Страница 59, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4 а) Вырежи из листа бумаги круг радиусом 3 см. Раздели его с помощью перегибания на 4 равные части и закрась одну часть. Какая это часть круга?

б) Какую часть круга составляет незакрашенная часть? Какая из этих двух частей круга больше — закрашенная или незакрашенная?

в) Сколько четвёртых частей содержит половина круга?

а) Если круг разделить на 4 равные части, то каждая такая часть называется одной четвёртой долей, или просто четвертью. Если закрасить одну такую часть, то она будет составлять $ \frac{1}{4} $ всего круга.
Ответ: Закрашенная часть — это $ \frac{1}{4} $ круга.

б) Весь круг состоит из 4 равных частей. Если одна часть ($ \frac{1}{4} $) закрашена, то незакрашенными остаются остальные части. Их количество равно $ 4 - 1 = 3 $. Таким образом, незакрашенная часть составляет $ \frac{3}{4} $ круга.
Чтобы сравнить, какая часть больше — закрашенная ($ \frac{1}{4} $) или незакрашенная ($ \frac{3}{4} $), нужно сравнить дроби. Так как знаменатели у дробей одинаковые, больше та дробь, у которой больше числитель. Поскольку $ 3 > 1 $, то $ \frac{3}{4} > \frac{1}{4} $. Значит, незакрашенная часть больше закрашенной.
Ответ: Незакрашенная часть составляет $ \frac{3}{4} $ круга. Незакрашенная часть больше.

в) Половина круга — это $ \frac{1}{2} $. Четвёртая часть — это $ \frac{1}{4} $. Чтобы найти, сколько четвёртых частей содержится в половине круга, нужно $ \frac{1}{2} $ разделить на $ \frac{1}{4} $.
$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2 $.
Также можно рассуждать так: целый круг содержит 4 четверти. Значит, половина круга будет содержать в два раза меньше четвертей, то есть $ 4 \div 2 = 2 $.
Ответ: Половина круга содержит 2 четвёртые части.

5 Раздели прямоугольники на 3 равные части разными способами. Раскрась на каждом из них третью часть. Равны ли эти части по площади? Докажи.

Исходные прямоугольники состоят из 12 одинаковых клеток (3 ряда по 4 клетки в каждом). Чтобы разделить прямоугольник на 3 равные части, нужно общее количество клеток разделить на 3.

$12 \text{ клеток} \div 3 = 4 \text{ клетки}$

Следовательно, каждая из трех равных частей должна состоять из 4 клеток.

Способ 1: Деление горизонтальными линиями

Прямоугольник можно разделить на три равные части, проведя две горизонтальные линии. В результате получатся три одинаковых прямоугольника размером 1x4 клетки. Раскрасим верхнюю часть, которая состоит из 4 клеток.

Пример раскраски (X - закрашенная клетка, O - незакрашенная):

XXXXOOOOOOOO 

Способ 2: Деление на фигуры сложной формы

Можно разделить прямоугольник на три равные по площади части, но разные по форме. Например:

• Часть 1: левый столбец (3 клетки) и верхняя клетка второго столбца (1 клетка). Всего 4 клетки.
• Часть 2: две оставшиеся клетки второго столбца и две верхние клетки третьего столбца. Всего 4 клетки.
• Часть 3: одна оставшаяся клетка третьего столбца и весь четвертый столбец (3 клетки). Всего 4 клетки.

Раскрасим первую часть, состоящую из 4 клеток.

Пример раскраски (X - закрашенная клетка, O - незакрашенная):

XXOOXOOOXOOO 

Равны ли эти части по площади? Докажи.

Да, раскрашенные части равны по площади.

Доказательство:

Площадь всего прямоугольника $S_{общ}$ равна 12 клеткам. По условию, мы делим его на 3 равные части. Это означает, что площадь каждой части $S_{части}$ по определению должна быть равна одной трети от общей площади.

$S_{части} = S_{общ} \div 3 = 12 \div 3 = 4$ клетки.

В первом способе мы закрасили часть, площадь которой равна 4 клеткам. Во втором способе мы также закрасили часть, площадь которой равна 4 клеткам. Так как площадь каждой закрашенной части равна 4 клеткам, то эти части равны по площади.

Ответ: Да, раскрашенные части равны по площади, так как каждая из них составляет одну треть от общей площади прямоугольника и состоит из 4 клеток.

6 Выделили на отрезке указанную часть цветным карандашом и придумай свой способ обозначения этих частей с помощью чисел.

а) половина: [ ] ?

б) одна треть: [ ] ?

в) одна шестая: [ ] ?

г) три четверти: [ ] ?

д) две пятых: [ ] ?

е) четыре седьмых: [ ] ?

Для того чтобы обозначить части отрезка с помощью чисел, можно использовать обыкновенные дроби. В такой записи число под чертой (знаменатель) показывает, на сколько равных частей разделен весь отрезок, а число над чертой (числитель) — сколько таких частей нужно выделить цветным карандашом.

а) половина: Отрезок на рисунке разделен на 2 равные части. "Половина" означает, что нужно взять одну из этих частей. Следовательно, выделяем 1 часть из 2. Численное обозначение этой части — дробь, где в знаменателе общее число частей (2), а в числителе — количество выделенных частей (1).
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) одна треть: Отрезок разделен на 3 равные части. "Одна треть" — это одна из этих частей. Выделяем 1 часть из 3. Численное обозначение — дробь $\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) одна шестая: Отрезок разделен на 6 равных частей. "Одна шестая" — это одна из этих частей. Выделяем 1 часть из 6. Численное обозначение — дробь $\frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

г) три четверти: Отрезок разделен на 4 равные части. "Три четверти" — это три из этих частей. Выделяем 3 части из 4. Численное обозначение — дробь $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

д) две пятых: Отрезок разделен на 5 равных частей. "Две пятых" — это две из этих частей. Выделяем 2 части из 5. Численное обозначение — дробь $\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

е) четыре седьмых: Отрезок разделен на 7 равных частей. "Четыре седьмых" — это четыре из этих частей. Выделяем 4 части из 7. Численное обозначение — дробь $\frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$.

7 Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

$y : 23 + 312 = 390;$

$7035 : (120 - z) = 67.$

y : 23 + 312 = 390;

В этом уравнении левая часть представляет собой сумму, где первое слагаемое — это выражение $y : 23$, а второе слагаемое — число 312. Сумма равна 390. Чтобы найти неизвестное слагаемое ($y : 23$), нужно из суммы (390) вычесть известное слагаемое (312).

$y : 23 = 390 - 312$

$y : 23 = 78$

Теперь мы получили простое уравнение, в котором $y$ — это неизвестное делимое, 23 — делитель, а 78 — частное. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (78) умножить на делитель (23).

$y = 78 \cdot 23$

$y = 1794$

Проверка:

Подставим найденное значение $y = 1794$ в исходное уравнение, чтобы проверить правильность решения.

$1794 : 23 + 312 = 390$

Сначала выполняем деление:

$1794 : 23 = 78$

Теперь выполняем сложение:

$78 + 312 = 390$

$390 = 390$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $y = 1794$.

7035 : (120 - z) = 67.

В этом уравнении неизвестное $z$ находится в скобках, и все выражение $(120 - z)$ является делителем. Делимое равно 7035, а частное — 67. Чтобы найти неизвестный делитель $(120 - z)$, нужно делимое (7035) разделить на частное (67).

$120 - z = 7035 : 67$

$120 - z = 105$

Теперь мы получили простое уравнение, в котором $z$ — это неизвестное вычитаемое. 120 — уменьшаемое, а 105 — разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (120) вычесть разность (105).

$z = 120 - 105$

$z = 15$

Проверка:

Подставим найденное значение $z = 15$ в исходное уравнение.

$7035 : (120 - 15) = 67$

Сначала выполняем действие в скобках:

$120 - 15 = 105$

Теперь выполняем деление:

$7035 : 105 = 67$

$67 = 67$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $z = 15$.

8. В школьном саду посадили 900 цветов, 630 из них были тюльпаны, а остальные розы. На каждую клумбу сажали по 35 тюльпанов или по 30 роз.

Сколько всего получилось клумб?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество роз, которые посадили в саду. Для этого из общего количества цветов вычтем количество тюльпанов:

$900 - 630 = 270$ (роз)

2. Рассчитаем, сколько клумб понадобилось для тюльпанов. Для этого разделим общее количество тюльпанов на количество тюльпанов, высаживаемых на одну клумбу:

$630 / 35 = 18$ (клумб с тюльпанами)

3. Рассчитаем, сколько клумб понадобилось для роз. Для этого разделим общее количество роз на количество роз, высаживаемых на одну клумбу:

$270 / 30 = 9$ (клумб с розами)

4. Найдем общее количество клумб в саду. Для этого сложим количество клумб с тюльпанами и количество клумб с розами:

$18 + 9 = 27$ (клумб)

Ответ: всего получилось 27 клумб.

9 a) $306 \cdot 24 : 72 - (35280 : 7 - 63 \cdot 80) : 97;$

б) $(2005 \cdot 8 - 704 \cdot 21 + 6400 : 800) : (702 \cdot 860 - 603704).$

Решим выражение $306 \cdot 24 : 72 - (35280 : 7 - 63 \cdot 80) : 97$ по действиям.

1. Сначала выполним действия в первой части выражения (умножение и деление слева направо):

$306 \cdot 24 = 7344$

$7344 : 72 = 102$

2. Теперь выполним действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняются умножение и деление:

$35280 : 7 = 5040$

$63 \cdot 80 = 5040$

3. Далее выполним вычитание внутри скобок:

$5040 - 5040 = 0$

4. Результат, полученный в скобках, разделим на 97:

$0 : 97 = 0$

5. Наконец, выполним последнее действие — вычитание:

$102 - 0 = 102$

Ответ: 102

Решим выражение $(2005 \cdot 8 - 704 \cdot 21 + 6400 : 800) : (702 \cdot 860 - 603 \cdot 704)$ по действиям, вычислив сначала значения в каждой из скобок.

1. Вычислим значение выражения в первой скобке. Сначала выполним умножение и деление:

$2005 \cdot 8 = 16040$

$704 \cdot 21 = 14784$

$6400 : 800 = 8$

Теперь выполним вычитание и сложение слева направо:

$16040 - 14784 + 8 = 1256 + 8 = 1264$

2. Вычислим значение выражения во второй скобке. Сначала выполним умножение:

$702 \cdot 860 = 603720$

$603 \cdot 704 = 424512$

Теперь выполним вычитание:

$603720 - 424512 = 179208$

3. Разделим результат первой скобки на результат второй:

$1264 : 179208$

Так как результат не является целым числом, запишем его в виде дроби и сократим её:

$\frac{1264}{179208}$

Оба числа делятся на 8:

$1264 : 8 = 158$

$179208 : 8 = 22401$

Таким образом, получаем дробь:

$\frac{158}{22401}$

Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{158}{22401}$

6 Построй числовой луч с единичным отрезком, равным 3 клеточкам тетради. Отметь на нем числа $\frac{2}{3}$, $2 \frac{1}{3}$, $4 \frac{2}{3}$.

Для построения числового луча с единичным отрезком, равным 3 клеточкам, необходимо сначала начертить луч с началом в точке 0. Затем отложим от начала 3 клеточки и поставим отметку с числом 1. От отметки 1 отложим еще 3 клеточки и поставим отметку 2. Продолжим так для чисел 3, 4, 5 и так далее. Таким образом, каждое целое число будет отстоять от предыдущего на 3 клеточки.

Далее необходимо отметить на этом луче заданные числа. Поскольку единичный отрезок равен 3 клеточкам, то $ \frac{1}{3} $ этого отрезка будет равна 1 клеточке. Это поможет нам точно разместить дроби.

Чтобы отметить число $ \frac{2}{3} $, нужно отсчитать от начала луча (от 0) две трети единичного отрезка. Так как $ \frac{1}{3} $ — это 1 клеточка, то $ \frac{2}{3} $ — это 2 клеточки. Ставим точку на расстоянии 2 клеточек от 0 и подписываем $ \frac{2}{3} $.

Чтобы отметить число $ 2 \frac{1}{3} $, сначала находим на луче отметку целого числа 2. Она находится на расстоянии $2 \times 3 = 6$ клеточек от 0. Затем к этому расстоянию нужно добавить дробную часть $ \frac{1}{3} $, которая, как мы выяснили, равна 1 клеточке. Таким образом, точка $ 2 \frac{1}{3} $ будет находиться на расстоянии $6 + 1 = 7$ клеточек от 0.

Чтобы отметить число $ 4 \frac{2}{3} $, находим на луче отметку целого числа 4. Она находится на расстоянии $4 \times 3 = 12$ клеточек от 0. К этому расстоянию добавляем дробную часть $ \frac{2}{3} $, которая равна 2 клеточкам. Таким образом, точка $ 4 \frac{2}{3} $ будет находиться на расстоянии $12 + 2 = 14$ клеточек от 0.

Ответ: На числовом луче, где единичный отрезок равен 3 клеточкам, числа будут расположены следующим образом: точка, соответствующая числу $ \frac{2}{3} $, находится на расстоянии 2 клеточек от 0; точка, соответствующая числу $ 2 \frac{1}{3} $, находится на расстоянии 7 клеточек от 0; точка, соответствующая числу $ 4 \frac{2}{3} $, находится на расстоянии 14 клеточек от 0.

7. Выбери удобный единичный отрезок, построй числовой луч и отметь числа:

a) $\frac{3}{5}$, $1\frac{1}{5}$, $2\frac{4}{5}$;

б) $\frac{2}{7}$, $1\frac{3}{7}$, $2\frac{5}{7}$.

Для того чтобы отметить на числовом луче числа $\frac{3}{5}$, $1\frac{1}{5}$ и $2\frac{4}{5}$, нужно выбрать удобный единичный отрезок. Поскольку знаменатель у всех дробей равен 5, удобно взять единичный отрезок, который легко делится на 5 равных частей. Например, пусть единичный отрезок равен 5 клеткам тетради. Тогда одна часть, равная $\frac{1}{5}$ единичного отрезка, будет соответствовать 1 клетке.

Построим числовой луч с началом в точке 0. Разделим каждый единичный отрезок (от 0 до 1, от 1 до 2 и т.д.) на 5 равных частей.

• Чтобы отметить число $\frac{3}{5}$, нужно отступить от 0 на 3 таких части, то есть на 3 клетки вправо.
• Число $1\frac{1}{5}$ можно представить в виде неправильной дроби $\frac{6}{5}$. Это значит, что от точки 0 нужно отложить 6 частей, то есть 6 клеток. Также можно найти на луче целое число 1 и отступить от него вправо еще на $\frac{1}{5}$, то есть на 1 клетку.
• Число $2\frac{4}{5}$ можно представить в виде неправильной дроби $\frac{14}{5}$. От точки 0 нужно отложить 14 частей, то есть 14 клеток. Или можно найти на луче целое число 2 и отступить от него вправо еще на $\frac{4}{5}$, то есть на 4 клетки.

На числовом луче это будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Числа отмечены на числовом луче, представленном выше.

Для чисел $\frac{2}{7}$, $1\frac{3}{7}$ и $2\frac{5}{7}$ знаменатель дробей равен 7. Поэтому удобно выбрать единичный отрезок, равный 7 клеткам. Тогда $\frac{1}{7}$ единичного отрезка будет равна 1 клетке.

Построим числовой луч и разделим каждый единичный отрезок на 7 равных частей.

• Чтобы отметить число $\frac{2}{7}$, нужно отложить от начала координат (точки 0) 2 такие части, то есть 2 клетки вправо.
• Число $1\frac{3}{7}$ соответствует неправильной дроби $\frac{10}{7}$. Для его отметки нужно отложить от 0 десять частей по $\frac{1}{7}$, то есть 10 клеток. Другой способ — найти на луче точку 1 и отложить от неё вправо ещё 3 части, то есть 3 клетки.
• Число $2\frac{5}{7}$ соответствует неправильной дроби $\frac{19}{7}$. Откладываем от 0 девятнадцать частей по $\frac{1}{7}$, то есть 19 клеток. Или находим точку 2 и откладываем от неё вправо ещё 5 частей, то есть 5 клеток.

На числовом луче это будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Числа отмечены на числовом луче, представленном выше.

8 Сравни числа $x$ и $y$ числового луча. Запиши все возможные равенства и неравенства.

а) $0 < x < y$

б) $0 < x$, $x = y$

На данном числовом луче точка, соответствующая числу $y$, расположена правее точки, соответствующей числу $x$. Из двух чисел на числовом луче больше то, которое расположено правее. Следовательно, число $y$ больше числа $x$. Это можно записать с помощью неравенства $y > x$. Также это неравенство можно записать в виде $x < y$, что означает, что число $x$ меньше числа $y$.

Ответ: $x < y$, $y > x$.

На данном числовом луче числам $x$ и $y$ соответствует одна и та же точка. Это означает, что эти числа равны. Мы можем записать это в виде равенства: $x = y$. Поскольку числа равны, для них также будут верны и нестрогие неравенства: $x \le y$ (x меньше или равен y) и $x \ge y$ (x больше или равен y).

Ответ: $x = y$, $x \le y$, $x \ge y$.

9 На рисунках изображены фрагменты числового луча. Какие числа надо поставить вместо знака вопроса?

а) $3 \frac{5}{8}$, над стрелкой $+ 1 \frac{3}{8}$, справа $?$

б) $?$, над стрелкой $+ 3 \frac{7}{27}$, справа $14 \frac{2}{27}$

в) $?$, над стрелкой $- 3 \frac{7}{9}$, справа $8 \frac{1}{9}$

г) $39 \frac{8}{11}$, над стрелкой $- 7 \frac{6}{11}$, справа $?$

а) На числовом луче отмечена точка $3 \frac{5}{8}$. Стрелка вправо указывает на сложение. Чтобы найти число под знаком вопроса, нужно к начальному числу прибавить число, указанное над стрелкой.

Выполним сложение смешанных чисел. Сложим отдельно целые и дробные части:

$3 \frac{5}{8} + 1 \frac{3}{8} = (3 + 1) + (\frac{5}{8} + \frac{3}{8}) = 4 + \frac{5+3}{8} = 4 + \frac{8}{8}$

Поскольку дробь $\frac{8}{8}$ равна 1, получаем:

$4 + 1 = 5$

Ответ: 5

б) На этом рисунке знаком вопроса обозначено начальное число. К нему прибавляют $3 \frac{7}{27}$ (стрелка вправо) и получают в результате $14 \frac{2}{27}$. Чтобы найти неизвестное начальное число, нужно из конечного результата вычесть прибавленное число.

Выполним вычитание: $14 \frac{2}{27} - 3 \frac{7}{27}$.

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{27}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{7}{27}$), поэтому необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого:

$14 \frac{2}{27} = 13 + 1 + \frac{2}{27} = 13 + \frac{27}{27} + \frac{2}{27} = 13 \frac{29}{27}$

Теперь можно выполнить вычитание:

$13 \frac{29}{27} - 3 \frac{7}{27} = (13 - 3) + (\frac{29}{27} - \frac{7}{27}) = 10 + \frac{22}{27} = 10 \frac{22}{27}$

Ответ: $10 \frac{22}{27}$

в) На числовом луче отмечена точка $8 \frac{1}{9}$. Стрелка влево указывает на вычитание. Чтобы найти число под знаком вопроса, нужно из начального числа вычесть число, указанное над стрелкой.

Выполним вычитание: $8 \frac{1}{9} - 3 \frac{7}{9}$.

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{9}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{7}{9}$), поэтому "займем" единицу у целой части:

$8 \frac{1}{9} = 7 + 1 + \frac{1}{9} = 7 + \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = 7 \frac{10}{9}$

Теперь выполним вычитание:

$7 \frac{10}{9} - 3 \frac{7}{9} = (7 - 3) + (\frac{10}{9} - \frac{7}{9}) = 4 + \frac{3}{9}$

Сократим дробную часть: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

В результате получаем $4 \frac{1}{3}$.

Ответ: $4 \frac{1}{3}$

г) На числовом луче отмечена точка $39 \frac{8}{11}$. Стрелка влево указывает на вычитание. Чтобы найти число под знаком вопроса, нужно из начального числа вычесть число, указанное над стрелкой.

Выполним вычитание смешанных чисел. Вычтем отдельно целые и дробные части:

$39 \frac{8}{11} - 7 \frac{6}{11} = (39 - 7) + (\frac{8}{11} - \frac{6}{11}) = 32 + \frac{8-6}{11} = 32 + \frac{2}{11} = 32 \frac{2}{11}$

В данном случае дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, поэтому "занимать" единицу не требуется.

Ответ: $32 \frac{2}{11}$

10 а) Определи, откуда выехал велосипедист, куда и с какой скоростью он едет. Изобрази его движение на числовом луче.

На каком расстоянии от Тулы и Калуги он был в начале движения, через 2 ч после выезда, через 5 ч?

На числовом луче: КАЛУГА находится на отметке 0, ТУЛА на отметке 102. Велосипедист едет со скоростью $17 \text{ км/ч}$ от Тулы в сторону Калуги.

б) Пусть $s$ — путь, пройденный велосипедистом, $d$ — его расстояние от Тулы и $D$ — его расстояние до Калуги.

Заполни таблицу и запиши формулы зависимости величин $s, d$ и $D$ от времени движения $t$.

$s = $

$d = $

$D = $

а)

Исходя из данных на изображении, определим параметры движения велосипедиста:
1. Откуда выехал: Велосипедист начал движение от города Тула, что соответствует отметке 102 км на числовом луче.
2. Куда едет: Направление движения указано стрелкой влево, в сторону города Калуга, который находится на отметке 0 км.
3. С какой скоростью едет: Скорость движения указана рядом со стрелкой и составляет 17 км/ч.

Движение велосипедиста по числовому лучу начинается в точке 102. Его положение (координата) в любой момент времени $t$ (в часах) можно найти по формуле: $x(t) = 102 - 17 \cdot t$.

Теперь рассчитаем, на каком расстоянии от Тулы и Калуги он был в разные моменты времени:

В начале движения (t = 0 ч):
Велосипедист находится в Туле.
Расстояние от Тулы (пройденный путь): $0$ км.
Расстояние до Калуги: $102 - 0 = 102$ км.

Через 2 ч после выезда (t = 2 ч):
Пройденный путь от Тулы: $s = 17 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 34$ км. Это и есть расстояние от Тулы.
Расстояние до Калуги: $102 \text{ км} - 34 \text{ км} = 68$ км.

Через 5 ч после выезда (t = 5 ч):
Пройденный путь от Тулы: $s = 17 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 85$ км. Это и есть расстояние от Тулы.
Расстояние до Калуги: $102 \text{ км} - 85 \text{ км} = 17$ км.

Ответ: Велосипедист выехал из Тулы в Калугу со скоростью 17 км/ч. В начале движения он был в 0 км от Тулы и в 102 км от Калуги; через 2 часа — в 34 км от Тулы и в 68 км от Калуги; через 5 часов — в 85 км от Тулы и в 17 км от Калуги.

б)

Для заполнения таблицы определим зависимости для каждой величины от времени $t$:
$s$ (путь, пройденный велосипедистом) вычисляется по формуле $s = v \cdot t$, где $v=17$ км/ч. Таким образом, $s = 17 \cdot t$.
$d$ (расстояние от Тулы). Так как Тула — точка старта, расстояние от нее равно пройденному пути. Следовательно, $d = s = 17 \cdot t$.
$D$ (расстояние до Калуги). Это оставшееся расстояние до пункта назначения. Общее расстояние — 102 км. Таким образом, $D = 102 - s = 102 - 17 \cdot t$.

Используя эти формулы, заполним таблицу:

Формулы зависимости величин от времени движения $t$:

$s = 17 \cdot t$

$d = 17 \cdot t$

$D = 102 - 17 \cdot t$

Ответ: Таблица заполнена выше. Формулы: $s = 17 \cdot t$, $d = 17 \cdot t$, $D = 102 - 17 \cdot t$.

5 Построй в тетради координатный угол и выполни предыдущее задание для точек $A (1;1)$, $B (8;2)$ и $C (9;9)$. Выведи гипотезы из проведённого исследования. Докажи, что в п. в) наблюдаемая закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

Выполнение задания для точек A(1;1), B(8;2) и C(9;9) и выведение гипотез из проведённого исследования

Построим треугольник ABC по заданным координатам вершин A(1;1), B(8;2) и C(9;9) и проведём его исследование.

1. Найдём квадраты длин сторон треугольника.
Для двух точек с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ квадрат расстояния между ними равен $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.
$AB^2 = (8-1)^2 + (2-1)^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$.
$BC^2 = (9-8)^2 + (9-2)^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$.
$AC^2 = (9-1)^2 + (9-1)^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.

2. Проверим, является ли треугольник прямоугольным.
Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным, если сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны.
Проверим все возможные комбинации:
$AB^2 + BC^2 = 50 + 50 = 100$. Это не равно $AC^2 = 128$.
$AB^2 + AC^2 = 50 + 128 = 178$. Это не равно $BC^2 = 50$.
$BC^2 + AC^2 = 50 + 128 = 178$. Это не равно $AB^2 = 50$.
Следовательно, треугольник ABC не является прямоугольным.

3. Найдём площадь треугольника ABC (пункт в).
Воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин:$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$.
$S = \frac{1}{2} |(1(2 - 9) + 8(9 - 1) + 9(1 - 2))| = \frac{1}{2} |(1(-7) + 8(8) + 9(-1))| = \frac{1}{2} |-7 + 64 - 9| = \frac{1}{2} |48| = 24$.
Площадь треугольника равна 24 кв. ед.

4. Выдвинем гипотезы на основе исследования.
Гипотеза 1: Так как $AB^2 = BC^2 = 50$, то стороны $AB$ и $BC$ равны. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.
Гипотеза 2 (наблюдаемая закономерность): Проанализируем координаты вершин A(1;1), B(8;2) и C(9;9). Найдем сумму координат для каждой вершины:
Для A(1;1): $1+1=2$ (чётное число).
Для B(8;2): $8+2=10$ (чётное число).
Для C(9;9): $9+9=18$ (чётное число).
Можно выдвинуть гипотезу, что для всех вершин данного треугольника сумма координат является чётным числом. Это и есть наблюдаемая закономерность. (Это эквивалентно тому, что обе координаты каждой вершины имеют одинаковую чётность).

Ответ: В результате исследования треугольника ABC установлено, что он является равнобедренным ($AB = BC = \sqrt{50}$), непрямоугольным, его площадь равна 24. Выдвинуты гипотезы: 1) треугольник является равнобедренным; 2) для каждой вершины $(x; y)$ треугольника сумма координат $x+y$ является чётным числом.

Докажи, что в п. в) наблюдаемая закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см

Наблюдаемая закономерность заключается в том, что для каждой вершины $(x; y)$ треугольника сумма её координат $x+y$ является чётным числом. Нам нужно доказать, что эта закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12.

Чтобы исследовать такой треугольник в системе координат, его вершины должны иметь целочисленные координаты. Пусть $V_1(x_1, y_1)$ — вершина с прямым углом, а $V_2(x_2, y_2)$ и $V_3(x_3, y_3)$ — две другие вершины.
Векторы, образующие катеты, это $\vec{a} = \vec{V_1V_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$ и $\vec{b} = \vec{V_1V_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1)$. Их компоненты должны быть целыми числами.
Длины этих векторов должны быть 5 и 12:
$|\vec{a}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = 5 \implies (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 = 25$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2} = 12 \implies (x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2 = 144$.
Так как катеты перпендикулярны, скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_2-x_1)(x_3-x_1) + (y_2-y_1)(y_3-y_1) = 0$.

Единственные целочисленные решения для компонент векторов (с точностью до знака и порядка) — это разложения чисел 25 и 144 на сумму двух квадратов:Для длины 5: $3^2+4^2=25$ или $5^2+0^2=25$.Для длины 12: $12^2+0^2=144$.Чтобы скалярное произведение было равно нулю, векторы должны быть перпендикулярны. Если компоненты векторов $(a_x, a_y)$ и $(b_x, b_y)$, то $a_x b_x + a_y b_y = 0$. Это условие выполняется, если один вектор имеет вид $(k, 0)$, а другой $(0, m)$.

Выберем, без ограничения общности, компоненты векторов катетов: $\vec{a} = (5, 0)$ и $\vec{b} = (0, 12)$.
Пусть вершина прямого угла $V_1$ имеет координаты $(x_1, y_1)$.
Тогда координаты других вершин:$V_2 = (x_1+5, y_1)$$V_3 = (x_1, y_1+12)$

Теперь проверим, может ли для всех трёх вершин выполняться закономерность (сумма координат чётна).
Допустим, что закономерность выполняется. Тогда для вершины $V_1$ сумма координат $x_1+y_1$ должна быть чётным числом.
Проверим сумму координат для вершины $V_2$:Сумма = $(x_1+5) + y_1 = (x_1+y_1) + 5$.
Так как $(x_1+y_1)$ — чётное число, а 5 — нечётное, их сумма будет нечётной: (чётное) + (нечётное) = (нечётное).
Таким образом, сумма координат для вершины $V_2$ является нечётным числом. Это противоречит нашему допущению, что сумма координат для всех вершин должна быть чётной.

Следовательно, невозможно разместить прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 на целочисленной координатной сетке так, чтобы для всех его вершин сумма координат была чётным числом. Закономерность, наблюдаемая для треугольника ABC, не выполняется.

Ответ: Доказано, что для прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 см невозможно, чтобы у всех трёх вершин сумма координат была чётным числом, следовательно, наблюдаемая закономерность для него не выполняется.

6 Построй многоугольник с указанными вершинами и найди его площадь (в кв. ед.):

1) $A(3;2)$, $B(3;9)$, $C(7;9)$, $D(7;2)$;

2) $M(4;1)$, $N(4;8)$, $K(9;1)$;

3) $A(2;1)$, $D(2;6)$, $E(7;6)$, $F(11;1)$.

1) A(3;2), B(3;9), C(7;9), D(7;2)
Для нахождения площади построим многоугольник с заданными вершинами на координатной плоскости.
Определим длины сторон многоугольника ABCD:

• Длина стороны AB, соединяющей точки A(3;2) и B(3;9), равна разности их y-координат: $|9 - 2| = 7$.
• Длина стороны BC, соединяющей точки B(3;9) и C(7;9), равна разности их x-координат: $|7 - 3| = 4$.
• Длина стороны CD, соединяющей точки C(7;9) и D(7;2), равна разности их y-координат: $|9 - 2| = 7$.
• Длина стороны DA, соединяющей точки D(7;2) и A(3;2), равна разности их x-координат: $|7 - 3| = 4$.

Стороны AB и CD параллельны оси Oy, а стороны BC и DA параллельны оси Ox. Это означает, что все углы многоугольника прямые, а сам многоугольник — прямоугольник со сторонами 7 и 4.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.
$S = 7 \cdot 4 = 28$ кв. ед.
Ответ: 28 кв. ед.

2) M(4;1), N(4;8), K(9;1)
Построим треугольник MNK с заданными вершинами.
Рассмотрим стороны, выходящие из вершины M(4;1):

• Сторона MN соединяет точки M(4;1) и N(4;8). Ее длина равна $|8 - 1| = 7$. Так как x-координаты точек M и N одинаковы, эта сторона параллельна оси Oy.
• Сторона MK соединяет точки M(4;1) и K(9;1). Ее длина равна $|9 - 4| = 5$. Так как y-координаты точек M и K одинаковы, эта сторона параллельна оси Ox.

Поскольку сторона MN параллельна оси Oy, а MK — оси Ox, они перпендикулярны. Следовательно, треугольник MNK — прямоугольный, а стороны MN и MK — его катеты.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 = \frac{35}{2} = 17,5$ кв. ед.
Ответ: 17,5 кв. ед.

3) A(2;1), D(2;6), E(7;6), F(11;1)
Построим четырехугольник ADEF с заданными вершинами.
Рассмотрим его стороны:

• Сторона DE соединяет точки D(2;6) и E(7;6). Она параллельна оси Ox, её длина равна $|7 - 2| = 5$.
• Сторона AF соединяет точки A(2;1) и F(11;1). Она также параллельна оси Ox, её длина равна $|11 - 2| = 9$.

Так как стороны DE и AF параллельны, четырехугольник ADEF является трапецией с основаниями DE и AF.
Высотой трапеции является перпендикуляр между основаниями. Найдем длину стороны AD, соединяющей точки A(2;1) и D(2;6). Эта сторона параллельна оси Oy (так как x-координаты одинаковы), а значит, перпендикулярна основаниям DE и AF. Следовательно, AD является высотой трапеции.
Длина высоты $h = AD = |6 - 1| = 5$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.
$S = \frac{5+9}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$ кв. ед.
Ответ: 35 кв. ед.

7 Вычисли площади фигур:

Фигура 1

Трапеция ABCD

BC = 5 см

AE = 2 см

ED = 5 см

CD = 5 см

Длина нижнего основания AD: $AD = AE + ED = 2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 7 \text{ см}$

Высота трапеции: $h = CD = 5 \text{ см}$

Фигура 2

Треугольник KMN

KF = 6 м

FN = 3 м

MF = 10 м

Длина основания KN: $KN = KF + FN = 6 \text{ м} + 3 \text{ м} = 9 \text{ м}$

Высота треугольника: $h = MF = 10 \text{ м}$

Фигура 3

Трапеция TQRP

PX = 5 дм

XY = 7 дм

YR = 4 дм

TX = 8 дм

QY = 8 дм

Длина верхнего основания TQ: $TQ = XY = 7 \text{ дм}$

Длина нижнего основания PR: $PR = PX + XY + YR = 5 \text{ дм} + 7 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$

Высота трапеции: $h = TX = QY = 8 \text{ дм}$

Фигура ABCD

Фигура ABCD представляет собой трапецию. Площадь трапеции можно вычислить по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.
Из рисунка видно, что фигуру можно разбить на прямоугольный треугольник ABE и прямоугольник EBCD.
Высота трапеции $h$ равна стороне $CD$, то есть $h = 5$ см.
Верхнее основание $BC$ равно стороне $ED$, то есть $BC = 5$ см.
Нижнее основание $AD$ является суммой длин отрезков $AE$ и $ED$: $AD = AE + ED = 2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 7$ см.
Теперь подставим найденные значения в формулу площади трапеции:
$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{5 + 7}{2} \cdot 5 = \frac{12}{2} \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ см².

Ответ: 30 см².

Фигура KMN

Фигура KMN — это треугольник. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.
Основание треугольника $KN$ равно сумме длин отрезков $KF$ и $FN$: $KN = KF + FN = 6 \text{ м} + 3 \text{ м} = 9$ м.
Высота $MF$ дана и равна 10 м.
Вычислим площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot MF = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 = 4.5 \cdot 10 = 45$ м².

Ответ: 45 м².

Фигура PTQR

Фигура PTQR является трапецией. Используем ту же формулу для площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
Из рисунка видно, что высота трапеции $h$ равна длине отрезков $TX$ и $QY$, то есть $h = 8$ дм.
Верхнее основание $TQ$ равно отрезку $XY$, то есть $TQ = 7$ дм.
Нижнее основание $PR$ равно сумме длин отрезков $PX$, $XY$ и $YR$: $PR = PX + XY + YR = 5 \text{ дм} + 7 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 16$ дм.
Подставим значения в формулу:
$S = \frac{TQ+PR}{2} \cdot h = \frac{7 + 16}{2} \cdot 8 = \frac{23}{2} \cdot 8 = 23 \cdot 4 = 92$ дм².

Ответ: 92 дм².

8 БЛИЦтурнир.

Составь выражение по схеме:

а) a км/ч b км/ч

? КМ

$t_{\text{встр.}} = 4 \text{ ч}$

б) x км/ч y км/ч

c КМ

$t_{\text{встр.}} = ? $

в) m м/мин ? м/мин

s M

$t_{\text{встр.}} = 3 \text{ мин}$

г) b км/ч a км/ч

n КМ

$t = 2 \text{ ч}$

$d_2 = ? $

а)

На схеме изображено встречное движение двух объектов. Чтобы найти начальное расстояние между ними, необходимо их общую скорость (скорость сближения) умножить на время до встречи. Скорость сближения при движении навстречу друг другу равна сумме скоростей объектов.

Скорость сближения: $v_{сбл.} = a + b$ (км/ч).
Время до встречи: $t_{встр.} = 4$ ч.
Расстояние: $S = v_{сбл.} \times t_{встр.} = (a + b) \times 4$ (км).

Ответ: $(a + b) \times 4$

б)

На схеме изображено движение вдогонку. Чтобы найти время до встречи, нужно начальное расстояние между объектами разделить на их скорость сближения. При движении вдогонку скорость сближения равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая).

Начальное расстояние: $c$ (км).
Скорость сближения: $v_{сбл.} = x - y$ (км/ч).
Время до встречи: $t_{встр.} = \frac{c}{v_{сбл.}} = \frac{c}{x-y}$ (ч).

Ответ: $c / (x - y)$

в)

На схеме изображено встречное движение. Чтобы найти скорость второго объекта, нужно из общей скорости сближения вычесть скорость первого объекта. Скорость сближения можно найти, разделив начальное расстояние на время до встречи.

Скорость сближения: $v_{сбл.} = \frac{s}{t_{встр.}} = \frac{s}{3}$ (м/мин).
Скорость первого объекта: $m$ (м/мин).
Скорость второго объекта: $v_2 = v_{сбл.} - m = \frac{s}{3} - m$ (м/мин).

Ответ: $s / 3 - m$

г)

На схеме изображено движение в противоположных направлениях. Объекты начинают движение, находясь на расстоянии $n$ км друг от друга. Чтобы найти расстояние между ними через 2 часа, нужно к начальному расстоянию прибавить расстояние, на которое они удалились за это время. Расстояние, на которое они удалились, равно произведению скорости удаления на время. Скорость удаления равна сумме их скоростей.

Скорость удаления: $v_{уд.} = b + a$ (км/ч).
Расстояние, на которое они удалились за 2 часа: $S_{уд.} = v_{уд.} \times t = (b+a) \times 2$ (км).
Итоговое расстояние через 2 часа: $d_2 = n + S_{уд.} = n + (a+b) \times 2$ (км).

Ответ: $n + (a + b) \times 2$

9 Из Москвы и Санкт-Петербурга одновременно навстречу друг другу выехали два поезда — пассажирский и товарный. Через $3 \text{ ч}$ расстояние между ними уменьшилось до $230 \text{ км}$. Чему равна скорость товарного поезда, если пассажирский поезд ехал со скоростью $80 \text{ км/ч}$, а расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга равно $650 \text{ км}$?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем расстояние, которое проехали оба поезда вместе за 3 часа.

Изначально расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом составляло 650 км. Через 3 часа расстояние между поездами сократилось до 230 км. Следовательно, общее расстояние, которое они преодолели навстречу друг другу, равно разнице между начальным и конечным расстояниями.

$650 \text{ км} - 230 \text{ км} = 420 \text{ км}$.

2. Найдем скорость сближения поездов.

Скорость сближения — это сумма скоростей двух объектов, движущихся навстречу друг другу. Она показывает, на какое расстояние они сближаются за единицу времени. Чтобы найти ее, нужно общее пройденное расстояние разделить на время в пути.

$v_{\text{сближения}} = \frac{S_{\text{пройденное}}}{t} = \frac{420 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 140 \text{ км/ч}$.

3. Вычислим скорость товарного поезда.

Скорость сближения равна сумме скоростей пассажирского и товарного поездов: $v_{\text{сближения}} = v_{\text{пассажирского}} + v_{\text{товарного}}$. Мы знаем скорость сближения (140 км/ч) и скорость пассажирского поезда (80 км/ч). Чтобы найти скорость товарного поезда, вычтем из скорости сближения известную скорость пассажирского поезда.

$v_{\text{товарного}} = 140 \text{ км/ч} - 80 \text{ км/ч} = 60 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость товарного поезда равна 60 км/ч.