Страница 64, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4 Задача индийского математика Сриддхары (XI век н. э.).

Есть кадамба цветок,

На один лепесток

Пчёлок пятая часть ($\frac{1}{5}$) опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть ($\frac{1}{3}$) поместилась.

Разность их ты найди,

Её трижды сложи

И тех пчёл на кутай посади,

Только две не нашли

Себе место нигде,

Все летали то взад, то вперёд и везде

Ароматом цветов наслаждались.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчёлок всего здесь собралось?

пятая часть ($\frac{1}{5}$)

третья часть ($\frac{1}{3}$)

кадамба

сименгда

Для решения этой задачи, представленной в виде стихотворения, необходимо перевести ее условия на язык математики. Обозначим общее количество пчёл переменной $x$.

Проанализируем, как распределился пчелиный рой:

• На цветке кадамба оказалась пятая часть пчёл, то есть $ \frac{1}{5}x $.
• На цветке сименгда разместилась третья часть пчёл, что составляет $ \frac{1}{3}x $.
• На цветке кутай села группа пчёл, число которой равно утроенной разности двух предыдущих групп. Сначала найдём разность: $ \frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x $. Затем утроим её: $ 3 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x) $.
• Остались летать две пчелы, которые не нашли себе места, то есть просто $ 2 $.

Составим уравнение. Общее количество пчёл $x$ равно сумме всех перечисленных групп:

$ x = \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + 3 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x) + 2 $

Решим уравнение поэтапно:

1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю 15:

$ \frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x = \frac{5}{15}x - \frac{3}{15}x = \frac{2}{15}x $

2. Теперь подставим это значение обратно в исходное уравнение:

$ x = \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + 3 \cdot (\frac{2}{15}x) + 2 $

3. Выполним умножение:

$ 3 \cdot \frac{2}{15}x = \frac{6}{15}x = \frac{2}{5}x $

4. Уравнение принимает вид:

$ x = \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x + 2 $

5. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$ x = (\frac{1}{5}x + \frac{2}{5}x) + \frac{1}{3}x + 2 $

$ x = \frac{3}{5}x + \frac{1}{3}x + 2 $

6. Снова приведём дроби к общему знаменателю 15:

$ x = \frac{9}{15}x + \frac{5}{15}x + 2 $

$ x = \frac{14}{15}x + 2 $

7. Перенесём слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$ x - \frac{14}{15}x = 2 $

$ \frac{15}{15}x - \frac{14}{15}x = 2 $

$ \frac{1}{15}x = 2 $

8. Найдём $x$:

$ x = 2 \cdot 15 $

$ x = 30 $

Таким образом, всего было 30 пчёл.

Ответ: 30 пчёл.

5 Задача армянского учёного Анания Ширакаци (VII век н. э.).

«Один купец прошёл через три города, и взыскивали с него пошлины: в первом городе половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе половину и треть (с того, что осталось).

Когда он прибыл домой, у него осталось 11 монет. Узнай, сколько всего монет было вначале у купца».

11 м. треть

половина

треть

половина

осталось

осталось

III

II

I

отдал

треть и

половину

?

Для решения этой задачи удобнее всего рассуждать с конца. Сначала определим, какая часть имущества уходила на пошлину в каждом городе, а какая оставалась у купца.

1. Расчет доли пошлины. В каждом городе купец отдавал половину и треть от имеющихся у него на тот момент монет. Сложим эти доли:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, в каждом городе купец отдавал $\frac{5}{6}$ своих монет.

2. Расчет остатка. После уплаты пошлины у купца оставалась следующая часть монет:

$1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

Это означает, что после каждого города сумма денег у купца уменьшалась в 6 раз.

Теперь, зная конечную сумму (11 монет), найдем первоначальную, выполняя действия в обратном порядке (умножение вместо деления).

Сумма перед третьим городом

После проезда третьего города у купца осталось 11 монет. Эта сумма составляет $\frac{1}{6}$ от той, что была у него при въезде в этот город. Найдем эту сумму:

$11 \times 6 = 66$ монет.

Сумма перед вторым городом

При въезде в третий город у купца было 66 монет. Эта сумма осталась у него после уплаты пошлины во втором городе. Значит, при въезде во второй город у него было:

$66 \times 6 = 396$ монет.

Сумма перед первым городом (первоначальная)

При въезде во второй город у купца было 396 монет. Эта сумма осталась у него после уплаты пошлины в первом городе. Следовательно, изначально у него было:

$396 \times 6 = 2376$ монет.

Ответ: Изначально у купца было 2376 монет.

13 В соответствии с заданным алгоритмом найди значения $x$ и расшифруй слово. Что оно означает?

$a$

$: 7$

$\ge 10?$

да

нет

$\cdot 8$

$- 47$

$+ 18$

$\cdot 3$

$x$

Для решения задачи необходимо сначала найти значения x для каждой буквы, следуя алгоритму, а затем расшифровать слово и объяснить его значение.

Найди значения x и расшифруй слово

Алгоритм вычисления x зависит от результата деления a на 7:
- Если результат ($a:7$) меньше 10 (ветка "нет"), то $x = (a:7 + 18) \cdot 3$.
- Если результат ($a:7$) больше или равен 10 (ветка "да"), то $x = (a:7) \cdot 8 - 47$.

Вычислим x для каждой пары (буква, a):
B (a=0): $0:7 = 0$. Так как $0 < 10$, идём по ветке "нет": $x = (0+18) \cdot 3 = 54$.
Е (a=7): $7:7 = 1$. Так как $1 < 10$, идём по ветке "нет": $x = (1+18) \cdot 3 = 57$.
Д (a=21): $21:7 = 3$. Так как $3 < 10$, идём по ветке "нет": $x = (3+18) \cdot 3 = 63$.
Р (a=35): $35:7 = 5$. Так как $5 < 10$, идём по ветке "нет": $x = (5+18) \cdot 3 = 69$.
О (a=49): $49:7 = 7$. Так как $7 < 10$, идём по ветке "нет": $x = (7+18) \cdot 3 = 75$.
С (a=70): $70:7 = 10$. Так как $10 \ge 10$, идём по ветке "да": $x = 10 \cdot 8 - 47 = 80 - 47 = 33$.
Т (a=84): $84:7 = 12$. Так как $12 \ge 10$, идём по ветке "да": $x = 12 \cdot 8 - 47 = 96 - 47 = 49$.
Ж (a=98): $98:7 = 14$. Так как $14 \ge 10$, идём по ветке "да": $x = 14 \cdot 8 - 47 = 112 - 47 = 65$.

Теперь у нас есть соответствия чисел и букв для расшифровки:
33 → С, 49 → Т, 54 → В, 57 → Е, 63 → Д, 65 → Ж, 69 → Р, 75 → О.

Расшифруем заданную последовательность чисел: 69, 75, 65, 63, 57, 33, 49, 54, 75.
69 → Р, 75 → О, 65 → Ж, 63 → Д, 57 → Е, 33 → С, 49 → Т, 54 → В, 75 → О.

Получается слово: РОЖДЕСТВО.

Ответ: Значения x для букв В, Е, Д, Р, О, С, Т, Ж равны соответственно 54, 57, 63, 69, 75, 33, 49, 65. Расшифрованное слово — РОЖДЕСТВО.

Что оно означает?

Слово "Рождество" означает великий христианский праздник, установленный в честь рождения Иисуса Христа. Он является одним из главных событий в христианской культуре и отмечается верующими по всему миру.

Ответ: Рождество — это христианский праздник, день рождения Иисуса Христа.

14 У Короля был скверный нрав:

Он жульничал в лото, —

За это не водился с ним

Никто, никто, никто.

У Короля был скверный нрав, —

И всем понятно, что

Ему подарков не дарил

Никто, никто, никто!

Однажды король решил написать сам себе поздравления на Рождество, потому что никто не хотел писать ему поздравления. Он написал себе 18 открыток, 27 писем, а телеграмм — в 5 раз больше, чем писем и открыток вместе.

В $\frac{1}{9}$ всех поздравлений он пожелал себе здоровья, в $\frac{2}{5}$ — счастья, а в остальных поздравлениях он пожелал себе сластей и гостинцев. Сколько пожеланий каждого вида прислал сам себе Король?

Б

Для того чтобы ответить на вопрос, сперва найдем общее количество поздравлений, которые Король написал сам себе.

1. Найдем сумму открыток и писем:

$18 + 27 = 45$ (открыток и писем)

2. Вычислим количество телеграмм, которое в 5 раз больше, чем писем и открыток вместе:

$45 * 5 = 225$ (телеграмм)

3. Найдем общее количество всех поздравлений, сложив открытки, письма и телеграммы:

$45 + 225 = 270$ (всего поздравлений)

Теперь, зная общее количество поздравлений (270), мы можем рассчитать количество пожеланий каждого вида.

Пожелания здоровья

В $ \frac{1}{9} $ всех поздравлений Король пожелал себе здоровья. Найдем это количество:

$270 * \frac{1}{9} = \frac{270}{9} = 30$ (пожеланий)

Ответ: 30 пожеланий здоровья.

Пожелания счастья

В $ \frac{2}{5} $ всех поздравлений Король пожелал себе счастья. Найдем это количество:

$270 * \frac{2}{5} = \frac{270 * 2}{5} = 54 * 2 = 108$ (пожеланий)

Ответ: 108 пожеланий счастья.

Пожелания сластей и гостинцев

Остальные поздравления содержали пожелания сластей и гостинцев. Чтобы найти их количество, вычтем из общего числа поздравлений те, в которых были пожелания здоровья и счастья:

$270 - (30 + 108) = 270 - 138 = 132$ (пожелания)

Ответ: 132 пожелания сластей и гостинцев.

Король должен обойти все свои башни и закончить маршрут у башни с флажком. Как ему это сделать, не заходя в одно и то же место дважды?

Для того чтобы королю обойти все башни и закончить маршрут у башни с флажком (О), не посещая ни одну башню дважды, он должен следовать по одному из возможных гамильтоновых путей в заданном графе. Один из таких маршрутов выглядит следующим образом:

Начав с башни Д, король последовательно проходит через башни:

Д → Г → Ж → В → Б → А → И → З → К → Л → Н → М → Е → О

Давайте проверим этот маршрут шаг за шагом:

1. Начало у башни Д.
2. Д → Г: Есть прямой путь.
3. Г → Ж: Есть прямой путь.
4. Ж → В: Есть прямой путь.
5. В → Б: Есть прямой путь.
6. Б → А: Есть прямой путь.
7. А → И: Есть прямой путь.
8. И → З: Есть прямой путь.
9. З → К: Примечание: на данном рисунке этот путь не очевиден и может выглядеть как пересечение линий без соединения. Однако, для решения головоломки часто предполагается, что это соединение существует, либо это дефект конкретной иллюстрации. Принимая это допущение, продолжаем маршрут.
10. К → Л: Есть прямой путь.
11. Л → Н: Есть прямой путь.
12. Н → М: Есть прямой путь.
13. М → Е: Есть прямой путь.
14. Е → О: Есть прямой путь к башне с флажком.

Таким образом, король посещает все 14 башен (Д, Г, Ж, В, Б, А, И, З, К, Л, Н, М, Е, О) ровно по одному разу и завершает свой путь у башни О.

Ответ: Маршрут короля: Д → Г → Ж → В → Б → А → И → З → К → Л → Н → М → Е → О.

16* Продолжи ряд чисел на 4 числа, сохраняя закономерность:

$\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{27}, \frac{8}{81}$_________

Для того чтобы продолжить данный ряд дробей, необходимо выявить закономерность в изменении их числителей и знаменателей.

Сначала рассмотрим последовательность числителей: $1, 2, 4, 8, ...$. Легко заметить, что каждый следующий член этой последовательности получается умножением предыдущего на $2$. Это геометрическая прогрессия. Продолжим ее на четыре члена:

$8 \cdot 2 = 16$

$16 \cdot 2 = 32$

$32 \cdot 2 = 64$

$64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, следующие четыре числителя — это $16, 32, 64, 128$.

Теперь рассмотрим последовательность знаменателей: $3, 9, 27, 81, ...$. Здесь каждый следующий член получается умножением предыдущего на $3$. Это также геометрическая прогрессия. Продолжим ее на четыре члена:

$81 \cdot 3 = 243$

$243 \cdot 3 = 729$

$729 \cdot 3 = 2187$

$2187 \cdot 3 = 6561$

Таким образом, следующие четыре знаменателя — это $243, 729, 2187, 6561$.

Сопоставив найденные числители и знаменатели, получим следующие четыре числа в исходном ряду.

Ответ: $\frac{16}{243}, \frac{32}{729}, \frac{64}{2187}, \frac{128}{6561}$.

12 БЛИЦтурнир.

Составь выражение по схеме:

a) $x$ м/с $y$ м/с

? М

$s$

$t=2$ с

$d_2=?$ М

б) $a$ км/ч ? км/ч

$c$ км/ч

$t=3$ ч

в) $m$ км/ч $n$ км/ч

$b$ км/ч

$t_{\text{встр.}} = ?$

г) $a$ м/мин $b$ м/мин

800 м

$d_3=?$ М

а)

Эта задача на встречное движение. Два объекта движутся навстречу друг другу. Чтобы найти расстояние между ними через некоторое время, нужно из начального расстояния вычесть расстояние, на которое они сблизились.

1. Скорость сближения объектов равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = x + y$ (м/с).
2. За время $t = 2$ с они сблизятся на расстояние $S_{сбл} = v_{сбл} \cdot t = (x + y) \cdot 2$ (м).
3. Новое расстояние между ними $d_2$ будет равно начальному расстоянию $s$ минус расстояние, на которое они сблизились.

Таким образом, искомое выражение:

$d_2 = s - (x + y) \cdot 2$

Ответ: $s - (x + y) \cdot 2$

б)

Эта задача на движение в противоположных направлениях. Скорость удаления объектов друг от друга равна сумме их скоростей.

1. Скорость первого объекта равна $a$ км/ч.
2. Скорость второго объекта неизвестна, обозначим ее $v_2$.
3. Общая скорость удаления, с которой растет расстояние между ними, равна $c$ км/ч.
4. Формула для скорости удаления: $c = a + v_2$.
5. Чтобы найти скорость второго объекта $v_2$, нужно из общей скорости удаления $c$ вычесть скорость первого объекта $a$.

Таким образом, искомое выражение (значение времени $t=3$ ч является избыточным для нахождения скорости):

$v_2 = c - a$

Ответ: $c - a$

в)

Эта задача на движение вдогонку. Один объект догоняет другой. Чтобы найти время встречи, нужно начальное расстояние между объектами разделить на скорость их сближения.

1. Скорость догоняющего объекта $m$ км/ч, скорость уезжающего объекта $n$ км/ч. Предполагается, что $m > n$.
2. Скорость сближения равна разности скоростей: $v_{сбл} = m - n$ (км/ч).
3. Начальное расстояние между ними равно $b$ км (единица измерения км/ч на схеме, вероятно, опечатка и должна быть км).
4. Время до встречи $t_{встр}$ вычисляется по формуле: $t = S : v$.

Таким образом, искомое выражение:

$t_{встр} = b : (m - n)$

Ответ: $b : (m - n)$

г)

Эта задача на движение в одном направлении, когда один объект стартует с отставанием. Нужно составить выражение для нахождения расстояния между ними $d_3$ через некоторое время. В условии задачи время не указано. Предположим, по аналогии с задачей б), что нужно найти расстояние через 3 минуты.

1. Начальное расстояние между объектами равно 800 м.
2. Скорость первого объекта $a$ м/мин, скорость второго $b$ м/мин.
3. Относительная скорость, с которой изменяется расстояние между ними, равна разности их скоростей: $v_{отн} = b - a$. Если $b > a$, расстояние увеличивается. Если $a > b$, расстояние уменьшается.
4. Изменение расстояния за 3 минуты составит: $(b - a) \cdot 3$ (м).
5. Новое расстояние $d_3$ будет равно начальному расстоянию плюс изменение расстояния.

Таким образом, искомое выражение:

$d_3 = 800 + (b - a) \cdot 3$

Ответ: $800 + (b - a) \cdot 3$

13 С одной станции одновременно в противоположных направлениях выехали два поезда. Скорость первого поезда равна 56 км/ч, а скорость второго составляет $\frac{7}{8}$ скорости первого поезда. Через сколько времени расстояние между ними будет равно 420 км?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость второго поезда.
Скорость первого поезда равна 56 км/ч. Скорость второго поезда составляет $\frac{7}{8}$ от скорости первого. Чтобы найти эту скорость, умножим скорость первого поезда на дробь:
$56 \cdot \frac{7}{8} = \frac{56 \cdot 7}{8} = 7 \cdot 7 = 49$ (км/ч)
Ответ: скорость второго поезда равна 49 км/ч.

2. Найдем скорость удаления поездов.
Поскольку поезда движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления.
$56 + 49 = 105$ (км/ч)
Ответ: скорость удаления поездов составляет 105 км/ч.

3. Найдем время, через которое расстояние между поездами будет 420 км.
Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость удаления.
$t = \frac{S}{v_{удаления}}$
$t = \frac{420}{105} = 4$ (ч)
Ответ: расстояние между поездами будет равно 420 км через 4 часа.

14 Составь столбчатую диаграмму, показывающую, сколько времени потрачено тобою на домашнюю работу в каждый день недели.

14

Чтобы составить столбчатую диаграмму, показывающую время, потраченное на домашнюю работу, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сбор данных.

Сначала нужно записать, сколько минут было потрачено на выполнение домашних заданий в каждый из семи дней недели. Поскольку эти данные у каждого человека свои, для примера возьмем следующие значения:

• Понедельник: 90 минут

• Вторник: 75 минут

• Среда: 100 минут

• Четверг: 60 минут

• Пятница: 30 минут

• Суббота: 45 минут

• Воскресенье: 120 минут

2. Построение осей.

Далее необходимо начертить две перпендикулярные оси. Горизонтальная ось (ось X) будет представлять дни недели. Вертикальная ось (ось Y) будет показывать время в минутах. На вертикальную ось нужно нанести шкалу с удобным шагом (например, 30 минут), чтобы максимальное значение (120 минут) помещалось на оси.

3. Построение столбиков.

Для каждого дня недели на горизонтальной оси рисуем столбик (прямоугольник). Высота каждого столбика должна соответствовать времени, потраченному на домашнюю работу в этот день, согласно шкале на вертикальной оси. Желательно, чтобы все столбики были одинаковой ширины и находились на одинаковом расстоянии друг от друга.

Ответ:

На основе приведенных выше данных построена следующая столбчатая диаграмма. Она наглядно показывает распределение времени на домашнюю работу в течение недели.

15 Сколько лет потратит человек на сон в течение 70 лет жизни, если считать, что в каждом году 365 дней и человек спит в среднем 7 ч в сутки?

Чтобы определить, сколько лет человек потратит на сон за 70 лет, можно сначала найти, какую долю своей жизни он проводит во сне.

1. Находим долю времени, затрачиваемого на сон в сутки.

В сутках 24 часа. По условию, человек спит 7 часов в сутки. Значит, на сон он тратит $\frac{7}{24}$ часть каждых суток и, соответственно, всей своей жизни.

2. Рассчитываем общее время сна за 70 лет.

Теперь умножим общую продолжительность жизни (70 лет) на долю времени, которую человек спит:

$70 \text{ лет} \times \frac{7}{24} = \frac{70 \times 7}{24} = \frac{490}{24} \text{ лет}$

3. Упрощаем результат.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{490}{24} = \frac{245}{12} \text{ лет}$

Чтобы представить ответ в более понятном виде, выделим целую часть:

$\frac{245}{12} = 20 \frac{5}{12} \text{ лет}$

Дробная часть $\frac{5}{12}$ года может быть переведена в месяцы. Так как в году 12 месяцев, то $\frac{5}{12}$ года — это ровно 5 месяцев.

Таким образом, за 70 лет жизни человек проспит 20 лет и 5 месяцев.

Ответ: $20 \frac{5}{12}$ лет.

16 Найди произведение наибольшего и наименьшего натуральных решений неравенства:

$ \frac{193825 + 68417}{257040 : 840} \le x < \frac{824017 - 19039}{18630 : 690} $

Для того чтобы найти произведение наибольшего и наименьшего натуральных решений неравенства, необходимо сначала вычислить значения левой и правой частей этого неравенства.

1. Вычисление левой части неравенства

Вычислим значение выражения $\frac{193\,825 + 68\,417}{257\,040 : 840}$.

Сначала выполним действие в числителе:

$193\,825 + 68\,417 = 262\,242$

Затем выполним действие в знаменателе:

$257\,040 : 840 = 306$

Теперь найдём значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{262\,242}{306} = 857$

Таким образом, левая часть неравенства равна 857.

2. Вычисление правой части неравенства

Вычислим значение выражения $\frac{824\,017 - 19\,039}{18\,630 : 690}$.

Сначала выполним действие в числителе:

$824\,017 - 19\,039 = 804\,978$

Затем выполним действие в знаменателе:

$18\,630 : 690 = 27$

Теперь найдём значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{804\,978}{27} = 29\,814$

Таким образом, правая часть неравенства равна 29 814.

3. Определение наименьшего и наибольшего натуральных решений

После всех вычислений исходное неравенство принимает вид:

$857 \le x < 29\,814$

Решениями этого неравенства являются все натуральные числа, которые больше или равны 857 и строго меньше 29 814.

Наименьшее натуральное решение — это наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Так как неравенство $857 \le x$ нестрогое, наименьшим решением является число 857.

Наибольшее натуральное решение — это наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Так как неравенство $x < 29\,814$ строгое, наибольшим решением является число, на единицу меньшее 29 814, то есть 29 813.

4. Нахождение произведения

Теперь найдём произведение найденных наибольшего и наименьшего натуральных решений:

$857 \times 29\,813 = 25\,549\,741$

Ответ: 25 549 741.

17 В январе кот Барсик проспал ровно две недели. Сколько часов в этом месяце Барсик бодрствовал?

Для того чтобы определить, сколько часов в январе кот Барсик бодрствовал, необходимо выполнить несколько последовательных вычислений.

1. Определяем общее количество дней в январе.

Январь — это месяц, в котором всегда 31 день.

2. Рассчитываем, сколько дней кот спал.

Согласно условию, Барсик спал ровно две недели. В одной неделе 7 дней. Следовательно, количество дней, которые кот проспал, равно:

$2 \text{ недели} \times 7 \frac{\text{дней}}{\text{неделя}} = 14 \text{ дней}$.

3. Находим количество дней, в течение которых Барсик бодрствовал.

Для этого вычитаем из общего количества дней в январе количество дней, которые кот спал:

$31 \text{ день} - 14 \text{ дней} = 17 \text{ дней}$.

4. Переводим дни бодрствования в часы.

В одних сутках содержится 24 часа. Чтобы найти общее время бодрствования в часах, умножаем количество дней бодрствования на 24:

$17 \text{ дней} \times 24 \frac{\text{часа}}{\text{день}} = 408 \text{ часов}$.

Ответ: 408 часов.