Страница 58, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Измерь отрезки $AB$, $CD$, $EF$ и $MK$ с помощью мерки $e$, последовательно откладывая её на отрезке циркулем.

$e$

A

B

$< AB <$

C

D

$< CD <$

E

F

$< EF <$

M

K

$< MK <$

AB
Для измерения отрезка AB воспользуемся циркулем и меркой e. Установим раствор циркуля равным длине мерки e. Затем будем последовательно откладывать эту длину на отрезке AB, начиная от точки A.
1. Отложив мерку e от точки A, получим первую точку на отрезке.
2. Отложив мерку e второй раз, получим вторую точку на отрезке.
3. Отложив мерку e третий раз, мы все еще остаемся в пределах отрезка AB.
4. При попытке отложить мерку e в четвертый раз, конец отрезка окажется за точкой B.
Это означает, что длина отрезка AB больше, чем 3 мерки e, но меньше, чем 4 мерки e.
Таким образом, получаем неравенство: $3e < AB < 4e$.
Ответ: $3e < AB < 4e$.

CD
Проведем аналогичную процедуру для отрезка CD.
Последовательно откладывая мерку e от точки C, мы обнаружим, что она умещается на отрезке CD 4 полных раза.
Пятая мерка e выходит за пределы отрезка, то есть за точку D.
Следовательно, длина отрезка CD больше 4e, но меньше 5e.
Неравенство будет выглядеть так: $4e < CD < 5e$.
Ответ: $4e < CD < 5e$.

EF
Повторим измерение для отрезка EF.
На отрезке EF мерка e укладывается 2 полных раза.
При третьем откладывании мерки мы выходим за пределы отрезка EF.
Это означает, что длина отрезка EF находится в промежутке между 2e и 3e.
Запишем соответствующее неравенство: $2e < EF < 3e$.
Ответ: $2e < EF < 3e$.

MK
Проведем измерение последнего отрезка MK.
Как и в случае с отрезком EF, мерка e помещается на отрезке MK 2 полных раза.
Третья мерка e оказывается длиннее отрезка MK.
Таким образом, длина отрезка MK также больше, чем 2e, но меньше, чем 3e.
Получаем неравенство: $2e < MK < 3e$.
Ответ: $2e < MK < 3e$.

2 Докажи, что ответы следующих задач нельзя выразить натуральными числами.

а) Одну конфету разделили поровну между 2 детьми. Сколько конфет получил каждый?

б) Литр сока разлили поровну в 4 стакана. Сколько литров сока в каждом стакане?

в) 7 кг крупы рассыпали поровну в 3 пакета. Сколько килограммов крупы в каждом пакете?

Придумай свои примеры из жизни, когда невозможно выразить точное значение величин натуральными числами.

а) Одну конфету разделили поровну между 2 детьми. Сколько конфет получил каждый?

Чтобы решить задачу, нужно общее количество конфет (1) разделить на количество детей (2). Математически это записывается как деление: $1 \div 2$. Результатом этого деления является дробь $\frac{1}{2}$. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. Число $\frac{1}{2}$ (половина) не является натуральным, так как оно меньше наименьшего натурального числа 1. Таким образом, ответ на эту задачу нельзя выразить натуральным числом.
Ответ: каждый ребенок получил $\frac{1}{2}$ конфеты.

б) Литр сока разлили поровну в 4 стакана. Сколько литров сока в каждом стакане?

Для нахождения количества сока в одном стакане, необходимо общий объем сока (1 литр) разделить на количество стаканов (4). Выполним деление: $1 \div 4 = \frac{1}{4}$. Число $\frac{1}{4}$ (четверть) является дробным. Оно не входит в множество натуральных чисел {1, 2, 3, ...}, так как $0 < \frac{1}{4} < 1$. Следовательно, ответ не может быть выражен натуральным числом.
Ответ: в каждом стакане $\frac{1}{4}$ литра сока.

в) 7 кг крупы рассыпали поровну в 3 пакета. Сколько килограммов крупы в каждом пакете?

Чтобы найти массу крупы в одном пакете, нужно общую массу (7 кг) разделить на количество пакетов (3). Получаем выражение: $7 \div 3 = \frac{7}{3}$. Число 7 не делится на 3 без остатка ($7 = 3 \cdot 2 + 1$). Поэтому результат деления, $\frac{7}{3}$, является дробным числом. Его можно записать как смешанное число $2\frac{1}{3}$. Поскольку это число не целое, оно не является натуральным.
Ответ: в каждом пакете $\frac{7}{3}$ кг (или $2\frac{1}{3}$ кг) крупы.

Придумай свои примеры из жизни, когда невозможно выразить точное значение величин натуральными числами.

В повседневной жизни часто встречаются ситуации, когда результат деления нельзя выразить натуральным числом:

• Разделение продуктов: Три друга поровну делят одну шоколадку. Каждому достанется $\frac{1}{3}$ шоколадки.
• Расчет времени: Поездка на дачу длиной 90 км заняла 2 часа. Средняя скорость составила $90 \div 2 = 45$ км/ч. Но если бы поездка заняла 4 часа, средняя скорость была бы $90 \div 4 = 22.5$ км/ч, что не является натуральным числом.
• Кройка и шитье: Из рулона ткани длиной 5 метров нужно сшить наволочки, на каждую из которых уходит 2 метра ткани. Можно сшить $5 \div 2 = 2.5$ наволочки. То есть, можно сшить 2 целые наволочки, и останется ткань на половину еще одной.

3 а) Отрезок разделён на 2 равные части. Обведи половины отрезка разными цветами.

б) Раздели квадрат на 2 равные части четырьмя разными способами.

в) Есть мешочек крупы и весы без гирь. Сколько крупы должно быть на каждой чашке весов, чтобы весы находились в равновесии?

а) На отрезке есть отметка, которая делит его на две равные части — половины. Чтобы выполнить задание, нужно взять два карандаша или фломастера разных цветов (например, красный и синий). Первую половину отрезка, от его начала до центральной отметки, следует обвести одним цветом. Вторую половину, от центральной отметки до конца отрезка, — другим цветом.
Ответ: Нужно обвести одну половину отрезка одним цветом, а вторую половину – другим цветом.

б) Квадрат на изображении состоит из $6 \times 6 = 36$ клеток. Чтобы разделить его на две равные части, каждая часть должна содержать $36 / 2 = 18$ клеток. Вот четыре различных способа это сделать:
1. Провести вертикальную линию ровно посередине квадрата. Она разделит его на два одинаковых прямоугольника размером $3 \times 6$ клеток.
2. Провести горизонтальную линию ровно посередине квадрата. Она разделит его на два одинаковых прямоугольника размером $6 \times 3$ клеток.
3. Провести диагональную линию, соединяющую левый верхний и правый нижний углы. Квадрат разделится на два равных треугольника.
4. Провести вторую диагональную линию, соединяющую правый верхний и левый нижний углы. Это также разделит квадрат на два равных треугольника.
Ответ: Квадрат можно разделить на две равные части, проведя вертикальную или горизонтальную линию через его центр, или проведя одну из двух его диагоналей.

в) Рычажные весы находятся в равновесии, когда масса груза на левой и правой чашках одинакова. Чтобы уравновесить весы, используя только мешочек крупы, необходимо всё его содержимое разделить на две равные по массе части. Затем одну часть крупы следует насыпать на одну чашку весов, а вторую часть — на другую.
Если общую массу всей крупы обозначить как $M$, то для равновесия на каждой чашке должна быть масса, равная $M/2$.
Ответ: На каждой чашке весов должна быть половина всей крупы.

1 Чем отличается шкала числового луча от шкалы линейки? Найди ошибки в изображении числового луча:

a) $0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9$

б) $0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7$

В) $1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8$

г) $0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8$

Шкала числового луча отличается от шкалы линейки тем, что числовой луч имеет начало (точку отсчета, обычно 0), но не имеет конца, он бесконечен. Линейка же представляет собой отрезок числовой прямой, поэтому у нее есть и начало, и конец, то есть ее длина ограничена.

а) На числовом луче нарушена последовательность чисел. Между числами 3 и 5 пропущено число 4. Правильный порядок: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: Пропущено число 4.

б) На числовом луче нарушен масштаб. Единичный отрезок (расстояние между соседними целыми числами) должен быть одинаковым по всей длине луча. Здесь расстояние между числами 4 и 5 меньше, чем расстояние между другими соседними числами, например, между 0 и 1.
Ответ: Расстояния между отметками неодинаковы.

в) У изображенного числового луча отсутствует начало — точка отсчета, которая соответствует числу 0. Луч должен начинаться с нуля.
Ответ: Отсутствует начало луча (число 0).

г) На этом числовом луче также нарушен масштаб. Расстояние между числами 5 и 6, а также между 6 и 7, заметно больше, чем расстояния между предыдущими парами чисел (например, между 0 и 1). Единичные отрезки должны быть равны.
Ответ: Расстояния между отметками неодинаковы.

2 Построй числовой луч, выбрав за единичный отрезок:

а) 2 клетки тетради;

б) 3 клетки тетради.

а) 2 клетки тетради

Чтобы построить числовой луч, нужно выполнить следующие шаги:

1. Начертим горизонтальный луч, начинающийся в точке $O$. Эта точка называется началом отсчета и соответствует числу $0$. На конце луча поставим стрелку, показывающую направление увеличения чисел.

2. Выберем единичный отрезок. Согласно условию, длина единичного отрезка равна двум клеткам тетради.

3. От точки $O$ (число $0$) отложим вправо отрезок длиной в 2 клетки и поставим отметку. Эта отметка соответствует числу $1$.

4. От отметки, соответствующей числу $1$, отложим вправо еще один отрезок длиной в 2 клетки и поставим отметку. Она будет соответствовать числу $2$.

5. Продолжая этот процесс, мы разметим весь числовой луч. Каждое следующее целое число будет находиться на расстоянии 2 клеток от предыдущего.

Визуально это будет выглядеть так:

Ответ: Построен числовой луч, на котором единичный отрезок (расстояние между $0$ и $1$, $1$ и $2$, и т.д.) равен двум клеткам тетради, как показано на рисунке выше.

б) 3 клетки тетради

Построение выполняется аналогично предыдущему пункту, но с другим единичным отрезком.

1. Начертим горизонтальный луч с началом в точке $O$, соответствующей числу $0$, и стрелкой на конце.

2. В данном случае единичный отрезок равен трем клеткам тетради.

3. От начала отсчета (точка $0$) отложим вправо 3 клетки и поставим отметку – это будет число $1$.

4. От числа $1$ отложим вправо еще 3 клетки и отметим число $2$.

5. Таким образом, каждое следующее целое число на луче будет располагаться на расстоянии 3 клеток от предыдущего.

Графическое представление:

Ответ: Построен числовой луч, где единичный отрезок равен трем клеткам тетради, как изображено на рисунке.

3 Найди цену деления шкалы:

а) 0 1 2 3 4 5

Цена деления: ____________ ед.

б) 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Цена деления: ____________ ед.

в) 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Цена деления: ____________ ед.

г) 0 5 10 15 20 25

Цена деления: ____________ ед.

а)

Чтобы определить цену деления шкалы, необходимо найти разность значений двух соседних подписанных штрихов и разделить ее на количество малых делений (промежутков) между ними. Возьмем на шкале два соседних значения, например, 0 и 1. Найдем их разность: $1 - 0 = 1$. Количество делений между этими штрихами равно 1. Разделим разность значений на количество делений: $1 / 1 = 1$. Таким образом, цена деления шкалы составляет 1 единицу.
Ответ: 1 ед.

б)

Возьмем на шкале два соседних значения, например, 2 и 4. Найдем их разность: $4 - 2 = 2$. Количество делений между этими штрихами равно 1. Разделим разность значений на количество делений: $2 / 1 = 2$. Таким образом, цена деления шкалы составляет 2 единицы.
Ответ: 2 ед.

в)

Возьмем на шкале два соседних значения, например, 0 и 10. Найдем их разность: $10 - 0 = 10$. Количество делений между этими штрихами равно 1. Разделим разность значений на количество делений: $10 / 1 = 10$. Таким образом, цена деления шкалы составляет 10 единиц.
Ответ: 10 ед.

г)

Возьмем на шкале два соседних значения, например, 5 и 10. Найдем их разность: $10 - 5 = 5$. Количество делений между этими штрихами равно 1. Разделим разность значений на количество делений: $5 / 1 = 5$. Таким образом, цена деления шкалы составляет 5 единиц.
Ответ: 5 ед.

4 Начерти в тетради числовой луч, выбрав за единичный отрезок 1 клетку тетради. Отметь на нем числа:

а) $0, 2, 4, 6, 8, 10, 12;$

б) $0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.$

а)

Сначала начертим числовой луч. Отметим на нем начальную точку и подпишем под ней число 0. За единичный отрезок примем длину одной клетки. Чтобы отметить на луче число, нужно отложить от начала луча вправо столько единичных отрезков (клеток), сколько единиц в этом числе.

Для того чтобы отметить числа $0, 2, 4, 6, 8, 10, 12$, мы отложим от точки 0 соответственно 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12 клеток.

Ответ:

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. На числовом луче с единичным отрезком в одну клетку отмечаем заданные числа. Каждое число $n$ будет соответствовать точке, удаленной от начала луча (точки 0) на $n$ клеток.

Для чисел $0, 3, 6, 9, 12, 15, 18$ откладываем от точки 0 соответственно 0, 3, 6, 9, 12, 15 и 18 клеток.

Ответ:

5 Отметь на числовом луче числа $1\frac{3}{4}$, $2\frac{1}{2}$, $3\frac{1}{4}$.

Для того чтобы отметить заданные числа на числовом луче, необходимо сначала определить цену одного малого деления на шкале. Рассмотрим единичный отрезок, например, от 0 до 1. Он разделен на 4 равные части. Следовательно, каждое малое деление соответствует дроби $\frac{1}{4}$.

$1\frac{3}{4}$

Чтобы отметить число $1\frac{3}{4}$, нужно найти на луче отметку 1, а затем отсчитать от нее вправо еще $\frac{3}{4}$. Так как одно малое деление равно $\frac{1}{4}$, нам нужно отсчитать 3 таких деления вправо от единицы.

Ответ: Точка, соответствующая числу $1\frac{3}{4}$, находится на третьем малом делении после отметки 1.

$2\frac{1}{2}$

Чтобы отметить число $2\frac{1}{2}$, сперва приведем его дробную часть к знаменателю 4, чтобы было удобнее работать с нашей шкалой. $ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} $. Таким образом, число $2\frac{1}{2}$ равно $2\frac{2}{4}$. Это означает, что нам нужно найти на луче отметку 2 и отсчитать от нее вправо 2 малых деления.

Ответ: Точка, соответствующая числу $2\frac{1}{2}$, находится на втором малом делении после отметки 2 (посередине между 2 и 3).

$3\frac{1}{4}$

Чтобы отметить число $3\frac{1}{4}$, нужно найти на луче отметку 3, а затем отсчитать от нее вправо еще $\frac{1}{4}$. Это соответствует одному малому делению вправо от тройки.

Ответ: Точка, соответствующая числу $3\frac{1}{4}$, находится на первом малом делении после отметки 3.

Изображение числового луча с отмеченными точками:

2 a) Построй треугольник $ABC$ и четырёхугольник $DEFK$ по координатам их вершин: $A(1;5)$, $B(3;9)$, $C(9;2)$, $D(4;2)$, $E(1;7)$, $F(7;8)$, $K(10;5)$.

б) Раскрась пересечение фигур $ABC$ и $DEFK$. Какая фигура получилась? Какие ещё случаи пересечения треугольника и четырёхугольника возможны?

Для построения фигур на координатной плоскости отметим точки по их координатам и соединим их отрезками.

1. Треугольник ABC имеет вершины с координатами $A(1; 5)$, $B(3; 9)$ и $C(9; 2)$. Отмечаем эти точки на плоскости и соединяем их отрезками AB, BC и AC.

2. Четырёхугольник DEFK имеет вершины с координатами $D(4; 2)$, $E(1; 7)$, $F(7; 8)$ и $K(10; 5)$. Отмечаем эти точки и последовательно соединяем их отрезками DE, EF, FK и KD.

На рисунке ниже показаны построенные фигуры: треугольник ABC (красный) и четырёхугольник DEFK (синий).

Ответ: Треугольник ABC и четырёхугольник DEFK построены на координатной плоскости, как показано на рисунке.

Раскрасим общую часть (пересечение) треугольника ABC и четырёхугольника DEFK. Эта область на рисунке выше выделена фиолетовым цветом. Подсчитав количество вершин у получившейся фигуры, мы видим, что это шестиугольник.

Существуют и другие случаи взаимного расположения треугольника и четырёхугольника. Их пересечением могут быть:

• Пустое множество, если фигуры не имеют общих точек.
• Точка, если фигуры касаются одной вершиной или вершиной и стороной.
• Отрезок, если часть стороны одной фигуры совпадает с частью стороны другой.
• Треугольник, если один треугольник находится внутри другого или их пересечение образует новый треугольник.
• Четырёхугольник, если четырёхугольник лежит внутри треугольника или их пересечение образует новый четырёхугольник.
• Пятиугольник.
• Шестиугольник (как в нашем случае).
• Семиугольник (это максимальное возможное число вершин для пересечения треугольника и четырёхугольника).

Ответ: В результате пересечения получился шестиугольник. Другие возможные фигуры пересечения: пустое множество, точка, отрезок, треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и семиугольник.

3) а) Проведи прямые AB и CD, если A (1; 4), B (9; 10), C (3; 9), D (10; 2).

Найди координаты их точки пересечения M.

M ( ; )

б) Измерь угол AMD. Как вычислить величины остальных углов?

Проверь с помощью измерений.

$ \angle AMD = $ _______ $ \angle BMC = $ _______

$ \angle BMD = $ _______ $ \angle AMC = $ _______

а) Для нахождения координат точки пересечения M прямых AB и CD, проходящих через точки A(1; 4), B(9; 10) и C(3; 9), D(10; 2) соответственно, необходимо сначала составить уравнения этих прямых. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для прямой AB угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{10 - 4}{9 - 1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Чтобы найти $b$, подставим координаты точки A(1; 4) в уравнение $y = \frac{3}{4}x + b$:
$4 = \frac{3}{4} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 4 - \frac{3}{4} = \frac{13}{4}$.
Таким образом, уравнение прямой AB: $y = \frac{3}{4}x + \frac{13}{4}$.
Для прямой CD угловой коэффициент $k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{2 - 9}{10 - 3} = \frac{-7}{7} = -1$. Чтобы найти $b$, подставим координаты точки C(3; 9) в уравнение $y = -x + b$:
$9 = -1 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 12$.
Таким образом, уравнение прямой CD: $y = -x + 12$.
Точка пересечения M является решением системы этих двух уравнений. Приравняем правые части уравнений:
$\frac{3}{4}x + \frac{13}{4} = -x + 12$
Умножим обе части уравнения на 4:
$3x + 13 = -4x + 48$
$7x = 35$
$x = 5$
Теперь найдем координату $y$, подставив $x=5$ в уравнение прямой CD:
$y = -5 + 12 = 7$.
Координаты точки пересечения M(5; 7).
Ответ: M(5; 7).

б) При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна $180^\circ$.
Измерив угол $\angle AMD$ с помощью транспортира, мы получим значение примерно $98^\circ$.
Зная величину одного угла, можно вычислить остальные:
1. Угол $\angle BMC$ является вертикальным к углу $\angle AMD$, следовательно, они равны: $\angle BMC = \angle AMD = 98^\circ$.
2. Угол $\angle BMD$ является смежным с углом $\angle AMD$, их сумма составляет $180^\circ$: $\angle BMD = 180^\circ - \angle AMD = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$.
3. Угол $\angle AMC$ является вертикальным к углу $\angle BMD$ (а также смежным с $\angle AMD$), следовательно: $\angle AMC = \angle BMD = 82^\circ$.
Проверка с помощью измерений транспортиром подтвердит вычисленные значения.
$\angle AMD = 98^\circ$
$\angle BMC = 98^\circ$
$\angle BMD = 82^\circ$
$\angle AMC = 82^\circ$
Ответ: $\angle AMD = 98^\circ$, $\angle BMC = 98^\circ$, $\angle BMD = 82^\circ$, $\angle AMC = 82^\circ$.

4 а) Построй треугольник ABC, если $A (1; 2)$, $B (3; 8)$, $C (9; 6)$. Измерь его стороны и углы. Что ты замечаешь?

$AB = $

$\angle A = $

$AC = $

$\angle B = $

$BC = $

$\angle C = $

б) Отметь на стороне $AC$ точку $M$ с абсциссой 5, запиши её координаты. В чём особенность её расположения на стороне $AC$?

$M (5; )$

в) Проведи луч $BM$. Проверь с помощью транспортира, является ли он биссектрисой угла $B$. Что интересного в расположении луча $BM$ и отрезка $AC$?

а) Построй треугольник ABC, если A(1; 2), B(3; 8), C(9; 6). Измерь его стороны и углы. Что ты замечаешь?

1. Сначала построим треугольник, отметив на координатной плоскости точки с заданными координатами A(1; 2), B(3; 8) и C(9; 6) и соединив их отрезками.

2. Затем вычислим длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(9-3)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$.
Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(9-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$.

3. Теперь измерим углы. Можно заметить, что длины сторон $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC = \sqrt{40}$), следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle C$.
Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат:
$AB^2 = (\sqrt{40})^2 = 40$.
$BC^2 = (\sqrt{40})^2 = 40$.
$AC^2 = (\sqrt{80})^2 = 80$.
Сложим квадраты двух меньших сторон: $AB^2 + BC^2 = 40 + 40 = 80$.
Полученная сумма равна квадрату третьей стороны: $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Согласно обратной теореме Пифагора, это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, а угол B, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы) AC, равен $90^\circ$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Тогда $\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Поскольку $\angle A = \angle C$, то каждый из этих углов равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Что мы замечаем: Треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным.

Ответ: $AB = \sqrt{40}$, $AC = \sqrt{80}$, $BC = \sqrt{40}$. $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Треугольник является равнобедренным и прямоугольным.

б) Отметь на стороне AC точку M с абсциссой 5, запиши её координаты. В чём особенность её расположения на стороне AC?

1. Точка M лежит на отрезке AC. Чтобы найти её ординату (y-координату), сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 2) и C(9; 6).
Угловой коэффициент прямой: $k = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{6-2}{9-1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Используя уравнение прямой $y = kx + b$ и координаты точки A, найдем $b$:
$2 = \frac{1}{2}(1) + b \Rightarrow b = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Таким образом, уравнение прямой AC: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

2. Нам известно, что абсцисса точки M равна 5 ($x_M = 5$). Подставим это значение в уравнение прямой, чтобы найти ординату $y_M$:
$y_M = \frac{1}{2}(5) + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Следовательно, координаты точки M — (5; 4).

3. Чтобы выявить особенность расположения точки M, найдем координаты середины отрезка AC по формулам $x_{сер} = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_{сер} = \frac{y_A + y_C}{2}$:
$x_{сер} = \frac{1+9}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$y_{сер} = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Координаты середины отрезка AC (5; 4) в точности совпадают с координатами точки M.

Особенность расположения точки M заключается в том, что она является серединой стороны AC.

Ответ: M(5; 4). Точка M является серединой стороны AC.

в) Проведи луч BM. Проверь с помощью транспортира, является ли он биссектрисой угла B. Что интересного в расположении луча BM и отрезка AC?

1. Соединим точки B(3; 8) и M(5; 4), чтобы провести луч BM.

2. Чтобы проверить, является ли BM биссектрисой угла B, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника. Мы установили, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, а точка M — середина этого основания. Отрезок BM, соединяющий вершину B с серединой основания AC, является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Следовательно, BM — биссектриса угла B.
Угол B равен $90^\circ$, значит, биссектриса BM делит его на два равных угла по $45^\circ$ каждый: $\angle ABM = \angle CBM = 45^\circ$. Проверка с помощью транспортира это подтвердит.

3. Интересное в расположении луча BM и отрезка AC. Так как BM в равнобедренном треугольнике ABC является не только медианой и биссектрисой, но и высотой, то луч BM должен быть перпендикулярен отрезку AC. Проверим это, сравнив угловые коэффициенты прямых BM и AC.
Угловой коэффициент AC мы уже нашли: $k_{AC} = \frac{1}{2}$.
Найдем угловой коэффициент BM, используя точки B(3; 8) и M(5; 4): $k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{4-8}{5-3} = \frac{-4}{2} = -2$.
Произведение угловых коэффициентов: $k_{AC} \cdot k_{BM} = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$. Если произведение угловых коэффициентов двух прямых равно -1, то эти прямые перпендикулярны.

Таким образом, интересная особенность заключается в том, что луч BM перпендикулярен отрезку AC.

Ответ: Да, луч BM является биссектрисой угла B. Луч BM перпендикулярен отрезку AC.