Страница 73, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Сравни:

$\frac{1}{10}$ □ $\frac{1}{100}$; $\frac{1}{100}$ □ $\frac{1}{1000}$; $\frac{1}{1000}$ □ $\frac{1}{10}$; $\frac{1}{100}$ □ $\frac{1}{10000}$.

Для решения данной задачи воспользуемся правилом сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Сравниваем дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$. Числители дробей равны 1. Сравниваем их знаменатели: $10$ и $100$. Так как $10 < 100$, то дробь с меньшим знаменателем будет больше. Следовательно, $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.

Ответ: $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$

Сравниваем дроби $\frac{1}{100}$ и $\frac{1}{1000}$. Числители дробей равны 1. Сравниваем их знаменатели: $100$ и $1000$. Так как $100 < 1000$, то дробь с меньшим знаменателем будет больше. Следовательно, $\frac{1}{100} > \frac{1}{1000}$.

Ответ: $\frac{1}{100} > \frac{1}{1000}$

Сравниваем дроби $\frac{1}{1000}$ и $\frac{1}{10}$. Числители дробей равны 1. Сравниваем их знаменатели: $1000$ и $10$. Так как $1000 > 10$, то дробь с большим знаменателем будет меньше. Следовательно, $\frac{1}{1000} < \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{1000} < \frac{1}{10}$

Сравниваем дроби $\frac{1}{100}$ и $\frac{1}{10000}$. Числители дробей равны 1. Сравниваем их знаменатели: $100$ и $10000$. Так как $100 < 10000$, то дробь с меньшим знаменателем будет больше. Следовательно, $\frac{1}{100} > \frac{1}{10000}$.

Ответ: $\frac{1}{100} > \frac{1}{10000}$

Найди $1\%$ от:

а) 500 г;

б) 8000 км;

в) 42000 р.;

г) 7300 л;

д) 1 т;

е) 3 ц.

Чтобы найти один процент (1%) от какого-либо числа или величины, необходимо разделить это число или величину на 100.

а) Найдём 1% от 500 г. Для этого разделим 500 на 100.
$500 \text{ г} : 100 = 5 \text{ г}$
Ответ: 5 г.

б) Найдём 1% от 8000 км. Для этого разделим 8000 на 100.
$8000 \text{ км} : 100 = 80 \text{ км}$
Ответ: 80 км.

в) Найдём 1% от 42 000 р. Для этого разделим 42 000 на 100.
$42000 \text{ р.} : 100 = 420 \text{ р.}$
Ответ: 420 р.

г) Найдём 1% от 7300 л. Для этого разделим 7300 на 100.
$7300 \text{ л} : 100 = 73 \text{ л}$
Ответ: 73 л.

д) Найдём 1% от 1 т. Сначала переведем тонны в килограммы. В одной тонне 1000 килограммов.
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
Теперь найдём 1% от 1000 кг, разделив 1000 на 100.
$1000 \text{ кг} : 100 = 10 \text{ кг}$
Ответ: 10 кг.

е) Найдём 1% от 3 ц. Сначала переведем центнеры в килограммы. В одном центнере 100 килограммов.
$3 \text{ ц} = 3 \times 100 \text{ кг} = 300 \text{ кг}$
Теперь найдём 1% от 300 кг, разделив 300 на 100.
$300 \text{ кг} : 100 = 3 \text{ кг}$
Ответ: 3 кг.

3 а) Папа получил премию 32 000 р., 1% премии он потратил на покупку торта. Сколько стоил торт?

$100 \% - 32\,000 \text{ руб.}$

$1 \% - ? \text{ руб.}$

б) В комнате у дедушки в полдень бьют часы. Продолжительность боя составляет 1% от одного часа. Сколько секунд продолжается бой часов в полдень?

а)

Чтобы найти стоимость торта, необходимо вычислить 1% от суммы премии, которая составляет 32 000 рублей.
Поскольку 1% — это одна сотая часть от целого, нужно разделить общую сумму премии на 100.
$32000 \div 100 = 320$ (рублей).
Ответ: торт стоил 320 рублей.

б)

Чтобы узнать, сколько секунд продолжается бой часов, сначала нужно вычислить, сколько секунд в одном часе.
В 1 часе 60 минут, в 1 минуте 60 секунд.
$1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд} = 3600 \text{ секунд}$.
Продолжительность боя составляет 1% от этого времени. Чтобы найти 1% от 3600 секунд, нужно разделить это число на 100.
$3600 \div 100 = 36$ (секунд).
Ответ: бой часов в полдень продолжается 36 секунд.

4 Найди 1% от чисел: 600, 8500, 90 000, 720 000, 1 000 000.

Чтобы найти 1% (один процент) от числа, нужно это число разделить на 100, так как процент — это одна сотая часть числа. Также можно умножить число на 0,01, что эквивалентно делению на 100.

1% от 600

Разделим число 600 на 100, чтобы найти 1% от него:

$600 / 100 = 6$

Ответ: 6

1% от 8500

Разделим число 8500 на 100:

$8500 / 100 = 85$

Ответ: 85

1% от 90 000

Разделим число 90 000 на 100:

$90000 / 100 = 900$

Ответ: 900

1% от 720 000

Разделим число 720 000 на 100:

$720000 / 100 = 7200$

Ответ: 7200

1% от 1 000 000

Разделим число 1 000 000 на 100:

$1000000 / 100 = 10000$

Ответ: 10000

1 Изобрази движение зверушек по координатному лучу. Запиши формулы зависимости переменной координаты $x$ от времени движения $t$.

а) $x = 10t$

б) $x = 54 - 9t$

в) $x = 4t$

г) $x = 72 - 12t$

Для того чтобы записать формулу зависимости координаты $x$ от времени движения $t$, воспользуемся общей формулой для равномерного прямолинейного движения: $x = x_0 \pm vt$. В этой формуле $x_0$ — это начальная координата (положение в момент времени $t=0$), $v$ — скорость движения, а $t$ — время. Знак «+» используется, если движение происходит в положительном направлении координатного луча (вправо), а знак «-» — если движение происходит в отрицательном направлении (влево).

а)

Черепаха начинает движение из точки с начальной координатой $x_0 = 20$. Её скорость $v = 10$ ед./ч. Направление движения — вправо, что соответствует положительному направлению. Поэтому в формуле используется знак «+».

Подставляем значения в общую формулу: $x = 20 + 10t$.

Ответ: $x = 20 + 10t$

б)

Муравей начинает движение из точки с начальной координатой $x_0 = 54$. Его скорость $v = 9$ ед./ч. Направление движения — влево, что соответствует отрицательному направлению. Поэтому в формуле используется знак «-».

Формула для движения муравья: $x = 54 - 9t$.

Ответ: $x = 54 - 9t$

в)

Лягушка начинает движение из точки с начальной координатой $x_0 = 12$. Её скорость $v = 4$ ед./мин. Направление движения — вправо (положительное), поэтому в формуле используется знак «+».

Формула для движения лягушки: $x = 12 + 4t$.

Ответ: $x = 12 + 4t$

г)

Заяц начинает движение из точки с начальной координатой $x_0 = 72$. Его скорость $v = 12$ ед./с. Направление движения — влево (отрицательное), поэтому в формуле используется знак «-».

Формула для движения зайца: $x = 72 - 12t$.

Ответ: $x = 72 - 12t$

2 Движение мышонка по координатному лучу описывается формулой $x = 2 + 4 \cdot t$ ($t$ — в часах). Из какой точки луча он вышел? В каком направлении и с какой скоростью идёт? В какой точке он был через 1 ч после выхода, через 2 ч, 3 ч, 5 ч? Проверь с помощью рисунка.

Формула движения мышки: $x = 2 + 4 \cdot t$, где $x$ — координата, а $t$ — время в часах. Эта формула является частным случаем общей формулы равномерного движения $x = x_0 + v \cdot t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v$ — скорость.

Из какой точки луча он вышел?

Чтобы найти начальную точку, нужно подставить в формулу время $t = 0$ (момент выхода).
$x(0) = 2 + 4 \cdot 0 = 2 + 0 = 2$.
Также из сравнения с общей формулой $x = x_0 + v \cdot t$ видно, что начальная координата $x_0 = 2$.
Ответ: Мышонок вышел из точки с координатой 2.

В каком направлении и с какой скоростью идёт?

Из формулы $x = 2 + 4 \cdot t$ мы видим, что скорость $v$ — это коэффициент при времени $t$. В данном случае $v = 4$.
Так как скорость положительная ($v > 0$), мышонок движется в положительном направлении координатного луча (вправо).
Скорость мышонка составляет 4 единицы в час.
Ответ: Мышонок идёт в положительном направлении (вправо) со скоростью 4 единицы в час.

В какой точке он был через 1 ч после выхода, через 2 ч, 3 ч, 5 ч?

Чтобы найти положение мышонка в определённое время, нужно подставить соответствующее значение $t$ в формулу $x = 2 + 4 \cdot t$.
- Через 1 час ($t=1$):
$x(1) = 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 4 = 6$.
- Через 2 часа ($t=2$):
$x(2) = 2 + 4 \cdot 2 = 2 + 8 = 10$.
- Через 3 часа ($t=3$):
$x(3) = 2 + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14$.
- Через 5 часов ($t=5$):
$x(5) = 2 + 4 \cdot 5 = 2 + 20 = 22$.
Ответ: Через 1 час мышонок был в точке 6, через 2 часа — в точке 10, через 3 часа — в точке 14, через 5 часов — в точке 22.

Проверь с помощью рисунка.

На координатном луче можно отметить положение мышонка в разные моменты времени:
- В момент выхода ($t=0$) мышонок находится в точке 2.
- Проходит 1 час, мышонок смещается на $4 \cdot 1 = 4$ единицы вправо и оказывается в точке $2+4=6$.
- Проходит еще 1 час (всего $t=2$), мышонок смещается еще на 4 единицы вправо и оказывается в точке $6+4=10$.
- Проходит еще 1 час (всего $t=3$), мышонок смещается еще на 4 единицы вправо и оказывается в точке $10+4=14$.
- За следующие 2 часа (всего $t=5$), мышонок смещается на $4 \cdot 2 = 8$ единиц вправо и оказывается в точке $14+8=22$.
Все вычисленные точки (2, 6, 10, 14, 22) соответствуют отметкам на предоставленном рисунке координатного луча. Это подтверждает правильность расчетов.
Ответ: Рисунок подтверждает, что в моменты времени 0, 1, 2, 3 и 5 часов мышонок находился в точках 2, 6, 10, 14 и 22 соответственно.

3. Движение белочки описывается формулой $x = 48 - 6 \cdot t$ ($t$ — в минутах). Из какой точки координатного луча она вышла? В каком направлении и с какой скоростью идёт? Где она находилась через 1 мин после выхода, через 2 мин, 3 мин? Через сколько минут она придёт в начало луча? Сделай рисунок.

Изображение координатного луча с отметками: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54

Из какой точки координатного луча она вышла?

Движение белочки описывается формулой $x = 48 - 6 \cdot t$, где $x$ – координата, а $t$ – время в минутах. Начальный момент времени соответствует $t=0$. Чтобы найти начальную координату (точку выхода), подставим $t=0$ в формулу:

$x(0) = 48 - 6 \cdot 0 = 48 - 0 = 48$

Следовательно, белочка вышла из точки с координатой 48.

Ответ: Белочка вышла из точки 48.

В каком направлении и с какой скоростью идёт?

Общая формула движения с постоянной скоростью имеет вид $x = x_0 + v \cdot t$, где $x_0$ – начальная координата, а $v$ – скорость. В нашей формуле $x = 48 - 6 \cdot t$ начальная координата $x_0 = 48$, а коэффициент при $t$ равен -6. Это и есть скорость движения $v = -6$.

Знак "минус" у скорости показывает, что белочка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатного луча, то есть к его началу (к точке 0). Модуль скорости (величина скорости) равен $|-6| = 6$. Так как время измеряется в минутах, то скорость составляет 6 единиц в минуту.

Ответ: Белочка идёт в направлении начала координатного луча (к точке 0) со скоростью 6 единиц в минуту.

Где она находилась через 1 мин после выхода, через 2 мин, 3 мин?

Чтобы найти положение белочки в разные моменты времени, подставим соответствующие значения $t$ в формулу $x = 48 - 6 \cdot t$.
Через 1 минуту ($t=1$): $x(1) = 48 - 6 \cdot 1 = 48 - 6 = 42$.
Через 2 минуты ($t=2$): $x(2) = 48 - 6 \cdot 2 = 48 - 12 = 36$.
Через 3 минуты ($t=3$): $x(3) = 48 - 6 \cdot 3 = 48 - 18 = 30$.

Ответ: Через 1 минуту белочка находилась в точке 42, через 2 минуты – в точке 36, а через 3 минуты – в точке 30.

Через сколько минут она придёт в начало луча?

Начало луча – это точка с координатой $x = 0$. Нам нужно найти время $t$, при котором координата белочки станет равна нулю. Подставим $x=0$ в формулу движения:

$0 = 48 - 6 \cdot t$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:

$6 \cdot t = 48$

$t = \frac{48}{6}$

$t = 8$

Таким образом, белочка придет в начало луча через 8 минут.

Ответ: Через 8 минут.

Сделай рисунок.

На рисунке изображен координатный луч. Движение белочки начинается в точке 48 и направлено влево, к началу луча (точке 0). Красной стрелкой показано направление движения.

Ответ: Рисунок, иллюстрирующий движение, представлен выше.

На рисунке приведен график движения междугороднего автобуса Костиково — Новоалексеевское.

$s$ км

Новоалексеевское: 140
Марьино: 100
Заозерье: 60
Архиповка: 30
Костиково: 0

$t$ ч
$8^{00}$, $8^{30}$, $9^{00}$, $9^{30}$, $10^{00}$, $10^{30}$, $11^{00}$, $11^{30}$

а) В котором часу автобус выезжает из Костикова и когда он прибывает в Новоалексеевское?

б) Сколько остановок имеет автобус в пути? Какова их продолжительность?

в) Определи время прибытия автобуса в пункты Архиповка, Заозерье, Марьино и время отправления из этих пунктов.

г) Можно ли по виду графика сравнить скорости движения автобуса на разных участках пути? На каком участке она была самой большой, а на каком — самой маленькой? Проверь с помощью вычислений.

д) На каком расстоянии от Костикова находился автобус в 9 ч, в 10 ч 20 мин? На каком расстоянии он находился в это же время от Новоалексеевского и от Архиповки?

а) В котором часу автобус выезжает из Костикова и когда он прибывает в Новоалексеевское?

Для ответа на этот вопрос посмотрим на начальную и конечную точки графика. Начальная точка соответствует выезду из Костикова (расстояние s = 0 км). По оси времени t (горизонтальная ось) этой точке соответствует 8:00. Конечная точка соответствует прибытию в Новоалексеевское (расстояние s = 140 км). По оси времени t этой точке соответствует 11:30.

Ответ: Автобус выезжает из Костикова в 8:00 и прибывает в Новоалексеевское в 11:30.

б) Сколько остановок имеет автобус в пути? Какова их продолжительность?

Остановкам на графике соответствуют горизонтальные участки, так как время идет, а расстояние не меняется. На графике есть два таких участка:

1. Первый на расстоянии 30 км от Костикова (в Архиповке). Он длится с 8:30 до 9:00. Продолжительность: $9:00 - 8:30 = 30$ минут.

2. Второй на расстоянии 100 км от Костикова (в Марьино). Он длится с 10:00 до 10:30. Продолжительность: $10:30 - 10:00 = 30$ минут.

Таким образом, автобус имеет две остановки, каждая продолжительностью 30 минут.

Ответ: Автобус имеет 2 остановки, продолжительность каждой из них — 30 минут.

в) Определи время прибытия автобуса в пункты Архиповка, Заозерье, Марьино и время отправления из этих пунктов.

Используем данные с графика, сопоставляя расстояние до пунктов с временем:

• Архиповка (30 км): Прибытие — 8:30 (начало горизонтального участка). Отправление — 9:00 (конец горизонтального участка).

• Заозерье (60 км): Автобус проезжает эту точку без остановки. Время проезда — 9:30. В данном случае время прибытия и отправления совпадает.

• Марьино (100 км): Прибытие — 10:00 (начало горизонтального участка). Отправление — 10:30 (конец горизонтального участка).

Ответ: Архиповка: прибытие в 8:30, отправление в 9:00. Заозерье: проезд в 9:30. Марьино: прибытие в 10:00, отправление в 10:30.

г) Можно ли по виду графика сравнить скорости движения автобуса на разных участках пути? На каком участке она была самой большой, а на каком — самой маленькой? Проверь с помощью вычислений.

Да, можно. Скорость движения на графике зависимости расстояния от времени ($s$ от $t$) соответствует углу наклона (крутизне) линии. Чем круче идет вверх линия, тем выше скорость. Визуально самый крутой участок — между Заозерьем и Марьино, а самый пологий — после Марьино.

Проверим это вычислениями по формуле $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$:

1. Костиково — Архиповка (8:00–8:30): $\Delta s = 30$ км, $\Delta t = 0.5$ ч. $v_1 = \frac{30 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$.

2. Архиповка — Заозерье (9:00–9:30): $\Delta s = 60 - 30 = 30$ км, $\Delta t = 0.5$ ч. $v_2 = \frac{30 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$.

3. Заозерье — Марьино (9:30–10:00): $\Delta s = 100 - 60 = 40$ км, $\Delta t = 0.5$ ч. $v_3 = \frac{40 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$.

4. Марьино — Новоалексеевское (10:30–11:30): $\Delta s = 140 - 100 = 40$ км, $\Delta t = 1$ ч. $v_4 = \frac{40 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 40 \text{ км/ч}$.

Вычисления подтверждают, что самая большая скорость была на участке Заозерье — Марьино, а самая маленькая — на участке Марьино — Новоалексеевское.

Ответ: Самая большая скорость (80 км/ч) была на участке Заозерье — Марьино. Самая маленькая скорость (40 км/ч) была на участке Марьино — Новоалексеевское.

д) На каком расстоянии от Костикова находился автобус в 9 ч, в 10 ч 20 мин? На каком расстоянии он находился в это же время от Новоалексеевского и от Архиповки?

В 9 ч 00 мин:

• Находим на оси времени 9:00. В этот момент автобус находится на остановке в Архиповке. Расстояние от Костикова: $s = 30$ км.

• Расстояние от Новоалексеевского (конечная точка, 140 км): $140 - 30 = 110$ км.

• Расстояние от Архиповки (точка, где он находится): 0 км.

В 10 ч 20 мин:

• Находим на оси времени 10:20. В этот момент автобус находится на остановке в Марьино. Расстояние от Костикова: $s = 100$ км.

• Расстояние от Новоалексеевского: $140 - 100 = 40$ км.

• Расстояние от Архиповки (30 км): $100 - 30 = 70$ км.

Ответ: В 9 ч автобус находился в 30 км от Костикова, в 110 км от Новоалексеевского и в 0 км от Архиповки. В 10 ч 20 мин автобус находился в 100 км от Костикова, в 40 км от Новоалексеевского и в 70 км от Архиповки.