Страница 52, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

11 БЛИЦтурнир.

а) В 4 одинаковых коробках лежат $a$ мелков. Сколько мелков в 15 таких коробках?

б) За 8 ч рабочий выкапывает $b$ м канавы. За сколько часов он выкопает $c$ м, работая с той же производительностью?

в) 6 кг яблок стоят $d$ р., а 4 кг груш – $n$ р. На сколько рублей 1 кг этих груш дороже, чем 1 кг яблок?

г) Черепаха ползла 3 мин со скоростью $x$ м/мин, а затем ещё 2 мин со скоростью $y$ м/мин. Сколько всего метров она проползла?

а) Чтобы найти, сколько мелков в 15 коробках, нужно сначала узнать, сколько мелков в одной коробке.
1. Находим количество мелков в одной коробке, разделив общее количество мелков $a$ на количество коробок (4):
$a : 4$ (мелков) – в одной коробке.
2. Теперь умножаем количество мелков в одной коробке на 15, чтобы найти, сколько их в 15 коробках:
$(a : 4) \cdot 15$ (мелков).
Выражение также можно записать в виде дроби: $\frac{15a}{4}$.
Ответ: $(a : 4) \cdot 15$ мелков.

б) Чтобы найти время, нужно знать производительность (скорость работы).
1. Находим производительность рабочего, то есть сколько метров канавы он выкапывает за час. Для этого делим объем работы $b$ на время 8 часов:
$b : 8$ (м/ч) – производительность рабочего.
2. Теперь, зная производительность, находим время, необходимое для того, чтобы выкопать $c$ метров канавы. Для этого делим новый объем работы $c$ на производительность:
$c : (b : 8)$ (часов).
Выражение можно преобразовать: $c \cdot \frac{8}{b} = \frac{8c}{b}$.
Ответ: $c : (b : 8)$ часов.

в) Чтобы сравнить цены, нужно сначала найти цену за 1 кг каждого продукта.
1. Находим цену 1 кг яблок, разделив общую стоимость $d$ на вес 6 кг:
$d : 6$ (р.) – цена 1 кг яблок.
2. Находим цену 1 кг груш, разделив общую стоимость $n$ на вес 4 кг:
$n : 4$ (р.) – цена 1 кг груш.
3. Чтобы узнать, на сколько рублей 1 кг груш дороже 1 кг яблок, вычитаем из цены груш цену яблок:
$(n : 4) - (d : 6)$ (р.).
Выражение можно привести к общему знаменателю: $\frac{n}{4} - \frac{d}{6} = \frac{3n - 2d}{12}$.
Ответ: $(n : 4) - (d : 6)$ рублей.

г) Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных на каждом участке пути. Расстояние находится по формуле: скорость, умноженная на время.
1. Находим расстояние, которое черепаха проползла за первые 3 минуты:
$x \cdot 3$ (м).
2. Находим расстояние, которое черепаха проползла за следующие 2 минуты:
$y \cdot 2$ (м).
3. Складываем эти два расстояния, чтобы найти общий путь:
$x \cdot 3 + y \cdot 2$ (м).
По правилам записи алгебраических выражений, это можно записать как $3x + 2y$.
Ответ: $x \cdot 3 + y \cdot 2$ метров.

12 Какие высказывания об элементах множества A истинны, а какие — ложны?

1. Все элементы множества A — фрукты.

2. Некоторые элементы множества A — фрукты.

3. Ни один из элементов множества A не фрукт.

4. В множестве A нет фруктов.

5. В множестве A имеются фрукты.

6. Каждый элемент множества A является фруктом.

7. В множестве A нет ни одного фрукта.

В каких высказываниях говорится одно и то же? Придумай подобные высказывания об элементах множества А.

Для решения задачи сначала определим состав множества А. Множество А содержит следующие элементы: ананас, крокодил, плюшевый мишка, рыба, бананы. Из них фруктами являются ананас и бананы. Остальные элементы (крокодил, мишка, рыба) фруктами не являются.

1. 1. Все элементы множества А — фрукты.
   Это высказывание ложно, поскольку в множестве А, помимо фруктов, содержатся также животные (крокодил, рыба) и игрушка (плюшевый мишка). Для истинности этого высказывания каждый без исключения элемент должен быть фруктом.
   Ответ: ложно.
2. 2. Некоторые элементы множества А — фрукты.
   Это высказывание истинно. Слово "некоторые" означает "хотя бы один". В множестве А есть ананас и бананы, которые являются фруктами.
   Ответ: истинно.
3. 3. Ни один из элементов множества А не фрукт.
   Это высказывание ложно, так как в множестве присутствуют фрукты — ананас и бананы.
   Ответ: ложно.
4. 4. В множестве А нет фруктов.
   Это высказывание ложно. Оно утверждает то же самое, что и предыдущее высказывание. В множестве А есть фрукты.
   Ответ: ложно.
5. 5. В множестве А имеются фрукты.
   Это высказывание истинно. Оно синонимично высказыванию номер 2 и подтверждается наличием ананаса и бананов в множестве.
   Ответ: истинно.
6. 6. Каждый элемент множества А является фруктом.
   Это высказывание ложно. "Каждый" означает "все", поэтому это высказывание имеет тот же смысл, что и первое, и является ложным по той же причине.
   Ответ: ложно.
7. 7. В множестве А нет ни одного фрукта.
   Это высказывание ложно. Оно является усиленной формой высказываний 3 и 4 и также неверно, потому что в множестве есть два фрукта.
   Ответ: ложно.

В каких высказываниях говорится одно и то же?

Некоторые высказывания являются синонимами, то есть утверждают одно и то же, но разными словами. Их можно объединить в следующие группы по смыслу:

• Группа 1 (Все элементы — фрукты): Высказывания 1 ("Все элементы множества А — фрукты") и 6 ("Каждый элемент множества А является фруктом").
• Группа 2 (Есть хотя бы один фрукт): Высказывания 2 ("Некоторые элементы множества А — фрукты") и 5 ("В множестве А имеются фрукты").
• Группа 3 (Фруктов нет): Высказывания 3 ("Ни один из элементов множества А не фрукт"), 4 ("В множестве А нет фруктов") и 7 ("В множестве А нет ни одного фрукта").

Ответ: одно и то же говорится в группах высказываний: (1 и 6), (2 и 5), (3, 4 и 7).

Придумай подобные высказывания об элементах множества А.

Можно составить новые высказывания, используя другие свойства элементов множества, например, являются ли они животными, игрушками или съедобными объектами.

• Примеры истинных высказываний:
  • Некоторые элементы множества А являются животными (крокодил, рыба).
  • В множестве А есть ровно одна игрушка.
  • Не все элементы множества А съедобны (мишка, крокодил).
• Примеры ложных высказываний:
  • Каждый элемент множества А — живое существо.
  • В множестве А нет неодушевленных предметов.
  • Ни один из элементов множества А не является животным.

Ответ: примеры подобных высказываний о принадлежности к животным, игрушкам или о съедобности приведены выше.

По тропинке вдоль кустов
Шло одиннадцать хвостов.
Насчитать я также смог,
Что шагало тридцать ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?

Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество индюков, а $y$ — это количество жеребят.

Из условия мы знаем, что всего было 11 хвостов. У каждого животного по одному хвосту, значит, общее количество животных равно 11. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 11$

Также мы знаем, что всего было 30 ног. У индюка 2 ноги, а у жеребенка — 4. Это дает нам второе уравнение:

$2x + 4y = 30$

Теперь у нас есть система уравнений:

$x + y = 11$

$2x + 4y = 30$

Решим эту систему. Сначала выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 11 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$2(11 - y) + 4y = 30$

Раскроем скобки и найдем значение $y$:

$22 - 2y + 4y = 30$

$2y = 30 - 22$

$2y = 8$

$y = 4$

Мы нашли количество жеребят. Теперь можем ответить на оба вопроса.

Решая систему уравнений, мы нашли, что $y = 4$. Таким образом, количество жеребят равно 4.

Ответ: 4 жеребенка.

Теперь, зная количество жеребят, мы можем найти количество индюков, используя первое уравнение $x = 11 - y$:

$x = 11 - 4$

$x = 7$

Следовательно, количество индюков равно 7.

Ответ: 7 индюков.

7 a) Купили 5 кг 600 г сахара. На варенье израсходовали $\frac{7}{8}$ всего сахара. Сколько сахара пошло на варенье? Сколько сахара осталось?

б) Витя проехал $\frac{2}{9}$ дороги. Чему равна длина дороги, если он проехал 40 км? Сколько километров ему осталось проехать?

в) Какую часть невисокосного года составляют январь, февраль, апрель?

а) Для начала переведем массу сахара в одну единицу измерения — граммы. Поскольку в 1 кг 1000 г, то 5 кг 600 г это $5 \times 1000 + 600 = 5600$ г.
На варенье израсходовали $\frac{7}{8}$ всего сахара. Чтобы найти эту величину, нужно общее количество сахара умножить на дробь: $5600 \text{ г} \times \frac{7}{8} = \frac{5600 \times 7}{8} = 700 \times 7 = 4900$ г.
Переведем обратно в килограммы и граммы: 4900 г = 4 кг 900 г.
Чтобы найти, сколько сахара осталось, вычтем из общего количества израсходованное: $5600 \text{ г} - 4900 \text{ г} = 700$ г.
Ответ: на варенье пошло 4 кг 900 г сахара, осталось 700 г сахара.

б) Известно, что Витя проехал 40 км, что составляет $\frac{2}{9}$ всей дороги. Чтобы найти длину всей дороги, нужно найти целое по его части.
Сначала найдем, сколько километров составляет $\frac{1}{9}$ дороги. Для этого разделим известное расстояние на числитель дроби: $40 \text{ км} \div 2 = 20$ км.
Теперь, зная, чему равна одна часть из девяти, найдем длину всей дороги (девяти частей): $20 \text{ км} \times 9 = 180$ км.
Чтобы узнать, сколько километров ему осталось проехать, вычтем из общей длины дороги уже пройденное расстояние: $180 \text{ км} - 40 \text{ км} = 140$ км.
Ответ: длина дороги равна 180 км, ему осталось проехать 140 км.

в) В невисокосном году 365 дней.
Найдем общее количество дней в указанных месяцах:

• Январь — 31 день
• Февраль (в невисокосном году) — 28 дней
• Апрель — 30 дней

Сумма дней: $31 + 28 + 30 = 89$ дней.
Чтобы определить, какую часть года составляют эти месяцы, составим дробь, где в числителе будет сумма дней этих месяцев, а в знаменателе — общее количество дней в невисокосном году: $\frac{89}{365}$.
Ответ: январь, февраль и апрель составляют $\frac{89}{365}$ часть невисокосного года.

8 Сколько будет стоить коробка конфет после повышения цен на $12\%$, если раньше она стоила $300$ р.?

$100\% - 300$ р.

$12\%$

старая цена ув.

$(100 + 12)\% - ?$ р.

Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1: Поэтапное вычисление

Сначала найдем, на сколько рублей увеличилась цена. Для этого нужно вычислить 12% от первоначальной стоимости в 300 рублей.

1) $300 \cdot \frac{12}{100} = 3 \cdot 12 = 36$ (рублей) – это величина повышения цены.

Теперь прибавим эту сумму к старой цене, чтобы узнать новую стоимость коробки конфет.

2) $300 + 36 = 336$ (рублей).

Ответ: 336 рублей.

Способ 2: Через нахождение нового процента (как предложено на схеме)

Первоначальная цена составляла 100%. После повышения на 12% новая цена будет составлять:

1) $100\% + 12\% = 112\%$ от первоначальной стоимости.

Теперь найдем, сколько составляют 112% от 300 рублей.

2) $300 \cdot \frac{112}{100} = 3 \cdot 112 = 336$ (рублей).

Ответ: 336 рублей.

Способ 3: Через десятичный коэффициент

Увеличение на 12% эквивалентно умножению на коэффициент 1.12 (поскольку $100\% + 12\% = 112\%$, а $112 / 100 = 1.12$).

Умножим первоначальную цену на этот коэффициент, чтобы сразу получить итоговую стоимость.

$300 \cdot 1.12 = 336$ (рублей).

Ответ: 336 рублей.

9. В первом мешке $50\frac{3}{8}$ кг муки. Это на $4\frac{1}{8}$ кг больше, чем во втором. Из первого мешка отсыпали $12\frac{5}{8}$ кг, а из второго — 7 кг. В каком мешке осталось муки больше и на сколько? Сколько муки осталось в двух мешках вместе?

Для решения задачи выполним действия по порядку.

1. Найдем, сколько килограммов муки было во втором мешке. По условию, в первом мешке было $50 \frac{3}{8}$ кг, и это на $4 \frac{1}{8}$ кг больше, чем во втором. Значит, во втором мешке было меньше муки на эту величину:

$50 \frac{3}{8} - 4 \frac{1}{8} = (50 - 4) + (\frac{3}{8} - \frac{1}{8}) = 46 + \frac{2}{8} = 46 \frac{2}{8}$ кг муки было во втором мешке.

2. Узнаем, сколько муки осталось в первом мешке после того, как из него отсыпали $12 \frac{5}{8}$ кг. Для этого вычтем из начального количества отсыпанное:

$50 \frac{3}{8} - 12 \frac{5}{8}$

Чтобы выполнить вычитание, преобразуем уменьшаемое, так как дробная часть у него меньше, чем у вычитаемого. Займем единицу у целой части:

$50 \frac{3}{8} = 49 + 1 + \frac{3}{8} = 49 + \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = 49 \frac{11}{8}$

Теперь вычитаем:

$49 \frac{11}{8} - 12 \frac{5}{8} = (49-12) + (\frac{11}{8} - \frac{5}{8}) = 37 + \frac{6}{8} = 37 \frac{6}{8}$ кг муки осталось в первом мешке.

3. Узнаем, сколько муки осталось во втором мешке. Изначально в нем было $46 \frac{2}{8}$ кг, а отсыпали 7 кг:

$46 \frac{2}{8} - 7 = (46 - 7) + \frac{2}{8} = 39 \frac{2}{8}$ кг муки осталось во втором мешке.

Теперь ответим на вопросы задачи.

В каком мешке осталось муки больше и на сколько?

Сравним количество муки, оставшейся в мешках: в первом осталось $37 \frac{6}{8}$ кг, а во втором — $39 \frac{2}{8}$ кг. Так как $39 > 37$, во втором мешке осталось больше муки. Найдем разницу:

$39 \frac{2}{8} - 37 \frac{6}{8}$

Снова преобразуем уменьшаемое:

$39 \frac{2}{8} = 38 + 1 + \frac{2}{8} = 38 + \frac{8}{8} + \frac{2}{8} = 38 \frac{10}{8}$

Теперь вычитаем:

$38 \frac{10}{8} - 37 \frac{6}{8} = (38 - 37) + (\frac{10}{8} - \frac{6}{8}) = 1 + \frac{4}{8} = 1 \frac{4}{8}$ кг.

Сократим дробь: $1 \frac{4}{8} = 1 \frac{1}{2}$ кг.

Ответ: во втором мешке осталось муки больше на $1 \frac{1}{2}$ кг.

Сколько муки осталось в двух мешках вместе?

Сложим количество муки, оставшейся в первом и втором мешках:

$37 \frac{6}{8} + 39 \frac{2}{8} = (37 + 39) + (\frac{6}{8} + \frac{2}{8}) = 76 + \frac{8}{8} = 76 + 1 = 77$ кг.

Ответ: в двух мешках вместе осталось 77 кг муки.

10 Вырази в указанных единицах измерения:

$9 \text{ м } 4 \text{ дм } = \text{_____} \text{ дм};$

$9 \text{ т } 4 \text{ кг } = \text{_____} \text{ кг};$

$9 \text{ м } 4 \text{ см } = \text{_____} \text{ см};$

$9 \text{ ц } 4 \text{ кг } = \text{_____} \text{ кг};$

$9 \text{ м } 4 \text{ мм } = \text{_____} \text{ мм};$

$9 \text{ дм } 4 \text{ см } = \text{_____} \text{ см};$

$9 \text{ км } 4 \text{ м } = \text{_____} \text{ м};$

$9 \text{ ч } 4 \text{ мин } = \text{_____} \text{ мин}.$

9 м 4 дм = дм;
Чтобы выразить 9 метров 4 дециметра в дециметрах, необходимо перевести метры в дециметры и прибавить к результату 4 дециметра.
В одном метре содержится 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$).
Вычисляем, сколько дециметров в 9 метрах: $9 \text{ м} \times 10 = 90 \text{ дм}$.
Теперь прибавляем оставшиеся дециметры: $90 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 94 \text{ дм}$.
Ответ: 94

9 м 4 см = см;
Чтобы выразить 9 метров 4 сантиметра в сантиметрах, нужно перевести метры в сантиметры и прибавить к результату 4 сантиметра.
В одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Вычисляем, сколько сантиметров в 9 метрах: $9 \text{ м} \times 100 = 900 \text{ см}$.
Теперь прибавляем оставшиеся сантиметры: $900 \text{ см} + 4 \text{ см} = 904 \text{ см}$.
Ответ: 904

9 м 4 мм = мм;
Чтобы выразить 9 метров 4 миллиметра в миллиметрах, нужно перевести метры в миллиметры и прибавить к результату 4 миллиметра.
В одном метре содержится 1000 миллиметров ($1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$).
Вычисляем, сколько миллиметров в 9 метрах: $9 \text{ м} \times 1000 = 9000 \text{ мм}$.
Теперь прибавляем оставшиеся миллиметры: $9000 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 9004 \text{ мм}$.
Ответ: 9004

9 км 4 м = м;
Чтобы выразить 9 километров 4 метра в метрах, нужно перевести километры в метры и прибавить к результату 4 метра.
В одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
Вычисляем, сколько метров в 9 километрах: $9 \text{ км} \times 1000 = 9000 \text{ м}$.
Теперь прибавляем оставшиеся метры: $9000 \text{ м} + 4 \text{ м} = 9004 \text{ м}$.
Ответ: 9004

9 т 4 кг = кг;
Чтобы выразить 9 тонн 4 килограмма в килограммах, нужно перевести тонны в килограммы и прибавить к результату 4 килограмма.
В одной тонне содержится 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
Вычисляем, сколько килограммов в 9 тоннах: $9 \text{ т} \times 1000 = 9000 \text{ кг}$.
Теперь прибавляем оставшиеся килограммы: $9000 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 9004 \text{ кг}$.
Ответ: 9004

9 ц 4 кг = кг;
Чтобы выразить 9 центнеров 4 килограмма в килограммах, нужно перевести центнеры в килограммы и прибавить к результату 4 килограмма.
В одном центнере содержится 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).
Вычисляем, сколько килограммов в 9 центнерах: $9 \text{ ц} \times 100 = 900 \text{ кг}$.
Теперь прибавляем оставшиеся килограммы: $900 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 904 \text{ кг}$.
Ответ: 904

9 дм 4 см = см;
Чтобы выразить 9 дециметров 4 сантиметра в сантиметрах, нужно перевести дециметры в сантиметры и прибавить к результату 4 сантиметра.
В одном дециметре содержится 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$).
Вычисляем, сколько сантиметров в 9 дециметрах: $9 \text{ дм} \times 10 = 90 \text{ см}$.
Теперь прибавляем оставшиеся сантиметры: $90 \text{ см} + 4 \text{ см} = 94 \text{ см}$.
Ответ: 94

9 ч 4 мин = мин.
Чтобы выразить 9 часов 4 минуты в минутах, нужно перевести часы в минуты и прибавить к результату 4 минуты.
В одном часе содержится 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
Вычисляем, сколько минут в 9 часах: $9 \text{ ч} \times 60 = 540 \text{ мин}$.
Теперь прибавляем оставшиеся минуты: $540 \text{ мин} + 4 \text{ мин} = 544 \text{ мин}$.
Ответ: 544

11 Запиши с помощью фигурных скобок множества A и B натуральных решений неравенств $7 \le a < 10$ и $4 < b \le 8$. Найди объединение и пересечение множеств A и B и построй для них диаграмму Эйлера-Венна.

Запиши с помощью фигурных скобок множества А и В

Множество А состоит из натуральных решений неравенства $7 \le a < 10$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, — это числа, которые больше или равны 7, но строго меньше 10.
Подходящие числа: 7, 8, 9.
Таким образом, множество А: $A = \{7, 8, 9\}$.

Множество B состоит из натуральных решений неравенства $4 < b \le 8$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, — это числа, которые строго больше 4, но меньше или равны 8.
Подходящие числа: 5, 6, 7, 8.
Таким образом, множество B: $B = \{5, 6, 7, 8\}$.

Ответ: $A = \{7, 8, 9\}$; $B = \{5, 6, 7, 8\}$.

Объединение множеств А и В

Объединение множеств ($A \cup B$) включает в себя все элементы, которые содержатся хотя бы в одном из множеств. Для нахождения объединения мы перечисляем все уникальные элементы из обоих множеств.
$A = \{7, 8, 9\}$
$B = \{5, 6, 7, 8\}$
$A \cup B = \{5, 6, 7, 8, 9\}$

Ответ: $A \cup B = \{5, 6, 7, 8, 9\}$.

Пересечение множеств А и В

Пересечение множеств ($A \cap B$) включает в себя только те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно.
$A = \{7, 8, 9\}$
$B = \{5, 6, 7, 8\}$
Общими для множеств A и B являются числа 7 и 8.
$A \cap B = \{7, 8\}$

Ответ: $A \cap B = \{7, 8\}$.

Диаграмма Эйлера-Венна

Диаграмма Эйлера-Венна представляет множества в виде кругов. Пересечение кругов показывает общие элементы множеств.

Ответ: Диаграмма построена выше.

12 Верно ли высказывание:

$\frac{(1420288 \div 4672 + 259) \cdot 234 - 131163}{70000 - (1445561 \div 3587 - 208) \cdot 356} < 1?$

Чтобы проверить, верно ли данное высказывание, необходимо вычислить значение дроби в левой части неравенства и сравнить его с 1. Для этого выполним вычисления по действиям, сначала для числителя, а затем для знаменателя.

Вычисление числителя: $(1\ 420\ 288 : 4672 + 259) \cdot 234 - 131\ 163$
1. Первым действием выполним деление в скобках:
$1\ 420\ 288 : 4672 = 304$
2. Далее выполним сложение в скобках:
$304 + 259 = 563$
3. Теперь умножим результат на 234:
$563 \cdot 234 = 131\ 742$
4. Наконец, выполним вычитание:
$131\ 742 - 131\ 163 = 579$
Таким образом, значение числителя равно 579.

Вычисление знаменателя: $70\ 000 - (1\ 445\ 561 : 3\ 587 - 208) \cdot 356$
1. Первым действием выполним деление в скобках:
$1\ 445\ 561 : 3\ 587 = 403$
2. Далее выполним вычитание в скобках:
$403 - 208 = 195$
3. Теперь умножим результат на 356:
$195 \cdot 356 = 69\ 420$
4. Наконец, выполним вычитание из 70 000:
$70\ 000 - 69\ 420 = 580$
Таким образом, значение знаменателя равно 580.

Проверка высказывания
Теперь подставим вычисленные значения числителя и знаменателя в исходное неравенство:
$\frac{579}{580} < 1$
Мы получили правильную дробь, так как ее числитель (579) меньше знаменателя (580). Любая положительная правильная дробь всегда меньше единицы. Следовательно, данное неравенство является верным.
Ответ: Да, высказывание верно.

8 а) Гонец должен был срочно доставить депешу из Афин в Олимпию. 4 часа он мчался на лошади со скоростью $36 \text{ км/ч}$, а остальной путь вынужден был бежать со скоростью $8 \text{ км/ч}$. В котором часу он прибыл в Олимпию, если выехал из Афин в 9 ч утра, а расстояние между Афинами и Олимпией $168 \text{ км}$?

б) От порта Пирей к острову Родос отплыл парусник. Первые 8 ч парусник шёл со скоростью $18 \text{ км/ч}$, а в следующие 14 ч он снизил скорость на $6 \text{ км/ч}$. Оставшиеся 10 ч он плыл со скоростью $15 \text{ км/ч}$. Найди расстояние от Пирея до Родоса.

в) Крестьянин выехал в 5 ч утра из дома на базар. Туда он добрался за 3 ч со скоростью $8 \text{ км/ч}$, а обратно ехал со скоростью на $4 \text{ км/ч}$ большей. В котором часу крестьянин вернулся домой, если на базаре он торговал виноградом в течение 6 часов?

а)

1. Сначала найдем расстояние, которое гонец проехал на лошади. Для этого умножим его скорость на время в пути:

$36 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 144 \text{ км}$

2. Теперь вычислим, какое расстояние ему осталось пробежать. Для этого вычтем из общего расстояния (168 км) путь, пройденный на лошади:

$168 \text{ км} - 144 \text{ км} = 24 \text{ км}$

3. Определим, сколько времени гонец потратил на бег. Для этого разделим оставшееся расстояние на скорость бега:

$24 \text{ км} / 8 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

4. Найдем общее время, затраченное на весь путь, сложив время езды на лошади и время бега:

$4 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 7 \text{ ч}$

5. Наконец, определим время прибытия. Гонец выехал в 9 часов утра и был в пути 7 часов:

$9 \text{ ч} + 7 \text{ ч} = 16 \text{ ч}$

Гонец прибыл в Олимпию в 16:00.

Ответ: в 16 часов.

б)

Чтобы найти общее расстояние от Пирея до Родоса, нужно сложить расстояния, пройденные на каждом из трех участков пути.

1. Найдем расстояние, которое парусник прошел за первые 8 часов со скоростью 18 км/ч:

$18 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 144 \text{ км}$

2. Вычислим скорость парусника в следующие 14 часов. Он снизил скорость на 6 км/ч:

$18 \text{ км/ч} - 6 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

3. Найдем расстояние, пройденное за эти 14 часов с новой скоростью:

$12 \text{ км/ч} \times 14 \text{ ч} = 168 \text{ км}$

4. Рассчитаем расстояние, пройденное за оставшиеся 10 часов со скоростью 15 км/ч:

$15 \text{ км/ч} \times 10 \text{ ч} = 150 \text{ км}$

5. Сложим все три отрезка пути, чтобы найти общее расстояние:

$144 \text{ км} + 168 \text{ км} + 150 \text{ км} = 462 \text{ км}$

Ответ: 462 км.

в)

1. Найдем расстояние от дома до базара. Крестьянин добирался 3 часа со скоростью 8 км/ч:

$8 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 24 \text{ км}$

2. Определим скорость крестьянина на обратном пути. Она была на 4 км/ч больше:

$8 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

3. Вычислим, сколько времени заняла обратная дорога. Расстояние то же — 24 км:

$24 \text{ км} / 12 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

4. Теперь найдем общее время, которое крестьянин отсутствовал дома. Сложим время пути на базар, время торговли (6 часов) и время пути домой:

$3 \text{ ч} + 6 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 11 \text{ ч}$

5. Определим время возвращения домой. Крестьянин выехал в 5 часов утра и отсутствовал 11 часов:

$5 \text{ ч} + 11 \text{ ч} = 16 \text{ ч}$

Крестьянин вернулся домой в 16:00.

Ответ: в 16 часов.

9 Найди значение выражения $8000302 - 958 \cdot b$, если $b = 76, 504, 8200$.

Для нахождения значения выражения $8 000 302 - 958 \cdot b$ необходимо подставить в него поочередно каждое из предложенных значений переменной $b$. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

если b = 76

Подставляем значение $b = 76$ в выражение:

$8 000 302 - 958 \cdot 76$

1. Выполняем умножение:

$958 \cdot 76 = 72 808$

2. Выполняем вычитание:

$8 000 302 - 72 808 = 7 927 494$

Ответ: 7 927 494

если b = 504

Подставляем значение $b = 504$ в выражение:

$8 000 302 - 958 \cdot 504$

1. Выполняем умножение:

$958 \cdot 504 = 482 832$

2. Выполняем вычитание:

$8 000 302 - 482 832 = 7 517 470$

Ответ: 7 517 470

если b = 8200

Подставляем значение $b = 8200$ в выражение:

$8 000 302 - 958 \cdot 8200$

1. Выполняем умножение:

$958 \cdot 8200 = 7 855 600$

2. Выполняем вычитание:

$8 000 302 - 7 855 600 = 144 702$

Ответ: 144 702

10 Выполни действия и вырази в указанных единицах:

а) $(8 \text{ м } 2 \text{ дм } - 43 \text{ дм } 6 \text{ см}) \cdot 70$ (в метрах и дециметрах);

б) $(6 \text{ ч } 32 \text{ мин } + 18 \text{ ч } 7 \text{ мин}) : 17$ (в часах и минутах);

в) $(34 \text{ ц } 16 \text{ кг } - 32 \text{ ц } 9 \text{ кг}) \cdot 760$ (в тоннах и килограммах);

г) $(25 \text{ а } 5 \text{ м}^2 + 4 \text{ га } 55 \text{ м}^2) : 152$ (в арах и квадратных метрах).

а) (8 м 2 дм – 43 дм 6 см) · 70 (в метрах и дециметрах)
1. Переведем величины в скобках в сантиметры для выполнения вычитания:
$8 \text{ м } 2 \text{ дм} = 8 \cdot 100 \text{ см} + 2 \cdot 10 \text{ см} = 820 \text{ см}$
$43 \text{ дм } 6 \text{ см} = 43 \cdot 10 \text{ см} + 6 \text{ см} = 436 \text{ см}$
2. Выполним вычитание:
$820 \text{ см} - 436 \text{ см} = 384 \text{ см}$
3. Выполним умножение:
$384 \text{ см} \cdot 70 = 26880 \text{ см}$
4. Переведем результат в метры и дециметры:
$26880 \text{ см} = 268 \text{ м } 80 \text{ см} = 268 \text{ м } 8 \text{ дм}$
Ответ: 268 м 8 дм.

б) (6 ч 32 мин + 18 ч 7 мин) : 17 (в часах и минутах)
1. Выполним сложение в скобках, складывая часы с часами и минуты с минутами:
$6 \text{ ч } 32 \text{ мин} + 18 \text{ ч } 7 \text{ мин} = (6+18) \text{ ч } (32+7) \text{ мин} = 24 \text{ ч } 39 \text{ мин}$
2. Переведем полученное время в минуты для выполнения деления:
$24 \text{ ч } 39 \text{ мин} = 24 \cdot 60 \text{ мин} + 39 \text{ мин} = 1440 \text{ мин} + 39 \text{ мин} = 1479 \text{ мин}$
3. Выполним деление:
$1479 \text{ мин} : 17 = 87 \text{ мин}$
4. Переведем результат в часы и минуты:
$87 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 27 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 27 \text{ мин}$
Ответ: 1 ч 27 мин.

в) (34 ц 16 кг – 32 ц 9 кг) · 760 (в тоннах и килограммах)
1. Выполним вычитание в скобках:
$34 \text{ ц } 16 \text{ кг} - 32 \text{ ц } 9 \text{ кг} = (34-32) \text{ ц } (16-9) \text{ кг} = 2 \text{ ц } 7 \text{ кг}$
2. Переведем результат в килограммы для выполнения умножения:
$2 \text{ ц } 7 \text{ кг} = 2 \cdot 100 \text{ кг} + 7 \text{ кг} = 207 \text{ кг}$
3. Выполним умножение:
$207 \text{ кг} \cdot 760 = 157320 \text{ кг}$
4. Переведем результат в тонны и килограммы ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$):
$157320 \text{ кг} = 157000 \text{ кг} + 320 \text{ кг} = 157 \text{ т } 320 \text{ кг}$
Ответ: 157 т 320 кг.

г) (25 а 5 м² + 4 га 55 м²) : 152 (в арах и квадратных метрах)
1. Переведем все величины в квадратные метры (м²) для выполнения сложения ($1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$, $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$):
$25 \text{ а } 5 \text{ м}^2 = 25 \cdot 100 \text{ м}^2 + 5 \text{ м}^2 = 2505 \text{ м}^2$
$4 \text{ га } 55 \text{ м}^2 = 4 \cdot 10000 \text{ м}^2 + 55 \text{ м}^2 = 40055 \text{ м}^2$
2. Выполним сложение:
$2505 \text{ м}^2 + 40055 \text{ м}^2 = 42560 \text{ м}^2$
3. Выполним деление:
$42560 \text{ м}^2 : 152 = 280 \text{ м}^2$
4. Переведем результат в ары и квадратные метры:
$280 \text{ м}^2 = 200 \text{ м}^2 + 80 \text{ м}^2 = 2 \text{ а } 80 \text{ м}^2$
Ответ: 2 а 80 м².

11 Реши уравнение с комментированием и сделай проверку:

a) $ \frac{x}{3} = 56 $;

б) $ \frac{185}{y} = 37 $;

в) $ (3\frac{1}{7} - n) + 1\frac{4}{7} = 3\frac{5}{7} + \frac{2}{7} $.

а) $\frac{x}{3} = 56$

В данном уравнении $x$ является неизвестным делимым, $3$ — делителем, а $56$ — частным.

Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

$x = 56 \times 3$

$x = 168$

Проверка:

Подставим найденное значение $x=168$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения.

$\frac{168}{3} = 56$

$56 = 56$

Равенство выполняется, следовательно, уравнение решено верно.

Ответ: $168$

б) $\frac{185}{y} = 37$

В этом уравнении $185$ — делимое, $y$ — неизвестный делитель, $37$ — частное.

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

$y = 185 \div 37$

$y = 5$

Проверка:

Подставим найденное значение $y=5$ в исходное уравнение.

$\frac{185}{5} = 37$

$37 = 37$

Равенство выполняется, следовательно, уравнение решено верно.

Ответ: $5$

в) $(3\frac{1}{7} - n) + 1\frac{4}{7} = 3\frac{5}{7} + \frac{2}{7}$

1. Упростим правую часть уравнения. Для этого сложим дроби.

$3\frac{5}{7} + \frac{2}{7} = 3\frac{5+2}{7} = 3\frac{7}{7} = 3+1 = 4$

После упрощения уравнение принимает вид:

$(3\frac{1}{7} - n) + 1\frac{4}{7} = 4$

2. Найдем значение выражения в скобках. Выражение $(3\frac{1}{7} - n)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы ($4$) вычесть известное слагаемое ($1\frac{4}{7}$).

$3\frac{1}{7} - n = 4 - 1\frac{4}{7}$

Представим число $4$ в виде смешанной дроби со знаменателем $7$: $4 = 3 + 1 = 3\frac{7}{7}$.

$3\frac{1}{7} - n = 3\frac{7}{7} - 1\frac{4}{7}$

$3\frac{1}{7} - n = (3-1) + (\frac{7-4}{7}) = 2\frac{3}{7}$

3. Найдем n. Теперь у нас есть простое уравнение: $3\frac{1}{7} - n = 2\frac{3}{7}$.

Здесь $n$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($3\frac{1}{7}$) вычесть разность ($2\frac{3}{7}$).

$n = 3\frac{1}{7} - 2\frac{3}{7}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{7}$), поэтому "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$3\frac{1}{7} = 2 + 1 + \frac{1}{7} = 2 + \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = 2\frac{8}{7}$

Теперь выполним вычитание:

$n = 2\frac{8}{7} - 2\frac{3}{7} = (2-2) + (\frac{8-3}{7}) = 0 + \frac{5}{7} = \frac{5}{7}$

Проверка:

Подставим $n = \frac{5}{7}$ в исходное уравнение:

$(3\frac{1}{7} - \frac{5}{7}) + 1\frac{4}{7} = 3\frac{5}{7} + \frac{2}{7}$

Вычислим левую часть: $(2\frac{8}{7} - \frac{5}{7}) + 1\frac{4}{7} = 2\frac{3}{7} + 1\frac{4}{7} = 3\frac{7}{7} = 4$.

Вычислим правую часть: $3\frac{5}{7} + \frac{2}{7} = 3\frac{7}{7} = 4$.

$4 = 4$

Равенство выполняется, следовательно, уравнение решено верно.

Ответ: $\frac{5}{7}$

12 Является ли число $7\frac{1}{999}$ решением неравенства $7 < x \leq 8$?

Имеет ли это неравенство натуральные решения?

*

13 Крабоед съел 37 крабок, а крабоеедики вместе съели на 17 крабок меньше. Сколько было крабоеедиков, если каждый из них съел по 5 крабок?

Чтобы найти ответ на вопрос задачи, необходимо выполнить два действия.

1. Узнаем, сколько всего крябок съели крябоелики.

Из условия известно, что Крябоед съел 37 крябок, а крябоелики съели на 17 крябок меньше. Следовательно, чтобы найти, сколько крябок съели крябоелики, нужно вычесть 17 из 37.

$37 - 17 = 20$ (крябок) – столько съели все крябоелики вместе.

2. Найдем количество крябоедиков.

Теперь мы знаем, что все крябоелики вместе съели 20 крябок. Также в условии сказано, что каждый из них съел по 5 крябок. Чтобы найти количество крябоедиков, нужно общее число съеденных ими крябок разделить на число крябок, которое съел каждый.

$20 : 5 = 4$ (крябоедика).

Ответ: было 4 крябоедика.