Страница 82, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 a) Отметь на числовом луче дроби $ \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}. $

б) Сравни: $ \frac{2}{6} \quad \frac{5}{6}; \frac{3}{6} \quad \frac{1}{6}; \frac{4}{6} \quad \frac{2}{6}. $ Сделай вывод.

а)

Чтобы отметить дроби $ \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6} $ на числовом луче, нужно взять единичный отрезок (от 0 до 1) и разделить его на 6 равных частей. Знаменатель 6 показывает, что единичный отрезок разделен на 6 долей. Числитель дроби показывает, сколько таких долей нужно отсчитать от начала луча (от точки 0). Таким образом, точка $ \frac{1}{6} $ будет на первой отметке после нуля, точка $ \frac{2}{6} $ — на второй, и так далее до $ \frac{5}{6} $ на пятой отметке.

Ответ: Дроби отмечены на представленном числовом луче.

б)

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители.

Сравним $ \frac{2}{6} $ и $ \frac{5}{6} $. Так как знаменатели равны (6), а числитель $ 2 < 5 $, то $ \frac{2}{6} < \frac{5}{6} $.

Сравним $ \frac{3}{6} $ и $ \frac{1}{6} $. Так как знаменатели равны (6), а числитель $ 3 > 1 $, то $ \frac{3}{6} > \frac{1}{6} $.

Сравним $ \frac{4}{6} $ и $ \frac{2}{6} $. Так как знаменатели равны (6), а числитель $ 4 > 2 $, то $ \frac{4}{6} > \frac{2}{6} $.

Вывод: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

Ответ: $ \frac{2}{6} < \frac{5}{6} $; $ \frac{3}{6} > \frac{1}{6} $; $ \frac{4}{6} > \frac{2}{6} $. Вывод: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

2 Расшифруй названия театральных представлений, расположив дроби:

а) в порядке возрастания:

$\frac{44}{45}$, $\frac{23}{45}$, $\frac{18}{45}$, $\frac{2}{45}$, $\frac{14}{45}$, $\frac{6}{45}$, $\frac{16}{45}$, $\frac{38}{45}$

Я Д Е Т А Р Г И

б) в порядке убывания:

$\frac{59}{100}$, $\frac{14}{100}$, $\frac{36}{100}$, $\frac{53}{100}$, $\frac{3}{100}$, $\frac{87}{100}$, $\frac{76}{100}$

М И Д Е Я К О

Как можно записать дроби со знаменателем 100?

а) Чтобы расшифровать первое слово, необходимо расположить дроби в порядке возрастания. Все представленные дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 45. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше.
Расположим числители в порядке возрастания: 2, 6, 14, 16, 18, 23, 38, 44.
Теперь запишем соответствующие дроби и буквы в полученном порядке:
$ \frac{2}{45} $ → Т
$ \frac{6}{45} $ → Р
$ \frac{14}{45} $ → А
$ \frac{16}{45} $ → Г
$ \frac{18}{45} $ → Е
$ \frac{23}{45} $ → Д
$ \frac{38}{45} $ → И
$ \frac{44}{45} $ → Я
В результате получилось слово ТРАГЕДИЯ.
Ответ: ТРАГЕДИЯ

б) Для расшифровки второго слова нужно расположить дроби в порядке убывания. Все дроби имеют знаменатель 100. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Расположим числители в порядке убывания: 87, 76, 59, 53, 36, 14, 3.
Запишем соответствующие дроби и буквы в полученном порядке:
$ \frac{87}{100} $ → К
$ \frac{76}{100} $ → О
$ \frac{59}{100} $ → М
$ \frac{53}{100} $ → Е
$ \frac{36}{100} $ → Д
$ \frac{14}{100} $ → И
$ \frac{3}{100} $ → Я
В результате получилось слово КОМЕДИЯ.
Ответ: КОМЕДИЯ

Как можно записать дроби со знаменателем 100?
Дроби со знаменателем 100 имеют специальные формы записи.
1. В виде процентов. Сотая часть величины называется процентом и обозначается знаком %. Числитель дроби со знаменателем 100 показывает количество процентов. Например, дробь $ \frac{87}{100} $ можно записать как 87%.
2. В виде десятичной дроби. Для этого нужно числитель дроби записать после запятой, отделив столько знаков, сколько нулей в знаменателе. Например, дробь $ \frac{87}{100} $ записывается как 0,87, а дробь $ \frac{3}{100} $ — как 0,03.
Ответ: Дроби со знаменателем 100 можно записать в виде процентов или в виде десятичных дробей.

3 a) Сколько двенадцатых долей содержат $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$? Отметь на числовом луче дроби $\frac{2}{12}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{2}{3}$. Как изменяется дробь, если её знаменатель уменьшается?

0 1

б) Сравни: $\frac{2}{6} \Box \frac{2}{3}$; $\frac{2}{12} \Box \frac{2}{4}$; $\frac{2}{3} \Box \frac{2}{12}$. Сделай вывод.

а)

Чтобы определить, сколько двенадцатых долей содержится в каждой дроби, приведем их к общему знаменателю 12. Дробь $\frac{1}{12}$ уже содержит одну двенадцатую долю. Дробь $\frac{1}{6}$ равна $\frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$, то есть содержит две двенадцатые доли. Дробь $\frac{1}{4}$ равна $\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$, то есть содержит три двенадцатые доли. Дробь $\frac{1}{3}$ равна $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$, то есть содержит четыре двенадцатые доли.

Для того чтобы отметить дроби $\frac{2}{12}, \frac{2}{6}, \frac{2}{4}, \frac{2}{3}$ на числовом луче, разделенном на 12 частей, также приведем их к знаменателю 12. Дробь $\frac{2}{12}$ будет на втором делении от 0. Дробь $\frac{2}{6} = \frac{4}{12}$ будет на четвертом делении. Дробь $\frac{2}{4} = \frac{6}{12}$ будет на шестом делении. Дробь $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ будет на восьмом делении.

Рассматривая дроби $\frac{2}{12}, \frac{2}{6}, \frac{2}{4}, \frac{2}{3}$, можно заметить, что у них одинаковый числитель (2), а знаменатели уменьшаются (12, 6, 4, 3). При этом значение самой дроби увеличивается: $\frac{2}{12} < \frac{2}{6} < \frac{2}{4} < \frac{2}{3}$. Это означает, что если у дроби при неизменном числителе уменьшается знаменатель, то дробь увеличивается.

Ответ: Дроби $\frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ содержат 1, 2, 3 и 4 двенадцатых долей соответственно. На числовом луче дроби $\frac{2}{12}, \frac{2}{6}, \frac{2}{4}, \frac{2}{3}$ располагаются на 2-м, 4-м, 6-м и 8-м делениях от нуля. Если у дроби уменьшается знаменатель при неизменном числителе, то сама дробь увеличивается.

б)

Для сравнения дробей с одинаковыми числителями используется правило, которое мы вывели в пункте а): чем больше знаменатель, тем меньше дробь (и наоборот).

Сравним $\frac{2}{6}$ и $\frac{2}{3}$. Числители равны 2. Знаменатель 6 больше знаменателя 3, следовательно, $\frac{2}{6} < \frac{2}{3}$.

Сравним $\frac{2}{12}$ и $\frac{2}{4}$. Числители равны 2. Знаменатель 12 больше знаменателя 4, следовательно, $\frac{2}{12} < \frac{2}{4}$.

Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{12}$. Числители равны 2. Знаменатель 3 меньше знаменателя 12, следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{2}{12}$.

Вывод: Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Ответ: $\frac{2}{6} < \frac{2}{3}$; $\frac{2}{12} < \frac{2}{4}$; $\frac{2}{3} > \frac{2}{12}$. Вывод: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

2 Происходят гонки двух черепах. Скорость первой черепахи 9 дм/мин, а второй — 5 дм/мин. Как изменяется расстояние между ними и с какой скоростью?

9 дм/мин

5 дм/мин

$V_{\text{уд.}} = \_ \_ - \_ \_ = \_ \_ (\text{дм/мин})$

Для решения этой задачи нужно определить, как меняется расстояние между двумя черепахами, и найти скорость этого изменения, исходя из данных условий.

Дано:
Скорость первой черепахи: $v_1 = 9$ дм/мин
Скорость второй черепахи: $v_2 = 5$ дм/мин

В условии задачи есть противоречие: на схеме показано движение в противоположные стороны, что привело бы к увеличению расстояния со скоростью, равной сумме скоростей. Однако условие "гонки" и предложенная для заполнения формула ($v_{уд.} = \_\_\_ - \_\_\_$) предполагают движение в одном направлении, где скорость удаления равна разности скоростей. Будем решать задачу в соответствии с формулой и понятием "гонки".

Как изменяется расстояние между ними?
Поскольку черепахи участвуют в гонке (движутся в одном направлении), а скорость первой черепахи ($9$ дм/мин) больше скорости второй ($5$ дм/мин), первая черепаха будет обгонять вторую. Следовательно, расстояние между ними будет постоянно увеличиваться.

С какой скоростью?
Скорость, с которой одна черепаха удаляется от другой при движении в одном направлении, называется скоростью удаления ($v_{уд.}$). Она вычисляется как разность большей и меньшей скоростей.
$v_{уд.} = v_1 - v_2 = 9 - 5 = 4$ (дм/мин).

Ответ: Расстояние между черепахами увеличивается со скоростью 4 дм/мин.

3 Рассмотри графики движущихся объектов, время начала и конца движения, время и место их встречи, продолжительность остановок. Отражением каких событий могли бы служить данные графики?

a) s км
B $16$
C $8$
A $0$
t ч
1000
1100
1200
1300
1400

б) s км
B $16$
C $8$
A $0$
t ч
900
1000
1100
1200
1300

в) s км
B $16$
C $8$
A $0$
t ч
1200
1300
1400
1500
1600

г) s км
B $16$
D $10$
A $0$
t ч
800
900
1000
1100
1200

а)
На графике показано движение двух объектов: объекта 1 (сплошная линия) и объекта 2 (пунктирная линия).
Объект 1 начинает движение в 10:00 из пункта А (s=0 км) и прибывает в пункт B (s=16 км) в 14:00. С 10:00 до 12:00 он движется со скоростью $v_1 = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$. Затем он делает остановку в пункте С (s=8 км) с 12:00 до 12:30, продолжительностью 30 минут. После остановки он продолжает движение с 12:30 до 14:00 со скоростью $v_2 = \frac{16-8 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{8 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{16}{3} \text{ км/ч} \approx 5.33 \text{ км/ч}$.
Объект 2 начинает движение в 10:00 из пункта B (s=16 км) и прибывает в пункт А (s=0 км) в 13:00. Он движется без остановок с постоянной скоростью $v_3 = \frac{16 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = \frac{16}{3} \text{ км/ч} \approx 5.33 \text{ км/ч}$.
Объекты встречаются в пути. Время их встречи — примерно 11:43, а место встречи — на расстоянии около $s = \frac{48}{7} \approx 6.9 \text{ км}$ от пункта А.
Данный график может отражать следующее событие: пешеход вышел из пункта А в 10:00. Через 2 часа он сделал привал на 30 минут, а затем пошел дальше. Навстречу ему из пункта B в 10:00 выехал велосипедист, который двигался без остановок.
Ответ: Скорости объекта 1: 4 км/ч и $\approx 5.33$ км/ч; скорость объекта 2: $\approx 5.33$ км/ч. Объект 1 движется с 10:00 до 14:00 с остановкой на 30 минут. Объект 2 движется с 10:00 до 13:00. Встреча произошла в 11:43 на расстоянии $\approx 6.9$ км от пункта А.

б)
На графике показано движение двух объектов: объекта 1 (сплошная линия) и объекта 2 (пунктирная линия).
Объект 1 начинает движение в 9:00 из пункта А (s=0 км) и прибывает в пункт B (s=16 км) в 13:00. С 9:00 до 11:00 он движется со скоростью $v_1 = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$. Затем делает остановку на расстоянии 8 км от А с 11:00 до 11:30, продолжительностью 30 минут. После остановки продолжает движение с 11:30 до 13:00 со скоростью $v_2 = \frac{16-8 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{8 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} \approx 5.33 \text{ км/ч}$.
Объект 2 начинает движение в 11:00 из пункта B (s=16 км) и прибывает в пункт А (s=0 км) в 12:00. Он движется без остановок с постоянной скоростью $v_3 = \frac{16 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.
Объекты встречаются в 11:30 на расстоянии 8 км от пункта А, в тот момент, когда объект 1 заканчивает свою остановку.
Данный график может отражать следующее событие: пешеход вышел из пункта А в 9:00. Пройдя 8 км, он остановился на привал на 30 минут. В это время из пункта B в 11:00 выехал автомобиль, который проехал мимо отдыхающего пешехода в 11:30.
Ответ: Скорости объекта 1: 4 км/ч и $\approx 5.33$ км/ч; скорость объекта 2: 16 км/ч. Объект 1 движется с 9:00 до 13:00 с остановкой на 30 минут. Объект 2 движется с 11:00 до 12:00. Встреча произошла в 11:30 на расстоянии 8 км от пункта А.

в)
На графике показано движение двух объектов: объекта 1 (сплошная линия) и объекта 2 (пунктирная линия), движущихся в одном направлении из пункта А.
Объект 1 начинает движение в 12:00 из пункта А (s=0 км) и прибывает в пункт B (s=16 км) в 16:00. С 12:00 до 14:00 он движется со скоростью $v_1 = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$. Затем делает остановку в пункте С (s=8 км) с 14:00 до 14:30, продолжительностью 30 минут. После остановки продолжает движение с 14:30 до 16:00 со скоростью $v_2 = \frac{16-8 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{8 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} \approx 5.33 \text{ км/ч}$.
Объект 2 начинает движение в 12:30 из пункта А (s=0 км) и прибывает в пункт B (s=16 км) в 15:30. Он движется без остановок с постоянной скоростью $v_3 = \frac{16 \text{ км}}{3 \text{ ч}} \approx 5.33 \text{ км/ч}$.
Объект 2 догоняет и обгоняет объект 1 в 14:00 в пункте С (на расстоянии 8 км от А), как раз когда объект 1 останавливается на отдых.
Данный график может отражать следующее событие: из пункта А в 12:00 вышел пешеход. Через 30 минут вслед за ним выехал велосипедист. Велосипедист догнал пешехода в 14:00, когда тот остановился на отдых, и поехал дальше без остановки.
Ответ: Скорости объекта 1: 4 км/ч и $\approx 5.33$ км/ч; скорость объекта 2: $\approx 5.33$ км/ч. Объект 1 движется с 12:00 до 16:00 с остановкой на 30 минут. Объект 2 движется с 12:30 до 15:30. Встреча (обгон) произошла в 14:00 на расстоянии 8 км от пункта А.

г)
На графике показано движение двух объектов: объекта 1 (сплошная линия) и объекта 2 (пунктирная линия).
Объект 1 начинает движение в 8:00 из пункта А (s=0 км) и прибывает в пункт B (s=16 км) в 12:15. С 8:00 до 9:45 он движется со скоростью $v_1 = \frac{10 \text{ км}}{1.75 \text{ ч}} = \frac{40}{7} \text{ км/ч} \approx 5.71 \text{ км/ч}$. Затем делает остановку в пункте D (s=10 км) с 9:45 до 11:15, продолжительностью 1 час 30 минут. После остановки продолжает движение с 11:15 до 12:15 со скоростью $v_2 = \frac{16-10 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 6 \text{ км/ч}$.
Объект 2 начинает движение в 9:45 из пункта B (s=16 км) и прибывает в пункт А (s=0 км) в 12:15. С 9:45 до 10:30 он движется со скоростью $v_3 = \frac{16-10 \text{ км}}{0.75 \text{ ч}} = 8 \text{ км/ч}$. Затем делает остановку в пункте D (s=10 км) с 10:30 до 11:15, продолжительностью 45 минут. После остановки движется с 11:15 до 12:15 со скоростью $v_4 = \frac{10 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.
Объекты встречаются в пункте D (на расстоянии 10 км от А). Они находятся там вместе в промежутке времени с 10:30 до 11:15, то есть в течение 45 минут.
Данный график может отражать следующее событие: два друга договорились встретиться в пункте D. Первый выехал из А в 8:00, второй — из B в 9:45. Они встретились в D, провели там вместе 45 минут (с 10:30 до 11:15), а затем разъехались: первый поехал в B, а второй — в А.
Ответ: Скорости объекта 1: $\approx 5.71$ км/ч и 6 км/ч; скорости объекта 2: 8 км/ч и 10 км/ч. Объект 1 движется с 8:00 до 12:15 с остановкой на 1.5 часа. Объект 2 движется с 9:45 до 12:15 с остановкой на 45 минут. Встреча произошла в пункте D (10 км от А), где они находились вместе с 10:30 до 11:15.