получились осмысленные слова русского языка: из НОЗИБ получается слово БИЗОН, из ФЕЛЕТОН — ТЕЛЕФОН, из АБРЕЗ — ЗЕБРА, а из ГРИТ — ТИГР.

Таким образом, мы получили ряд слов: БИЗОН, ТЕЛЕФОН, ЗЕБРА, ТИГР. Теперь рассмотрим несколько вариантов, по которым одно из этих слов может быть лишним.

Вариант 1. По признаку одушевленности.

Среди полученных слов три (бизон, зебра, тигр) являются одушевленными существительными, так как обозначают животных. Слово "телефон" — это неодушевленное существительное, обозначающее предмет. По этому признаку оно является лишним.

Ответ: ТЕЛЕФОН

Вариант 2. По грамматическому роду.

Определим род каждого существительного: "бизон" — мужского рода, "телефон" — мужского рода, "тигр" — мужского рода. Слово "зебра" — женского рода. Таким образом, по этому признаку лишним является слово "зебра".

Ответ: ЗЕБРА

Вариант 3. По количеству слогов.

Разделим слова на слоги: БИ-ЗОН (2 слога), ТЕ-ЛЕ-ФОН (3 слога), ЗЕБ-РА (2 слога), ТИГР (1 слог). В этом ряду слово "телефон" единственное состоит из трёх слогов, а слово "тигр" — единственное, состоящее из одного слога. Оба могут считаться лишними по этому признаку.

Ответ: ТЕЛЕФОН (или ТИГР)

Вариант 4. По классификации животных.

Если исключить слово "телефон" как неодушевленное, то среди оставшихся животных (бизон, зебра, тигр) лишним будет "тигр". Бизон и зебра являются травоядными животными, а тигр — хищник.

Ответ: ТИГР

2 Игра «Движущиеся точки».

Определи по рисунку цену деления шкалы. Откуда вышли точки и с какой скоростью они идут? Изобрази их движение на координатном луче. Найди зависимость координаты $x$ точки от времени ее движения $t$.

a) 6 ед./ч

Цена деления: _________

$s = $ _________

$x = $ _________

б) 2 ед./ч

Цена деления: _________

$s = $ _________

$x = $ _________

в) 16 ед./ч

Цена деления: _________

$s = $ _________

$x = $ _________

а)

Чтобы определить цену деления, найдем разность между двумя соседними числовыми отметками и разделим на количество делений между ними. Например, между 6 и 12 одно деление (два отрезка). Значит, цена одного большого деления (от 0 до 6) равна 6. На этом отрезке 2 маленьких деления. Цена одного маленького деления: $6 : 2 = 3$ ед.

Цена деления: 3 ед.

Точка вышла из координаты 0 со скоростью 6 ед./ч. Движение происходит вправо (в сторону увеличения координат). Пройденный путь $s$ за время $t$ равен $s = v \cdot t = 6t$. Координата точки $x$ в момент времени $t$ определяется как $x = x_0 + s$, где $x_0$ - начальная координата. В данном случае $x_0 = 0$, поэтому $x = 0 + 6t = 6t$.

Заполним таблицу:

Формула зависимости пройденного пути $s$ от времени $t$: $s = 6t$.

Формула зависимости координаты $x$ от времени $t$: $x = 6t$.

Ответ: Цена деления: 3 ед. Точка вышла из координаты 0 со скоростью 6 ед./ч. Формулы: $s = 6t$, $x = 6t$.

б)

Определим цену деления. Разность между отметками 2 и 4 равна $4 - 2 = 2$. Между ними 2 деления. Цена деления: $2 : 2 = 1$ ед.

Цена деления: 1 ед.

Точка вышла из координаты 4 со скоростью 2 ед./ч. Движение происходит вправо (в сторону увеличения координат). Пройденный путь $s$ за время $t$ равен $s = v \cdot t = 2t$. Координата точки $x$ в момент времени $t$ определяется как $x = x_0 + s$. В данном случае $x_0 = 4$, поэтому $x = 4 + 2t$.

Заполним таблицу:

Формула зависимости пройденного пути $s$ от времени $t$: $s = 2t$.

Формула зависимости координаты $x$ от времени $t$: $x = 4 + 2t$.

Ответ: Цена деления: 1 ед. Точка вышла из координаты 4 со скоростью 2 ед./ч. Формулы: $s = 2t$, $x = 4 + 2t$.

в)

Определим цену деления. Разность между отметками 0 и 16 равна 16. Между ними 2 деления. Цена деления: $16 : 2 = 8$ ед.

Цена деления: 8 ед.

Точка вышла из координаты 80 со скоростью 16 ед./ч. Движение происходит влево (в сторону уменьшения координат). Пройденный путь $s$ за время $t$ равен $s = v \cdot t = 16t$. Координата точки $x$ в момент времени $t$ определяется как $x = x_0 - s$. В данном случае $x_0 = 80$, поэтому $x = 80 - 16t$.

Заполним таблицу:

Формула зависимости пройденного пути $s$ от времени $t$: $s = 16t$.

Формула зависимости координаты $x$ от времени $t$: $x = 80 - 16t$.

Ответ: Цена деления: 8 ед. Точка вышла из координаты 80 со скоростью 16 ед./ч. Формулы: $s = 16t$, $x = 80 - 16t$.

3 Как узнать, где окажется точка в момент времени $t$, если она вышла из точки $A(6)$ и движется по координатному лучу направо со скоростью $2$ ед./ч? Реши ту же задачу, если точка движется налево.

Для решения этой задачи нужно использовать формулу, связывающую начальное положение, скорость, время и конечное положение объекта. Положение точки на координатном луче в момент времени $t$ можно найти по общей формуле: $x(t) = x_0 + v \cdot t$, где $x_0$ — начальная координата, $v$ — скорость, а $t$ — время. Важно учесть направление движения: при движении направо (в сторону увеличения чисел) скорость считается положительной, а при движении налево (в сторону уменьшения чисел) — отрицательной.

Как узнать, где окажется точка в момент времени t, если она вышла из точки А (6) и движется по координатному лучу направо со скоростью 2 ед./ч?

В этом случае дано:

• Начальная координата: $x_0 = 6$
• Скорость: $v = 2$ ед./ч (положительная, так как движение направлено вправо)
• Время: $t$

Чтобы найти координату точки $x$ в момент времени $t$, нужно к ее начальной координате прибавить расстояние, которое она пройдет за это время. Расстояние $s$ равно произведению скорости на время: $s = v \cdot t = 2t$.
Новая координата $x(t)$ вычисляется по формуле:
$x(t) = x_0 + s = x_0 + v \cdot t$
Подставим наши значения:
$x(t) = 6 + 2 \cdot t$
Ответ: Координата точки в момент времени $t$ будет находиться по формуле $x(t) = 6 + 2t$.

Реши ту же задачу, если точка движется налево.

В этом случае дано:

• Начальная координата: $x_0 = 6$
• Скорость: $v = 2$ ед./ч. Поскольку движение направлено влево (в сторону уменьшения координат), мы будем вычитать пройденное расстояние.
• Время: $t$

Пройденное расстояние за время $t$ по-прежнему равно $s = v \cdot t = 2t$.
Так как точка движется налево, ее координата будет уменьшаться. Поэтому, чтобы найти новую координату, нужно из начальной координаты вычесть пройденное расстояние:
$x(t) = x_0 - s = x_0 - v \cdot t$
Подставим наши значения:
$x(t) = 6 - 2 \cdot t$
Ответ: Координата точки в момент времени $t$ будет находиться по формуле $x(t) = 6 - 2t$.

2 По графику движения Кота (с. 69) определи:

а) На каком расстоянии от города Цветограда находился Кот через 1 ч 30 мин, через 3 ч 30 мин после выхода?

б) Через сколько времени после начала движения он был на расстоянии 6 км, 12 км, 16 км от Цветограда?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать график зависимости расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в ч).

а) На каком расстоянии от города Цветограда находился Кот через 1 ч 30 мин, через 3 ч 30 мин после выхода?

Чтобы определить расстояние в определённый момент времени, нужно найти это время на горизонтальной оси (оси времени), провести вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от этой точки провести горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью (осью расстояния) и определить значение.

• Определим расстояние через 1 ч 30 мин после выхода.

  Переведём время в часы: $1\ ч\ 30\ мин = 1.5\ ч$. Найдём на оси времени отметку $1.5$. Поднимемся от неё до графика движения. Из этой точки проведём горизонтальную линию к оси расстояния. Линия укажет на значение 6 км.

• Определим расстояние через 3 ч 30 мин после выхода.

  Переведём время в часы: $3\ ч\ 30\ мин = 3.5\ ч$. Найдём на оси времени отметку $3.5$. Проведём от неё вертикальную линию до графика. Из точки пересечения проведём горизонтальную линию к оси расстояния. Линия укажет на значение 10 км.

Ответ: Через 1 ч 30 мин Кот находился на расстоянии 6 км от Цветограда, а через 3 ч 30 мин — на расстоянии 10 км.

б) Через сколько времени после начала движения он был на расстоянии 6 км, 12 км, 16 км от Цветограда?

Чтобы определить время по известному расстоянию, нужно найти это расстояние на вертикальной оси, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от этой точки опустить вертикальную линию на ось времени и определить значение.

• На расстоянии 6 км от Цветограда.

  Найдём на оси расстояния отметку 6 км. Проведём горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из этой точки опустим перпендикуляр на ось времени. Он укажет на значение $1.5\ ч$, что составляет 1 час 30 минут.

• На расстоянии 12 км от Цветограда.

  Найдём на оси расстояния отметку 12 км. Проведём горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из полученной точки опустим перпендикуляр на ось времени. Он укажет на значение $4\ ч$.

• На расстоянии 16 км от Цветограда.

  Найдём на оси расстояния отметку 16 км. Проведём горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из точки пересечения опустим перпендикуляр на ось времени. Он укажет на значение $5\ ч$.

Ответ: На расстоянии 6 км Кот был через 1 ч 30 мин, на расстоянии 12 км — через 4 ч, а на расстоянии 16 км — через 5 ч после начала движения.

3 Заполни таблицы и построй графики движения Петуха и Зайца, используя данные из задачи № 1, с. 69.

а) На каком расстоянии от Цветограда был Петух через 20 мин после выхода? За сколько времени он прошёл 8 км?

б) На каком расстоянии от Цветограда находился Заяц через $1 \frac{1}{2}$ ч после выхода? За сколько времени он прошёл 12 км 500 м?

Петух:

$v = 3 \text{ км/ч } s = $

s км

12

9

6

3

0 1 2 3 4 t ч

Заяц:

$v = 5 \text{ км/ч } s = $

s км

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 t ч

Для решения задачи воспользуемся формулой пути: $s = v \cdot t$, где $s$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

Движение Петуха

Скорость Петуха $v = 3$ км/ч. Формула его движения: $s = 3t$.

Заполним таблицу для Петуха:

• При $t=0$ ч, $s = 3 \cdot 0 = 0$ км.
• При $t=1$ ч, $s = 3 \cdot 1 = 3$ км.
• При $t=2$ ч, $s = 3 \cdot 2 = 6$ км.
• При $t=3$ ч, $s = 3 \cdot 3 = 9$ км.
• При $t=4$ ч, $s = 3 \cdot 4 = 12$ км.

График движения Петуха – это прямая линия, проходящая через точки с координатами $(0; 0)$, $(1; 3)$, $(2; 6)$, $(3; 9)$, $(4; 12)$.

а) На каком расстоянии от Цветограда был Петух через 20 мин после выхода? За сколько времени он прошёл 8 км?

1. Сначала переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Теперь найдем расстояние, которое прошел Петух за это время: $s = v \cdot t = 3 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{3} \text{ ч} = 1 \text{ км}$.

2. Теперь найдем время, за которое Петух прошёл 8 км. Для этого воспользуемся формулой $t = \frac{s}{v}$.
$t = \frac{8 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = \frac{8}{3} \text{ ч} = 2 \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Переведем $\frac{2}{3}$ часа в минуты: $\frac{2}{3} \cdot 60 \text{ мин} = 40 \text{ мин}$.
Таким образом, время составит 2 часа 40 минут.

Ответ: через 20 минут Петух был на расстоянии 1 км от Цветограда; 8 км он прошёл за 2 часа 40 минут.

Движение Зайца

Скорость Зайца $v = 5$ км/ч. Формула его движения: $s = 5t$.

Заполним таблицу для Зайца:

• При $t=0$ ч, $s = 5 \cdot 0 = 0$ км.
• При $t=1$ ч, $s = 5 \cdot 1 = 5$ км.
• При $t=2$ ч, $s = 5 \cdot 2 = 10$ км.
• При $t=3$ ч, $s = 5 \cdot 3 = 15$ км.
• При $t=4$ ч, $s = 5 \cdot 4 = 20$ км.

График движения Зайца – это прямая линия, проходящая через точки с координатами $(0; 0)$, $(1; 5)$, $(2; 10)$, $(3; 15)$, $(4; 20)$.

б) На каком расстоянии от Цветограда находился Заяц через $\frac{1}{2}$ ч после выхода? За сколько времени он прошёл 12 км 500 м?

1. Найдем расстояние, которое прошел Заяц за $\frac{1}{2}$ часа (или 0,5 часа):
$s = v \cdot t = 5 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{2} \text{ ч} = 2,5 \text{ км}$.

2. Найдем время, за которое Заяц прошёл 12 км 500 м. Сначала переведем расстояние в километры: $12 \text{ км } 500 \text{ м} = 12,5 \text{ км}$.
Теперь найдем время по формуле $t = \frac{s}{v}$:
$t = \frac{12,5 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 2,5 \text{ ч}$.
2,5 часа – это 2 часа 30 минут.

Ответ: через $\frac{1}{2}$ часа Заяц находился на расстоянии 2,5 км от Цветограда; 12 км 500 м он прошёл за 2 часа 30 минут.

4 Лиса во время путешествия Петуха, Кота и Зайца была на своей даче, на расстоянии 10 км от Цветограда. Заполни таблицу и построй график её движения на рисунках № 3. Что обозначают точки пересечения графиков?

На рисунке показаны все 4 графика движения вместе: Зайца, Кота, Петуха и Лисы.

Анализируя их, можно заметить, что чем больше скорость, движения тем круче вверх поднимается график. А если скорость меньше, то и график более пологий.

В течение всего времени путешествия расстояние от Лисы до Цветограда не менялось. Поэтому горизонтальный график означает отсутствие движения.

По графику движения удобно отвечать на самые разнообразные вопросы. Например, на рисунке показано, как найти расстояние между Петухом и Котом через 4 ч после выхода:

$16 - 12 = 4 \text{ (км)}$

Заполни таблицу и построй график её движения на рисунках № 3.

Согласно условию задачи, Лиса всё время находилась на своей даче на расстоянии 10 км от Цветограда. Это означает, что её расстояние $s$ от Цветограда не менялось с течением времени $t$. Следовательно, для любого момента времени $t$ расстояние $s$ будет равно 10 км. Заполним таблицу на основе этих данных.

График движения Лисы — это прямая, параллельная оси времени $t$ и проходящая через точку 10 на оси расстояний $s$. Это горизонтальная линия, описываемая уравнением $s=10$. На рисунке № 3 она будет выглядеть как прямая, соединяющая точки с координатами $(0, 10)$, $(1, 10)$, $(2, 10)$, $(3, 10)$, $(4, 10)$ и так далее.

Ответ: Заполненная таблица представлена выше. График движения Лисы — это горизонтальная прямая, проходящая на уровне $s = 10$ км.

Что обозначают точки пересечения графиков?

На графике движения по оси абсцисс (горизонтальной) откладывается время ($t$), а по оси ординат (вертикальной) — расстояние от начальной точки ($s$). Каждая точка на графике имеет координаты $(t, s)$, которые показывают, где находился объект в определенный момент времени.

Точка пересечения двух графиков — это точка, которая принадлежит обоим графикам одновременно. Это означает, что в момент времени $t$, соответствующий абсциссе этой точки, оба объекта находились на одинаковом расстоянии $s$ от Цветограда. Другими словами, в этот момент времени они встретились.

Например, точка пересечения графика движения Лисы (прямая $s=10$) и графика движения Кота будет означать момент времени, когда Кот догнал Лису (или, точнее, пробегал мимо её дачи), находясь на расстоянии 10 км от Цветограда.

Ответ: Точки пересечения графиков обозначают моменты времени и места, где персонажи встречаются друг с другом (находятся на одинаковом расстоянии от Цветограда в одно и то же время).