Страница 61, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Рассмотри картинку. Где расположены гостиница, аптека, столовая? Как числа помогают рассказать об этом?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

В жизни мы часто используем числа, чтобы определить положение какого-нибудь объекта. Например, мы говорим: «Кабинет биологии — третья комната вдоль по коридору», «Гостиница расположена на 64-м километре шоссе».

Как мы уже знаем, с помощью чисел можно обозначить любую точку луча. Например, положение точки А на рисунке задаётся числом 3, так как она удалена от начала числового луча на 3 единичных отрезка e.

0 1 2 3 4 5 6 7

Число, равное расстоянию от точки А числового луча до начала этого луча, называют координатой точки А. На нашем рисунке координата точки А равна 3. Пишут: $A(3)$.

Поэтому числовой луч также называют координатным лучом. Стрелка показывает, что при движении точки по лучу направо её координата увеличивается, а при движении налево — уменьшается.

Где расположены гостиница, аптека, столовая?

На изображении мы видим числовой луч, который можно представить как улицу с домами. Положение каждого объекта определяется числом, над которым он находится. Это число называется координатой.

• Гостиница (значок с кроватью) находится над числом 4. Следовательно, её координата равна 4.
• Аптека (значок с медицинским крестом) находится над числом 8. Её координата равна 8.
• Столовая (значок с вилкой и ножом) находится над числом 15. Её координата равна 15.

Ответ: Гостиница расположена в точке с координатой 4, аптека — в точке с координатой 8, а столовая — в точке с координатой 15.

Как числа помогают рассказать об этом?

Числа на числовом луче помогают точно и однозначно указать местоположение каждого объекта. Они выполняют роль адреса или координаты.

Использование чисел позволяет:

• Избежать неточности. Вместо того чтобы говорить "гостиница расположена в начале улицы", мы можем сказать "гостиница находится в точке 4". Это конкретная и понятная информация.
• Сравнивать расположение объектов. Зная координаты, мы можем определить расстояние между объектами. Например, расстояние от гостиницы (4) до аптеки (8) составляет $8 - 4 = 4$ единичных отрезка.
• Давать краткие и универсальные инструкции. Координата — это короткий и понятный всем способ описать положение.

Таким образом, числа превращают простую линию в координатный луч, на котором у каждой точки есть свой уникальный "адрес".

Ответ: Числа выступают в роли координат, которые точно и однозначно определяют положение каждого объекта на числовом луче.

2 Какая точка на луче $OM$ имеет координату $3$, $5$, $10$?

Какую координату имеет начало луча?

Определи координаты остальных точек.

$O: 0$

$A: 1$

$B: 3$

$C: 5$

$D: 6$

$E: 7$

$F: 10$

$M: 11$

Какая точка на луче ОМ имеет координату 3, 5, 10?

Чтобы определить, какая точка соответствует указанным координатам, необходимо посмотреть на числовой луч, представленный на рисунке.
- Над числом 3 на шкале находится точка B.
- Над числом 5 на шкале находится точка C.
- Над числом 10 на шкале находится точка F.

Ответ: Координату 3 имеет точка B, координату 5 — точка C, а координату 10 — точка F.

Какую координату имеет начало луча?

Началом луча OM является точка O. На числовой шкале под точкой O находится число 0. Таким образом, координата начала луча равна 0.

Ответ: Начало луча имеет координату 0.

Определи координаты остальных точек.

Определим координаты всех отмеченных на луче точек, сопоставив их с числами на шкале. "Остальные" точки — это те, что не были указаны в первом вопросе (B, C, F), то есть O, A, D, E, M.
- Точка O, начало луча, расположена над числом 0. Её координата — $O(0)$.
- Точка A расположена над числом 1. Её координата — $A(1)$.
- Точка D расположена над числом 6. Её координата — $D(6)$.
- Точка E расположена над числом 7. Её координата — $E(7)$.
- Точка M расположена над числом 11. Её координата — $M(11)$.

Ответ: Координаты остальных точек: $O(0)$, $A(1)$, $D(6)$, $E(7)$, $M(11)$.

1 a) Запиши координаты точек $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$. Что ты замечаешь?

$A_1(2; 3)$, $A_2(2; 2)$, $A_3(2; 1)$, $A_4(2; 0)$.

б) Отметь произвольную точку $A$ на оси абсцисс. В чем особенность координат этой точки? Закончи предложение:

Если точка принадлежит оси абсцисс, то её ордината

а)

Для того чтобы записать координаты точек, нужно определить их положение относительно осей координат $x$ (ось абсцисс) и $y$ (ось ординат). Координаты точки записываются в виде $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината.

- Для точки $A_1$: опускаем перпендикуляр на ось $x$ и попадаем в точку 2, на ось $y$ — в точку 3. Координаты: $A_1(2; 3)$.
- Для точки $A_2$: перпендикуляр на ось $x$ указывает на 2, на ось $y$ — тоже на 2. Координаты: $A_2(2; 2)$.
- Для точки $A_3$: перпендикуляр на ось $x$ указывает на 2, на ось $y$ — на 1. Координаты: $A_3(2; 1)$.
- Для точки $A_4$: перпендикуляр на ось $x$ указывает на 2, а сама точка лежит на оси $x$, значит её координата по оси $y$ равна 0. Координаты: $A_4(2; 0)$.

Что ты замечаешь? Можно заметить, что у всех точек $A_1, A_2, A_3, A_4$ первая координата (абсцисса) одинаковая и равна 2. Это означает, что все они лежат на одной вертикальной прямой, которая параллельна оси $y$.

Ответ: $A_1(2; 3)$, $A_2(2; 2)$, $A_3(2; 1)$, $A_4(2; 0)$. У всех точек одинаковая абсцисса — 2.

б)

Ось абсцисс — это горизонтальная ось $x$. Если отметить на ней любую произвольную точку $A$, то её координата по оси $y$ (ордината) всегда будет равна нулю. Например, точка с абсциссой 4 на этой оси будет иметь координаты $(4; 0)$.

Особенность координат любой точки, лежащей на оси абсцисс, состоит в том, что её ордината всегда равна нулю.

Закончим предложение: Если точка принадлежит оси абсцисс, то её ордината равна нулю.

Ответ: равна нулю.

2 а) Запиши координаты точек $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$. Что ты замечаешь?

$B_1(3;2)$, $B_2(2;3)$, $B_3(1;2)$, $B_4(1;3)$.

б) Отметь произвольную точку $B$ на оси ординат. В чём особенность координат этой точки? Закончи предложение:

Если точка принадлежит оси ординат, то её абсцисса

При построении точки $A(a;0)$ надо пройти $a$ единиц по оси $x$ и остановиться, так как смещения вдоль оси $y$ нет. Значит, точка с ординатой, равной $0$, принадлежит оси абсцисс:

$A(a;0) \in Ox.$

Аналогично при построении точки $B(0;b)$ нет смещения вдоль оси $x$. Поэтому точка с абсциссой, равной нулю, принадлежит оси ординат.

$B(0;b) \in Oy.$

а)

Чтобы найти координаты точки на плоскости, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на оси координат. Координата на оси $x$ называется абсциссой, а на оси $y$ — ординатой. Координаты записываются в виде $(x; y)$.

Определим координаты для каждой точки на графике:

• Для точки $B_1$: опускаем перпендикуляр на ось $x$ и попадаем в точку 3. Опускаем перпендикуляр на ось $y$ и попадаем в точку 3. Следовательно, координаты точки $B_1(3; 3)$.
• Для точки $B_2$: проекция на ось $x$ — это точка 2, проекция на ось $y$ — точка 4. Следовательно, координаты точки $B_2(2; 4)$.
• Для точки $B_3$: проекция на ось $x$ — это точка 1, проекция на ось $y$ — точка 3. Следовательно, координаты точки $B_3(1; 3)$.
• Для точки $B_4$: проекция на ось $x$ — это точка 1, проекция на ось $y$ — точка 4. Следовательно, координаты точки $B_4(1; 4)$.

Итак, $B_1(3; 3)$, $B_2(2; 4)$, $B_3(1; 3)$, $B_4(1; 4)$.

Анализируя полученные координаты, можно заметить следующие закономерности:

• У точек $B_3(1; 3)$ и $B_4(1; 4)$ одинаковая абсцисса $x=1$. Это означает, что они лежат на одной вертикальной прямой.
• У точек $B_1(3; 3)$ и $B_3(1; 3)$ одинаковая ордината $y=3$. Это означает, что они лежат на одной горизонтальной прямой.
• У точек $B_2(2; 4)$ и $B_4(1; 4)$ одинаковая ордината $y=4$. Это означает, что они лежат на другой горизонтальной прямой.

Ответ: $B_1(3; 3)$, $B_2(2; 4)$, $B_3(1; 3)$, $B_4(1; 4)$. Замечаем, что у некоторых точек совпадают абсциссы (у $B_3$ и $B_4$), а у некоторых — ординаты (у $B_1$ и $B_3$, а также у $B_2$ и $B_4$).

б)

Ось ординат — это вертикальная ось $y$. Любая точка, которая лежит на этой оси, не смещена ни влево, ни вправо от начала координат. Смещение по горизонтальной оси $x$ для такой точки равно нулю. Поэтому абсцисса (координата $x$) любой точки на оси ординат всегда равна 0. Ордината (координата $y$) при этом может быть любым числом.

Например, если отметить произвольную точку $B$ на оси ординат на уровне отметки 2, её координаты будут $(0; 2)$. Если на уровне -1, то $(0; -1)$.

Особенность координат точки, лежащей на оси ординат, заключается в том, что её абсцисса всегда равна нулю.

Закончим предложение:

Если точка принадлежит оси ординат, то её абсцисса равна нулю.

Ответ: Особенность координат точки на оси ординат в том, что её абсцисса (первая координата) всегда равна нулю. Если точка принадлежит оси ординат, то её абсцисса равна нулю.