Страница 55, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4 Викторина «Хочу все знать».

а) На островах Тихого океана живут черепахи-гиганты. Они такой величины, что дети могут кататься, сидя у них на панцире. Расположи ответы примеров в порядке убывания и узнай название самой крупной в мире черепахи.

И $7912 : 86 =$

Х $30240 : 63 =$

М $38640 : 48 =$

О $24325 : 35 =$

Р $51750 : 25 =$

Е $406958 : 67 =$

Д $336378 : 42 =$

С $18450 : 246 =$

Л $225261 : 729 =$

Е $144320 : 328 =$

б) Черепаха-гигант прекрасно плавает, её конечности превратились в ласты. Найди её массу в килограммах, сосчитав сумму корней двух уравнений:

$(x \cdot 6 - 956) : 4 = 70$

и

$328 - (y + 6) : 4 = 228$

в) Вырази массу черепахи в центнерах, в граммах. Какие ещё единицы массы ты знаешь?

а)

Чтобы узнать название самой крупной в мире черепахи, необходимо решить примеры, а затем расположить полученные ответы в порядке убывания. Каждому ответу соответствует буква.

Решения примеров:

• И: $7912 : 86 = 92$
• Х: $30240 : 63 = 480$
• М: $38640 : 48 = 805$
• О: $24325 : 35 = 695$
• Р: $51750 : 25 = 2070$
• Е: $406958 : 67 = 6074$
• Д: $336378 : 42 = 8009$
• С: $18450 : 246 = 75$
• Л: $225261 : 729 = 309$
• Е: $144320 : 328 = 440$

Теперь расположим ответы в порядке убывания и запишем соответствующие им буквы:

$8009$ (Д), $6074$ (Е), $2070$ (Р), $805$ (М), $695$ (О), $480$ (Х), $440$ (Е), $309$ (Л), $92$ (И), $75$ (С).

Получается слово ДЕРМОХЕЛИС.

Ответ: Дермохелис.

б)

Чтобы найти массу черепахи, нужно решить два уравнения и найти сумму их корней ($x$ и $y$).

Решим первое уравнение:

$(x \cdot 6 - 956) : 4 = 70$

$x \cdot 6 - 956 = 70 \cdot 4$

$x \cdot 6 - 956 = 280$

$x \cdot 6 = 280 + 956$

$x \cdot 6 = 1236$

$x = 1236 : 6$

$x = 206$

Решим второе уравнение:

$328 - (y + 6) : 4 = 228$

$(y + 6) : 4 = 328 - 228$

$(y + 6) : 4 = 100$

$y + 6 = 100 \cdot 4$

$y + 6 = 400$

$y = 400 - 6$

$y = 394$

Теперь найдем массу черепахи, сложив корни уравнений:

$206 + 394 = 600$ кг.

Ответ: 600 кг.

в)

Выразим массу черепахи (600 кг) в центнерах и граммах.

1 центнер (ц) равен 100 килограммам. Чтобы перевести килограммы в центнеры, нужно массу в килограммах разделить на 100.

$600 \text{ кг} = 600 : 100 = 6$ ц.

1 килограмм (кг) равен 1000 граммам (г). Чтобы перевести килограммы в граммы, нужно массу в килограммах умножить на 1000.

$600 \text{ кг} = 600 \cdot 1000 = 600000$ г.

Другие единицы массы, которые я знаю: тонна (т), миллиграмм (мг), пуд, фунт.

Ответ: 6 ц, 600000 г. Другие единицы массы: тонна, миллиграмм.

5 а) Выполни деление:

$27506 : 10 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

$27506 : 100 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

$27506 : 1000 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

б) Вырази в указанных единицах счёта и измерения:

$27506 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ д. } \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ ед.;}$

$27506 \text{ мм } = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ см } \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ мм;}$

$27506 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ с. } \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ ед.;}$

$27506 \text{ мм } = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ дм } \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ мм;}$

$27506 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ т. } \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ ед.;}$

$27506 \text{ мм } = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ М } \_ \_ \_ \_ \_ \_ \text{ мм.}$

Что ты замечаешь?

а) Выполни деление:

Чтобы разделить число на $10$ с остатком, нужно отделить последнюю цифру справа. Число слева от этой цифры будет неполным частным, а отделённая цифра — остатком.
$27506 : 10 = 2750$ (ост. $6$).
Ответ: $2750$ (ост. $6$).

Чтобы разделить число на $100$ с остатком, нужно отделить две последние цифры справа. Число слева будет неполным частным, а число, образованное отделёнными цифрами — остатком.
$27506 : 100 = 275$ (ост. $6$).
Ответ: $275$ (ост. $6$).

Чтобы разделить число на $1000$ с остатком, нужно отделить три последние цифры справа. Число слева будет неполным частным, а число, образованное отделёнными цифрами — остатком.
$27506 : 1000 = 27$ (ост. $506$).
Ответ: $27$ (ост. $506$).

б) Вырази в указанных единицах счёта и измерения:

Чтобы выразить число в десятках (д.) и единицах (ед.), нужно разделить его на $10$. Неполное частное покажет количество десятков, а остаток — количество единиц.
$27506 : 10 = 2750$ (ост. $6$).
Ответ: $27506 = 2750$ д. $6$ ед.

Чтобы выразить число в сотнях (с.) и единицах (ед.), нужно разделить его на $100$. Неполное частное покажет количество сотен, а остаток — количество единиц.
$27506 : 100 = 275$ (ост. $6$).
Ответ: $27506 = 275$ с. $6$ ед.

Чтобы выразить число в тысячах (т.) и единицах (ед.), нужно разделить его на $1000$. Неполное частное покажет количество тысяч, а остаток — количество единиц.
$27506 : 1000 = 27$ (ост. $506$).
Ответ: $27506 = 27$ т. $506$ ед.

В одном сантиметре (см) $10$ миллиметров (мм). Чтобы перевести $27506$ мм в сантиметры и миллиметры, разделим это число на $10$.
$27506 : 10 = 2750$ (ост. $6$).
Ответ: $27506$ мм $= 2750$ см $6$ мм.

В одном дециметре (дм) $100$ миллиметров (мм). Чтобы перевести $27506$ мм в дециметры и миллиметры, разделим это число на $100$.
$27506 : 100 = 275$ (ост. $6$).
Ответ: $27506$ мм $= 275$ дм $6$ мм.

В одном метре (м) $1000$ миллиметров (мм). Чтобы перевести $27506$ мм в метры и миллиметры, разделим это число на $1000$.
$27506 : 1000 = 27$ (ост. $506$).
Ответ: $27506$ мм $= 27$ м $506$ мм.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что результаты вычислений в пункте а) и в пункте б) напрямую связаны. В обоих случаях используется одна и та же математическая операция — деление с остатком на $10$, $100$ и $1000$. Это показывает, что принцип разложения числа на разряды в десятичной системе счисления (нахождение общего числа десятков, сотен, тысяч) аналогичен принципу перевода единиц в метрической системе мер (мм в см, дм, м), так как обе системы являются десятичными. Неполное частное показывает количество более крупных единиц, а остаток — количество оставшихся мелких единиц.

Ответ: Вычисление количества десятков, сотен и тысяч в числе и перевод миллиметров в сантиметры, дециметры и метры основаны на одной и той же операции — делении с остатком на $10$, $100$ или $1000$.

6 Придумай выражения, значение которых равно 96.

Для того чтобы получить число 96, можно составить множество различных математических выражений. Ниже приведены примеры с использованием основных арифметических действий.

Выражения на сложение

Можно получить 96, сложив два или несколько чисел. Вот несколько примеров:

$90 + 6 = 96$

$48 + 48 = 96$

$32 + 32 + 32 = 96$

Ответ: в качестве выражений можно использовать $90 + 6$, $48 + 48$ или $32 + 32 + 32$.

Выражения на вычитание

Число 96 можно получить с помощью вычитания. Например:

$100 - 4 = 96$

$150 - 54 = 96$

Ответ: в качестве выражений можно использовать $100 - 4$ или $150 - 54$.

Выражения на умножение

Число 96 можно представить в виде произведения его множителей. Примеры:

$12 \times 8 = 96$

$24 \times 4 = 96$

$3 \times 32 = 96$

Ответ: в качестве выражений можно использовать $12 \times 8$, $24 \times 4$ или $3 \times 32$.

Выражения на деление

Результат 96 можно получить при делении одного числа на другое. Примеры:

$192 : 2 = 96$

$288 : 3 = 96$

$960 : 10 = 96$

Ответ: в качестве выражений можно использовать $192 : 2$, $288 : 3$ или $960 : 10$.

Комбинированные выражения

Можно использовать комбинацию различных арифметических действий. Важно помнить о порядке их выполнения (действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание).

Пример с умножением и сложением: $10 \times 9 + 6 = 90 + 6 = 96$

Пример с умножением и вычитанием: $20 \times 5 - 4 = 100 - 4 = 96$

Пример со скобками: $2 \times (40 + 8) = 2 \times 48 = 96$

Ответ: в качестве выражений можно использовать $10 \times 9 + 6$, $20 \times 5 - 4$ или $2 \times (40 + 8)$.

Обведи истинные высказывания:

$ \frac{3}{15} < \frac{8}{15} $ (Л)

$ \frac{3}{15} = \frac{8}{15} $ (А)

$ \frac{3}{15} > \frac{8}{15} $ (Н)

$ \frac{4}{7} < \frac{4}{9} $ (Р)

$ \frac{4}{7} = \frac{4}{9} $ (Т)

$ \frac{4}{7} > \frac{4}{9} $ (Е)

$ \frac{5}{5} < \frac{7}{7} $ (М)

$ \frac{5}{5} = \frac{7}{7} $ (О)

$ \frac{5}{5} > \frac{7}{7} $ (К)

$ \frac{6}{10} < \frac{10}{6} $ (П)

$ \frac{6}{10} = \frac{10}{6} $ (У)

$ \frac{6}{10} > \frac{10}{6} $ (Х)

$ 2\frac{1}{3} < \frac{7}{3} $ (В)

$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} $ (О)

$ 2\frac{1}{3} > \frac{7}{3} $ (З)

$ \frac{33}{8} < 4\frac{5}{8} $ (Л)

$ \frac{33}{8} = 4\frac{5}{8} $ (И)

$ \frac{33}{8} > 4\frac{5}{8} $ (Б)

$ 2\frac{4}{11} < 2\frac{3}{11} $ (Ж)

$ 2\frac{4}{11} = 2\frac{3}{11} $ (Э)

$ 2\frac{4}{11} > 2\frac{3}{11} $ (Ь)

$ 7\frac{1}{13} < 5\frac{6}{13} $ (С)

$ 7\frac{1}{13} = 5\frac{6}{13} $ (Ф)

$ 7\frac{1}{13} > 5\frac{6}{13} $ (Д)

Составь из соответствующих букв имя героя мультфильма.

Для решения задачи необходимо определить, какие из предложенных математических высказываний (неравенств или равенств) являются истинными. Каждому высказыванию соответствует буква. Выбрав буквы истинных высказываний, мы составим из них имя героя мультфильма.

Л

Рассмотрим высказывание $\frac{3}{15} < \frac{8}{15}$.
При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями большей является та дробь, у которой числитель больше. Так как $3 < 8$, то неравенство $\frac{3}{15} < \frac{8}{15}$ является истинным.

Ответ: Л

О

Рассмотрим высказывание $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Чтобы проверить это равенство, преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Получаем тождество $\frac{7}{3} = \frac{7}{3}$, следовательно, высказывание истинно.

Ответ: О

Е

Рассмотрим высказывание $\frac{4}{7} > \frac{4}{9}$.
При сравнении дробей с одинаковыми числителями большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $7 < 9$, то неравенство $\frac{4}{7} > \frac{4}{9}$ является истинным.

Ответ: Е

Л

Рассмотрим высказывание $\frac{33}{8} < 4\frac{5}{8}$.
Преобразуем смешанное число $4\frac{5}{8}$ в неправильную дробь: $4\frac{5}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{32 + 5}{8} = \frac{37}{8}$.
Теперь сравним дроби $\frac{33}{8}$ и $\frac{37}{8}$. У них одинаковые знаменатели, поэтому сравниваем числители. Так как $33 < 37$, то неравенство $\frac{33}{8} < \frac{37}{8}$ является истинным.

Ответ: Л

О

Рассмотрим высказывание $\frac{5}{5} = \frac{7}{7}$.
Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю (и знаменатель не равен нулю), равна единице. Таким образом, $\frac{5}{5} = 1$ и $\frac{7}{7} = 1$.
Получаем равенство $1 = 1$, следовательно, высказывание истинно.

Ответ: О

Ь

Рассмотрим высказывание $2\frac{4}{11} > 2\frac{3}{11}$.
При сравнении смешанных чисел с одинаковой целой частью (здесь это 2), большей является та дробь, у которой дробная часть больше. Сравним $\frac{4}{11}$ и $\frac{3}{11}$. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители. $4 > 3$, значит $\frac{4}{11} > \frac{3}{11}$.
Следовательно, неравенство $2\frac{4}{11} > 2\frac{3}{11}$ истинно.

Ответ: Ь

П

Рассмотрим высказывание $\frac{6}{10} < \frac{10}{6}$.
Дробь $\frac{6}{10}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), поэтому ее значение меньше 1. Дробь $\frac{10}{6}$ является неправильной (числитель больше знаменателя), поэтому ее значение больше 1. Любое число, которое меньше 1, всегда меньше любого числа, которое больше 1. Следовательно, неравенство истинно.

Ответ: П

Д

Рассмотрим высказывание $7\frac{1}{13} > 5\frac{6}{13}$.
При сравнении смешанных чисел в первую очередь сравнивают их целые части. Так как $7 > 5$, то смешанное число $7\frac{1}{13}$ больше смешанного числа $5\frac{6}{13}$ независимо от их дробных частей. Неравенство истинно.

Ответ: Д

Составление имени героя

Мы нашли все истинные высказывания и получили следующий набор букв: Л, О, Е, Л, О, Ь, П, Д.
Составив из этих букв имя, получаем имя известного героя мультфильма.

Ответ: Леопольд

8 Реши уравнение:

a) $ \frac{x}{14} = 30; $

б) $ \left(a + 3\frac{4}{7}\right) - 1\frac{2}{7} = 4\frac{3}{7}; $

$ \frac{80}{y} = 5; $

$ 2\frac{19}{23} - \left(\frac{5}{23} + b\right) = 1\frac{6}{23}; $

$ \frac{m}{28} = 36; $

$ \left(c - 2\frac{3}{11}\right) + 5\frac{1}{11} = 7; $

$ \frac{513}{n} = 19; $

$ 3\frac{4}{9} + (8 - d) = 6\frac{5}{9}. $

а)

$\\frac{x}{14} = 30$
В этом уравнении $x$ — неизвестное делимое. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.
$x = 30 \\cdot 14$
$x = 420$
Проверка: $\\frac{420}{14} = 30$.
Ответ: $x = 420$.

$\\frac{80}{y} = 5$
В этом уравнении $y$ — неизвестный делитель. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
$y = 80 : 5$
$y = 16$
Проверка: $\\frac{80}{16} = 5$.
Ответ: $y = 16$.

$\\frac{m}{28} = 36$
В этом уравнении $m$ — неизвестное делимое. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.
$m = 36 \\cdot 28$
$m = 1008$
Проверка: $\\frac{1008}{28} = 36$.
Ответ: $m = 1008$.

$\\frac{513}{n} = 19$
В этом уравнении $n$ — неизвестный делитель. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
$n = 513 : 19$
$n = 27$
Проверка: $\\frac{513}{27} = 19$.
Ответ: $n = 27$.

б)

$(a + 3\\frac{4}{7}) - 1\\frac{2}{7} = 4\\frac{3}{7}$
В этом уравнении выражение в скобках $(a + 3\\frac{4}{7})$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$a + 3\\frac{4}{7} = 4\\frac{3}{7} + 1\\frac{2}{7}$
$a + 3\\frac{4}{7} = 5\\frac{5}{7}$
Теперь $a$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$a = 5\\frac{5}{7} - 3\\frac{4}{7}$
$a = 2\\frac{1}{7}$
Проверка: $(2\\frac{1}{7} + 3\\frac{4}{7}) - 1\\frac{2}{7} = 5\\frac{5}{7} - 1\\frac{2}{7} = 4\\frac{3}{7}$.
Ответ: $a = 2\\frac{1}{7}$.

$2\\frac{19}{23} - (\\frac{5}{23} + b) = 1\\frac{6}{23}$
В этом уравнении выражение в скобках $(\\frac{5}{23} + b)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$\\frac{5}{23} + b = 2\\frac{19}{23} - 1\\frac{6}{23}$
$\\frac{5}{23} + b = 1\\frac{13}{23}$
Теперь $b$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$b = 1\\frac{13}{23} - \\frac{5}{23}$
$b = 1\\frac{8}{23}$
Проверка: $2\\frac{19}{23} - (\\frac{5}{23} + 1\\frac{8}{23}) = 2\\frac{19}{23} - 1\\frac{13}{23} = 1\\frac{6}{23}$.
Ответ: $b = 1\\frac{8}{23}$.

$(c - 2\\frac{3}{11}) + 5\\frac{1}{11} = 7$
В этом уравнении выражение в скобках $(c - 2\\frac{3}{11})$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$c - 2\\frac{3}{11} = 7 - 5\\frac{1}{11}$
$c - 2\\frac{3}{11} = 6\\frac{11}{11} - 5\\frac{1}{11}$
$c - 2\\frac{3}{11} = 1\\frac{10}{11}$
Теперь $c$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$c = 1\\frac{10}{11} + 2\\frac{3}{11}$
$c = 3\\frac{13}{11}$
$c = 4\\frac{2}{11}$
Проверка: $(4\\frac{2}{11} - 2\\frac{3}{11}) + 5\\frac{1}{11} = (3\\frac{13}{11} - 2\\frac{3}{11}) + 5\\frac{1}{11} = 1\\frac{10}{11} + 5\\frac{1}{11} = 6\\frac{11}{11} = 7$.
Ответ: $c = 4\\frac{2}{11}$.

$3\\frac{4}{9} + (8 - d) = 6\\frac{5}{9}$
В этом уравнении выражение в скобках $(8 - d)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$8 - d = 6\\frac{5}{9} - 3\\frac{4}{9}$
$8 - d = 3\\frac{1}{9}$
Теперь $d$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$d = 8 - 3\\frac{1}{9}$
$d = 7\\frac{9}{9} - 3\\frac{1}{9}$
$d = 4\\frac{8}{9}$
Проверка: $3\\frac{4}{9} + (8 - 4\\frac{8}{9}) = 3\\frac{4}{9} + (7\\frac{9}{9} - 4\\frac{8}{9}) = 3\\frac{4}{9} + 3\\frac{1}{9} = 6\\frac{5}{9}$.
Ответ: $d = 4\\frac{8}{9}$.

9 Костя в первый час прошёл $4\frac{2}{5}$ км, а во второй час — на $\frac{3}{5}$ км больше, чем в первый час. За эти два часа он прошёл на $5\frac{4}{5}$ км больше, чем в третий час. Сколько километров прошёл Костя за все 3 часа?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий по порядку.

1. Вычислим расстояние, которое Костя прошёл во второй час. В условии сказано, что он прошёл на $\frac{3}{5}$ км больше, чем в первый час ($4 \frac{2}{5}$ км).

$4 \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 4 \frac{2+3}{5} = 4 \frac{5}{5} = 5$ (км) — расстояние, пройденное во второй час.

2. Теперь найдём общее расстояние, пройденное за первые два часа. Для этого сложим расстояние за первый и второй час.

$4 \frac{2}{5} + 5 = 9 \frac{2}{5}$ (км) — расстояние, пройденное за первые два часа.

3. Далее определим расстояние, которое Костя прошёл в третий час. Известно, что за первые два часа он прошёл на $5 \frac{4}{5}$ км больше, чем за третий час. Следовательно, чтобы найти расстояние за третий час, нужно из расстояния за первые два часа вычесть $5 \frac{4}{5}$ км.

$9 \frac{2}{5} - 5 \frac{4}{5}$

Чтобы выполнить вычитание, представим $9 \frac{2}{5}$ в виде $8 \frac{7}{5}$:

$8 \frac{7}{5} - 5 \frac{4}{5} = (8-5) + (\frac{7}{5} - \frac{4}{5}) = 3 \frac{3}{5}$ (км) — расстояние, пройденное в третий час.

4. Наконец, вычислим общее расстояние, которое Костя прошёл за все три часа. Для этого сложим расстояние за первые два часа и расстояние за третий час.

$9 \frac{2}{5} + 3 \frac{3}{5} = (9+3) + (\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) = 12 + \frac{5}{5} = 12 + 1 = 13$ (км).

Ответ: $13$ км.

10 Автомобиль проехал за 3 часа $185\frac{1}{4}$ км.

В первый час он проехал $59\frac{3}{4}$ км. Это на $4\frac{1}{4}$ км меньше, чем он проехал во второй час. Сколько километров проехал автомобиль в третий час пути?

Для того чтобы найти, сколько километров проехал автомобиль в третий час пути, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем расстояние, которое автомобиль проехал за второй час.

В условии сказано, что за первый час автомобиль проехал $59\frac{3}{4}$ км, и это на $4\frac{1}{4}$ км меньше, чем за второй час. Следовательно, чтобы узнать расстояние, пройденное за второй час, нужно к расстоянию за первый час прибавить $4\frac{1}{4}$ км.

$59\frac{3}{4} + 4\frac{1}{4} = (59 + 4) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 63 + \frac{4}{4} = 63 + 1 = 64$ км.

Таким образом, во второй час автомобиль проехал 64 км.

2. Найдем общее расстояние, которое автомобиль проехал за первые два часа.

Для этого сложим расстояние, пройденное в первый час, и расстояние, пройденное во второй час.

$59\frac{3}{4} + 64 = 123\frac{3}{4}$ км.

За первые два часа автомобиль проехал $123\frac{3}{4}$ км.

3. Найдем расстояние, которое автомобиль проехал в третий час пути.

Общее расстояние, которое автомобиль проехал за три часа, составляет $185\frac{1}{4}$ км. Чтобы найти, сколько километров автомобиль проехал в третий час, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, пройденное за первые два часа.

$185\frac{1}{4} - 123\frac{3}{4}$

Чтобы выполнить вычитание, представим смешанное число $185\frac{1}{4}$ в виде $184\frac{5}{4}$ (заняв единицу из целой части):

$184\frac{5}{4} - 123\frac{3}{4} = (184 - 123) + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) = 61 + \frac{2}{4} = 61\frac{1}{2}$ км.

Ответ: в третий час пути автомобиль проехал $61\frac{1}{2}$ км.

5 Расшифруй высказывание великого немецкого математика Карла Гаусса (1777 – 1855).

Координатная плоскость: ось x от 0 до 16, ось y от 1 до 7.

K: $(2;7)$

T: $(1;4)$

Ц: $(4;5)$

H: $(7;4)$

М: $(11;4)$

А: $(6;1)$

И: $(9;6)$

Э: $(15;5)$

Ф: $(5;3)$

P: $(12;2)$

У: $(14;1)$

$(11;4) (6;1) (1;4) (15;5) (11;4) (6;1) (1;4) (9;6) (2;7) (6;1)$

$(4;5) (6;1) (12;2) (9;6) (4;5) (6;1) (7;4) (6;1) (14;1) (2;7)$

$(6;1) (12;2) (9;6) (5;3) (11;4) (15;5) (1;4) (9;6) (2;7) (6;1)$

$(4;5) (6;1) (12;2) (9;6) (4;5) (6;1)$

$(11;4) (6;1) (1;4) (15;5) (11;4) (6;1) (1;4) (9;6) (2;7) (9;6)$

Для расшифровки высказывания необходимо определить координаты каждой буквы на графике, а затем подставить их в соответствии с заданными парами чисел.

Сначала определим координаты всех букв на плоскости:

• А: $(6; 1)$

• Е: $(15; 5)$

• И: $(9; 6)$

• К: $(2; 7)$

• М: $(11; 4)$

• Н: $(7; 4)$

• П: $(12; 2)$

• Т: $(1; 4)$

• У: $(14; 1)$

• Ф: $(5; 3)$

• Ц: $(4; 5)$

Теперь проведем расшифровку, подставляя буквы вместо их координат.

Первая строка:

$(11; 4)$ $(6; 1)$ $(1; 4)$ $(15; 5)$ $(11; 4)$ $(6; 1)$ $(1; 4)$ $(9; 6)$ $(2; 7)$ $(6; 1)$

М А Т Е М А Т И К А

Получаем слово "МАТЕМАТИКА".

Вторая строка:

$(4; 5)$ $(6; 1)$ $(12; 2)$ $(9; 6)$ $(4; 5)$ $(6; 1)$

Ц А Р И Ц А

Получаем слово "ЦАРИЦА".

и

$(7; 4)$ $(6; 1)$ $(14; 1)$ $(2; 7)$

Н А У К

Получаем слово "НАУК".

Третья строка:

$(6; 1)$ $(12; 2)$ $(9; 6)$ $(5; 3)$ $(11; 4)$ $(15; 5)$ $(1; 4)$ $(9; 6)$ $(2; 7)$ $(6; 1)$

А Р И Ф М Е Т И К А

Получаем слово "АРИФМЕТИКА".

Четвертая строка:

$(4; 5)$ $(6; 1)$ $(12; 2)$ $(9; 6)$ $(4; 5)$ $(6; 1)$

Ц А Р И Ц А

Получаем слово "ЦАРИЦА".

Пятая строка:

$(11; 4)$ $(6; 1)$ $(1; 4)$ $(15; 5)$ $(11; 4)$ $(6; 1)$ $(1; 4)$ $(9; 6)$ $(2; 7)$ $(9; 6)$

М А Т Е М А Т И К И

Получаем слово "МАТЕМАТИКИ".

Соединив все части, получаем полное высказывание Карла Гаусса.

Ответ: Математика - царица наук, арифметика - царица математики.

6 Когда маленький Карл Гаусс учился в школе, его учитель, чтобы занять детей надолго, дал трудное задание — найти сумму натуральных чисел от 1 до 100. Но Гаусс ответил моментально. Попробуй и ты быстро сосчитать эту сумму.

Чтобы быстро найти сумму натуральных чисел от 1 до 100, можно воспользоваться методом, который, по легенде, применил юный Карл Гаусс. Суть метода заключается в попарном сложении чисел с противоположных концов последовательности.

Запишем сумму, которую нужно найти:
$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$

Теперь сгруппируем первое и последнее число, второе и предпоследнее, и так далее:
$(1 + 100) = 101$
$(2 + 99) = 101$
$(3 + 98) = 101$
...
Последней такой парой будут числа в середине ряда: $(50 + 51) = 101$.

Как мы видим, сумма каждой пары одинакова и равна 101. Всего в последовательности от 1 до 100 находится 100 чисел. Если мы разделим их на пары, то получим $100 / 2 = 50$ пар.

Чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество таких пар:
$S = 101 \times 50 = 5050$

Этот же результат можно получить с помощью формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$
где $n$ — количество членов (100), $a_1$ — первый член (1), $a_n$ — последний член (100).
$S_{100} = \frac{100 \cdot (1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$

Ответ: 5050

7 Как быстро вычислить:

a) $1 + 3 + 5 + \ldots + 995 + 997 + 999;$

б) $99 - 97 + 95 - 93 + 91 - 89 + \ldots + 7 - 5 + 3 - 1?$

а) $1 + 3 + 5 + \dots + 995 + 997 + 999$

Данная сумма представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, состоящей из нечетных чисел. Чтобы быстро вычислить эту сумму, можно сгруппировать слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.

$(1 + 999) + (3 + 997) + (5 + 995) + \dots$

Сумма каждой такой пары равна 1000:

$1 + 999 = 1000$

$3 + 997 = 1000$

$5 + 995 = 1000$

Теперь нужно определить, сколько всего слагаемых в этой сумме, чтобы найти количество пар. Это все нечетные числа от 1 до 999. Чтобы найти их количество, можно использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1 = 1$, $a_n = 999$, и разность $d=2$.

$999 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$998 = (n-1) \cdot 2$

$499 = n - 1$

$n = 500$

Таким образом, в сумме 500 слагаемых. Так как мы группируем их по два, количество пар будет:

$500 / 2 = 250$

Каждая пара дает в сумме 1000, а таких пар 250. Следовательно, общая сумма равна:

$250 \times 1000 = 250000$

Также можно заметить, что это сумма первых 500 нечетных чисел, а сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$.

$S_{500} = 500^2 = 250000$

Ответ: 250000

б) $99 - 97 + 95 - 93 + 91 - 89 + \dots + 7 - 5 + 3 - 1$

Для быстрого вычисления этого выражения сгруппируем числа попарно:

$(99 - 97) + (95 - 93) + (91 - 89) + \dots + (7 - 5) + (3 - 1)$

Результат вычитания в каждой паре одинаков и равен 2:

$99 - 97 = 2$

$95 - 93 = 2$

$...$

$3 - 1 = 2$

Теперь нужно посчитать, сколько таких пар получилось. Исходный ряд состоит из нечетных чисел от 1 до 99. Найдем их количество. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся формулой для нахождения количества членов прогрессии:

$a_1 = 1$, $a_n = 99$, $d=2$.

$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$98 = (n-1) \cdot 2$

$49 = n - 1$

$n = 50$

Всего в выражении 50 чисел. Так как мы объединили их в пары, количество пар будет:

$50 / 2 = 25$

Итак, у нас есть 25 пар, каждая из которых равна 2. Общая сумма будет произведением количества пар на значение каждой пары:

$25 \times 2 = 50$

Ответ: 50

8 Какие знаки арифметических действий можно поставить вместо звёздочек в записи $5 * \frac{5 * 5 * 5}{5}$, чтобы получить число 8? А чтобы получить число 20?

...чтобы получить число 8?

Запишем данное выражение, заменив звездочки на переменные для арифметических операций: $5 \text{ op}_1 \frac{5 \text{ op}_2 5 \text{ op}_3 5}{5}$. Нам нужно, чтобы результат этого выражения был равен 8.

$5 \text{ op}_1 \frac{5 \text{ op}_2 5 \text{ op}_3 5}{5} = 8$

Рассмотрим, какой может быть первая операция $\text{op}_1$.

Если $\text{op}_1$ — это сложение (+), то получаем уравнение: $5 + \frac{5 \text{ op}_2 5 \text{ op}_3 5}{5} = 8$.
Чтобы равенство выполнялось, значение дроби должно быть равно $8 - 5 = 3$.
Значит, выражение в числителе должно быть равно $3 \times 5 = 15$.
$5 \text{ op}_2 5 \text{ op}_3 5 = 15$.
Подберем знаки $\text{op}_2$ и $\text{op}_3$. Чтобы из трех пятерок получить 15, их нужно сложить: $5 + 5 + 5 = 15$.
Таким образом, все три знака — это «+».

Проверим получившееся выражение: $5 + \frac{5 + 5 + 5}{5} = 5 + \frac{15}{5} = 5 + 3 = 8$.
Равенство верное.

Ответ: Вместо звездочек нужно поставить знаки сложения: $5 + \frac{5 + 5 + 5}{5}$.

А чтобы получить число 20?

Теперь найдем знаки для получения числа 20.

$5 \text{ op}_1 \frac{5 \text{ op}_2 5 \text{ op}_3 5}{5} = 20$

Рассмотрим, какой может быть первая операция $\text{op}_1$.

Если $\text{op}_1$ — это умножение (*), то получаем уравнение: $5 \times \frac{5 \text{ op}_2 5 \text{ op}_3 5}{5} = 20$.
Мы можем сократить множитель 5 и знаменатель 5. Тогда выражение в числителе должно быть равно 20.
$5 \text{ op}_2 5 \text{ op}_3 5 = 20$.
Подберем знаки $\text{op}_2$ и $\text{op}_3$. Чтобы получить 20, можно сначала умножить $5 \times 5 = 25$, а затем вычесть 5: $25 - 5 = 20$.
Следовательно, $\text{op}_2$ — это умножение (*), а $\text{op}_3$ — это вычитание (-).

Проверим получившееся выражение: $5 \times \frac{5 \times 5 - 5}{5} = 5 \times \frac{25 - 5}{5} = 5 \times \frac{20}{5} = 5 \times 4 = 20$.
Равенство верное.

Ответ: Первая звездочка — умножение, в числителе — умножение и вычитание: $5 \times \frac{5 \times 5 - 5}{5}$.