Страница 87, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

9 Запиши формулу работы и заполни таблицу:

$A = v \cdot t$

A v t

48 стр. ? стр./ч 6 ч

? штук 18 шт./мин 20 мин

100 плащей 25 пл./день ? дней

Формула работы связывает три величины: общий объем выполненной работы (A), производительность (скорость выполнения работы, v) и время (t).

Основная формула работы выглядит так:

$A = v \cdot t$

Из этой формулы можно выразить производительность и время:

• Формула для нахождения производительности: $v = A / t$
• Формула для нахождения времени: $t = A / v$

Используя эти формулы, заполним пустые ячейки в таблице.

v (стр./ч)

В первой строке таблицы нам нужно найти производительность (v). Известно, что общий объем работы $A = 48$ страниц, а время выполнения $t = 6$ часов. Воспользуемся формулой для нахождения производительности:

$v = A / t$

Подставим известные значения:

$v = 48 \text{ стр.} / 6 \text{ ч} = 8 \text{ стр./ч}$

Ответ: 8 стр./ч

A (штук)

Во второй строке необходимо найти общий объем работы (A). Нам известна производительность $v = 18$ штук в минуту и время $t = 20$ минут. Применим основную формулу работы:

$A = v \cdot t$

Подставим известные значения:

$A = 18 \text{ шт./мин} \cdot 20 \text{ мин} = 360 \text{ штук}$

Ответ: 360 штук

t (дней)

В третьей строке требуется найти время (t), затраченное на работу. Известно, что объем работы $A = 100$ плащей, а производительность $v = 25$ плащей в день. Используем формулу для нахождения времени:

$t = A / v$

Подставим известные значения:

$t = 100 \text{ плащей} / 25 \text{ пл./день} = 4 \text{ дня}$

Ответ: 4 дня

Итоговая заполненная таблица:

10 Первый автомат в минуту закрывает 40 банок, а второй автомат — на 5 банок больше. Сколько банок закроют автоматы за $\frac{3}{4}$ часа при их одновременном включении?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить производительность второго автомата
Производительность первого автомата составляет 40 банок в минуту. Второй автомат закрывает на 5 банок больше.
$40 + 5 = 45$ (банок в минуту) – производительность второго автомата.

2. Найти общую производительность двух автоматов
Чтобы узнать, сколько банок автоматы закрывают вместе за одну минуту, нужно сложить их производительности.
$40 + 45 = 85$ (банок в минуту) – общая производительность.

3. Перевести время работы в минуты
Автоматы работают $\frac{3}{4}$ часа. В одном часе 60 минут.
$\frac{3}{4} \times 60 = \frac{3 \times 60}{4} = 3 \times 15 = 45$ (минут) – время работы автоматов.

4. Рассчитать общее количество закрытых банок
Чтобы найти итоговое количество банок, нужно общую производительность умножить на время работы.
$85 \times 45 = 3825$ (банок).

Ответ: 3825 банок.

11 Реши уравнения:

а) $800 - (90 \cdot x + 17) = 423;$

б) $240 : (y : 15) - 18 = 42.$

а) Решим уравнение $800 - (90 \cdot x + 17) = 423$.

Сначала найдем неизвестное вычитаемое, которое представлено выражением в скобках. Для этого из уменьшаемого вычтем разность:

$90 \cdot x + 17 = 800 - 423$

$90 \cdot x + 17 = 377$

Теперь в полученном уравнении найдем неизвестное слагаемое $90 \cdot x$. Для этого из суммы вычтем известное слагаемое:

$90 \cdot x = 377 - 17$

$90 \cdot x = 360$

Наконец, найдем неизвестный множитель $x$. Для этого произведение разделим на известный множитель:

$x = 360 : 90$

$x = 4$

Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$800 - (90 \cdot 4 + 17) = 800 - (360 + 17) = 800 - 377 = 423$.

$423 = 423$. Равенство верное.

Ответ: $4$.

б) Решим уравнение $240 : (y : 15) - 18 = 42$.

Сначала найдем неизвестное уменьшаемое, которое представлено выражением $240 : (y : 15)$. Для этого к разности прибавим вычитаемое:

$240 : (y : 15) = 42 + 18$

$240 : (y : 15) = 60$

Теперь в полученном уравнении найдем неизвестный делитель $(y : 15)$. Для этого делимое разделим на частное:

$y : 15 = 240 : 60$

$y : 15 = 4$

Наконец, найдем неизвестное делимое $y$. Для этого частное умножим на делитель:

$y = 4 \cdot 15$

$y = 60$

Проверим решение, подставив найденное значение $y$ в исходное уравнение:

$240 : (60 : 15) - 18 = 240 : 4 - 18 = 60 - 18 = 42$.

$42 = 42$. Равенство верное.

Ответ: $60$.

12 Расположи ответы в порядке возрастания и расшифруй имя одной из богинь в греческой мифологии. Узнай о ней информацию.

O $(96048 : 8) \cdot (5211 : 579) : 54 = $

Л $1814 \cdot 353 : (42360 : 4 : 15) = $

К $28944 : (381 \cdot 708 : 127 : 59) = $

И $24650 : (17 \cdot 29) \cdot 4008 : 167 = $

О
Решим выражение $ (96048 : 8) \cdot (5211 : 579) : 54 $ по действиям:
1. $96048 : 8 = 12006$
2. $5211 : 579 = 9$
3. $12006 \cdot 9 = 108054$
4. $108054 : 54 = 2001$
Ответ: 2001

Л
Решим выражение $ 1814 \cdot 353 : (42360 : 4 : 15) $ по действиям:
1. $42360 : 4 = 10590$
2. $10590 : 15 = 706$
3. $1814 \cdot 353 = 640342$
4. $640342 : 706 = 907$
Ответ: 907

К
Решим выражение $ 28944 : (381 \cdot 708 : 127 : 59) $ по действиям:
1. $381 \cdot 708 = 269748$
2. $269748 : 127 = 2124$
3. $2124 : 59 = 36$
4. $28944 : 36 = 804$
Ответ: 804

И
Решим выражение $ 24650 : (17 \cdot 29) \cdot 4008 : 167 $ по действиям:
1. $17 \cdot 29 = 493$
2. $24650 : 493 = 50$
3. $50 \cdot 4008 = 200400$
4. $200400 : 167 = 1200$
Ответ: 1200

Теперь расположим полученные ответы в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:
$804$ (К)
$907$ (Л)
$1200$ (И)
$2001$ (О)

Составив буквы в этом порядке, мы получаем имя: КЛИО.

Клио — в древнегреческой мифологии одна из девяти муз, покровительница истории. Её родители — верховный бог Зевс и богиня памяти Мнемосина. Имя Клио происходит от греческого слова κλέω (клео), что означает «прославляю», «воспеваю». Традиционно её изображают с папирусным свитком или футляром для свитков в руках, что символизирует знание и сохранение исторических событий.

13. Найди множество значений выражения $16995 + 32040 : a$, если переменная $a$ принимает значения из множества $\{1, 8, 10, 40\}$. Как изменяется значение этого выражения с увеличением $a$? Почему?

Найди множество значений выражения 16 995 + 32 040 : a, если переменная a принимает значения из множества {1, 8, 10, 40}.

Чтобы найти множество значений выражения $16 995 + 32 040 : a$, нужно подставить в него каждое значение переменной $a$ из заданного множества $\{1, 8, 10, 40\}$ и выполнить вычисления.

1. При $a = 1$:
$16 995 + 32 040 : 1 = 16 995 + 32 040 = 49 035$

2. При $a = 8$:
$16 995 + 32 040 : 8 = 16 995 + 4 005 = 21 000$

3. При $a = 10$:
$16 995 + 32 040 : 10 = 16 995 + 3 204 = 20 199$

4. При $a = 40$:
$16 995 + 32 040 : 40 = 16 995 + 801 = 17 796$

Таким образом, мы получили четыре значения, которые и составляют искомое множество.
Ответ: $\{49 035, 21 000, 20 199, 17 796\}$.

Как изменяется значение этого выражения с увеличением a?

Сравним значения переменной $a$, расположенные в порядке возрастания, со значениями выражения, которые им соответствуют:
При $a = 1$, значение равно $49 035$.
При $a = 8$, значение равно $21 000$.
При $a = 10$, значение равно $20 199$.
При $a = 40$, значение равно $17 796$.
Мы видим, что чем больше значение $a$, тем меньше становится значение всего выражения.
Ответ: С увеличением $a$ значение выражения уменьшается.

Почему?

Выражение $16 995 + 32 040 : a$ — это сумма, где первое слагаемое $16 995$ является постоянным числом, а второе слагаемое $32 040 : a$ — переменным. Значение второго слагаемого зависит от переменной $a$, которая находится в делителе.
Согласно свойству деления, если делимое (в нашем случае $32 040$) является постоянным положительным числом, то при увеличении делителя (переменной $a$) частное будет уменьшаться. Так как первое слагаемое ($16 995$) не меняется, уменьшение второго слагаемого приводит к уменьшению всей суммы.
Ответ: Значение выражения уменьшается, потому что оно является суммой постоянного числа и частного. В этом частном делимое постоянно, а переменная $a$ является делителем. При увеличении делителя частное уменьшается, что приводит к уменьшению всей суммы.

14 Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 100.
Найди уменьшаемое.

Обозначим компоненты вычитания переменными:

• Уменьшаемое – $a$
• Вычитаемое – $b$
• Разность – $c$

По определению, связь между этими компонентами выражается формулой:

$a - b = c$

Из этой формулы следует, что уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности:

$a = b + c$

Согласно условию задачи, сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 100. Запишем это в виде уравнения:

$a + b + c = 100$

В этом уравнении мы можем заменить сумму $(b + c)$ на равное ей значение $a$, которое мы вывели ранее:

$a + (b + c) = 100$

$a + a = 100$

Упростим полученное выражение:

$2a = 100$

Теперь найдем $a$, разделив 100 на 2:

$a = 100 / 2$

$a = 50$

Таким образом, уменьшаемое равно 50.

Ответ: 50

9. На ветках висело $b$ яблок. Подул ветер, и 4 яблока упало. Сколько яблок осталось на ветках? Составь выражение. Может ли переменная $b$ принимать значение 0, 4, 9, $9\frac{1}{8}$? Какие ещё значения может принимать $b$?

Сколько яблок осталось на ветках? Составь выражение.
Если изначально на ветках было $b$ яблок, а 4 яблока упало, то для нахождения оставшегося количества нужно из начального количества вычесть количество упавших. Выражение для количества яблок, оставшихся на ветках, будет таким: $b - 4$.
Ответ: $b - 4$.

Может ли переменная b принимать значение 0, 4, 9, 9 1/8?
Переменная $b$ обозначает количество яблок, поэтому она должна быть целым неотрицательным числом. По условию, с веток упало 4 яблока, значит, их начальное количество $b$ не может быть меньше 4, то есть $b \ge 4$.
- Значение $b = 0$: не подходит, так как $0 < 4$. Если яблок не было, то 4 яблока не могли упасть.
- Значение $b = 4$: подходит. Если было 4 яблока и 4 упало, то на ветках осталось $4 - 4 = 0$ яблок.
- Значение $b = 9$: подходит. Если было 9 яблок и 4 упало, то на ветках осталось $9 - 4 = 5$ яблок.
- Значение $b = 9\frac{1}{8}$: не подходит, так как количество яблок не может быть дробным числом.
Ответ: переменная $b$ может принимать значения 4 и 9, но не может принимать значения 0 и $9\frac{1}{8}$.

Какие ещё значения может принимать b?
Исходя из условий задачи, переменная $b$ должна быть целым числом и не меньше 4. Это означает, что $b$ может быть любым целым числом, которое больше или равно 4. Например, $b$ может быть равно 5, 6, 10, 42 и так далее.
Ответ: переменная $b$ может принимать любое целое значение при условии $b \ge 4$.

10 Какая из комнат имеет больший объём? У какой из них больше площадь стен, пола, потолка?

Комната 1
Размеры: длина ${L = 7}$ м, ширина ${W = 3}$ м, высота ${H = 3}$ м.
Объем: ${V_1 = L \times W \times H = 7 \times 3 \times 3 = 63 \text{ м}^3}$
Площадь стен: ${A_{\text{стен}1} = 2 \times H \times (L + W) = 2 \times 3 \times (7 + 3) = 6 \times 10 = 60 \text{ м}^2}$
Площадь пола/потолка: ${A_{\text{пол/потолок}1} = L \times W = 7 \times 3 = 21 \text{ м}^2}$
Общая площадь (стен + пола + потолка): ${A_{\text{общ}1} = A_{\text{стен}1} + 2 \times A_{\text{пол/потолок}1} = 60 + 2 \times 21 = 60 + 42 = 102 \text{ м}^2}$

Комната 2
Размеры: длина ${L = 5}$ м, ширина ${W = 3}$ м, высота ${H = 4}$ м.
Объем: ${V_2 = L \times W \times H = 5 \times 3 \times 4 = 60 \text{ м}^3}$
Площадь стен: ${A_{\text{стен}2} = 2 \times H \times (L + W) = 2 \times 4 \times (5 + 3) = 8 \times 8 = 64 \text{ м}^2}$
Площадь пола/потолка: ${A_{\text{пол/потолок}2} = L \times W = 5 \times 3 = 15 \text{ м}^2}$
Общая площадь (стен + пола + потолка): ${A_{\text{общ}2} = A_{\text{стен}2} + 2 \times A_{\text{пол/потолок}2} = 64 + 2 \times 15 = 64 + 30 = 94 \text{ м}^2}$

Комната 3
Размеры: длина ${L = 6}$ м, ширина ${W = 4}$ м, высота ${H = 3}$ м.
Объем: ${V_3 = L \times W \times H = 6 \times 4 \times 3 = 72 \text{ м}^3}$
Площадь стен: ${A_{\text{стен}3} = 2 \times H \times (L + W) = 2 \times 3 \times (6 + 4) = 6 \times 10 = 60 \text{ м}^2}$
Площадь пола/потолка: ${A_{\text{пол/потолок}3} = L \times W = 6 \times 4 = 24 \text{ м}^2}$
Общая площадь (стен + пола + потолка): ${A_{\text{общ}3} = A_{\text{стен}3} + 2 \times A_{\text{пол/потолок}3} = 60 + 2 \times 24 = 60 + 48 = 108 \text{ м}^2}$

Для ответа на вопросы задачи необходимо вычислить объём и общую площадь поверхности (стен, пола и потолка) для каждой из трёх комнат. Все комнаты имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Обозначим комнаты: комната 1 (слева), комната 2 (в центре), комната 3 (справа).

Какая из комнат имеет больший объём?

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$, $c$ — его длина, ширина и высота.

1. Вычислим объём первой комнаты (длина 7 м, ширина 3 м, высота 3 м):
   $V_1 = 7 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 63 \text{ м}^3$.

2. Вычислим объём второй комнаты (длина 5 м, ширина 3 м, высота 4 м):
   $V_2 = 5 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} = 60 \text{ м}^3$.

3. Вычислим объём третьей комнаты (длина 6 м, ширина 4 м, высота 3 м):
   $V_3 = 6 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 72 \text{ м}^3$.

Сравним полученные объёмы: $72 \text{ м}^3 > 63 \text{ м}^3 > 60 \text{ м}^3$.
Наибольший объём у третьей комнаты.

Ответ: больший объём имеет третья комната (72 м³).

У какой из них больше площадь стен, пола, потолка?

Чтобы найти общую площадь стен, пола и потолка, нужно вычислить площадь полной поверхности каждой комнаты. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$, где $a$, $b$ - стороны основания (длина и ширина), а $c$ - высота.

1. Вычислим общую площадь поверхности первой комнаты (длина 7 м, ширина 3 м, высота 3 м):
   $S_1 = 2 \cdot (7 \cdot 3 + 7 \cdot 3 + 3 \cdot 3) = 2 \cdot (21 + 21 + 9) = 2 \cdot 51 = 102 \text{ м}^2$.

2. Вычислим общую площадь поверхности второй комнаты (длина 5 м, ширина 3 м, высота 4 м):
   $S_2 = 2 \cdot (5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 2 \cdot (15 + 20 + 12) = 2 \cdot 47 = 94 \text{ м}^2$.

3. Вычислим общую площадь поверхности третьей комнаты (длина 6 м, ширина 4 м, высота 3 м):
   $S_3 = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 3 + 4 \cdot 3) = 2 \cdot (24 + 18 + 12) = 2 \cdot 54 = 108 \text{ м}^2$.

Сравним полученные площади: $108 \text{ м}^2 > 102 \text{ м}^2 > 94 \text{ м}^2$.
Наибольшая общая площадь у третьей комнаты.

Ответ: большая площадь стен, пола и потолка у третьей комнаты (108 м²).

11 Начерти прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найди с помощью измерений его гипотенузу. Чему равны его периметр и площадь?

Чтобы решить задачу, сначала нужно начертить заданный прямоугольный треугольник.
1. С помощью угольника или транспортира постройте прямой угол.
2. От вершины угла по одной стороне отложите отрезок длиной 6 см — это будет первый катет.
3. По другой стороне угла отложите отрезок длиной 8 см — это будет второй катет.
4. Соедините концы катетов. Этот отрезок является гипотенузой треугольника.

Гипотенуза

Возьмите линейку и измерьте длину гипотенузы. При точном построении измерение покажет, что ее длина составляет 10 см.
Проверить это можно с помощью теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов катетов ($a$ и $b$):
$c^2 = a^2 + b^2$
$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
Расчетное значение совпадает с результатом измерения.
Ответ: длина гипотенузы равна 10 см.

Периметр

Периметр ($P$) треугольника равен сумме длин всех его сторон.
$P = a + b + c$
Подставим длины катетов и найденной гипотенузы:
$P = 6 \text{ см} + 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 24 \text{ см}$.
Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

Площадь

Площадь ($S$) прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
Подставим длины катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = \frac{48}{2} \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.
Ответ: площадь треугольника равна 24 см².

12 Проверь истинность высказывания:

$\frac{1613984 - (4790 \cdot 43 + 461320 : 76 - 56056)}{399091 : 497 - 2800 \cdot (76200 - 75814) : 1930} = 6000$

Чтобы проверить истинность высказывания, необходимо вычислить значение левой части равенства и сравнить его с правой частью (6000). Вычисления проведем по действиям, отдельно для числителя и знаменателя.

Вычисление числителя

Вычислим значение выражения $1 613 984 - (4790 \cdot 43 + 461 320 : 76 - 56 056)$.

1. Сначала выполняем действия в скобках, соблюдая порядок действий (умножение и деление, затем сложение и вычитание):

$4790 \cdot 43 = 205 970$

$461 320 : 76 = 6070$

$205 970 + 6070 = 212 040$

$212 040 - 56 056 = 155 984$

2. Теперь вычисляем значение всего числителя:

$1 613 984 - 155 984 = 1 458 000$

Ответ: значение числителя равно $1 458 000$.

Вычисление знаменателя

Вычислим значение выражения $399 091 : 497 - 2800 \cdot (76 200 - 75 814) : 1930$.

1. Сначала выполняем действие в скобках:

$76 200 - 75 814 = 386$

2. Теперь выполняем остальные действия в соответствии с их приоритетом:

$399 091 : 497 = 803$

$2800 \cdot 386 = 1 080 800$

$1 080 800 : 1930 = 560$

3. Завершаем вычисление знаменателя:

$803 - 560 = 243$

Ответ: значение знаменателя равно $243$.

Проверка истинности высказывания

Разделим полученное значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{1 458 000}{243} = 6000$

Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства:

$6000 = 6000$

Поскольку левая и правая части равенства совпали, данное высказывание является истинным.

Ответ: Высказывание истинно.

13 Реши уравнения и вставь в пустые «окошки» буквы диаграммы, соответствующие корням уравнения. Чьё это имя?

1) $\frac{2000}{x} = 40$

2) $\frac{y}{70} = 5$

3) $(60 \cdot a - 32) : 16 = 13$

4) $75 - 960 : (b + 39) = 55$

5) $12\frac{7}{23} - (6\frac{18}{23} - t) = 3\frac{21}{23} + 5\frac{19}{23}$

6) $(k - 5\frac{3}{14}) + 8\frac{13}{14} = 15 - 3\frac{9}{14}$

Буквы диаграммы и соответствующие им значения:

C: $5/23$

A: $7$

Ф: $9/14$

И: $50$

Д: $9$

П: $4\frac{5}{23}$

Н: $40$

М: $4$

К: $14$

У: $80000$

Т: $441$

Е: $350$

Н: $9$

О: $8\frac{9}{14}$

Для того чтобы узнать имя, необходимо решить все уравнения, найти их корни, а затем сопоставить каждый корень с буквой на диаграмме.

1)

Решим уравнение: $ \frac{2000}{x} = 40 $.

Чтобы найти неизвестный делитель ($x$), нужно делимое (2000) разделить на частное (40).

$ x = 2000 : 40 $

$ x = 50 $

Корень уравнения равен 50. На диаграмме это значение соответствует букве Д.

Ответ: $x = 50$.

2)

Решим уравнение: $ \frac{y}{70} = 5 $.

Чтобы найти неизвестное делимое ($y$), нужно частное (5) умножить на делитель (70).

$ y = 5 \cdot 70 $

$ y = 350 $

Корень уравнения равен 350. На диаграмме это значение соответствует букве Е.

Ответ: $y = 350$.

3)

Решим уравнение: $ (60 \cdot a - 32) : 16 = 13 $.

Сначала найдем неизвестное делимое $ (60 \cdot a - 32) $, умножив частное (13) на делитель (16).

$ 60 \cdot a - 32 = 13 \cdot 16 $

$ 60 \cdot a - 32 = 208 $

Теперь найдем неизвестное уменьшаемое $ (60 \cdot a) $, прибавив к разности (208) вычитаемое (32).

$ 60 \cdot a = 208 + 32 $

$ 60 \cdot a = 240 $

Чтобы найти неизвестный множитель ($a$), нужно произведение (240) разделить на известный множитель (60).

$ a = 240 : 60 $

$ a = 4 $

Корень уравнения равен 4. На диаграмме это значение соответствует букве У.

Ответ: $a = 4$.

4)

Решим уравнение: $ 75 - 960 : (b + 39) = 55 $.

Сначала найдем неизвестное вычитаемое $ 960 : (b + 39) $, отняв от уменьшаемого (75) разность (55).

$ 960 : (b + 39) = 75 - 55 $

$ 960 : (b + 39) = 20 $

Теперь найдем неизвестный делитель $ (b + 39) $, разделив делимое (960) на частное (20).

$ b + 39 = 960 : 20 $

$ b + 39 = 48 $

Чтобы найти неизвестное слагаемое ($b$), нужно из суммы (48) вычесть известное слагаемое (39).

$ b = 48 - 39 $

$ b = 9 $

Корень уравнения равен 9. На диаграмме есть два значения 9, соответствующие буквам О и Н. Возьмем первую по порядку букву О.

Ответ: $b = 9$.

5)

Решим уравнение: $ 12\frac{7}{23} - (6\frac{18}{23} - t) = 3\frac{21}{23} + 5\frac{19}{23} $.

Сначала вычислим правую часть уравнения:

$ 3\frac{21}{23} + 5\frac{19}{23} = (3+5) + (\frac{21}{23} + \frac{19}{23}) = 8 + \frac{40}{23} = 8 + 1\frac{17}{23} = 9\frac{17}{23} $

Уравнение принимает вид: $ 12\frac{7}{23} - (6\frac{18}{23} - t) = 9\frac{17}{23} $.

Найдем неизвестное вычитаемое $ (6\frac{18}{23} - t) $:

$ 6\frac{18}{23} - t = 12\frac{7}{23} - 9\frac{17}{23} $

$ 12\frac{7}{23} - 9\frac{17}{23} = 11\frac{30}{23} - 9\frac{17}{23} = (11-9) + (\frac{30}{23} - \frac{17}{23}) = 2\frac{13}{23} $

Получаем: $ 6\frac{18}{23} - t = 2\frac{13}{23} $.

Теперь найдем неизвестное вычитаемое $t$:

$ t = 6\frac{18}{23} - 2\frac{13}{23} = (6-2) + (\frac{18}{23} - \frac{13}{23}) = 4\frac{5}{23} $

Корень уравнения равен $ 4\frac{5}{23} $. На диаграмме это значение соответствует букве М.

Ответ: $t = 4\frac{5}{23}$.

6)

Решим уравнение: $ (k - 5\frac{3}{14}) + 8\frac{13}{14} = 15 - 3\frac{9}{14} $.

Сначала вычислим правую часть уравнения:

$ 15 - 3\frac{9}{14} = 14\frac{14}{14} - 3\frac{9}{14} = (14-3) + (\frac{14}{14} - \frac{9}{14}) = 11\frac{5}{14} $

Уравнение принимает вид: $ (k - 5\frac{3}{14}) + 8\frac{13}{14} = 11\frac{5}{14} $.

Найдем неизвестное слагаемое $ (k - 5\frac{3}{14}) $:

$ k - 5\frac{3}{14} = 11\frac{5}{14} - 8\frac{13}{14} $

$ 11\frac{5}{14} - 8\frac{13}{14} = 10\frac{19}{14} - 8\frac{13}{14} = (10-8) + (\frac{19}{14} - \frac{13}{14}) = 2\frac{6}{14} = 2\frac{3}{7} $

Получаем: $ k - 5\frac{3}{14} = 2\frac{6}{14} $.

Теперь найдем неизвестное уменьшаемое $k$:

$ k = 2\frac{6}{14} + 5\frac{3}{14} = (2+5) + (\frac{6}{14} + \frac{3}{14}) = 7\frac{9}{14} $

Корень уравнения равен $ 7\frac{9}{14} $. Такого значения на диаграмме нет. Однако есть близкие значения 7 (буква Ф) и $ \frac{9}{14} $ (буква И).

Ответ: $k = 7\frac{9}{14}$.

Чьё это имя?

Собранные по порядку буквы (ДЕУОМ...) не образуют известного имени. Вероятно, в диаграмме допущена ошибка. Учитывая изображение Парфенона на рисунке, можно предположить, что речь идет о древнегреческом скульпторе Фидии, который руководил его строительством. Если предположить, что в диаграмме есть опечатки, и сопоставить корни уравнений с буквами этого имени, то получается следующая картина:

• 1) $x=50 \rightarrow Ф$
• 2) $y=350 \rightarrow И$
• 3) $a=4 \rightarrow Д$
• 4) $b=9 \rightarrow И$
• 5) $t=4\frac{5}{23} \rightarrow Й$ (В русском языке имя пишется как Фидий)

Шестое уравнение, вероятно, является лишним или подтверждает одну из букв.

Ответ: Фидий.

14 Является ли число 4 решением неравенства $9 - x < 3$? Докажи. Приведи два примера неравенств, решением которых является это число.

Является ли число 4 решением неравенства $9 - x < 3$? Докажи.

Чтобы проверить, является ли число 4 решением данного неравенства, необходимо подставить это значение вместо переменной $x$ и проверить, будет ли полученное числовое неравенство верным.

Подставляем $x = 4$ в неравенство $9 - x < 3$:

$9 - 4 < 3$

$5 < 3$

Полученное неравенство $5 < 3$ является ложным, так как число 5 на самом деле больше числа 3. Таким образом, доказано, что число 4 не является решением неравенства.

Ответ: нет, не является.

Приведи два примера неравенств, решением которых является это число.

Чтобы число 4 было решением неравенства, при подстановке $x=4$ в него должно получаться верное числовое неравенство.

Пример 1: $x > 1$.
Проверка: при $x=4$ получаем $4 > 1$. Это верное неравенство, значит 4 является его решением.

Пример 2: $x + 6 > 9$.
Проверка: при $x=4$ получаем $4 + 6 > 9$, что равносильно $10 > 9$. Это верное неравенство, значит 4 является его решением.

Ответ: например, $x > 1$ и $x + 6 > 9$.

15 Найди пересечение множеств натуральных решений неравенств $7 < x \le 12$ и $0 \le y - 5 < 6$. Построй диаграммы Эйлера-Венна этих множеств.

Для решения задачи сначала найдем множества натуральных решений для каждого из неравенств.

Решим первое неравенство: $7 < x \le 12$. Натуральными решениями этого неравенства являются целые числа, которые строго больше 7 и меньше или равны 12. Обозначим это множество как $A$. Таким образом, $A = \{8, 9, 10, 11, 12\}$.

Решим второе неравенство: $0 \le y - 5 < 6$. Для нахождения $y$ прибавим 5 ко всем частям неравенства: $0 + 5 \le y - 5 + 5 < 6 + 5$, что дает $5 \le y < 11$. Натуральными решениями этого неравенства являются целые числа, которые больше или равны 5 и строго меньше 11. Обозначим это множество как $B$. Таким образом, $B = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Найди пересечение множеств натуральных решений неравенств

Пересечение множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$) состоит из элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам. Сравнивая множества $A = \{8, 9, 10, 11, 12\}$ и $B = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, находим общие для них элементы: 8, 9 и 10.

Ответ: $A \cap B = \{8, 9, 10\}$.

Построй диаграммы Эйлера-Венна этих множеств

На диаграмме Эйлера-Венна изобразим два пересекающихся круга, которые представляют множества $A$ и $B$. В области их пересечения разместим общие элементы. Элементы, принадлежащие только множеству $A$: 11, 12. Элементы, принадлежащие только множеству $B$: 5, 6, 7. Общие элементы, принадлежащие пересечению $A \cap B$: 8, 9, 10.

Ответ: Диаграмма Эйлера-Венна построена выше.

16 Найди объединение множеств натуральных решений неравенств $12 - x \ge 7$ и $3 \le y - 8$. Построй диаграммы Эйлера-Венна этих множеств.

Решение неравенства $12 - x \ge 7$ и нахождение множества A

Сначала решим первое неравенство $12 - x \ge 7$. Задача требует найти натуральные решения, то есть решения из множества целых положительных чисел $\{1, 2, 3, \dots\}$.

Выполним преобразования неравенства:
$12 - x \ge 7$
Вычтем 12 из обеих частей:
$-x \ge 7 - 12$
$-x \ge -5$
Умножим обе части на -1. При умножении или делении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$x \le 5$

Натуральные числа, которые удовлетворяют условию $x \le 5$, — это $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Обозначим это множество как A.

Ответ: Множество натуральных решений первого неравенства: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Решение неравенства $3 \le y - 8$ и нахождение множества B

Теперь решим второе неравенство $3 \le y - 8$ и найдем его натуральные решения.

Выполним преобразования неравенства:
$3 \le y - 8$
Прибавим 8 к обеим частям:
$3 + 8 \le y$
$11 \le y$, что равносильно $y \ge 11$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют условию $y \ge 11$, — это все целые числа, начиная с 11. Обозначим это бесконечное множество как B.

Ответ: Множество натуральных решений второго неравенства: $B = \{11, 12, 13, 14, \dots\}$.

Нахождение объединения множеств A и B

Объединение множеств A и B (обозначается $A \cup B$) — это множество, которое включает в себя все элементы из множества A и все элементы из множества B без повторений.

Так как $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $B = \{11, 12, 13, \dots\}$, их объединение будет содержать все эти числа.

Ответ: Объединение множеств: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, \dots\}$.

Построение диаграммы Эйлера-Венна

Для построения диаграммы Эйлера-Венна нужно определить взаимосвязь между множествами A и B. Проверим, есть ли у них общие элементы, то есть найдем их пересечение ($A \cap B$).

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{11, 12, 13, \dots\}$
Видно, что у множеств A и B нет общих элементов. Их пересечение является пустым множеством: $A \cap B = \emptyset$.

Поскольку множества не пересекаются, на диаграмме Эйлера-Венна они будут изображены в виде двух отдельных, непересекающихся кругов внутри универсального множества (в данном случае — множества натуральных чисел N).

Ответ: Диаграмма Эйлера-Венна, изображающая непересекающиеся множества A и B, построена выше.

17 Пользуясь деревом возможностей, определи, сколько можно составить четырёхзначных чисел с цифрой тысяч 1 или 2, цифрой сотен 0, 4 или 7, цифрой десятков 5 или 3 и цифрой единиц 8 или 9. Найди произведение наибольшего и наименьшего из этих чисел.

Пользуясь деревом возможностей, определи, сколько можно составить четырёхзначных чисел с цифрой тысяч 1 или 2, цифрой сотен 0, 4 или 7, цифрой десятков 5 или 3 и цифрой единиц 8 или 9.
Для составления четырехзначных чисел у нас есть определенное количество вариантов для каждого разряда:
- Для разряда тысяч есть 2 варианта (цифры 1 или 2).
- Для разряда сотен есть 3 варианта (цифры 0, 4 или 7).
- Для разряда десятков есть 2 варианта (цифры 3 или 5).
- Для разряда единиц есть 2 варианта (цифры 8 или 9).
Дерево возможностей показывает, что для каждого выбора цифры тысяч есть 3 варианта выбора цифры сотен, для каждого из получившихся вариантов есть 2 варианта выбора цифры десятков и так далее. Чтобы найти общее количество чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда.
Общее количество чисел: $2 \times 3 \times 2 \times 2 = 24$.
Ответ: можно составить 24 четырехзначных числа.

Найди произведение наибольшего и наименьшего из этих чисел.
Сначала определим наименьшее и наибольшее из возможных чисел.
Чтобы получить наименьшее число, нужно выбрать наименьшие возможные цифры для каждого разряда, начиная со старшего (тысяч): 1 для тысяч, 0 для сотен, 3 для десятков и 8 для единиц. Таким образом, наименьшее число — 1038.
Чтобы получить наибольшее число, нужно выбрать наибольшие возможные цифры для каждого разряда, начиная со старшего: 2 для тысяч, 7 для сотен, 5 для десятков и 9 для единиц. Таким образом, наибольшее число — 2759.
Теперь найдем их произведение:
$1038 \times 2759 = 2863842$.
Ответ: произведение наибольшего и наименьшего чисел равно 2 863 842.

18 Какая из величин больше и на сколько:

а) 6 км 48 м или 752 м;

б) 4 дм 3 мм или 96 см;

в) 5 мин или 400 с;

г) 52 ц или 520 000 г;

д) 8 т 6 ц 7 кг или 2989 кг;

е) 2 ч 30 мин или 3 мин 45 с;

ж) $7 \text{ м}^2 3 \text{ дм}^2$ или $78 \text{ дм}^2 62 \text{ см}^2$;

з) $916 \text{ мм}^3$ или $9 \text{ см}^3 16 \text{ мм}^3$?

а) 6 км 48 м или 752 м

Для сравнения величин приведем их к одной единице измерения — метрам (м).
Поскольку $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, то:

$6 \text{ км } 48 \text{ м} = 6 \times 1000 \text{ м} + 48 \text{ м} = 6000 \text{ м} + 48 \text{ м} = 6048 \text{ м}$.

Сравниваем $6048 \text{ м}$ и $752 \text{ м}$.
$6048 > 752$.

Найдем разницу:
$6048 \text{ м} - 752 \text{ м} = 5296 \text{ м}$.

Ответ: $6 \text{ км } 48 \text{ м}$ больше, чем $752 \text{ м}$ на $5296 \text{ м}$ (или на $5 \text{ км } 296 \text{ м}$).

б) 4 дм 3 мм или 96 см

Приведем обе величины к миллиметрам (мм).
Соотношения единиц: $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$, $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

$4 \text{ дм } 3 \text{ мм} = 4 \times 100 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 400 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 403 \text{ мм}$.
$96 \text{ см} = 96 \times 10 \text{ мм} = 960 \text{ мм}$.

Сравниваем $403 \text{ мм}$ и $960 \text{ мм}$.
$960 > 403$.

Найдем разницу:
$960 \text{ мм} - 403 \text{ мм} = 557 \text{ мм}$.

Ответ: $96 \text{ см}$ больше, чем $4 \text{ дм } 3 \text{ мм}$ на $557 \text{ мм}$ (или на $55 \text{ см } 7 \text{ мм}$).

в) 5 мин или 400 с

Приведем обе величины к секундам (с).
В одной минуте 60 секунд: $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.

$5 \text{ мин} = 5 \times 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$.

Сравниваем $300 \text{ с}$ и $400 \text{ с}$.
$400 > 300$.

Найдем разницу:
$400 \text{ с} - 300 \text{ с} = 100 \text{ с}$.

Ответ: $400 \text{ с}$ больше, чем $5 \text{ мин}$ на $100 \text{ с}$ (или на $1 \text{ мин } 40 \text{ с}$).

г) 52 ц или 520 000 г

Приведем обе величины к килограммам (кг).
Соотношения единиц: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

$52 \text{ ц} = 52 \times 100 \text{ кг} = 5200 \text{ кг}$.
$520 000 \text{ г} = 520 000 / 1000 \text{ кг} = 520 \text{ кг}$.

Сравниваем $5200 \text{ кг}$ и $520 \text{ кг}$.
$5200 > 520$.

Найдем разницу:
$5200 \text{ кг} - 520 \text{ кг} = 4680 \text{ кг}$.

Ответ: $52 \text{ ц}$ больше, чем $520 000 \text{ г}$ на $4680 \text{ кг}$ (или на $46 \text{ ц } 80 \text{ кг}$).

д) 8 т 6 ц 7 кг или 2989 кг

Переведем первую величину в килограммы (кг).
Соотношения единиц: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$, $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.

$8 \text{ т } 6 \text{ ц } 7 \text{ кг} = 8 \times 1000 \text{ кг} + 6 \times 100 \text{ кг} + 7 \text{ кг} = 8000 \text{ кг} + 600 \text{ кг} + 7 \text{ кг} = 8607 \text{ кг}$.

Сравниваем $8607 \text{ кг}$ и $2989 \text{ кг}$.
$8607 > 2989$.

Найдем разницу:
$8607 \text{ кг} - 2989 \text{ кг} = 5618 \text{ кг}$.

Ответ: $8 \text{ т } 6 \text{ ц } 7 \text{ кг}$ больше, чем $2989 \text{ кг}$ на $5618 \text{ кг}$ (или на $5 \text{ т } 6 \text{ ц } 18 \text{ кг}$).

е) 2 ч 30 мин или 3 мин 45 с

Переведем обе величины в секунды (с).
Соотношения единиц: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$, $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.

$2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = (2 \times 60 + 30) \text{ мин} = 150 \text{ мин} = 150 \times 60 \text{ с} = 9000 \text{ с}$.
$3 \text{ мин } 45 \text{ с} = 3 \times 60 \text{ с} + 45 \text{ с} = 180 \text{ с} + 45 \text{ с} = 225 \text{ с}$.

Сравниваем $9000 \text{ с}$ и $225 \text{ с}$.
$9000 > 225$.

Найдем разницу:
$9000 \text{ с} - 225 \text{ с} = 8775 \text{ с}$.

Ответ: $2 \text{ ч } 30 \text{ мин}$ больше, чем $3 \text{ мин } 45 \text{ с}$ на $8775 \text{ с}$ (или на $2 \text{ ч } 26 \text{ мин } 15 \text{ с}$).

ж) 7 м² 3 дм² или 78 дм² 62 см²

Переведем обе величины в квадратные сантиметры (см²).
Соотношения единиц: $1 \text{ м}² = 10000 \text{ см}²$, $1 \text{ дм}² = 100 \text{ см}²$.

$7 \text{ м}² 3 \text{ дм}² = 7 \times 10000 \text{ см}² + 3 \times 100 \text{ см}² = 70000 \text{ см}² + 300 \text{ см}² = 70300 \text{ см}²$.
$78 \text{ дм}² 62 \text{ см}² = 78 \times 100 \text{ см}² + 62 \text{ см}² = 7800 \text{ см}² + 62 \text{ см}² = 7862 \text{ см}²$.

Сравниваем $70300 \text{ см}²$ и $7862 \text{ см}²$.
$70300 > 7862$.

Найдем разницу:
$70300 \text{ см}² - 7862 \text{ см}² = 62438 \text{ см}²$.

Ответ: $7 \text{ м}² 3 \text{ дм}²$ больше, чем $78 \text{ дм}² 62 \text{ см}²$ на $62438 \text{ см}²$ (или на $6 \text{ м}² 24 \text{ дм}² 38 \text{ см}²$).

з) 916 мм³ или 9 см³ 16 мм³

Переведем обе величины в кубические миллиметры (мм³).
Соотношение единиц: $1 \text{ см}³ = 1000 \text{ мм}³$.

Первая величина: $916 \text{ мм}³$.
Вторая величина: $9 \text{ см}³ 16 \text{ мм}³ = 9 \times 1000 \text{ мм}³ + 16 \text{ мм}³ = 9000 \text{ мм}³ + 16 \text{ мм}³ = 9016 \text{ мм}³$.

Сравниваем $916 \text{ мм}³$ и $9016 \text{ мм}³$.
$9016 > 916$.

Найдем разницу:
$9016 \text{ мм}³ - 916 \text{ мм}³ = 8100 \text{ мм}³$.

Ответ: $9 \text{ см}³ 16 \text{ мм}³$ больше, чем $916 \text{ мм}³$ на $8100 \text{ мм}³$ (или на $8 \text{ см}³ 100 \text{ мм}³$).

19 Какая из величин меньше и во сколько раз:

а) 2 км 10 м или 402 м;

б) 35 мм или 14 м;

в) 1 ч или 45 с;

г) 8 сут. 8 ч или 800 ч;

д) 3 т 72 кг или 3 ц 84 кг;

е) 28 ц или 28 000 000 г;

ж) 2 $м^2$ 40 $см^2$ или 33 $дм^2$ 40 $см^2$;

з) 125 $мм^3$ или 40 $см^3$?

а) Чтобы сравнить величины $2 \text{ км } 10 \text{ м}$ и $402 \text{ м}$, приведем их к одной единице измерения — метрам (м).
Поскольку в одном километре 1000 метров, то: $2 \text{ км } 10 \text{ м} = 2 \times 1000 \text{ м} + 10 \text{ м} = 2010 \text{ м}$.
Теперь сравним $2010 \text{ м}$ и $402 \text{ м}$. Очевидно, что $402 \text{ м} < 2010 \text{ м}$.
Чтобы определить, во сколько раз $402 \text{ м}$ меньше, разделим большую величину на меньшую: $2010 : 402 = 5$.
Ответ: величина $402 \text{ м}$ меньше, чем $2 \text{ км } 10 \text{ м}$, в 5 раз.

б) Приведем обе величины, $35 \text{ мм}$ и $14 \text{ м}$, к миллиметрам (мм).
В одном метре 1000 миллиметров, следовательно: $14 \text{ м} = 14 \times 1000 \text{ мм} = 14000 \text{ мм}$.
Сравниваем $35 \text{ мм}$ и $14000 \text{ мм}$. $35 \text{ мм} < 14000 \text{ мм}$.
Найдем отношение большей величины к меньшей: $14000 : 35 = 400$.
Ответ: величина $35 \text{ мм}$ меньше, чем $14 \text{ м}$, в 400 раз.

в) Переведем величины $1 \text{ ч}$ и $45 \text{ с}$ в секунды (с).
В одном часе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд. Значит: $1 \text{ ч} = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$.
Сравниваем $3600 \text{ с}$ и $45 \text{ с}$. $45 \text{ с} < 3600 \text{ с}$.
Найдем, во сколько раз одна величина меньше другой: $3600 : 45 = 80$.
Ответ: величина $45 \text{ с}$ меньше, чем $1 \text{ ч}$, в 80 раз.

г) Приведем величины $8 \text{ сут. } 8 \text{ ч}$ и $800 \text{ ч}$ к часам (ч).
В сутках 24 часа, поэтому: $8 \text{ сут. } 8 \text{ ч} = 8 \times 24 \text{ ч} + 8 \text{ ч} = 192 \text{ ч} + 8 \text{ ч} = 200 \text{ ч}$.
Сравниваем $200 \text{ ч}$ и $800 \text{ ч}$. $200 \text{ ч} < 800 \text{ ч}$.
Вычислим отношение: $800 : 200 = 4$.
Ответ: величина $8 \text{ сут. } 8 \text{ ч}$ меньше, чем $800 \text{ ч}$, в 4 раза.

д) Переведем обе величины в килограммы (кг).
В одной тонне (т) 1000 кг, в одном центнере (ц) 100 кг.
$3 \text{ т } 72 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ кг} + 72 \text{ кг} = 3072 \text{ кг}$.
$3 \text{ ц } 84 \text{ кг} = 3 \times 100 \text{ кг} + 84 \text{ кг} = 384 \text{ кг}$.
Сравниваем $3072 \text{ кг}$ и $384 \text{ кг}$. $384 \text{ кг} < 3072 \text{ кг}$.
Найдем их отношение: $3072 : 384 = 8$.
Ответ: величина $3 \text{ ц } 84 \text{ кг}$ меньше, чем $3 \text{ т } 72 \text{ кг}$, в 8 раз.

е) Приведем обе величины к граммам (г).
В одном центнере (ц) 100 килограммов, а в одном килограмме 1000 граммов. Значит, в одном центнере $100 \times 1000 = 100000$ граммов.
$28 \text{ ц} = 28 \times 100000 \text{ г} = 2 800 000 \text{ г}$.
Сравниваем $2 800 000 \text{ г}$ и $28 000 000 \text{ г}$. $2 800 000 \text{ г} < 28 000 000 \text{ г}$.
Вычислим отношение: $28 000 000 : 2 800 000 = 10$.
Ответ: величина $28 \text{ ц}$ меньше, чем $28 000 000 \text{ г}$, в 10 раз.

ж) Для сравнения приведем обе величины к квадратным сантиметрам (см²).
В одном квадратном метре (м²) $100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см²}$.
В одном квадратном дециметре (дм²) $10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см²}$.
$2 \text{ м² } 40 \text{ см²} = 2 \times 10000 \text{ см²} + 40 \text{ см²} = 20040 \text{ см²}$.
$33 \text{ дм² } 40 \text{ см²} = 33 \times 100 \text{ см²} + 40 \text{ см²} = 3340 \text{ см²}$.
Сравниваем $20040 \text{ см²}$ и $3340 \text{ см²}$. $3340 \text{ см²} < 20040 \text{ см²}$.
Найдем отношение: $20040 : 3340 = 6$.
Ответ: величина $33 \text{ дм² } 40 \text{ см²}$ меньше, чем $2 \text{ м² } 40 \text{ см²}$, в 6 раз.

з) Приведем обе величины к кубическим миллиметрам (мм³).
В одном кубическом сантиметре (см³) $10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм³}$.
$40 \text{ см³} = 40 \times 1000 \text{ мм³} = 40000 \text{ мм³}$.
Сравниваем $125 \text{ мм³}$ и $40000 \text{ мм³}$. $125 \text{ мм³} < 40000 \text{ мм³}$.
Найдем, во сколько раз одна величина меньше другой: $40000 : 125 = 320$.
Ответ: величина $125 \text{ мм³}$ меньше, чем $40 \text{ см³}$, в 320 раз.

20 Запиши высказывание в виде равенства тремя разными способами:

а) a на 7 больше, чем b

$a = b + 7$

$a - b = 7$

$b = a - 7$

б) c в 5 раз больше, чем d

$c = 5d$

$c / d = 5$

$d = c / 5$

в) k на 4 меньше, чем n

$k = n - 4$

$n - k = 4$

$n = k + 4$

г) x в 9 раз меньше, чем y

$x = y / 9$

$y / x = 9$

$y = 9x$

а) a на 7 больше, чем b

Это высказывание означает, что разница между числом $a$ и числом $b$ равна 7, при этом $a$ — большее число. Мы можем выразить эту зависимость тремя способами:

1. Выразим большее число $a$ через меньшее $b$. Для этого к $b$ нужно прибавить 7: $a = b + 7$.

2. Выразим разность между числами. Если из большего числа $a$ вычесть меньшее $b$, получится 7: $a - b = 7$.

3. Выразим меньшее число $b$ через большее $a$. Для этого из $a$ нужно вычесть 7: $b = a - 7$.

Ответ: $a = b + 7$; $a - b = 7$; $b = a - 7$.

б) c в 5 раз больше, чем d

Это высказывание означает, что число $c$ получается умножением числа $d$ на 5, при этом $c$ — большее число. Запишем это в виде трех равенств:

1. Выразим большее число $c$ через меньшее $d$. Для этого нужно $d$ умножить на 5: $c = 5 \cdot d$.

2. Выразим их соотношение через деление. Если большее число $c$ разделить на меньшее $d$, получится 5: $\frac{c}{d} = 5$.

3. Выразим меньшее число $d$ через большее $c$. Для этого нужно $c$ разделить на 5: $d = \frac{c}{5}$.

Ответ: $c = 5 \cdot d$; $\frac{c}{d} = 5$; $d = \frac{c}{5}$.

в) k на 4 меньше, чем n

Это высказывание означает, что разница между числом $n$ и числом $k$ равна 4, при этом $n$ — большее число. Мы можем выразить эту зависимость тремя способами:

1. Выразим меньшее число $k$ через большее $n$. Для этого из $n$ нужно вычесть 4: $k = n - 4$.

2. Выразим большее число $n$ через меньшее $k$. Для этого к $k$ нужно прибавить 4: $n = k + 4$.

3. Выразим разность между числами. Если из большего числа $n$ вычесть меньшее $k$, получится 4: $n - k = 4$.

Ответ: $k = n - 4$; $n = k + 4$; $n - k = 4$.

г) x в 9 раз меньше, чем y

Это высказывание означает, что число $x$ получается делением числа $y$ на 9, при этом $y$ — большее число. Запишем это в виде трех равенств:

1. Выразим меньшее число $x$ через большее $y$. Для этого нужно $y$ разделить на 9: $x = \frac{y}{9}$.

2. Выразим большее число $y$ через меньшее $x$. Для этого нужно $x$ умножить на 9: $y = 9 \cdot x$.

3. Выразим их соотношение через деление. Если большее число $y$ разделить на меньшее $x$, получится 9: $\frac{y}{x} = 9$.

Ответ: $x = \frac{y}{9}$; $y = 9 \cdot x$; $\frac{y}{x} = 9$.