Страница 56, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

7 a) Из деревни Годуново в Москву выехал велосипедист со скоростью $15$ км/ч. Расстояние от Годунова до Москвы равно $120$ км. Покажи движение велосипедиста на числовом луче и определи, на каком расстоянии от Годунова и от Москвы был он через $3$ ч после выезда? Через $7$ ч? Через сколько времени он прибыл в Москву?

Годуново $0$ $15$ $30$ $45$ $60$ $75$ $90$ $105$ $120$ Москва (скорость $15$ км/ч)

б) Пусть $s$ км — расстояние, пройденное велосипедистом, а $d$ км — его расстояние до Москвы. Заполни таблицу и запиши формулы, выражающие зависимость величин $s$ и $d$ от времени $t$. Какие значения может принимать в этих формулах переменная $t$?

$s = $

$d = $

а)

Движение велосипедиста можно показать на числовом луче, где 0 — это деревня Годуново, а 120 — это Москва. Скорость велосипедиста $v = 15$ км/ч. Каждую единицу времени (час) его положение на луче будет смещаться на 15 единиц вправо.

1. Через 3 часа после выезда:

Чтобы найти расстояние, которое проехал велосипедист от Годунова, нужно умножить его скорость на время в пути:

$s = v \cdot t = 15 \cdot 3 = 45$ км.

Таким образом, через 3 часа велосипедист был на расстоянии 45 км от Годунова.

Чтобы найти расстояние, которое ему осталось проехать до Москвы, нужно вычесть пройденное расстояние из общего расстояния:

$d = 120 - s = 120 - 45 = 75$ км.

Через 3 часа он был на расстоянии 75 км от Москвы.

2. Через 7 часов после выезда:

Аналогично находим расстояние от Годунова:

$s = v \cdot t = 15 \cdot 7 = 105$ км.

И расстояние до Москвы:

$d = 120 - s = 120 - 105 = 15$ км.

3. Время прибытия в Москву:

Чтобы найти общее время в пути, нужно разделить все расстояние на скорость:

$t_{общ} = S / v = 120 / 15 = 8$ ч.

Ответ: Через 3 ч велосипедист был на расстоянии 45 км от Годунова и 75 км от Москвы. Через 7 ч он был на расстоянии 105 км от Годунова и 15 км от Москвы. В Москву он прибыл через 8 часов.

б)

Пусть $s$ — расстояние, пройденное от Годунова, $d$ — расстояние, оставшееся до Москвы, и $t$ — время в часах.

Формула для пройденного расстояния $s$ в зависимости от времени $t$:

$s = 15 \cdot t$

Формула для оставшегося расстояния $d$ в зависимости от времени $t$:

$d = 120 - s = 120 - 15 \cdot t$

Заполним таблицу, используя эти формулы для разных значений $t$:

Переменная $t$ в этих формулах может принимать значения от момента выезда ($t=0$) до момента прибытия в Москву. Как мы выяснили в пункте а), время прибытия составляет 8 часов. Таким образом, переменная $t$ может принимать любые значения в промежутке от 0 до 8, включая концы. Математически это записывается как $0 \le t \le 8$.

Ответ: Формулы: $s = 15t$, $d = 120 - 15t$. Таблица заполнена выше. Переменная $t$ может принимать значения от 0 до 8 включительно ($0 \le t \le 8$).

8 Автобус проехал 480 км за 8 часов. За сколько времени пройдёт это расстояние автомобиль, скорость которого на 36 км/ч больше скорости автобуса? С какой скоростью надо ехать, чтобы преодолеть это расстояние за 4 часа?

За сколько времени пройдёт это расстояние автомобиль, скорость которого на 36 км/ч больше скорости автобуса?

1. Сначала найдём скорость автобуса. Для этого разделим расстояние на время, которое автобус был в пути:

$v_{\text{авт}} = S / t_{\text{авт}} = 480 \text{ км} / 8 \text{ ч} = 60 \text{ км/ч}$

2. Теперь определим скорость автомобиля. По условию задачи, она на 36 км/ч больше скорости автобуса:

$v_{\text{авто}} = v_{\text{авт}} + 36 \text{ км/ч} = 60 \text{ км/ч} + 36 \text{ км/ч} = 96 \text{ км/ч}$

3. Наконец, вычислим, сколько времени потребуется автомобилю, чтобы проехать 480 км с найденной скоростью:

$t_{\text{авто}} = S / v_{\text{авто}} = 480 \text{ км} / 96 \text{ км/ч} = 5 \text{ часов}$

Ответ: 5 часов.

С какой скоростью надо ехать, чтобы преодолеть это расстояние за 4 часа?

Чтобы найти требуемую скорость, нужно разделить расстояние на заданное время:

$v = S / t = 480 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 120 \text{ км/ч}$

Ответ: 120 км/ч.

9. Придумай задачу, которая решается так: $a+a \cdot 3+(a-5)$.

Чтобы придумать задачу, которая решается с помощью выражения $a + a \cdot 3 + (a - 5)$, необходимо проанализировать его структуру. Выражение представляет собой сумму трёх слагаемых, которые связаны друг с другом:

• Первое слагаемое — это некая величина $a$.
• Второе слагаемое — это величина, которая в 3 раза больше первой ($a \cdot 3$).
• Третье слагаемое — это величина, которая на 5 единиц меньше первой ($a - 5$).

Таким образом, в задаче должны фигурировать три объекта или группы объектов, количество которых соотносится именно так, и требоваться найти их общую сумму.

Можно составить, например, такую задачу:

Маша, Петя и Коля собирали в лесу грибы. Маша нашла $a$ грибов. Петя нашёл в 3 раза больше грибов, чем Маша. А Коля нашёл на 5 грибов меньше, чем Маша. Сколько всего грибов собрали дети вместе?

Решение этой задачи как раз и будет выглядеть как запись исходного выражения, где мы последовательно складываем количество грибов у каждого ребёнка: $a$ (грибы Маши) + $a \cdot 3$ (грибы Пети) + $(a - 5)$ (грибы Коли).

Ответ: Маша набрала $a$ яблок, Катя — в 3 раза больше, чем Маша, а Света — на 5 яблок меньше, чем Маша. Сколько всего яблок набрали девочки?

10 a) $90412 - 128 \cdot 84 : (6040 - 5848) \cdot 370 + 53878 \cdot 0;$

б) $4800 \cdot 74 - (506 - 399) \cdot 301 + 30075 : 15 \cdot 42.$

а) $90 412 - 128 \cdot 84 : (6040 - 5848) \cdot 370 + 53 878 \cdot 0$

Для решения примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (в порядке их следования слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание (также слева направо).

1. Выполним действие в скобках:
$6040 - 5848 = 192$

2. Теперь выражение выглядит так: $90 412 - 128 \cdot 84 : 192 \cdot 370 + 53 878 \cdot 0$. Выполним умножение и деление по порядку:
$128 \cdot 84 = 10 752$
$10 752 : 192 = 56$
$56 \cdot 370 = 20 720$

3. Также выполним умножение на ноль:
$53 878 \cdot 0 = 0$

4. Подставим все полученные значения в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:
$90 412 - 20 720 + 0 = 69 692$

Ответ: 69692

б) $4800 \cdot 74 - (506 - 399) \cdot 301 + 30 075 : 15 \cdot 42$

Решим второй пример, также соблюдая правильный порядок действий.

1. Выполним действие в скобках:
$506 - 399 = 107$

2. Теперь выражение имеет вид: $4800 \cdot 74 - 107 \cdot 301 + 30 075 : 15 \cdot 42$. Выполним умножение и деление слева направо:
$4800 \cdot 74 = 355 200$
$107 \cdot 301 = 32 207$
$30 075 : 15 = 2005$
$2005 \cdot 42 = 84 210$

3. Подставим результаты в выражение и выполним вычитание и сложение:
$355 200 - 32 207 + 84 210 = 322 993 + 84 210 = 407 203$

Ответ: 407203

11* Для каждой фигуры на рисунке объясни, почему она может быть лишней:

A

B

C

D

Фигура A может быть лишней, потому что это единственная фигура на рисунке, у которой все углы прямые ($90^{\circ}$). У фигур B и C есть прямые углы, но не все, а у фигуры D прямых углов нет.
Ответ: Фигура A — единственная, у которой все углы прямые.

Фигура B может быть лишней, потому что это единственная фигура, являющаяся треугольником (имеет 3 стороны и 3 угла). Все остальные фигуры (A, C и D) — четырехугольники, так как у них по 4 стороны и 4 угла.
Ответ: Фигура B — единственный треугольник.

Фигура C может быть лишней, потому что из всех четырехугольников (A, C и D) это единственная фигура, у которой только одна пара параллельных сторон (трапеция). У фигур A (прямоугольник) и D (параллелограмм) по две пары параллельных сторон.
Ответ: Фигура C — единственная, у которой только одна пара параллельных сторон.

Фигура D может быть лишней, потому что это единственная фигура, у которой нет ни одного прямого угла. У всех остальных фигур (A, B и C) есть хотя бы один прямой угол.
Ответ: Фигура D — единственная фигура без прямых углов.

11 а) Определи по рисунку, из какого города выехал мотоциклист и с какой скоростью он едет? Изобрази его движение на числовом луче. Через сколько часов после выезда он приедет во Владимир? На каком расстоянии от Костромы и от Владимира был мотоциклист через 3 ч после выезда?

КОСТРОМА

$45 \text{ км/ч}$

$0 \quad 45 \quad 90 \quad 135 \quad 180 \quad 225 \quad \text{ВЛАДИМИР}$

б) Пусть $s$ — путь, пройденный мотоциклистом, $d$ — его расстояние от Костромы и $D$ — его расстояние до Владимира. Заполни таблицу и запиши формулы зависимости величин $s$, $d$ и $D$ от времени движения $t$.

t ч | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | t

s км

d км

D км

$s=$

$d=$

$D=$

а)

Из рисунка видно, что движение начинается в точке 0, которая соответствует городу Кострома. Следовательно, мотоциклист выехал из Костромы.

На числовом луче показано, что за 1 час мотоциклист проезжает 45 км (перемещается из точки 0 в точку 45). Значит, его скорость составляет 45 км/ч.

Расстояние от Костромы до Владимира составляет 225 км. Чтобы найти время, за которое мотоциклист преодолеет это расстояние, нужно разделить расстояние на скорость:

$t = \text{Расстояние} : \text{Скорость} = 225 : 45 = 5$ часов.

Через 3 часа после выезда мотоциклист проедет расстояние (это и будет его расстояние от Костромы):

$s = 45 \cdot 3 = 135$ км.

Чтобы найти расстояние до Владимира, нужно из общего расстояния вычесть пройденный путь:

$D = 225 - 135 = 90$ км.

Ответ: мотоциклист выехал из Костромы со скоростью 45 км/ч. Во Владимир он приедет через 5 часов. Через 3 часа после выезда он был на расстоянии 135 км от Костромы и 90 км от Владимира.

б)

Для заполнения таблицы и вывода формул будем использовать следующие данные:

• Скорость мотоциклиста $v = 45$ км/ч.
• Общее расстояние от Костромы до Владимира $S_{общ} = 225$ км.
• $s$ (путь, пройденный мотоциклистом) и $d$ (расстояние от Костромы) вычисляются по формуле: $s = d = v \cdot t$.
• $D$ (расстояние до Владимира) вычисляется по формуле: $D = S_{общ} - s$.

Ответ:

Заполненная таблица:

Формулы зависимости величин от времени движения $t$:

$s = 45 \cdot t$

$d = 45 \cdot t$

$D = 225 - 45 \cdot t$

12 Запиши множество дробей $\frac{a}{b}$, числитель которых удовлетворяет неравенству $4 < a \le 6$, а знаменатель — неравенству $5 \le b < 8$. Разбей это множество на части: правильные и неправильные дроби. Является ли это разбиение классификацией?

Запиши множество дробей $\frac{a}{b}$, числитель которых удовлетворяет неравенству $4 < a \le 6$, а знаменатель — неравенству $5 \le b < 8$.

Сначала найдем все возможные целые значения для числителя $a$ и знаменателя $b$.
1. Из неравенства для числителя $4 < a \le 6$ следует, что $a$ может принимать значения 5 и 6. Таким образом, множество возможных значений для $a$ есть $\{5, 6\}$.
2. Из неравенства для знаменателя $5 \le b < 8$ следует, что $b$ может принимать значения 5, 6 и 7. Таким образом, множество возможных значений для $b$ есть $\{5, 6, 7\}$.

Теперь составим все возможные дроби $\frac{a}{b}$, комбинируя каждое значение $a$ с каждым значением $b$:
- При $a=5$: $\frac{5}{5}, \frac{5}{6}, \frac{5}{7}$
- При $a=6$: $\frac{6}{5}, \frac{6}{6}, \frac{6}{7}$

Ответ: Множество всех дробей: $\{\frac{5}{5}, \frac{5}{6}, \frac{5}{7}, \frac{6}{5}, \frac{6}{6}, \frac{6}{7}\}$.

Разбей это множество на части: правильные и неправильные дроби.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя ($a < b$).
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($a \ge b$).

Проанализируем каждую дробь из полученного множества:
- $\frac{5}{6}$ (так как $5 < 6$) — правильная.
- $\frac{5}{7}$ (так как $5 < 7$) — правильная.
- $\frac{6}{7}$ (так как $6 < 7$) — правильная.

- $\frac{5}{5}$ (так как $5 = 5$) — неправильная.
- $\frac{6}{5}$ (так как $6 > 5$) — неправильная.
- $\frac{6}{6}$ (так как $6 = 6$) — неправильная.

Ответ:
Множество правильных дробей: $\{\frac{5}{6}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\}$.
Множество неправильных дробей: $\{\frac{5}{5}, \frac{6}{5}, \frac{6}{6}\}$.

Является ли это разбиение классификацией?

Классификация — это разбиение множества на подмножества (классы), которые не пересекаются и в объединении дают исходное множество. Это означает, что каждый элемент исходного множества должен принадлежать ровно одному подмножеству.

В нашем случае:
1. Каждый элемент исходного множества дробей попадает либо в группу правильных дробей (если $a < b$), либо в группу неправильных дробей (если $a \ge b$). Нет дробей, которые остались бы вне этих двух групп.
2. Условия $a < b$ и $a \ge b$ являются взаимоисключающими. Дробь не может быть одновременно и правильной, и неправильной. Следовательно, множества правильных и неправильных дробей не пересекаются.

Поскольку каждый элемент исходного множества принадлежит ровно одному из двух подмножеств, данное разбиение является классификацией.

Ответ: Да, является.

13 Расшифруй пословицу:

1) $530\,002 - 511\,886$ не — 146 556 пером — 293 550

2) $207 \cdot 708$ все — 19 116 плачет — 540

3) $3090 \cdot 95$ пишут — 18 116 умом — 5004

4) $451\,840 : 640$ дай — 76 вырубишь — 760

5) $425\,340 : 85$ весна — 504 а — 706

Для того чтобы расшифровать пословицу, необходимо решить каждый из примеров и сопоставить полученный результат с соответствующим словом из таблицы.

Выполним вычитание в столбик:

 _530002 511886 ------- 018116 

$530002 - 511886 = 18116$. Этому числу в таблице соответствует слово "пишут".

Ответ: 18116 (пишут).

Выполним умножение в столбик:

 × 207 708 ------ 1656 000 1449 ------ 146556 

$207 \cdot 708 = 146556$. Этому числу в таблице соответствует слово "не".

Ответ: 146556 (не).

Выполним умножение в столбик:

 × 3090 95 ------ 15450 27810 ------ 293550 

$3090 \cdot 95 = 293550$. Этому числу в таблице соответствует слово "пером".

Ответ: 293550 (пером).

Выполним деление в столбик. Для удобства можно убрать по одному нулю у делимого и делителя:

 45184 | 64 -448 |--- --- | 706 38 -0 -- 384 -384 ---- 0 

$451840 : 640 = 706$. Этому числу в таблице соответствует слово "а".

Ответ: 706 (а).

Выполним деление в столбик:

 425340 | 85 -425 |---- --- | 5004 03 -0 -- 34 -0 --- 340 -340 ---- 0 

$425340 : 85 = 5004$. Этому числу в таблице соответствует слово "умом".

Ответ: 5004 (умом).

Теперь составим пословицу из полученных слов, расположив их в порядке выполнения заданий (с 1 по 5):

Пишут не пером, а умом.

14* Литературная викторина «Без буквы М».

Напиши интересный рассказ о школе, в котором не менее пяти предложений и полностью отсутствует буква М.

Сегодня был отличный урок рисования. Педагог выдал краски и большие листы для ребят. Я рисовал синее небо и яркое солнце. Аня рисовала красивый цветок. Потом все работы повесили на стенд в коридоре. Вышла целая галерея!

Ответ: Представлен рассказ о школе, в котором более пяти предложений и отсутствует буква М.

9 Рассмотри схемы. В каких случаях произойдёт встреча? Найди скорость сближения или скорость удаления и вычисли расстояние между объектами через 3 ч после начала движения.

а) 3 км/ч 4 км/ч

35 км

$d_3 = ?$

б) 60 км/ч 24 км/ч

216 км

$d_3 = ?$

в) 18 км/ч 9 км/ч

10 км

$d_3 = ?$

г) 15 км/ч 52 км/ч

49 км

$d_3 = ?$

Встреча произойдёт в случаях, когда объекты сближаются. Это случаи б) (движение вдогонку, когда скорость догоняющего выше) и в) (встречное движение). В случаях а) и г) объекты удаляются друг от друга, поэтому встреча не произойдёт.

Вычислим скорость сближения или удаления и расстояние между объектами через 3 часа для каждой схемы.

а)

В данном случае объекты движутся в противоположных направлениях, начав движение из точек на расстоянии 35 км друг от друга. Они удаляются.

1. Скорость удаления равна сумме скоростей объектов:
   $v_{уд} = 3 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 7 \text{ км/ч}$.
2. За 3 часа расстояние между ними увеличится на величину:
   $S_{увеличение} = v_{уд} \times t = 7 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 21 \text{ км}$.
3. Новое расстояние через 3 часа будет равно сумме начального расстояния и расстояния, на которое они удалились:
   $d_3 = 35 \text{ км} + 21 \text{ км} = 56 \text{ км}$.

Ответ: скорость удаления 7 км/ч, расстояние через 3 ч — 56 км.

б)

Здесь объекты движутся в одном направлении. Скорость объекта, находящегося сзади ($60$ км/ч), больше скорости объекта впереди ($24$ км/ч), следовательно, происходит сближение (движение вдогонку).

1. Скорость сближения равна разности скоростей:
   $v_{сбл} = 60 \text{ км/ч} - 24 \text{ км/ч} = 36 \text{ км/ч}$.
2. Чтобы определить, произойдет ли встреча, найдем время до встречи:$t_{встр} = S_0 / v_{сбл} = 216 \text{ км} / 36 \text{ км/ч} = 6 \text{ ч}$.Поскольку 3 ч < 6 ч, встреча за это время еще не произойдет.
3. За 3 часа расстояние между объектами сократится на:
   $S_{сокращение} = v_{сбл} \times t = 36 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 108 \text{ км}$.
4. Расстояние через 3 часа будет равно начальному расстоянию минус расстояние, на которое они сблизились:
   $d_3 = 216 \text{ км} - 108 \text{ км} = 108 \text{ км}$.

Ответ: скорость сближения 36 км/ч, расстояние через 3 ч — 108 км.

в)

Объекты движутся навстречу друг другу. Это встречное движение, при котором происходит сближение.

1. Скорость сближения равна сумме скоростей:
   $v_{сбл} = 18 \text{ км/ч} + 9 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$.
2. Найдем время до встречи:$t_{встр} = S_0 / v_{сбл} = 10 \text{ км} / 27 \text{ км/ч} \approx 0.37 \text{ ч}$.Поскольку 3 ч > 10/27 ч, объекты встретятся и продолжат движение, удаляясь друг от друга.
3. За 3 часа общее расстояние, на которое они изменят свое положение относительно друг друга, составит:
   $S_{общее} = v_{сбл} \times t = 27 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 81 \text{ км}$.
4. Так как они уже встретились, расстояние между ними через 3 часа будет равно разности общего пройденного ими расстояния и начального расстояния между ними:
   $d_3 = S_{общее} - S_0 = 81 \text{ км} - 10 \text{ км} = 71 \text{ км}$.

Ответ: скорость сближения 27 км/ч, расстояние через 3 ч — 71 км.

г)

Объекты движутся в одном направлении. Скорость объекта впереди ($52$ км/ч) больше скорости объекта сзади ($15$ км/ч), поэтому они удаляются друг от друга (движение с отставанием).

1. Скорость удаления равна разности скоростей:
   $v_{уд} = 52 \text{ км/ч} - 15 \text{ км/ч} = 37 \text{ км/ч}$.
2. За 3 часа расстояние между ними увеличится на:
   $S_{увеличение} = v_{уд} \times t = 37 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 111 \text{ км}$.
3. Расстояние между объектами через 3 часа будет равно сумме начального расстояния и расстояния, на которое они удалились:
   $d_3 = 49 \text{ км} + 111 \text{ км} = 160 \text{ км}$.

Ответ: скорость удаления 37 км/ч, расстояние через 3 ч — 160 км.

10 Два грузовика выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 360 км. Скорость первого грузовика равна 36 км/ч, что составляет $ \frac{2}{3} $ скорости второго. Через сколько времени они встретятся?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорость второго грузовика.
Из условия известно, что скорость первого грузовика равна $36$ км/ч, и это составляет $\frac{2}{3}$ скорости второго грузовика. Обозначим скорость первого грузовика как $v_1$, а второго — как $v_2$.
Тогда $v_1 = \frac{2}{3} v_2$.
Чтобы найти $v_2$, нужно $v_1$ разделить на $\frac{2}{3}$:
$v_2 = v_1 \div \frac{2}{3} = 36 \div \frac{2}{3} = 36 \cdot \frac{3}{2} = 18 \cdot 3 = 54$ км/ч.

2. Найдём скорость сближения грузовиков.
Поскольку грузовики движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения ($v_{сбл}$), равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 36 + 54 = 90$ км/ч.

3. Найдём время, через которое они встретятся.
Время до встречи ($t$) можно найти, разделив расстояние между городами ($S$) на скорость сближения ($v_{сбл}$):
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{360 \text{ км}}{90 \text{ км/ч}} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

11 Патрульный катер заметил шхуну контрабандистов, когда она находилась на расстоянии 1 км 600 м от него. Сколько времени потребуется катеру, чтобы догнать шхуну, если он движется со скоростью $500 \text{ м/мин}$ и при этом скорость шхуны составляет лишь 92 % скорости катера? Успеет ли шхуна доплыть до нейтральных вод, если её отделяют от них 20 км 700 м?

Для решения задачи сначала переведем все расстояния в метры и найдем все необходимые скорости.

• Расстояние между катером и шхуной: $S_1 = 1 \text{ км } 600 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 600 \text{ м} = 1600 \text{ м}$.
• Расстояние шхуны до нейтральных вод: $S_2 = 20 \text{ км } 700 \text{ м} = 20000 \text{ м} + 700 \text{ м} = 20700 \text{ м}$.
• Скорость патрульного катера: $V_{катера} = 500 \text{ м/мин}$.

Сколько времени потребуется катеру, чтобы догнать шхуну?

1. Найдем скорость шхуны. Она составляет 92% от скорости катера:
$V_{шхуны} = 500 \cdot \frac{92}{100} = 500 \cdot 0.92 = 460 \text{ м/мин}$.

2. Катер догоняет шхуну, поэтому их скорости направлены в одну сторону. Чтобы найти, как быстро сокращается расстояние между ними, нужно найти скорость сближения, которая равна разности их скоростей:
$V_{сближения} = V_{катера} - V_{шхуны} = 500 - 460 = 40 \text{ м/мин}$.

3. Теперь можно найти время, за которое катер догонит шхуну. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения:
$t_{погони} = \frac{S_1}{V_{сближения}} = \frac{1600}{40} = 40 \text{ минут}$.

Ответ: катеру потребуется 40 минут, чтобы догнать шхуну.

Успеет ли шхуна доплыть до нейтральных вод?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить время, которое потребуется катеру на погоню (40 минут), со временем, которое потребуется шхуне, чтобы доплыть до нейтральных вод.

1. Найдем время, необходимое шхуне, чтобы достичь нейтральных вод. Для этого разделим расстояние до нейтральных вод на скорость шхуны:
$t_{шхуны} = \frac{S_2}{V_{шхуны}} = \frac{20700}{460} = \frac{2070}{46} = 45 \text{ минут}$.

2. Сравним время погони и время, необходимое шхуне для достижения цели:
$t_{погони} = 40 \text{ минут}$.
$t_{шхуны} = 45 \text{ минут}$.
Поскольку $40 \text{ мин} < 45 \text{ мин}$, катер догонит шхуну за 40 минут, а шхуне, чтобы добраться до нейтральных вод, нужно 45 минут. Следовательно, шхуна не успеет доплыть до нейтральных вод.

Ответ: нет, шхуна не успеет доплыть до нейтральных вод.

12 Вычисли значение выражения:

а) $5000 - (3612 : x + 47) : 18$ при $x = 84$;

б) $998 + y : (79 \cdot 97 + 1337)$ при $y = 36000$.

а) $5000 - (3612 : x + 47) : 18$ при $x = 84$

Для решения подставим значение $x = 84$ в выражение и вычислим, соблюдая порядок действий (сначала действия в скобках, затем деление и вычитание).

1. Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок первым действием будет деление:

$3612 : 84 = 43$

2. Теперь выполним сложение в скобках:

$43 + 47 = 90$

3. Выражение принимает вид:

$5000 - 90 : 18$

4. Следующим по порядку идет деление:

$90 : 18 = 5$

5. Последним действием выполняем вычитание:

$5000 - 5 = 4995$

Ответ: 4995

б) $998 + y : (79 \cdot 97 + 1337)$ при $y = 36 000$

Подставим значение $y = 36 000$ в выражение и вычислим, соблюдая порядок действий.

1. Выполним действия в скобках. Сначала умножение:

$79 \cdot 97 = 7663$

2. Затем выполним сложение в скобках:

$7663 + 1337 = 9000$

3. Выражение принимает вид:

$998 + 36 000 : 9000$

4. Выполним деление:

$36 000 : 9000 = 4$

5. Последним действием выполним сложение:

$998 + 4 = 1002$

Ответ: 1002

13 Найди множество натуральных решений неравенства:

$\frac{25578 : 63 + 701310 : 97}{2407 \cdot 20 : 580} \le x < \frac{128 \cdot 807 - 55079}{378488 : 748}$

Для решения данного двойного неравенства необходимо последовательно вычислить значения его левой и правой частей.

1. Вычислим левую часть неравенства:

$$ \frac{25\ 578 : 63 + 701\ 310 : 97}{2\ 407 \cdot 20 : 580} $$

Сначала выполним действия в числителе:

1. $25\ 578 : 63 = 406$
2. $701\ 310 : 97 = 7230$
3. $406 + 7230 = 7636$

Теперь выполним действия в знаменателе:

1. $2\ 407 \cdot 20 = 48\ 140$
2. $48\ 140 : 580 = 83$

Найдём значение всей левой части, разделив результат числителя на результат знаменателя:

$7636 : 83 = 92$

Таким образом, левая часть неравенства равна 92.

2. Вычислим правую часть неравенства:

$$ \frac{128 \cdot 807 - 55\ 079}{378\ 488 : 748} $$

Сначала выполним действия в числителе:

1. $128 \cdot 807 = 103\ 296$
2. $103\ 296 - 55\ 079 = 48\ 217$

Теперь выполним действие в знаменателе:

$378\ 488 : 748 = 506$

Найдём значение всей правой части, разделив результат числителя на результат знаменателя:

$48\ 217 : 506 = 95 \frac{147}{506}$

Таким образом, правая часть неравенства равна $95 \frac{147}{506}$.

3. Найдём множество натуральных решений неравенства:

Подставим вычисленные значения в исходное неравенство:

$$ 92 \le x < 95 \frac{147}{506} $$

Нам необходимо найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа.

Следовательно, искомые числа $x$ должны быть больше или равны 92 и строго меньше $95 \frac{147}{506}$.

Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: 92, 93, 94, 95.

Множество натуральных решений неравенства — это $\{92, 93, 94, 95\}$.

Ответ: $\{92, 93, 94, 95\}$.

14 Найди:

а) $1/2 \times 1/2$

б) $1/3 \times 1/2$

в) $1/3 \times 1/4$

г) $1/2 \times 1/4$

а) Чтобы найти половину от половины, нужно одну половину ($\frac{1}{2}$) умножить на другую половину ($\frac{1}{2}$).
Вычисление: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, половина половины – это одна четверть.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Чтобы найти треть от половины, нужно треть ($\frac{1}{3}$) умножить на половину ($\frac{1}{2}$).
Вычисление: $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$.
Таким образом, треть половины – это одна шестая.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) Чтобы найти треть от четверти, нужно треть ($\frac{1}{3}$) умножить на четверть ($\frac{1}{4}$).
Вычисление: $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{3 \times 4} = \frac{1}{12}$.
Таким образом, треть четверти – это одна двенадцатая.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

г) Чтобы найти половину от четверти, нужно половину ($\frac{1}{2}$) умножить на четверть ($\frac{1}{4}$).
Вычисление: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$.
Таким образом, половина четверти – это одна восьмая.
Ответ: $\frac{1}{8}$.