Страница 69, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

6. Как называется:

а) одна сотая доля метра;

б) одна десятая доля тонны;

в) одна сотая доля дециметра;

г) одна шестидесятая доля минуты?

а) Одна сотая доля метра, то есть $\frac{1}{100}$ метра, — это единица измерения длины, которая называется сантиметр. Приставка "санти-" в метрической системе означает одну сотую долю основной единицы. Таким образом, $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Ответ: сантиметр.

б) Одна десятая доля тонны, то есть $\frac{1}{10}$ тонны, — это единица измерения массы. В одной тонне содержится 1000 килограммов, следовательно, одна десятая доля тонны равна $1000 \text{ кг} \div 10 = 100 \text{ кг}$. Эта единица массы называется центнер.
Ответ: центнер.

в) Одна сотая доля дециметра, то есть $\frac{1}{100}$ дециметра, — это единица измерения длины. В одном дециметре содержится 10 сантиметров, а в одном сантиметре — 10 миллиметров. Таким образом, в одном дециметре 100 миллиметров ($1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$). Следовательно, одна сотая доля дециметра равна $100 \text{ мм} \div 100 = 1 \text{ мм}$. Эта единица называется миллиметр.
Ответ: миллиметр.

г) Одна шестидесятая доля минуты, то есть $\frac{1}{60}$ минуты, — это единица измерения времени. Известно, что в одной минуте содержится 60 секунд. Следовательно, одна шестидесятая доля минуты равна одной секунде.
Ответ: секунда.

7 а) Вырази в сантиметрах: 1 дм, 1 мм.

б) Вырази в метрах: 1 км, 1 см.

в) Вырази в центнерах: 1 т, 1 кг.

г) Вырази в минутах: 1 ч, 1 с.

д) Вырази в квадратных метрах: $1 \text{ км}^2$, $1 \text{ дм}^2$.

а) Чтобы выразить дециметры (дм) и миллиметры (мм) в сантиметрах (см), необходимо знать следующие соотношения единиц длины:
В одном дециметре содержится 10 сантиметров.
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
В одном сантиметре содержится 10 миллиметров. Следовательно, один миллиметр составляет одну десятую часть сантиметра.
$1 \text{ мм} = \frac{1}{10} \text{ см} = 0,1 \text{ см}$
Ответ: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$; $1 \text{ мм} = 0,1 \text{ см}$.

б) Чтобы выразить километры (км) и сантиметры (см) в метрах (м), используем следующие соотношения:
В одном километре содержится 1000 метров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
В одном метре содержится 100 сантиметров. Следовательно, один сантиметр составляет одну сотую часть метра.
$1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 0,01 \text{ м}$
Ответ: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$; $1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$.

в) Чтобы выразить тонны (т) и килограммы (кг) в центнерах (ц), воспользуемся следующими соотношениями единиц массы:
В одной тонне содержится 10 центнеров.
$1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$
В одном центнере содержится 100 килограммов. Следовательно, один килограмм составляет одну сотую часть центнера.
$1 \text{ кг} = \frac{1}{100} \text{ ц} = 0,01 \text{ ц}$
Ответ: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$; $1 \text{ кг} = 0,01 \text{ ц}$.

г) Чтобы выразить часы (ч) и секунды (с) в минутах (мин), используем следующие соотношения единиц времени:
В одном часе содержится 60 минут.
$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$
В одной минуте содержится 60 секунд. Следовательно, одна секунда составляет одну шестидесятую часть минуты.
$1 \text{ с} = \frac{1}{60} \text{ мин}$
Ответ: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$; $1 \text{ с} = \frac{1}{60} \text{ мин}$.

д) Чтобы выразить квадратные километры (км²) и квадратные дециметры (дм²) в квадратных метрах (м²), необходимо возвести в квадрат линейные соотношения единиц длины: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Перевод 1 км² в м²:
$1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1000 \times 1000 \text{ м}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$
Перевод 1 дм² в м²:
Из соотношения $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ следует, что $1 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$.
$1 \text{ дм}^2 = (0,1 \text{ м})^2 = 0,1 \times 0,1 \text{ м}^2 = 0,01 \text{ м}^2$
Ответ: $1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$; $1 \text{ дм}^2 = 0,01 \text{ м}^2$.

8 Что общего и что различного в задачах:

a) У Тани 16 открыток. $ \frac{1}{4} $ часть этих открыток она подарила подругам к празднику. Сколько открыток она подарила?

1 — 16 откр.

подарила

$ \frac{1}{4} $ — ? откр.

б) На платье израсходовали 3 м ткани, что составляет $ \frac{1}{6} $ всей имеющейся ткани. Сколько всего было ткани?

1 — ? м

расх.

$ \frac{1}{6} $ — 3 м

Реши эти задачи. Затем придумай и реши аналогичные задачи.

Что общего и что различного в задачах:

Общее: Обе задачи решаются с использованием дробей. В обеих задачах речь идет о нахождении величины, которая является частью целого. В условиях обеих задач используются так называемые "единичные дроби" (дроби, у которых числитель равен 1).

Различное: Задачи являются обратными друг другу.

• В задаче а) известно целое (16 открыток) и нужно найти его часть ($\frac{1}{4}$). Это задача на нахождение части от целого.
• В задаче б) известна часть (3 м ткани) и то, какую долю она составляет от целого ($\frac{1}{6}$), а найти нужно само целое. Это задача на нахождение целого по его части.

Из-за этого различаются и математические операции, необходимые для решения: в первой задаче мы выполняем деление, а во второй — умножение.

Решение задач:

а)

В этой задаче нам нужно найти часть от целого. Всего было 16 открыток (целое). Таня подарила $\frac{1}{4}$ часть. Чтобы найти, сколько это составляет, нужно общее количество разделить на знаменатель дроби.

$16 : 4 = 4$ (открытки)

Ответ: 4 открытки подарила Таня.

б)

В этой задаче нам нужно найти целое по его части. Мы знаем, что 3 м ткани (часть) составляют $\frac{1}{6}$ от всего количества. Чтобы найти, сколько всего было ткани (целое), нужно известную часть умножить на знаменатель дроби.

$3 \times 6 = 18$ (м)

Ответ: всего было 18 м ткани.

Примеры аналогичных задач:

Задача, аналогичная а) (нахождение части от целого):

В саду росло 30 деревьев. $\frac{1}{5}$ всех деревьев составляли яблони. Сколько яблонь росло в саду?

Решение: $30 : 5 = 6$ (яблонь).

Ответ: в саду росло 6 яблонь.

Задача, аналогичная б) (нахождение целого по его части):

Мальчик прочитал 20 страниц, что составило $\frac{1}{10}$ всей книги. Сколько всего страниц в книге?

Решение: $20 \times 10 = 200$ (страниц).

Ответ: в книге 200 страниц.

9 Папа с Алёшей отправились на рыбалку. Они ехали поездом 2 ч со скоростью 80 км/ч, потом $a$ ч шли пешком со скоростью 3 км/ч и наконец 2 ч плыли по озеру со скоростью $v$ км/ч. Какой путь они проделали от вокзала до места рыбалки? Составь выражение и найди его значение, если $a = 3, v = 6$.

? км

поездом пешком по озеру

Чтобы найти общий путь, необходимо сложить расстояния, пройденные на каждом из трех участков. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время.

Составь выражение

Сначала определим расстояние для каждого этапа путешествия:

1. Расстояние, которое проехали на поезде: скорость 80 км/ч, время 2 часа.
$S_1 = 80 \cdot 2 = 160$ км.

2. Расстояние, которое прошли пешком: скорость 3 км/ч, время $a$ часов.
$S_2 = 3 \cdot a = 3a$ км.

3. Расстояние, которое проплыли по озеру: скорость $v$ км/ч, время 2 часа.
$S_3 = v \cdot 2 = 2v$ км.

Чтобы получить выражение для общего пути, нужно сложить расстояния всех трех участков:

$S_{общий} = S_1 + S_2 + S_3 = 160 + 3a + 2v$

Ответ: $160 + 3a + 2v$.

Найди его значение, если a = 3, v = 6

Теперь подставим заданные значения $a = 3$ и $v = 6$ в полученное выражение, чтобы вычислить итоговое расстояние в километрах:

$160 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 160 + 9 + 12 = 181$ (км).

Ответ: 181 км.

1 Определи по рисунку, откуда вышли Винни-Пух, Пятачок, Иа-Иа. Куда и с какой скоростью они идут? Покажи их движение на координатном луче и ответь на вопросы:

a) За сколько времени они пройдут весь свой путь?

б) В какой точке они окажутся через 3 ч после выхода?

Винни-Пух: вышел из 0, идет к 56 со скоростью $8 \text{ ед./ч}$.

Пятачок: вышел из 45, идет к 0 (налево) со скоростью $5 \text{ ед./ч}$.

Иа-Иа: вышел из 20, идет к 80 со скоростью $10 \text{ ед./ч}$.

Проанализируем движение каждого персонажа по координатному лучу:

• Винни-Пух выходит из точки с координатой 0 и идет к горшочку с медом в точку с координатой 56. Его скорость составляет 8 единиц в час (ед./ч).
• Пятачок выходит из точки с координатой 45 и идет к домику в точку с координатой 0. Его скорость составляет 5 ед./ч.
• Иа-Иа выходит из точки с координатой 20 и идет к чертополоху и шарику в точку с координатой 80. Его скорость составляет 10 ед./ч.

а) Чтобы найти время, за которое каждый персонаж пройдет свой путь, нужно разделить расстояние на скорость ($t = S / v$).

• Винни-Пух:
  Расстояние ($S$): $56 - 0 = 56$ единиц.
  Скорость ($v$): $8$ ед./ч.
  Время ($t$): $56 / 8 = 7$ часов.

• Пятачок:
  Расстояние ($S$): $45 - 0 = 45$ единиц.
  Скорость ($v$): $5$ ед./ч.
  Время ($t$): $45 / 5 = 9$ часов.

• Иа-Иа:
  Расстояние ($S$): $80 - 20 = 60$ единиц.
  Скорость ($v$): $10$ ед./ч.
  Время ($t$): $60 / 10 = 6$ часов.

Ответ: Винни-Пух пройдет свой путь за 7 часов, Пятачок – за 9 часов, а Иа-Иа – за 6 часов.

б) Чтобы найти, в какой точке окажется каждый персонаж через 3 часа, нужно определить пройденное ими расстояние ($S = v * t$) и изменить их начальную координату.

• Винни-Пух движется вправо от 0. За 3 часа он пройдет: $8 * 3 = 24$ единицы.
  Его новая координата будет: $0 + 24 = 24$.

• Пятачок движется влево от 45. За 3 часа он пройдет: $5 * 3 = 15$ единиц.
  Его новая координата будет: $45 - 15 = 30$.

• Иа-Иа движется вправо от 20. За 3 часа он пройдет: $10 * 3 = 30$ единиц.
  Его новая координата будет: $20 + 30 = 50$.

Ответ: Через 3 часа Винни-Пух будет в точке 24, Пятачок – в точке 30, а Иа-Иа – в точке 50.

1 Петух, Кот и Заяц вышли одновременно из Цветограда по одной дороге. Их скорости равны соответственно 3 км/ч, 4 км/ч и 5 км/ч. Определи расстояние между ними через 4 ч после выхода.

Удобно ли исследовать с помощью координатного луча одновременное движение трёх объектов?

Положение движущегося объекта удобно изображать точками координатного угла. Для этого по оси $x$ откладывают время движения $t$, а по оси $y$ — пройденное расстояние $s$.

Например, точка (1; 4) обозначает, что Кот за 1 ч прошёл 4 км, точка (2; 8) — что за 2 ч он прошёл 8 км и т. д. (рис. 1).

Соединим все точки (рис. 2). Получим линию, которая называется графиком движения Кота. Каждая точка его графика показывает, где и в какое время он находился. Так, по графику видно, что за 2 ч 30 мин Кот отошёл от города на расстояние 10 км.

Для решения задачи сначала определим, какое расстояние пройдет каждый персонаж за 4 часа. Для этого воспользуемся формулой расстояния: $s = v \cdot t$, где $s$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. Расстояние, которое пройдет Петух ($s_П$) со скоростью 3 км/ч:
$s_П = 3 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 12 \text{ км}$.

2. Расстояние, которое пройдет Кот ($s_К$) со скоростью 4 км/ч:
$s_К = 4 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 16 \text{ км}$.

3. Расстояние, которое пройдет Заяц ($s_З$) со скоростью 5 км/ч:
$s_З = 5 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 20 \text{ км}$.

Теперь, зная, на каком расстоянии от Цветограда находится каждый из них, найдем расстояния между ними.

Расстояние между Петухом и Котом

Поскольку они движутся в одном направлении, расстояние между ними равно разности пройденных ими путей.
$s_{К-П} = s_К - s_П = 16 \text{ км} - 12 \text{ км} = 4 \text{ км}$.
Другой способ — через скорость удаления. Кот удаляется от Петуха со скоростью $4 - 3 = 1$ км/ч. За 4 часа расстояние между ними составит $1 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 4 \text{ км}$.
Ответ: 4 км.

Расстояние между Котом и Зайцем

Аналогично находим расстояние между Котом и Зайцем.
$s_{З-К} = s_З - s_К = 20 \text{ км} - 16 \text{ км} = 4 \text{ км}$.
Через скорость удаления: Заяц удаляется от Кота со скоростью $5 - 4 = 1$ км/ч. За 4 часа расстояние станет $1 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 4 \text{ км}$.
Ответ: 4 км.

Расстояние между Петухом и Зайцем

Это расстояние между самым медленным и самым быстрым участником.
$s_{З-П} = s_З - s_П = 20 \text{ км} - 12 \text{ км} = 8 \text{ км}$.
Через скорость удаления: Заяц удаляется от Петуха со скоростью $5 - 3 = 2$ км/ч. За 4 часа расстояние между ними составит $2 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 8 \text{ км}$.
Ответ: 8 км.