Страница 65, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Дыню разделили поровну между 4 детьми. Какую часть дыни получил каждый?

Чтобы найти, какую часть дыни получил каждый ребенок, нужно всю дыню, которую мы принимаем за 1 (одну целую), разделить на количество детей.

По условию задачи, дыню разделили между 4 детьми. Значит, нам нужно разделить 1 на 4.

Математически это действие записывается в виде деления или дроби:
$1 \div 4 = \frac{1}{4}$

Таким образом, каждый ребенок получил одну из четырех равных частей, то есть одну четвертую часть дыни.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2 Какую долю отрезка $AB$ составляет отрезок $CD$?

а) $\frac{1}{4}$

б) $\frac{2}{6}$

а) Для того чтобы определить, какую долю отрезка AB составляет отрезок CD, необходимо найти отношение длины отрезка CD к длине отрезка AB. Посмотрим на рисунок а). Отрезок AB разделен на 4 равные части. Отрезок CD занимает ровно одну такую часть. Следовательно, отрезок CD составляет одну четвертую часть отрезка AB.
Это можно записать в виде дроби: $ \frac{\text{длина CD}}{\text{длина AB}} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

б) Аналогично рассмотрим рисунок б). Здесь отрезок AB разделен на 5 равных частей. Отрезок CD по-прежнему занимает одну такую часть. Таким образом, отрезок CD составляет одну пятую часть отрезка AB.
Запишем это в виде дроби: $ \frac{\text{длина CD}}{\text{длина AB}} = \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{5} $.

1 Отметь на координатном луче точки A(3) и B(7). Сколько единичных отрезков между ними?

Как вычислить расстояние между точками A и B?

Чтобы найти расстояние между двумя точками координатного луча, можно из большей координаты вычесть меньшую.

$AB = b - a$

Отметь на координатном луче точки А(3) и В(7). Сколько единичных отрезков между ними?

1. Находим на координатном луче отметку "3" и ставим на ней точку А.

2. Находим на координатном луче отметку "7" и ставим на ней точку В.

3. Чтобы посчитать количество единичных отрезков между ними, можно посчитать "шаги" от точки А до точки В. От 3 до 4 — один отрезок, от 4 до 5 — второй, от 5 до 6 — третий, от 6 до 7 — четвертый.

Таким образом, между точками А(3) и В(7) находится 4 единичных отрезка.

Ответ: 4.

Как вычислить расстояние между точками А и В?

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатном луче, нужно из большей координаты вычесть меньшую. Это правило проиллюстрировано в рамке на изображении.

Координата точки В равна 7.
Координата точки А равна 3.

Так как $7 > 3$, вычитаем из большей координаты меньшую, чтобы найти длину отрезка AB:

$AB = 7 - 3 = 4$

Расстояние между точками А и В равно 4.

Ответ: Чтобы вычислить расстояние между точками А и В, нужно из координаты точки В вычесть координату точки А: $7 - 3 = 4$.

2 На сколько единичных отрезков удалены друг от друга ромашки и василёк? Вырази это расстояние в сантиметрах, если:

a) $e = 6$ см;

б) $e = 2$ дм.

Сначала определим, на сколько единичных отрезков ($e$) удалены друг от друга ромашки и василёк. Ромашки находятся на отметке 7 (между 6 и 8), а василёк — на отметке 16. Чтобы найти расстояние в единичных отрезках, нужно вычесть из большей координаты меньшую:

$16 - 7 = 9$ (единичных отрезков)

Теперь выразим это расстояние в сантиметрах для каждого случая.

а) Если длина единичного отрезка $e = 6$ см, то расстояние между цветами равно:

$9 \times 6 = 54$ (см)

Ответ: на 9 единичных отрезков; 54 см.

б) Если длина единичного отрезка $e = 2$ дм, то сначала переведем эту длину в сантиметры. Зная, что $1$ дм $= 10$ см, получаем:

$e = 2 \text{ дм} = 2 \times 10 = 20$ см

Теперь найдем расстояние между цветами в сантиметрах:

$9 \times 20 = 180$ (см)

Ответ: на 9 единичных отрезков; 180 см.

3. Запиши координаты точек O, A, B, C, D, P, K, M. Найди длины отрезков KC, AD, PM, OK, выраженные в единичных отрезках.

$OA \quad B \quad C \quad D \quad P \quad K \quad M$

$0 \quad 3 \quad 6 \quad 9 \quad 12 \quad 15 \quad 18 \quad 21 \quad 24 \quad 27 \quad 30$

Координаты точек:

O ( ) D ( )

A ( ) P ( )

B ( ) K ( )

C ( ) M ( )

Длины отрезков:

$KC = 25 - 10 =$

$AD =$

$PM =$

$OK =$

Для решения задачи сначала определим координаты указанных точек на числовой оси. На оси отмечены числа с шагом $3$ ($0, 3, 6, ...$). Расстояние между двумя соседними отмеченными числами (например, между $0$ и $3$) разделено на $3$ равных отрезка. Это означает, что длина одного такого маленького отрезка (единичного отрезка) равна $1$.

Определим координаты каждой точки:

• Точка O находится в начале координат. O(0)
• Точка A находится на первом делении после нуля. A(1)
• Точка B находится на отметке $6$. B(6)
• Точка C находится на первом делении после $9$. C(10)
• Точка D находится на отметке $15$. D(15)
• Точка P находится на втором делении после $18$. P(20)
• Точка K находится на первом делении после $24$. K(25)
• Точка M находится на втором делении после $27$ (или на одно деление левее $30$). M(29)

Теперь найдем длины отрезков. Длина отрезка на числовой оси равна разности координат его концов (из большей координаты вычитаем меньшую).

KC. Чтобы найти длину отрезка KC, нужно из координаты точки K вычесть координату точки C. $KC = 25 - 10 = 15$. Ответ: $15$

AD. Чтобы найти длину отрезка AD, нужно из координаты точки D вычесть координату точки A. $AD = 15 - 1 = 14$. Ответ: $14$

PM. Чтобы найти длину отрезка PM, нужно из координаты точки M вычесть координату точки P. $PM = 29 - 20 = 9$. Ответ: $9$

OK. Чтобы найти длину отрезка OK, нужно из координаты точки K вычесть координату точки O. $OK = 25 - 0 = 25$. Ответ: $25$

1 Построй четырёхугольник ABCD по координатам вершин. Если возможно, проведи его оси симметрии. Проверь с помощью кальки.

а) $A(0;1)$, $B(2;5)$, $C(6;5)$, $D(8;1)$;

б) $A(0;3)$, $B(5;6)$, $C(7;3)$, $D(5;0)$;

в) $A(1;1)$, $B(1;5)$, $C(7;5)$, $D(7;1)$;

г) $A(1;2)$, $B(2;6)$, $C(8;6)$, $D(7;2)$;

д) $A(0;3)$, $B(4;5)$, $C(7;3)$, $D(4;1)$;

е) $A(1;3)$, $B(4;6)$, $C(7;3)$, $D(4;0)$.

а) Построив четырёхугольник ABCD по координатам A(0; 1), B(2; 5), C(6; 5), D(8; 1), мы видим, что его основания BC и AD лежат на параллельных прямых $y=5$ и $y=1$. Следовательно, ABCD – трапеция. Найдём длины боковых (непараллельных) сторон AB и CD:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$
$CD = \sqrt{(8-6)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$
Так как боковые стороны равны ($AB=CD$), трапеция является равнобедренной. У равнобедренной трапеции есть одна ось симметрии, которая проходит через середины её оснований. Середина основания BC — точка с координатами $(\frac{2+6}{2}; \frac{5+5}{2}) = (4; 5)$. Середина основания AD — точка с координатами $(\frac{0+8}{2}; \frac{1+1}{2}) = (4; 1)$. Ось симметрии проходит через эти две точки и задаётся уравнением $x=4$.
Ответ: Осью симметрии является прямая $x=4$.

б) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(0; 3), B(5; 6), C(7; 3), D(5; 0). Найдём длины его сторон:
$AB = \sqrt{(5-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$AD = \sqrt{(5-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{5^2+(-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$BC = \sqrt{(7-5)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(7-5)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$
Так как смежные стороны попарно равны ($AB=AD$ и $BC=CD$), эта фигура является дельтоидом (кайтом). Осью симметрии дельтоида является его диагональ AC, которая лежит на прямой $y=3$. При отражении относительно этой прямой вершина B(5; 6) переходит в вершину D(5; 0), а вершины A и C остаются на месте, поэтому вся фигура отображается на себя.
Ответ: Осью симметрии является прямая $y=3$.

в) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(1; 1), B(1; 5), C(7; 5), D(7; 1). Его стороны AB и CD параллельны оси Y, а стороны BC и AD параллельны оси X. Следовательно, все углы прямые, и фигура является прямоугольником. Длина стороны $AB = 5-1=4$, длина стороны $BC = 7-1=6$. Так как смежные стороны не равны, это не квадрат. Прямоугольник имеет две оси симметрии, которые проходят через середины его противоположных сторон.
Первая ось — это вертикальная прямая, проходящая через середины сторон AD и BC. Её уравнение $x = \frac{1+7}{2}$, то есть $x=4$.
Вторая ось — это горизонтальная прямая, проходящая через середины сторон AB и CD. Её уравнение $y = \frac{1+5}{2}$, то есть $y=3$.
Ответ: Две оси симметрии: прямые $x=4$ и $y=3$.

г) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(1; 2), B(2; 6), C(8; 6), D(7; 2). Стороны BC и AD лежат на горизонтальных прямых $y=6$ и $y=2$, значит они параллельны. Найдём угловые коэффициенты сторон AB и DC:
$k_{AB} = \frac{6-2}{2-1} = 4$
$k_{DC} = \frac{6-2}{8-7} = 4$
Так как угловые коэффициенты равны, стороны AB и DC также параллельны. Фигура, у которой противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Длины смежных сторон $BC=6$ и $AB=\sqrt{(2-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{17}$ не равны. Углы не являются прямыми. Такой параллелограмм (не являющийся ромбом или прямоугольником) не имеет осей симметрии.
Ответ: Осей симметрии нет.

д) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(0; 3), B(4; 5), C(7; 3), D(4; 1). Найдём длины его сторон:
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$
$AD = \sqrt{(4-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4^2+(-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$
$BC = \sqrt{(7-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{3^2+(-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(7-4)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
Так как смежные стороны попарно равны ($AB=AD$ и $BC=CD$), эта фигура является дельтоидом (кайтом). Осью симметрии является его диагональ AC, которая лежит на прямой $y=3$. При отражении относительно этой прямой вершина B(4; 5) переходит в вершину D(4; 1), а вершины A и C остаются на месте.
Ответ: Осью симметрии является прямая $y=3$.

е) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(1; 3), B(4; 6), C(7; 3), D(4; 0). Найдём длины его сторон:
$AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-3)^2} = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18}$
$BC = \sqrt{(7-4)^2+(3-6)^2} = \sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{18}$
$CD = \sqrt{(4-7)^2+(0-3)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2} = \sqrt{18}$
$DA = \sqrt{(1-4)^2+(3-0)^2} = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18}$
Все стороны равны, значит это ромб. Проверим длины его диагоналей:
$AC = \sqrt{(7-1)^2+(3-3)^2} = \sqrt{6^2} = 6$
$BD = \sqrt{(4-4)^2+(0-6)^2} = \sqrt{(-6)^2} = 6$
Так как диагонали ромба равны, этот ромб является квадратом. У квадрата четыре оси симметрии: две проходят через диагонали, а две — через середины противоположных сторон.
1. Прямая, содержащая диагональ AC: $y=3$.
2. Прямая, содержащая диагональ BD: $x=4$.
3. Прямая, проходящая через середины сторон AD и BC: $y=x-1$.
4. Прямая, проходящая через середины сторон AB и DC: $y=-x+7$.
Ответ: Четыре оси симметрии: прямые $y=3$, $x=4$, $y=x-1$ и $y=-x+7$.

$A_1 (4; 1)$, $A_2 (5; 2)$

$A_3 (6; 4)$, $A_4 (2; 7)$

$A_5 (5; 8)$, $A_6 (3; 9)$

$A_7 (4; 12)$, $A_8 (6; 11)$

$A_9 (5; 10)$, $A_{10} (6; 12)$

$A_{11} (7; 9)$, $A_{12} (7; 5)$

$A_{13} (7; 1)$, $A_{14} (9; 3)$

$A_{15} (13; 4)$, $A_{16} (11; 1)$

$A_1.$

Для того чтобы закодировать рисунок, необходимо определить координаты каждой из отмеченных точек в прямоугольной системе координат. Координаты точки записываются в виде $(x; y)$, где $x$ — это значение по горизонтальной оси (оси абсцисс), а $y$ — значение по вертикальной оси (оси ординат). Определим координаты для каждой точки последовательно, находя соответствующие им значения на осях $x$ и $y$.

A₁ ( ; ), A₂ ( ; )

Для точки $A_1$: находим значение на горизонтальной оси $x$, оно равно 3. Затем находим значение на вертикальной оси $y$, оно равно 1. Таким образом, координаты точки $A_1$ равны $(3; 1)$.
Для точки $A_2$: значение по оси $x$ равно 4, а по оси $y$ — 2. Координаты точки $A_2$ равны $(4; 2)$.
Ответ: $A_1(3; 1), A_2(4; 2)$

A₃ ( ; ), A₄ ( ; )

Для точки $A_3$: координата по оси $x$ равна 5, координата по оси $y$ — 4. Координаты: $(5; 4)$.
Для точки $A_4$: координата по оси $x$ равна 2, координата по оси $y$ — 6. Координаты: $(2; 6)$.
Ответ: $A_3(5; 4), A_4(2; 6)$

A₅ ( ; ), A₆ ( ; )

Для точки $A_5$: координата по оси $x$ равна 4, координата по оси $y$ — 8. Координаты: $(4; 8)$.
Для точки $A_6$: координата по оси $x$ равна 2, координата по оси $y$ — 9. Координаты: $(2; 9)$.
Ответ: $A_5(4; 8), A_6(2; 9)$

A₇ ( ; ), A₈ ( ; )

Для точки $A_7$: координата по оси $x$ равна 3, координата по оси $y$ — 12. Координаты: $(3; 12)$.
Для точки $A_8$: координата по оси $x$ равна 4, координата по оси $y$ — 11. Координаты: $(4; 11)$.
Ответ: $A_7(3; 12), A_8(4; 11)$

A₉ ( ; ), A₁₀ ( ; )

Для точки $A_9$: координата по оси $x$ равна 5, координата по оси $y$ — 11. Координаты: $(5; 11)$.
Для точки $A_{10}$: координата по оси $x$ равна 5, координата по оси $y$ — 12. Координаты: $(5; 12)$.
Ответ: $A_9(5; 11), A_{10}(5; 12)$

A₁₁ ( ; ), A₁₂ ( ; )

Для точки $A_{11}$: координата по оси $x$ равна 6, координата по оси $y$ — 9. Координаты: $(6; 9)$.
Для точки $A_{12}$: координата по оси $x$ равна 8, координата по оси $y$ — 5. Координаты: $(8; 5)$.
Ответ: $A_{11}(6; 9), A_{12}(8; 5)$

A₁₃ ( ; ), A₁₄ ( ; )

Для точки $A_{13}$: координата по оси $x$ равна 7, координата по оси $y$ — 1. Координаты: $(7; 1)$.
Для точки $A_{14}$: координата по оси $x$ равна 9, координата по оси $y$ — 3. Координаты: $(9; 3)$.
Ответ: $A_{13}(7; 1), A_{14}(9; 3)$

A₁₅ ( ; ), A₁₆ ( ; )

Для точки $A_{15}$: координата по оси $x$ равна 13, координата по оси $y$ — 3. Координаты: $(13; 3)$.
Для точки $A_{16}$: координата по оси $x$ равна 12, координата по оси $y$ — 1. Координаты: $(12; 1)$.
Ответ: $A_{15}(13; 3), A_{16}(12; 1)$

A₁

Ломаная линия замыкается в начальной точке $A_1$. Её координаты были определены в первом пункте.
Ответ: $A_1(3; 1)$