Страница 89, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 а) Заяц живёт 6 лет, что составляет $\frac{2}{5}$ продолжительности жизни волка. Какова продолжительность жизни волка?

1 — ? лет

б) Бурый медведь весит около 200 кг, что составляет 40% массы белого медведя. Чему равна масса белого медведя?

100% — ? кг

а) Согласно условию, 6 лет жизни зайца — это $\frac{2}{5}$ от продолжительности жизни волка. Чтобы найти целое значение (продолжительность жизни волка) по его части (6 лет), нужно эту часть разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{2}{5}$).

Выполним вычисление:

$6 \div \frac{2}{5} = 6 \times \frac{5}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$ лет.

Также можно решить задачу по действиям:

1. Найдём, сколько лет составляет $\frac{1}{5}$ жизни волка: $6 \div 2 = 3$ года.

2. Найдём полную продолжительность жизни ($\frac{5}{5}$): $3 \times 5 = 15$ лет.

Ответ: 15 лет.

б) По условию, масса бурого медведя (200 кг) — это 40% от массы белого медведя. Чтобы найти полную массу белого медведя (100%), нужно найти целое по его процентной части.

Для этого можно сначала найти, сколько килограммов составляет 1%:

1. $200 \div 40 = 5$ кг (масса, соответствующая 1%).

Теперь найдём 100%, умножив значение 1% на 100:

2. $5 \times 100 = 500$ кг.

Другой способ — это перевести проценты в десятичную дробь ($40\% = 0.4$) и разделить известную массу на это число:

$200 \div 0.4 = 500$ кг.

Ответ: 500 кг.

4. Найди число:

а) $ \frac{5}{6} $ которого равны 25;

б) $ \frac{2}{3} $ которого равны 120;

в) $ 7\% $ которого равны 56;

г) $ 4\% $ которого равны 200.

а) Чтобы найти целое число по его части, выраженной дробью, необходимо значение этой части разделить на саму дробь. В данном случае, нам известно, что $\frac{5}{6}$ от искомого числа равны 25.
Выполним деление:
$25 \div \frac{5}{6} = 25 \cdot \frac{6}{5} = \frac{25 \cdot 6}{5} = 5 \cdot 6 = 30$.
Искомое число равно 30.
Ответ: 30

б) Аналогично предыдущему пункту, нам известно, что $\frac{2}{3}$ от искомого числа равны 120. Чтобы найти целое число, разделим 120 на $\frac{2}{3}$.
Выполним деление:
$120 \div \frac{2}{3} = 120 \cdot \frac{3}{2} = \frac{120 \cdot 3}{2} = 60 \cdot 3 = 180$.
Искомое число равно 180.
Ответ: 180

в) Чтобы найти число по его проценту, сначала нужно перевести проценты в дробь. Один процент — это одна сотая часть, поэтому $7\% = \frac{7}{100}$.
Теперь задача сводится к нахождению числа, $\frac{7}{100}$ которого равны 56. Для этого разделим 56 на полученную дробь.
$56 \div \frac{7}{100} = 56 \cdot \frac{100}{7} = \frac{56 \cdot 100}{7} = 8 \cdot 100 = 800$.
Искомое число равно 800.
Ответ: 800

г) Действуем так же, как и в предыдущем пункте. Сначала представим проценты в виде дроби: $4\% = \frac{4}{100}$.
Теперь найдём целое число, зная, что $\frac{4}{100}$ от него равны 200. Для этого разделим 200 на дробь $\frac{4}{100}$.
$200 \div \frac{4}{100} = 200 \cdot \frac{100}{4} = \frac{200 \cdot 100}{4} = 50 \cdot 100 = 5000$.
Искомое число равно 5000.
Ответ: 5000

5. В городе 75 000 жителей. Дети составляют 24% всех его жителей. Сколько детей живёт в этом городе?

Чтобы найти количество детей в городе, необходимо вычислить 24% от общего числа жителей. Общее число жителей составляет 75 000 человек.

Существует несколько способов решения этой задачи.

Способ 1: Через десятичную дробь
Сначала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить число процентов на 100.
$24\% = \frac{24}{100} = 0.24$
Теперь умножим общее количество жителей на полученную десятичную дробь.
$75000 \cdot 0.24 = 18000$
Таким образом, в городе живёт 18 000 детей.

Способ 2: Через пропорцию
Примем общее число жителей за 100%. Тогда количество детей, которое нам нужно найти (обозначим его за $x$), составит 24%. Составим пропорцию:
75 000 жителей — 100%
$x$ детей — 24%
Теперь решим эту пропорцию:
$\frac{75000}{x} = \frac{100}{24}$
Выразим $x$:
$x = \frac{75000 \cdot 24}{100}$
Сократим нули в числителе и знаменателе:
$x = 750 \cdot 24 = 18000$
Следовательно, в городе 18 000 детей.

Ответ: 18 000 детей.

6 Велогонщики проехали в первый день соревнований 130 км, что составляет 26% всего пути. Сколько километров им ещё осталось преодолеть?

проехали осталось

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1. Через нахождение общего расстояния

1. Сначала найдём общую длину всего пути. Известно, что 130 км составляют 26% от всего пути. Чтобы найти целое (100%) по его части, нужно сначала узнать, сколько километров приходится на 1%.

$130 \div 26 = 5$ км.

Таким образом, 1% пути равен 5 км.

2. Теперь, зная значение 1%, найдём общую длину пути (100%).

$5 \cdot 100 = 500$ км.

Общее расстояние, которое должны проехать велогонщики, составляет 500 км.

3. Найдём оставшееся расстояние. Для этого вычтем из общего расстояния то, что уже проехали.

$500 - 130 = 370$ км.

Ответ: 370 км.

Способ 2. Через нахождение оставшегося процента

1. Сначала определим, какая часть пути в процентах осталась. Весь путь — это 100%. Проехали 26%, следовательно, осталось:

$100\% - 26\% = 74\%$.

2. Теперь нам нужно найти, сколько километров составляют эти 74%. Мы знаем, что 26% — это 130 км. Найдём, сколько километров приходится на 1% пути.

$130 \div 26 = 5$ км.

3. Теперь умножим количество километров в одном проценте на оставшийся процент пути.

$5 \cdot 74 = 370$ км.

Ответ: 370 км.

7 Сравни части величин:

$ \frac{5}{9} \Box \frac{7}{9} $; $ \frac{3}{8} \Box \frac{3}{11} $; $ \frac{14}{17} \Box \frac{8}{17} $; $ 5\% \Box \frac{6}{100} $;

$ \frac{6}{13} \Box \frac{6}{8} $; $ \frac{4}{31} \Box \frac{12}{31} $. $ \frac{15}{42} \Box \frac{15}{47} $, $ 7\% \Box \frac{7}{29} $.

$\frac{5}{9} \square \frac{7}{9}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше.
Здесь знаменатели равны 9. Сравниваем числители: $5 < 7$.
Следовательно, $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$

$\frac{3}{8} \square \frac{3}{11}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше.
Здесь числители равны 3. Сравниваем знаменатели: $8 < 11$.
Следовательно, $\frac{3}{8} > \frac{3}{11}$.
Ответ: $\frac{3}{8} > \frac{3}{11}$

$\frac{14}{17} \square \frac{8}{17}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше.
Здесь знаменатели равны 17. Сравниваем числители: $14 > 8$.
Следовательно, $\frac{14}{17} > \frac{8}{17}$.
Ответ: $\frac{14}{17} > \frac{8}{17}$

$5\% \square \frac{6}{100}$
Сначала представим проценты в виде обыкновенной дроби. Один процент ($1\%$) — это одна сотая часть, то есть $\frac{1}{100}$.
Следовательно, $5\% = \frac{5}{100}$.
Теперь сравним дроби $\frac{5}{100}$ и $\frac{6}{100}$. У них одинаковые знаменатели, поэтому сравниваем числители: $5 < 6$.
Значит, $\frac{5}{100} < \frac{6}{100}$, и поэтому $5\% < \frac{6}{100}$.
Ответ: $5\% < \frac{6}{100}$

$\frac{6}{13} \square \frac{6}{8}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше.
Здесь числители равны 6. Сравниваем знаменатели: $13 > 8$.
Следовательно, $\frac{6}{13} < \frac{6}{8}$.
Ответ: $\frac{6}{13} < \frac{6}{8}$

$\frac{4}{31} \square \frac{12}{31}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше.
Здесь знаменатели равны 31. Сравниваем числители: $4 < 12$.
Следовательно, $\frac{4}{31} < \frac{12}{31}$.
Ответ: $\frac{4}{31} < \frac{12}{31}$

$\frac{15}{42} \square \frac{15}{47}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше.
Здесь числители равны 15. Сравниваем знаменатели: $42 < 47$.
Следовательно, $\frac{15}{42} > \frac{15}{47}$.
Ответ: $\frac{15}{42} > \frac{15}{47}$

$7\% \square \frac{7}{29}$
Представим проценты в виде обыкновенной дроби: $7\% = \frac{7}{100}$.
Теперь сравним дроби $\frac{7}{100}$ и $\frac{7}{29}$. У них одинаковые числители. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше.
Сравниваем знаменатели: $100 > 29$.
Следовательно, $\frac{7}{100} < \frac{7}{29}$, и поэтому $7\% < \frac{7}{29}$.
Ответ: $7\% < \frac{7}{29}$

8 Нарисуй числовой луч с единичным отрезком, равным 14 клеточкам. Отметь на нем дроби $ \frac{11}{14}, \frac{2}{14}, \frac{5}{14}, \frac{7}{14}, \frac{10}{14}, \frac{1}{7}, \frac{5}{7}, \frac{1}{2}. $ Найди среди них равные дроби. Придумай свои примеры равных дробей.

Построение числового луча и отметка дробей

Сначала нарисуем числовой луч с началом в точке 0. Согласно условию, единичный отрезок равен 14 клеточкам, поэтому отметим точку 1 на расстоянии 14 клеточек от 0. Каждая клеточка на этом отрезке представляет собой $\frac{1}{14}$ единицы.

Чтобы отметить дроби со знаменателем 14, отсчитываем от 0 количество клеточек, равное числителю:

• Дробь $\frac{2}{14}$ — отсчитываем 2 клеточки от 0.
• Дробь $\frac{5}{14}$ — отсчитываем 5 клеточек от 0.
• Дробь $\frac{7}{14}$ — отсчитываем 7 клеточек от 0.
• Дробь $\frac{10}{14}$ — отсчитываем 10 клеточек от 0.
• Дробь $\frac{11}{14}$ — отсчитываем 11 клеточек от 0.

Для того чтобы отметить дроби $\frac{1}{7}$, $\frac{5}{7}$ и $\frac{1}{2}$, приведем их к общему знаменателю 14:

• $\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{2}{14}$. Эта дробь будет находиться в той же точке, что и $\frac{2}{14}$, то есть на 2-й клеточке.
• $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14}$. Эта дробь будет находиться в той же точке, что и $\frac{10}{14}$, то есть на 10-й клеточке.
• $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14}$. Эта дробь будет находиться в той же точке, что и $\frac{7}{14}$, то есть на 7-й клеточке.

Ответ: На числовом луче отмечены точки, соответствующие дробям $\frac{2}{14}$ (совпадает с $\frac{1}{7}$), $\frac{5}{14}$, $\frac{7}{14}$ (совпадает с $\frac{1}{2}$), $\frac{10}{14}$ (совпадает с $\frac{5}{7}$) и $\frac{11}{14}$.

Нахождение равных дробей

Приведя все дроби к общему знаменателю и отметив их на числовом луче, мы видим, что некоторые точки совпадают. Это означает, что соответствующие им дроби равны. Мы нашли следующие пары (и тройки) равных дробей:

• $\frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
• $\frac{10}{14} = \frac{5}{7}$
• $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Ответ: Равными являются дроби: $\frac{2}{14} = \frac{1}{7}$; $\frac{10}{14} = \frac{5}{7}$; $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.

Придумай свои примеры равных дробей

Чтобы получить дробь, равную данной, можно использовать основное свойство дроби: умножить или разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Вот несколько примеров:

• Возьмем дробь $\frac{1}{3}$ и умножим ее числитель и знаменатель на 4. Получим: $\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$. Таким образом, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$.
• Возьмем дробь $\frac{8}{10}$ и разделим ее числитель и знаменатель на 2. Получим: $\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$. Таким образом, $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
• Возьмем дробь $\frac{3}{5}$ и умножим ее числитель и знаменатель на 10. Получим: $\frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{30}{50}$. Таким образом, $\frac{3}{5} = \frac{30}{50}$.

Ответ: Примеры равных дробей: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$; $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$; $\frac{3}{5} = \frac{30}{50}$.

1 a) Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 20 км/ч, а мотоциклиста — 40 км/ч. Как изменяется расстояние $d$ между ними? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч? Когда произойдёт встреча? Закончи рисунок, обозначив место встречи флажком. Заполни таблицу и запиши формулу зависимости расстояния $d$ от времени движения $t$.

20 км/ч

40 км/ч

$s = d_0$

$d_1$

$d_2$

$d_3$

$v_{\text{сбл.}} = \dots + \dots = \dots$ (км/ч)

$d = $

б) Как можно найти время до встречи без построений, а с помощью только лишь вычислений?

в) Запиши формулу зависимости между величинами $s$, $v_1$, $v_2$ и $t_{\text{встр.}}$ при встречном движении, где:

$s$ — первоначальное расстояние;

$v_1$ и $v_2$ — скорости объектов;

$t_{\text{встр.}}$ — время до встречи.

При движении навстречу друг другу расстояние между велосипедистом и мотоциклистом сокращается. Скорость их сближения ($v_{сбл.}$) равна сумме их скоростей:

$v_{сбл.} = v_{велосипедиста} + v_{мотоциклиста} = 20 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 60 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними уменьшается на 60 км. Расстояние $d$ между ними в любой момент времени $t$ можно найти по формуле: $d = s_0 - v_{сбл.} \cdot t$, где $s_0=300$ км — начальное расстояние.

Рассчитаем расстояние $d$ в заданные моменты времени:

Через 1 час: $d_1 = 300 - 60 \cdot 1 = 240$ км.

Через 2 часа: $d_2 = 300 - 60 \cdot 2 = 180$ км.

Через 3 часа: $d_3 = 300 - 60 \cdot 3 = 120$ км.

Через 4 часа: $d_4 = 300 - 60 \cdot 4 = 60$ км.

Встреча произойдет, когда расстояние между ними станет равным нулю ($d=0$). Найдем время до встречи ($t_{встр}$):

$300 - 60 \cdot t_{встр} = 0$

$60 \cdot t_{встр} = 300$

$t_{встр} = \frac{300}{60} = 5$ часов.

За 5 часов велосипедист проедет от пункта А расстояние: $s_{вел.} = 20 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 100$ км. Следовательно, место встречи нужно обозначить флажком на отметке 100 км на рисунке.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Заполним пропуски в задании:

$v_{сбл.} = 20 + 40 = 60$ (км/ч)

Формула зависимости расстояния $d$ от времени движения $t$:

$d = 300 - 60t$

Ответ: Расстояние между ними изменяется по закону $d = 300 - 60t$. Через 1 ч оно будет 240 км, через 2 ч — 180 км, через 3 ч — 120 км, через 4 ч — 60 км. Встреча произойдёт через 5 часов на расстоянии 100 км от пункта А. Таблица и формулы заполнены выше.

Чтобы найти время до встречи с помощью только вычислений, необходимо разделить начальное расстояние между объектами ($s$) на их скорость сближения ($v_{сбл.}$). Скорость сближения при движении навстречу друг другу равна сумме скоростей объектов.

1. Находим скорость сближения: $v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 20 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 60 \text{ км/ч}$.

2. Находим время до встречи: $t_{встр} = \frac{s}{v_{сбл.}} = \frac{300 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 5$ часов.

Ответ: Нужно начальное расстояние разделить на сумму скоростей (скорость сближения): $t_{встр} = \frac{s}{v_1 + v_2} = \frac{300}{20 + 40} = 5$ ч.

При встречном движении общее расстояние $s$, которое проезжают оба объекта до момента встречи, равно сумме расстояний, пройденных каждым из них. Если время до встречи равно $t_{встр}$, то первый объект со скоростью $v_1$ проедет расстояние $s_1 = v_1 \cdot t_{встр}$, а второй со скоростью $v_2$ — $s_2 = v_2 \cdot t_{встр}$. Так как вместе они преодолели всё начальное расстояние, то:

$s = s_1 + s_2$

Подставив выражения для $s_1$ и $s_2$, получим:

$s = v_1 \cdot t_{встр} + v_2 \cdot t_{встр}$

Вынося общий множитель $t_{встр}$ за скобки, получаем итоговую формулу зависимости между величинами:

$s = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

Ответ: $s = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$.

27 Во время выборов в городе за одного из трёх кандидатов проголосовало 34 026 избирателей, за второго — на 5847 больше, чем за первого, а за третьего — на 2685 меньше, чем за второго. Сколько человек проголосовало за каждого из трёх кандидатов? Сколько человек не пришло на избирательные участки, если всего в городе по спискам 206 315 избирателей, а испорченных бюллетеней не было?

Сколько человек проголосовало за каждого из трёх кандидатов?

По условию, за первого кандидата проголосовало 34 026 избирателей.

Найдем количество голосов за второго кандидата, который получил на 5847 голосов больше, чем первый:
$34026 + 5847 = 39873$ (избирателя).

Теперь найдем количество голосов за третьего кандидата, который получил на 2685 голосов меньше, чем второй:
$39873 - 2685 = 37188$ (избирателей).

Ответ: за первого кандидата проголосовало 34 026 человек, за второго — 39 873 человека, за третьего — 37 188 человек.

Сколько человек не пришло на избирательные участки?

Сначала найдем общее количество избирателей, принявших участие в выборах. Для этого сложим голоса за всех трёх кандидатов:
$34026 + 39873 + 37188 = 111087$ (избирателей) — всего проголосовало.

Далее, чтобы найти, сколько человек не пришло на выборы, вычтем общее число проголосовавших из общего числа избирателей в городе (206 315):
$206315 - 111087 = 95228$ (человек).

Ответ: на избирательные участки не пришло 95 228 человек.

28 На овощной базе было 2350 ц капусты. В первый день с базы вывезли 384 ц капусты, что на 46 ц меньше, чем вывезли во второй день. В третий день капусты вывезли на 278 ц меньше, чем в первые два дня вместе. Сколько капусты ещё осталось на базе?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий.

1. Узнаем, сколько капусты вывезли во второй день.
По условию, в первый день вывезли 384 ц капусты, что на 46 ц меньше, чем во второй день. Это значит, что во второй день вывезли на 46 ц больше.
$384 + 46 = 430$ (ц)
Ответ: во второй день вывезли 430 ц капусты.

2. Узнаем, сколько капусты вывезли за первые два дня вместе.
Для этого сложим количество капусты, вывезенное в первый и во второй дни.
$384 + 430 = 814$ (ц)
Ответ: за первые два дня вывезли 814 ц капусты.

3. Узнаем, сколько капусты вывезли в третий день.
В третий день вывезли на 278 ц меньше, чем за первые два дня вместе.
$814 - 278 = 536$ (ц)
Ответ: в третий день вывезли 536 ц капусты.

4. Найдем, сколько всего капусты вывезли за три дня.
Сложим количество капусты, вывезенное за каждый из трех дней (или к сумме за два дня прибавим количество за третий).
$814 + 536 = 1350$ (ц)
Ответ: всего за три дня вывезли 1350 ц капусты.

5. Определим, сколько капусты осталось на базе.
Из первоначального количества капусты на базе вычтем общее количество вывезенной капусты.
$2350 - 1350 = 1000$ (ц)
Ответ: на базе осталось 1000 ц капусты.

29 Как изменяются сумма и разность при увеличении и уменьшении их компонентов? Сравни выражения:

$a + 39$ $a + 90$;

$c - 75$ $c - 57$;

$66 - k$ $222 - k$;

$46 + b$ $b + 46$;

$84 - d$ $54 - d$;

$n - 499$ $n - 500$.

Для того чтобы сравнить выражения, необходимо понимать, как изменяются сумма и разность при изменении их компонентов.

Изменение суммы:
Сумма — это результат сложения. Компоненты сложения называются слагаемыми.

• Если одно из слагаемых увеличить, то и сумма увеличится.
• Если одно из слагаемых уменьшить, то и сумма уменьшится.

Изменение разности:
Разность — это результат вычитания. Компоненты вычитания: уменьшаемое (из чего вычитают) и вычитаемое (что вычитают).

• Если увеличить уменьшаемое, то разность увеличится.
• Если уменьшить уменьшаемое, то разность уменьшится.
• Если увеличить вычитаемое, то разность уменьшится (так как отнимается большее значение).
• Если уменьшить вычитаемое, то разность увеличится (так как отнимается меньшее значение).

Используя эти правила, сравним выражения:

a + 39 ☐ a + 90;

В этих суммах первые слагаемые ($a$) одинаковы. Сравниваем вторые слагаемые: $39 < 90$. Поскольку второе слагаемое в правом выражении больше, то и вся сумма справа будет больше.

Ответ: $a + 39 < a + 90$

c - 75 ☐ c - 57;

В этих разностях уменьшаемые ($c$) одинаковы. Сравниваем вычитаемые: $75 > 57$. Чем больше мы вычитаем, тем меньший результат получаем. Так как в левом выражении вычитаемое больше, то разность будет меньше.

Ответ: $c - 75 < c - 57$

66 - k ☐ 222 - k;

В этих разностях вычитаемые ($k$) одинаковы. Сравниваем уменьшаемые: $66 < 222$. Чем меньше уменьшаемое, тем меньше будет и разность. Следовательно, левое выражение меньше правого.

Ответ: $66 - k < 222 - k$

46 + b ☐ b + 46;

Это пример переместительного свойства сложения, которое гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Ответ: $46 + b = b + 46$

84 - d ☐ 54 - d;

Здесь вычитаемые ($d$) одинаковы, а уменьшаемые разные: $84 > 54$. Так как уменьшаемое в левом выражении больше, то и разность будет больше.

Ответ: $84 - d > 54 - d$

n - 499 ☐ n - 500.

В этих выражениях уменьшаемые ($n$) одинаковы. Сравниваем вычитаемые: $499 < 500$. Чем меньше вычитаемое, тем больше будет разность. Так как в левом выражении вычитаемое меньше, то результат будет больше.

Ответ: $n - 499 > n - 500$

30 Сделай оценку значения выражения:

а) $824 + 249$;

б) $627 + 982$;

в) $743 - 518$;

г) $906 - 367$;

д) $2637 + 5575$;

е) $8351 - 4786$.

Оценка значения выражения — это нахождение его приблизительного значения, как правило, с помощью округления чисел до удобного разряда (например, до десятков, сотен или тысяч) для упрощения вычислений.

а) 824 + 249

Для оценки значения этого выражения округлим каждое слагаемое до ближайшего сотенного значения. Число 824 округляется до 800, а число 249 — до 200.

Теперь сложим полученные округленные числа:

$800 + 200 = 1000$

Следовательно, значение выражения примерно равно 1000.

Ответ: $824 + 249 \approx 1000$.

б) 627 + 982

Округлим каждое слагаемое до сотен. Число 627 округляется до 600, а число 982 — до 1000.

Сложим округленные значения:

$600 + 1000 = 1600$

Таким образом, приблизительное значение суммы составляет 1600.

Ответ: $627 + 982 \approx 1600$.

в) 743 – 518

Округлим уменьшаемое и вычитаемое до ближайших сотен. 743 округляется до 700, а 518 — до 500.

Найдем разность округленных чисел:

$700 - 500 = 200$

Приблизительное значение разности равно 200.

Ответ: $743 - 518 \approx 200$.

г) 906 – 367

Округлим числа до сотен. 906 округляется до 900, а 367 — до 400.

Выполним вычитание с округленными числами:

$900 - 400 = 500$

Оценочное значение выражения составляет 500.

Ответ: $906 - 367 \approx 500$.

д) 2637 + 5575

Для более точной оценки округлим числа до сотен. 2637 округляется до 2600, а 5575 — до 5600.

Сложим полученные значения:

$2600 + 5600 = 8200$

Приблизительное значение суммы равно 8200.

Ответ: $2637 + 5575 \approx 8200$.

е) 8351 – 4786

Округлим уменьшаемое и вычитаемое до ближайших сотен для получения более точной оценки. 8351 округляется до 8400, а 4786 — до 4800.

Вычислим разность округленных чисел:

$8400 - 4800 = 3600$

Таким образом, значение выражения примерно равно 3600.

Ответ: $8351 - 4786 \approx 3600$.

31 Не выполняя вычислений, объясни, почему действие выполнено неверно:

а) $483 + 315 = 598$;

б) $914 - 639 = 873$;

в) $5354 + 5623 = 10971$;

г) $7384 - 2548 = 1836$.

а) Вычисление неверно. Можно выполнить прикидку, сложив сотни слагаемых: $400 + 300 = 700$. Так как $483 > 400$ и $315 > 300$, их сумма очевидно должна быть больше 700. Представленный результат 598 меньше 700, что является ошибкой.
Ответ: Сумма $483+315$ должна быть больше 700, а результат 598 меньше 700.

б) Вычисление неверно. Чтобы определить последнюю цифру разности, нужно посмотреть на последние цифры уменьшаемого (4) и вычитаемого (9). Поскольку 4 меньше 9, необходимо "занять" десяток у старшего разряда, и тогда вычисление для последней цифры будет $14 - 9 = 5$. Следовательно, результат должен оканчиваться на 5, а не на 3.
Ответ: Последняя цифра разности должна быть 5 ($14-9=5$), а не 3.

в) Вычисление неверно. Последняя цифра суммы должна быть равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых. В данном случае это $4 + 3 = 7$. Результат должен оканчиваться на 7. В примере же результат 10 971 оканчивается на 1.
Ответ: Последняя цифра суммы должна быть 7 ($4+3=7$), а не 1.

г) Вычисление неверно. Можно сделать оценку результата, округлив числа. $7384$ близко к 7400, а $2548$ близко к 2500. Разность должна быть примерно $7400 - 2500 = 4900$. Также можно посмотреть на разряд тысяч: из 7 тысяч вычитается 2 тысячи. Так как $384 < 548$, для вычитания потребуется заём из разряда тысяч. Это значит, что в итоговом разряде тысяч должна быть цифра $7 - 2 - 1 = 4$. Результат должен быть в пределах от 4000 до 5000. Полученный ответ 1836 является слишком маленьким.
Ответ: Разность $7384-2548$ должна быть значительно больше, примерно 4800, а результат 1836 слишком мал.

32 На координатном луче обозначь деления шкалы числами удобным способом и построй точки:

a) A (1), B (6), C (9), D ($4\frac{1}{2}$), E ($11\frac{1}{2}$).

0

б) A (4), B (16), C (20), D (28), E (42).

0

а) Даны точки $A(1)$, $B(6)$, $C(9)$, $D(4\frac{1}{2})$, $E(11\frac{1}{2})$.

Для построения точек на координатном луче выберем удобный масштаб. Координаты точек невелики, а также содержат дроби со знаменателем 2. Наибольшая координата — $11\frac{1}{2}$. Это позволяет нам выбрать в качестве единичного отрезка расстояние между двумя соседними делениями на предложенной шкале. Таким образом, цена одного деления будет равна 1.

Отметим деления на луче числами $0, 1, 2, 3, \ldots$ и построим точки:

• Точка $A(1)$ располагается на делении с отметкой 1.
• Точка $B(6)$ располагается на делении с отметкой 6.
• Точка $C(9)$ располагается на делении с отметкой 9.
• Точка $D(4\frac{1}{2})$ или $D(4.5)$ располагается ровно посередине между делениями 4 и 5.
• Точка $E(11\frac{1}{2})$ или $E(11.5)$ располагается ровно посередине между делениями 11 и 12.

Ответ:

б) Даны точки $A(4)$, $B(16)$, $C(20)$, $D(28)$, $E(42)$.

Координаты точек в этом задании — $4, 16, 20, 28, 42$. Наибольшая координата равна 42. Использование единичного отрезка, равного 1, неудобно, так как потребуется слишком длинный луч. Заметим, что все координаты кратны 2, а большинство — 4. Выберем в качестве цены одного деления шкалы число 4. Это позволит компактно разместить все точки.

Деления на луче будут соответствовать числам $0, 4, 8, 12, 16, \ldots$. Теперь определим положение каждой точки на этой шкале:

• Точка $A(4)$ соответствует первому делению, так как $4 \div 4 = 1$.
• Точка $B(16)$ соответствует четвертому делению, так как $16 \div 4 = 4$.
• Точка $C(20)$ соответствует пятому делению, так как $20 \div 4 = 5$.
• Точка $D(28)$ соответствует седьмому делению, так как $28 \div 4 = 7$.
• Для точки $E(42)$ найдем ее положение: $42 \div 4 = 10.5$. Это означает, что точка $E$ находится посередине между 10-м и 11-м делениями (которые соответствуют координатам $10 \times 4 = 40$ и $11 \times 4 = 44$).

Ответ:

33 На сколько единиц и в какую сторону надо сместиться по координатной прямой, чтобы из точки $A(16)$ попасть в точку с координатой:

а) 14;

б) 22;

в) 6;

г) 21;

д) 0;

е) 16?

Чтобы определить, на сколько единиц и в какую сторону нужно сместиться по координатной прямой от начальной точки A(16) до конечной точки, необходимо найти разность их координат. Если результат положительный, смещение происходит вправо (в сторону увеличения значений). Если результат отрицательный — влево (в сторону уменьшения значений). Абсолютное значение (модуль) результата показывает, на сколько единиц нужно сместиться.

а)

Начальная координата — 16, конечная — 14.

Найдем разность между конечной и начальной координатами: $14 - 16 = -2$.

Так как результат отрицательный, смещаться нужно влево.

Величина смещения равна модулю разности: $|-2| = 2$.

Ответ: на 2 единицы влево.

б)

Начальная координата — 16, конечная — 22.

Найдем разность между конечной и начальной координатами: $22 - 16 = 6$.

Так как результат положительный, смещаться нужно вправо.

Величина смещения равна 6.

Ответ: на 6 единиц вправо.

в)

Начальная координата — 16, конечная — 6.

Найдем разность между конечной и начальной координатами: $6 - 16 = -10$.

Так как результат отрицательный, смещаться нужно влево.

Величина смещения равна модулю разности: $|-10| = 10$.

Ответ: на 10 единиц влево.

г)

Начальная координата — 16, конечная — 21.

Найдем разность между конечной и начальной координатами: $21 - 16 = 5$.

Так как результат положительный, смещаться нужно вправо.

Величина смещения равна 5.

Ответ: на 5 единиц вправо.

д)

Начальная координата — 16, конечная — 0.

Найдем разность между конечной и начальной координатами: $0 - 16 = -16$.

Так как результат отрицательный, смещаться нужно влево.

Величина смещения равна модулю разности: $|-16| = 16$.

Ответ: на 16 единиц влево.

е)

Начальная координата — 16, конечная — 16.

Найдем разность между конечной и начальной координатами: $16 - 16 = 0$.

Результат равен нулю, это означает, что начальная и конечная точки совпадают.

Величина смещения равна 0.

Ответ: на 0 единиц, то есть остаться на месте.