Страница 91, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Объясни по рисунку, как найти $ \frac{3}{7} $ от числа $ a $. Как найти число, если $ \frac{3}{7} $ его составляют $ b $?

а) 1 - $ a $

$ \frac{3}{7} $ - ?

$ x = $

б) 1 - ?

$ \frac{3}{7} $ - $ b $

$ y = $

а) На рисунке а) отрезок, обозначающий целое (1), равен числу $a$. Этот отрезок разделен на 7 равных частей. Чтобы найти $\frac{3}{7}$ от числа $a$, нужно сначала найти, чему равна одна седьмая часть ($ \frac{1}{7} $) этого числа. Для этого мы делим число $a$ на 7: $a \div 7 = \frac{a}{7}$.
Затем, чтобы найти, чему равны три седьмых части ($ \frac{3}{7} $), мы умножаем величину одной части на 3: $ (a \div 7) \cdot 3 = \frac{a}{7} \cdot 3 = \frac{3a}{7} $.
Таким образом, чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь.
$ x = a \cdot \frac{3}{7} $

Ответ: $x = a \cdot \frac{3}{7}$

б) На рисунке б) нам известно, что $\frac{3}{7}$ некоторого числа равны $b$. Эти 3 части из 7 на отрезке соответствуют значению $b$. Чтобы найти всё число (целое, или 1), нужно сначала найти, чему равна одна седьмая часть ($ \frac{1}{7} $) этого числа. Для этого мы делим известное значение $b$ на количество частей, которым оно соответствует, то есть на 3: $b \div 3 = \frac{b}{3}$.
Теперь мы знаем, чему равна одна из семи частей. Так как целое состоит из 7 таких частей, мы умножаем величину одной части на 7: $ (b \div 3) \cdot 7 = \frac{b}{3} \cdot 7 = \frac{7b}{3} $.
Таким образом, чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь.
$ y = b \div \frac{3}{7} = b \cdot \frac{7}{3} $

Ответ: $y = b \div \frac{3}{7}$

2 Объясни, как найти $4\%$ от числа $a$. Как найти число, если его $4\%$ составляют $b$?

a) $100\% - a$
$4\% - ?$
$x = $

б) $100\% - ?$
$4\% - b$
$y = $

Чтобы найти процент от числа, нужно это число разделить на 100, чтобы узнать, чему равен 1%, а затем умножить на искомое количество процентов. В данном случае, чтобы найти 4% от числа a, нужно a разделить на 100 и результат умножить на 4.

Это можно записать в виде формулы:

$x = (a : 100) \cdot 4$

Другой способ — это представить проценты в виде десятичной дроби ($4\% = \frac{4}{100} = 0.04$) и умножить число a на эту дробь:

$x = a \cdot 0.04$

Ответ: $x = a : 100 \cdot 4$.

Чтобы найти число по его проценту, нужно известную часть (в данном случае b) разделить на количество процентов, которое она составляет (на 4), чтобы найти, чему равен 1% от искомого числа. Затем, так как целое число — это 100%, нужно полученный результат умножить на 100.

Это можно записать в виде формулы:

$y = (b : 4) \cdot 100$

Другой способ — составить уравнение. Если y — искомое число, то 4% от него равно b. В виде уравнения: $0.04 \cdot y = b$. Отсюда можно найти y:

$y = b : 0.04$

Ответ: $y = b : 4 \cdot 100$.

3 Вычисли:

a) $\frac{5}{8}$ от 16;

б) $\frac{3}{11}$ от 33;

в) $7\%$ от 600;

г) $12\%$ от 30 000.

а)

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь. В данном случае, мы вычисляем $\frac{5}{8}$ от $16$.

Выполним умножение:

$16 \cdot \frac{5}{8} = \frac{16 \cdot 5}{8}$

Можно сократить $16$ и $8$, так как $16 = 2 \cdot 8$.

$\frac{16 \cdot 5}{8} = \frac{(2 \cdot 8) \cdot 5}{8} = 2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10

б)

Аналогично, чтобы найти $\frac{3}{11}$ от $33$, нужно умножить $33$ на дробь $\frac{3}{11}$.

Выполним вычисление:

$33 \cdot \frac{3}{11} = \frac{33 \cdot 3}{11}$

Сократим $33$ и $11$, так как $33 = 3 \cdot 11$.

$\frac{33 \cdot 3}{11} = \frac{(3 \cdot 11) \cdot 3}{11} = 3 \cdot 3 = 9$

Ответ: 9

в)

Чтобы найти процент от числа, нужно сначала перевести проценты в десятичную или обыкновенную дробь. Один процент ($1\%$) — это одна сотая часть числа, то есть $\frac{1}{100}$ или $0.01$.

Следовательно, $7\%$ — это $\frac{7}{100}$ или $0.07$.

Теперь умножим число $600$ на эту дробь:

$600 \cdot \frac{7}{100} = \frac{600 \cdot 7}{100} = 6 \cdot 7 = 42$

Или, используя десятичную дробь:

$600 \cdot 0.07 = 42$

Ответ: 42

г)

Действуем по тому же принципу. Сначала представим $12\%$ в виде дроби.

$12\% = \frac{12}{100}$ или $0.12$.

Теперь умножим число $30\;000$ на полученную дробь:

$30\;000 \cdot \frac{12}{100} = \frac{30\;000 \cdot 12}{100} = 300 \cdot 12 = 3600$

Или, используя десятичную дробь:

$30\;000 \cdot 0.12 = 3600$

Ответ: 3600

Найди число:

а) $ \frac{2}{9} $ которого равны 8;

б) $ \frac{4}{7} $ которого равны 24;

в) $ 5\% $ которого равны 35;

г) $ 18\% $ которого равны 36.

а) Чтобы найти число, зная его часть, выраженную дробью, нужно значение этой части разделить на саму дробь. В данном случае, нам известно, что $ \frac{2}{9} $ от искомого числа равны 8. Пусть искомое число - это $x$. Тогда можно составить уравнение:

$ \frac{2}{9} \cdot x = 8 $

Чтобы найти $x$, нужно 8 разделить на $ \frac{2}{9} $:

$ x = 8 : \frac{2}{9} = 8 \cdot \frac{9}{2} = \frac{72}{2} = 36 $

Ответ: 36

б) По аналогии с предыдущим пунктом, нам известно, что $ \frac{4}{7} $ от искомого числа равны 24. Пусть искомое число - это $y$. Составим уравнение:

$ \frac{4}{7} \cdot y = 24 $

Чтобы найти $y$, разделим 24 на $ \frac{4}{7} $:

$ y = 24 : \frac{4}{7} = 24 \cdot \frac{7}{4} = 6 \cdot 7 = 42 $

Ответ: 42

в) Чтобы найти число по его проценту, нужно сначала представить проценты в виде десятичной дроби, а затем разделить известную часть числа на эту дробь. 5% - это 5 частей из 100, то есть $ \frac{5}{100} $ или 0,05. Пусть искомое число - это $z$. Тогда:

$ 0.05 \cdot z = 35 $

Чтобы найти $z$, разделим 35 на 0,05:

$ z = 35 : 0.05 = 35 : \frac{5}{100} = 35 \cdot \frac{100}{5} = 7 \cdot 100 = 700 $

Ответ: 700

г) Действуем так же, как в пункте в). Сначала переведем проценты в дробь: 18% = $ \frac{18}{100} $ = 0,18. Пусть искомое число - это $w$. Тогда:

$ 0.18 \cdot w = 36 $

Чтобы найти $w$, разделим 36 на 0,18:

$ w = 36 : 0.18 = 36 : \frac{18}{100} = 36 \cdot \frac{100}{18} = 2 \cdot 100 = 200 $

Ответ: 200

5 В аквариум налили 6 л воды, заполнив $2/5$ его объёма.

Сколько литров воды вмещает аквариум?

По условию задачи, 6 литров воды составляют $\frac{2}{5}$ от общего объёма аквариума. Это означает, что 2 части из 5 равны 6 литрам.

Сначала найдём, сколько литров приходится на одну часть ($\frac{1}{5}$) объёма. Для этого разделим известный объём на количество частей, которым он соответствует (то есть на числитель дроби):
$6 \div 2 = 3$ (литра) — составляет $\frac{1}{5}$ объёма.

Теперь мы знаем, что одна из пяти частей аквариума вмещает 3 литра. Полный объём аквариума состоит из 5 таких частей. Чтобы найти его, нужно умножить объём одной части на 5 (знаменатель дроби):
$3 \times 5 = 15$ (литров).

Таким образом, полный объём аквариума составляет 15 литров.

Ответ: 15 литров.

6 Первый мастер делает в час 18 одинаковых деталей, а второй — 25 таких же деталей. За сколько часов, работая вместе с той же производительностью, они сделают 1720 таких деталей? Сколько дней потребуется для этого мастерам, если в день они работают 8 часов?

За сколько часов, работая вместе с той же производительностью, они сделают 1720 таких деталей?

Для начала определим совместную производительность двух мастеров. Для этого нужно сложить количество деталей, которое каждый из них делает за час.

Производительность первого мастера – $18$ деталей/час.
Производительность второго мастера – $25$ деталей/час.

Совместная производительность: $18 + 25 = 43$ детали в час.

Теперь, чтобы найти время, за которое они вместе сделают 1720 деталей, нужно общее количество деталей разделить на их совместную производительность.

Время (в часах) = $\frac{Общее\ количество\ деталей}{Совместная\ производительность} = \frac{1720}{43} = 40$ часов.

Ответ: 40 часов.

Сколько дней потребуется для этого мастерам, если в день они работают 8 часов?

Мы выяснили, что на выполнение всей работы потребуется 40 часов. Чтобы рассчитать количество дней, нужно общее количество рабочих часов разделить на количество часов, которые мастера работают в один день.

Количество дней = $\frac{Общее\ время\ работы}{Количество\ рабочих\ часов\ в\ день} = \frac{40}{8} = 5$ дней.

Ответ: 5 дней.

7 Найди переменные величины и укажи несколько их возможных значений:

а) время начала занятий в школе;

б) продолжительность уроков;

в) число уроков в день;

г) число отсутствующих в классе;

д) число решённых на уроке задач;

е) температура воздуха за окном.

Придумай свои примеры переменных величин и назови их возможные значения.

Переменная величина – это величина, которая может принимать различные числовые значения. Постоянная величина (константа) – это величина, значение которой не изменяется в рамках рассматриваемой задачи. Из перечисленных величин переменными являются в), г), д), е).

а) время начала занятий в школе: В одной и той же школе занятия обычно начинаются в одно и то же время каждый учебный день. Это постоянная величина (константа). Например, 8:30 утра. Ответ: Постоянная величина.

б) продолжительность уроков: Как правило, продолжительность урока в школе зафиксирована и не меняется. Например, 45 минут. Это постоянная величина. Ответ: Постоянная величина.

в) число уроков в день: Эта величина меняется в зависимости от дня недели. В понедельник может быть 6 уроков, во вторник – 5, а в субботу – 4. Возможные значения: 4, 5, 6, 7. Ответ: Переменная величина.

г) число отсутствующих в классе: Эта величина меняется каждый день. В какой-то день могут отсутствовать 3 человека, в другой – 0, а в третий – 5. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4 и так далее (в зависимости от общего числа учеников в классе). Ответ: Переменная величина.

д) число решённых на уроке задач: Эта величина зависит от темы урока, его сложности и темпа работы класса. На одном уроке могут решить 2 задачи, а на другом – 10. Возможные значения: 1, 3, 5, 8. Ответ: Переменная величина.

е) температура воздуха за окном: Эта величина постоянно меняется в течение дня, а также зависит от времени года. Возможные значения: -15°C, 0°C, +20°C. Ответ: Переменная величина.

Примеры своих переменных величин:

1. Количество этажей в здании. Разные здания имеют разное количество этажей. Возможные значения: 2, 5, 9, 25.

2. Скорость автомобиля. Во время движения скорость автомобиля постоянно меняется. Возможные значения: 20 км/ч, 60 км/ч, 90 км/ч.

3. Возраст человека. С каждым годом возраст человека увеличивается. Возможные значения: 7 лет, 15 лет, 40 лет.

8 Переменные $x$ и $y$ связаны зависимостью $y = x \cdot (6 + x) - x \cdot 4$. Заполни таблицу:

Что ты замечаешь? Попробуй выразить зависимость между переменными $x$ и $y$ другой формулой.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо подставить каждое значение $x$ из верхней строки в формулу $y = x \cdot (6 + x) - x \cdot 4$ и вычислить соответствующее значение $y$.

• При $x = 0$: $y = 0 \cdot (6 + 0) - 0 \cdot 4 = 0 \cdot 6 - 0 = 0 - 0 = 0$
• При $x = 1$: $y = 1 \cdot (6 + 1) - 1 \cdot 4 = 1 \cdot 7 - 4 = 7 - 4 = 3$
• При $x = 2$: $y = 2 \cdot (6 + 2) - 2 \cdot 4 = 2 \cdot 8 - 8 = 16 - 8 = 8$
• При $x = 3$: $y = 3 \cdot (6 + 3) - 3 \cdot 4 = 3 \cdot 9 - 12 = 27 - 12 = 15$
• При $x = 4$: $y = 4 \cdot (6 + 4) - 4 \cdot 4 = 4 \cdot 10 - 16 = 40 - 16 = 24$
• При $x = 5$: $y = 5 \cdot (6 + 5) - 5 \cdot 4 = 5 \cdot 11 - 20 = 55 - 20 = 35$
• При $x = 6$: $y = 6 \cdot (6 + 6) - 6 \cdot 4 = 6 \cdot 12 - 24 = 72 - 24 = 48$
• При $x = 7$: $y = 7 \cdot (6 + 7) - 7 \cdot 4 = 7 \cdot 13 - 28 = 91 - 28 = 63$
• При $x = 8$: $y = 8 \cdot (6 + 8) - 8 \cdot 4 = 8 \cdot 14 - 32 = 112 - 32 = 80$
• При $x = 9$: $y = 9 \cdot (6 + 9) - 9 \cdot 4 = 9 \cdot 15 - 36 = 135 - 36 = 99$
• При $x = 10$: $y = 10 \cdot (6 + 10) - 10 \cdot 4 = 10 \cdot 16 - 40 = 160 - 40 = 120$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что каждое значение $y$ равно произведению соответствующего значения $x$ на число, которое на 2 больше, чем $x$. Например:

• Для $x=1$, $y=3$, что равно $1 \cdot (1+2)$.
• Для $x=4$, $y=24$, что равно $4 \cdot (4+2)$.
• Для $x=10$, $y=120$, что равно $10 \cdot (10+2)$.

Эта закономерность выполняется для всех пар значений $x$ и $y$ в таблице.

Ответ: Значение $y$ получается умножением $x$ на число, которое на 2 больше $x$.

Попробуй выразить зависимость между переменными x и y другой формулой.

Исходную формулу $y = x \cdot (6 + x) - x \cdot 4$ можно упростить, используя алгебраические преобразования. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$y = x \cdot ((6 + x) - 4)$

Теперь упростим выражение внутри скобок:

$y = x \cdot (6 + x - 4)$

$y = x \cdot (x + 2)$

Также можно было сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые:

$y = x \cdot (6 + x) - x \cdot 4 = 6x + x^2 - 4x = x^2 + (6x - 4x) = x^2 + 2x$

Обе полученные формулы, $y = x \cdot (x + 2)$ и $y = x^2 + 2x$, являются более простым выражением исходной зависимости.

Ответ: $y = x \cdot (x + 2)$ или $y = x^2 + 2x$.

9 Старинная задача.

Решая задачу, мальчик делил 40 на 8. Он расположил ход действия так, как показано внизу. Сестра сказала ему, что решение неверно. Мальчик начал проверять деление, умножая делитель на частное, и вновь получил делимое 40. В чем ошибся мальчик?

$$ \begin{array}{r|l} 40 & 8 \\ \cline{2-2} \underline{-32} & 41 \\ \quad 8 & \\ \underline{-\quad 8} & \\ \quad 0 & \end{array} $$

П р о в е р к а:

$$ \begin{array}{r l} \quad 8 & \text{--- делитель} \\ \times 41 & \text{--- частное} \\ \cline{1-1} \quad 8 & \\ + \quad 32 & \\ \cline{1-1} \quad 40 & \text{--- делимое} \end{array} $$

Мальчик допустил две серьезные ошибки: одну при выполнении деления, а вторую — при его проверке. Эти две ошибки привели к тому, что неверное решение при проверке совпало с исходными данными.

Ошибка в алгоритме деления

При делении 40 на 8 мальчик действовал не по правилам деления в столбик. Правильный ответ $40 \div 8 = 5$. Мальчик же сначала решил, что 8 помещается в 40 только 4 раза, и записал "4" в частное, вычислив произведение $4 \times 8 = 32$. Затем он нашел остаток: $40 - 32 = 8$. Уже на этом этапе следовало заметить ошибку, так как остаток (8) не может быть равен делителю (8), он всегда должен быть меньше. Вместо того чтобы исправить ошибку, он разделил остаток 8 на делитель 8, получил 1 и приписал эту единицу к уже найденной четверке, получив в итоге 41. Это грубое нарушение алгоритма деления.

Ошибка в алгоритме умножения (при проверке)

При проверке, умножая делитель 8 на полученное им частное 41, мальчик снова допустил ошибку, но уже в умножении. Он проигнорировал разряды числа 41. Правильное умножение выглядит так: $8 \times 41 = 8 \times (40 + 1) = 8 \times 40 + 8 \times 1 = 320 + 8 = 328$. Мальчик же умножил 8 на каждую цифру числа 41 по отдельности и просто сложил результаты, как если бы они были из одного разряда: $(8 \times 1) + (8 \times 4) = 8 + 32 = 40$. Из-за этой второй ошибки результат его неверной проверки случайно совпал с исходным делимым 40, что и сбило его с толку.

Ответ: Ошибка мальчика заключается в том, что он неверно применил алгоритмы как для деления, так и для умножения. При делении он неправильно подобрал первую цифру частного и некорректно обработал остаток. При проверке он проигнорировал разрядность числа 41, выполнив умножение без учета того, что цифра "4" обозначает десятки.

41 Заполни пустые клетки и запиши подходящие операции:

$7 \xrightarrow{+8} 15$

$15 \xleftarrow{-8} 7$

$7 \xrightarrow{\cdot 8} 56$

$56 \xleftarrow{\div 8} 7$

Какие арифметические операции обратны друг другу?

Заполни пустые клетки и запиши подходящие операции:

Для первой схемы (слева):
1. Чтобы заполнить пустую клетку, выполним указанную операцию сложения:
$7 + 8 = 15$
Таким образом, в пустой клетке должно быть число 15.
2. Теперь найдем обратную операцию. Чтобы из числа 15 получить исходное число 7, нужно выполнить действие, обратное сложению, то есть вычитание:
$15 - 8 = 7$
Следовательно, под обратной стрелкой необходимо записать операцию «- 8».
Ответ: В пустой клетке — 15, под обратной стрелкой — операция «- 8».

Для второй схемы (справа):
1. Чтобы заполнить пустую клетку, выполним указанную операцию умножения:
$7 \cdot 8 = 56$
Таким образом, в пустой клетке должно быть число 56.
2. Теперь найдем обратную операцию. Чтобы из числа 56 получить исходное число 7, нужно выполнить действие, обратное умножению, то есть деление:
$56 : 8 = 7$
Следовательно, под обратной стрелкой необходимо записать операцию «: 8».
Ответ: В пустой клетке — 56, под обратной стрелкой — операция «: 8».

Какие арифметические операции обратны друг другу?

Обратные арифметические операции — это пары операций, в которых одна отменяет действие другой. Если выполнить одну операцию, а затем обратную ей, мы вернемся к исходному числу.
На основе выполненных заданий можно выделить следующие пары взаимно обратных операций:
- Сложение и вычитание. Если к числу прибавить 8, а потом из результата вычесть 8, мы вернемся к исходному числу: $(7 + 8) - 8 = 7$.
- Умножение и деление. Если число умножить на 8, а потом результат разделить на 8, мы вернемся к исходному числу: $(7 \cdot 8) : 8 = 7$.
Ответ: Взаимно обратными операциями являются: сложение и вычитание; умножение и деление.

42 Найди сходство и отличие двух задач, проиллюстрируй отличие с помощью схемы.

а) 12 мячей разложили поровну в 3 коробки. Сколько мячей в каждой коробке?

б) 12 мячей разложили в коробки по 3 мяча в каждую. Сколько получилось коробок?

Что значит — разделить число $a$ на число $b$? Какие два вида деления ты знаешь?

Сходство этих двух задач заключается в том, что они обе решаются одним и тем же арифметическим действием — делением, и используют одинаковые числа (12 и 3). Результат вычисления в обеих задачах также совпадает: $12 \div 3 = 4$.

Отличие состоит в смысле самого действия и в том, какая величина является искомой.

• В задаче а) известно общее количество предметов (12) и количество групп (3 коробки). Требуется найти количество предметов в каждой группе. Это деление на равные части.
• В задаче б) известно общее количество предметов (12) и количество предметов в каждой группе (по 3 мяча). Требуется найти количество групп (коробок). Это деление по содержанию.

Иллюстрация отличий с помощью схемы:

Схема к задаче а) (деление на равные части):
Есть 12 мячей и 3 коробки. Нужно узнать, сколько мячей будет в каждой коробке.

Схема к задаче б) (деление по содержанию):
Есть 12 мячей, их раскладывают по 3 в каждую коробку. Нужно узнать, сколько коробок понадобится.

а) 12 мячей разложили поровну в 3 коробки. Сколько мячей в каждой коробке?

Чтобы найти, сколько мячей в каждой коробке, необходимо общее количество мячей (делимое) разделить на количество коробок (делитель).
$12 \div 3 = 4$ (мяча).
Ответ: в каждой коробке 4 мяча.

б) 12 мячей разложили в коробки по 3 мяча в каждую. Сколько получилось коробок?

Чтобы найти, сколько понадобилось коробок, необходимо общее количество мячей (делимое) разделить на количество мячей в одной коробке (делитель).
$12 \div 3 = 4$ (коробки).
Ответ: получилось 4 коробки.

Что значит — разделить число a на число b? Какие два вида деления ты знаешь?

Разделить число $a$ на число $b$ — это значит найти такое число $c$, которое при умножении на делитель $b$ в результате даст делимое $a$. Это можно записать формулой: $a \div b = c$, где $c \times b = a$.

Два вида деления, которые рассматриваются в задачах:

1. Деление на равные части — это когда мы делим целое на известное количество равных частей, чтобы найти размер одной части (как в задаче а).
2. Деление по содержанию — это когда мы делим целое на части с известным размером, чтобы найти количество таких частей (как в задаче б).

43 Допиши равенства и объясни их геометрический смысл. Отметь компоненты действий, соответствующие сторонам и площади прямоугольника.

a

c

b

$a \cdot b = \Box$

$\Box : \Box = \Box$

$\Box \cdot \Box = \Box$

$\Box : \Box = \Box$

Объясни, как сделать проверку умножения и деления.

Допиши равенства и объясни их геометрический смысл. Отметь компоненты действий, соответствующие сторонам и площади прямоугольника.

На рисунке изображен прямоугольник со сторонами $a$ (длина) и $b$ (ширина). Его площадь обозначена буквой $c$. Связь между этими величинами можно выразить следующими равенствами:

1. $a \cdot b = c$

Геометрический смысл: Площадь прямоугольника ($c$) равна произведению длин его сторон ($a$ и $b$).

Компоненты действия: $a$ — множитель (соответствует стороне), $b$ — множитель (соответствует стороне), $c$ — произведение (соответствует площади).

2. $b \cdot a = c$

Геометрический смысл: Это равенство иллюстрирует переместительное свойство умножения. От перестановки множителей (длин сторон) произведение (площадь) не меняется.

Компоненты действия: $b$ — множитель (соответствует стороне), $a$ — множитель (соответствует стороне), $c$ — произведение (соответствует площади).

3. $c : a = b$

Геометрический смысл: Чтобы найти одну сторону прямоугольника ($b$), нужно его площадь ($c$) разделить на известную другую сторону ($a$).

Компоненты действия: $c$ — делимое (соответствует площади), $a$ — делитель (соответствует стороне), $b$ — частное (соответствует стороне).

4. $c : b = a$

Геометрический смысл: Чтобы найти одну сторону прямоугольника ($a$), нужно его площадь ($c$) разделить на известную другую сторону ($b$).

Компоненты действия: $c$ — делимое (соответствует площади), $b$ — делитель (соответствует стороне), $a$ — частное (соответствует стороне).

Ответ: Заполненные равенства: $a \cdot b = c$; $c : a = b$; $b \cdot a = c$; $c : b = a$. Компоненты, соответствующие сторонам $a$ и $b$, — это множители, делитель и частное. Компонент, соответствующий площади $c$, — это произведение и делимое.

Объясни, как сделать проверку умножения и деления.

Проверка этих арифметических действий основана на их взаимной обратности, что хорошо видно на примере с площадью прямоугольника.

Проверка умножения

Чтобы проверить правильность умножения ($a \cdot b = c$), нужно произведение ($c$) разделить на один из множителей ($a$ или $b$). Если в результате получится второй множитель, то умножение выполнено верно.
Например, для проверки равенства $a \cdot b = c$ можно выполнить деление: $c : a = b$ или $c : b = a$.

Проверка деления

Чтобы проверить правильность деления ($c : a = b$), можно выполнить одно из двух действий:
1. Умножить частное ($b$) на делитель ($a$). Если в результате получится делимое ($c$), то деление выполнено верно. То есть, $b \cdot a$ должно быть равно $c$.
2. Разделить делимое ($c$) на частное ($b$). Если в результате получится делитель ($a$), то деление выполнено верно. То есть, $c : b$ должно быть равно $a$.

Ответ: Умножение проверяется обратным действием — делением (произведение делят на один из множителей). Деление проверяется обратным действием — умножением (частное умножают на делитель), или же другим действием деления (делимое делят на частное).

44 a) Раздели число 288 600 на 74 равные части.

б) Сколько раз число 283 содержится в числе 172 347?

в) Найди частное чисел 387 100 и 395.

г) Во сколько раз 1 002 560 больше, чем 482?

д) Кратно ли число 503 232 числу 67?

е) Является ли число 2405 делителем числа 163 540?

ж) Произведение двух множителей равно 375 300, один из них равен 75. Найди второй множитель.

а) Чтобы разделить число 288 600 на 74 равные части, необходимо выполнить операцию деления:

$288600 \div 74 = 3900$

Проверка: $3900 \times 74 = 288600$.

Ответ: 3900

б) Чтобы узнать, сколько раз число 283 содержится в числе 172 347, нужно разделить 172 347 на 283:

$172347 \div 283 = 609$

Проверка: $609 \times 283 = 172347$.

Ответ: 609 раз

в) Частное чисел 387 100 и 395 находится путем деления первого числа на второе:

$387100 \div 395 = 980$

Проверка: $980 \times 395 = 387100$.

Ответ: 980

г) Чтобы определить, во сколько раз число 1 002 560 больше, чем 482, нужно разделить большее число на меньшее:

$1002560 \div 482 = 2080$

Проверка: $2080 \times 482 = 1002560$.

Ответ: в 2080 раз

д) Чтобы проверить, кратно ли число 503 232 числу 67, нужно разделить 503 232 на 67. Если деление происходит без остатка (остаток равен 0), то число кратно.

Выполним деление:

$503232 \div 67 = 7510$ (остаток 62)

Так как при делении получается остаток, отличный от нуля, число 503 232 не делится нацело на 67 и, следовательно, не кратно ему.

Ответ: нет, не кратно.

е) Чтобы определить, является ли число 2405 делителем числа 163 540, нужно проверить, делится ли 163 540 на 2405 без остатка.

Выполним деление:

$163540 \div 2405 = 68$

Деление выполняется без остатка, следовательно, 2405 является делителем числа 163 540.

Ответ: да, является.

ж) Дано произведение двух множителей, равное 375 300, и один из множителей, равный 75. Чтобы найти второй множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Пусть второй множитель равен $x$. Тогда $75 \times x = 375300$.

$x = 375300 \div 75$

$x = 5004$

Проверка: $5004 \times 75 = 375300$.

Ответ: 5004

45 Прочитай выражение, сделай прикидку и вычисли:

а) $3\ 150\ 100 : 5;$

б) $4\ 413\ 920 : 49;$

в) $2\ 292\ 160 : 754.$

а) Выражение читается: «три миллиона сто пятьдесят тысяч сто разделить на пять».
Прикидка: Округлим делимое $3 150 100$ до ближайшего удобного числа, например, $3 000 000$. Тогда $3 000 000 : 5 = 600 000$. Или, для большей точности, округлим до $3 150 000$. Тогда $3 150 000 : 5 = 630 000$. Ожидаемый результат близок к $630 000$.
Вычисление: Решим делением в столбик.
1. Первое неполное делимое — $31$. $31 : 5 = 6$ (остаток $1$). Записываем $6$ в частное.
2. К остатку $1$ сносим следующую цифру $5$, получаем $15$. $15 : 5 = 3$. Записываем $3$ в частное.
3. Сносим $0$. $0 : 5 = 0$. Записываем $0$ в частное.
4. Сносим $1$. $1$ на $5$ не делится, записываем в частное $0$.
5. К остатку $1$ сносим $0$, получаем $10$. $10 : 5 = 2$. Записываем $2$ в частное.
6. Последний $0$ из делимого переносим в частное.
Получаем: $3 150 100 : 5 = 630 020$.
Ответ: $630 020$.

б) Выражение читается: «четыре миллиона четыреста тринадцать тысяч девятьсот двадцать разделить на сорок девять».
Прикидка: Округлим делитель $49$ до $50$ и делимое $4 413 920$ до $4 500 000$. Тогда $4 500 000 : 50 = 450 000 : 5 = 90 000$. Ожидаемый результат близок к $90 000$.
Вычисление: Решим делением в столбик.
1. Первое неполное делимое — $441$. $441 : 49 = 9$. Записываем $9$ в частное.
2. Сносим $3$. $3$ на $49$ не делится, записываем в частное $0$.
3. Сносим $9$, получаем $39$. $39$ на $49$ не делится, записываем в частное еще один $0$.
4. Сносим $2$, получаем $392$. $392 : 49 = 8$. Записываем $8$ в частное.
5. Последний $0$ из делимого переносим в частное.
Получаем: $4 413 920 : 49 = 90 080$.
Ответ: $90 080$.

в) Выражение читается: «два миллиона двести девяносто две тысячи сто шестьдесят разделить на семьсот пятьдесят четыре».
Прикидка: Округлим делитель $754$ до $750$ и делимое $2 292 160$ до $2 250 000$ (т.к. $225$ делится на $75$). Тогда $2 250 000 : 750 = 225 000 : 75 = 3 000$. Ожидаемый результат близок к $3 000$.
Вычисление: Решим делением в столбик.
1. Первое неполное делимое — $2292$. $2292 : 754$. Подбираем цифру: $754 \times 3 = 2262$. Записываем $3$ в частное. Остаток $2292 - 2262 = 30$.
2. Сносим $1$, получаем $301$. $301$ на $754$ не делится, записываем в частное $0$.
3. Сносим $6$, получаем $3016$. $3016 : 754$. Подбираем цифру: $754 \times 4 = 3016$. Записываем $4$ в частное. Остаток $0$.
4. Последний $0$ из делимого переносим в частное.
Получаем: $2 292 160 : 754 = 3040$.
Ответ: $3040$.

46 Реши уравнение с комментированием и сделай проверку:

а) $x \cdot 80 = 28\ 320$;

б) $y : 204 = 352$;

в) $20\ 640 : t = 645$.

а) $x \cdot 80 = 28320$

В этом уравнении $x$ – это неизвестный множитель, 80 – известный множитель, а 28320 – произведение.

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

$x = 28320 : 80$

Для удобства вычисления можно убрать по одному нулю у делимого и делителя:

$x = 2832 : 8$

$x = 354$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение, чтобы проверить верность решения.

$354 \cdot 80 = 28320$

$28320 = 28320$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 354$

б) $y : 204 = 352$

В данном уравнении $y$ – неизвестное делимое, 204 – делитель, 352 – частное.

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

$y = 352 \cdot 204$

$y = 71808$

Проверка:

Подставим полученное значение $y$ в первоначальное уравнение.

$71808 : 204 = 352$

$352 = 352$

Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $y = 71808$

в) $20640 : t = 645$

Здесь 20640 – это делимое, $t$ – неизвестный делитель, а 645 – частное.

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

$t = 20640 : 645$

$t = 32$

Проверка:

Выполним проверку, подставив найденное значение $t$ в исходное уравнение.

$20640 : 32 = 645$

$645 = 645$

Равенство верное, следовательно, решение правильное.

Ответ: $t = 32$