Страница 94, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Практическая работа.

а) Вырежи из бумаги прямоугольник $ABCD$ со сторонами 3 см и 4 см и разрежь его по диагонали $AC$. Равны ли полученные треугольники? Докажи.

б) Рассмотри треугольники $ABC$ и $ADC$. Объясни, почему такие треугольники называют прямоугольными.

в) Сравни площади треугольников $ABC$, $ADC$ и прямоугольника $ABCD$.

г) Запиши формулу, устанавливающую зависимость между площадью $S$ прямоугольного треугольника и его катетами $a$ и $b$.

$S = \frac{1}{2}ab$

а)

Да, полученные треугольники $ABC$ и $ADC$ равны. Докажем это, сравнив треугольники $ABC$ и $ADC$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$, так как это противоположные стороны прямоугольника $ABCD$.

2. Сторона $BC$ равна стороне $AD$, так как это также противоположные стороны прямоугольника $ABCD$.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Да, полученные треугольники равны.

б)

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен $90^\circ$. В прямоугольнике $ABCD$ все углы прямые. Угол $B$ в треугольнике $ABC$ и угол $D$ в треугольнике $ADC$ равны $90^\circ$. Так как каждый из этих треугольников содержит прямой угол, они называются прямоугольными.

Ответ: Эти треугольники называются прямоугольными, так как у каждого из них есть прямой угол ($\angle B = 90^\circ$ в треугольнике $ABC$ и $\angle D = 90^\circ$ в треугольнике $ADC$), унаследованный от прямоугольника $ABCD$.

в)

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется как произведение его сторон:

$S_{ABCD} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Так как треугольники $ABC$ и $ADC$ равны (доказано в пункте а), их площади также равны: $S_{ABC} = S_{ADC}$. Диагональ $AC$ делит прямоугольник на два этих равных треугольника, поэтому площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника:

$S_{ABC} = S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{12 \text{ см}^2}{2} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{ABC} = S_{ADC} = 6 \text{ см}^2$. Площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника $ABCD$ ($S_{ABCD} = 12 \text{ см}^2$).

г)

Площадь $S$ прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов $a$ и $b$. Катеты — это стороны, образующие прямой угол. Прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ составляет ровно половину прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, площадь которого равна $a \cdot b$. Формула площади прямоугольного треугольника:

Ответ: $S = \frac{1}{2}ab$

3 От пристани Солнечная одновременно в противоположных направлениях отплыли два катера. Через $3 \text{ ч}$ расстояние между ними стало равно $168 \text{ км}$. Найди скорость второго катера, если скорость первого катера равна $25 \text{ км/ч}$.

$25 \text{ км/ч}$ $? \text{ км/ч}$

$168 \text{ км}$ $t = 3 \text{ ч}$

Для решения этой задачи можно воспользоваться одним из двух способов.

Этот способ основан на том, что при движении в противоположных направлениях расстояние между объектами увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта суммарная скорость называется скоростью удаления.

1. Найдем скорость удаления катеров ($V_{уд}$). За 3 часа расстояние между ними стало 168 км. Чтобы найти скорость удаления, нужно разделить общее расстояние ($S$) на время ($t$).

$V_{уд} = S \div t = 168 \text{ км} \div 3 \text{ ч} = 56 \text{ км/ч}$

2. Скорость удаления равна сумме скоростей первого ($V_1$) и второго ($V_2$) катеров.

$V_{уд} = V_1 + V_2$

3. Теперь, зная скорость удаления (56 км/ч) и скорость первого катера (25 км/ч), мы можем найти скорость второго катера, вычтя скорость первого из общей скорости удаления.

$V_2 = V_{уд} - V_1 = 56 \text{ км/ч} - 25 \text{ км/ч} = 31 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость второго катера 31 км/ч.

Этот способ заключается в том, чтобы поочередно найти расстояние, пройденное каждым катером, а затем вычислить скорость второго катера.

1. Найдем расстояние ($S_1$), которое прошел первый катер за 3 часа. Для этого умножим его скорость ($V_1$) на время в пути ($t$).

$S_1 = V_1 \cdot t = 25 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 75 \text{ км}$

2. Общее расстояние между катерами (168 км) складывается из расстояний, которые прошел каждый из них. Найдем расстояние ($S_2$), которое прошел второй катер, вычтя из общего расстояния путь первого катера.

$S_2 = S_{общ} - S_1 = 168 \text{ км} - 75 \text{ км} = 93 \text{ км}$

3. Зная, что второй катер прошел 93 км за 3 часа, найдем его скорость ($V_2$), разделив пройденное им расстояние ($S_2$) на время ($t$).

$V_2 = S_2 \div t = 93 \text{ км} \div 3 \text{ ч} = 31 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость второго катера 31 км/ч.

4 Составь по схемам задачи и реши их. Что ты замечаешь?

а) Скорости: $15 \text{ км/ч}$, $20 \text{ км/ч}$

Расстояние между начальными точками: $10 \text{ км}$

Общее расстояние: $? \text{ км}$

Время: $t = 2 \text{ ч}$

б) Скорости: $? \text{ км/ч}$, $20 \text{ км/ч}$

Расстояние между начальными точками: $10 \text{ км}$

Общее расстояние: $80 \text{ км}$

Время: $t = 2 \text{ ч}$

в) Скорости: $15 \text{ км/ч}$, $20 \text{ км/ч}$

Расстояние между начальными точками: $? \text{ км}$

Общее расстояние: $80 \text{ км}$

Время: $t = 2 \text{ ч}$

г) Скорости: $15 \text{ км/ч}$, $20 \text{ км/ч}$

Расстояние между начальными точками: $10 \text{ км}$

Общее расстояние: $80 \text{ км}$

Время: $t = ? \text{ ч}$

а)

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми 10 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два объекта. Скорость первого объекта 15 км/ч, а второго — 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Найдем скорость удаления объектов. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 15 \text{ км/ч} + 20 \text{ км/ч} = 35 \text{ км/ч}$.

2. Найдем, на какое расстояние объекты удалятся друг от друга за 2 часа:
$S_{уд} = v_{уд} \cdot t = 35 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 70 \text{ км}$.

3. Найдем итоговое расстояние между объектами, прибавив к первоначальному расстоянию то расстояние, на которое они удалились:
$S = S_0 + S_{уд} = 10 \text{ км} + 70 \text{ км} = 80 \text{ км}$.

Ответ: 80 км.

б)

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми 10 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два объекта. Через 2 часа расстояние между ними стало 80 км. Найдите скорость первого объекта, если скорость второго — 20 км/ч.

Решение:

1. Найдем, на какое расстояние объекты удалились друг от друга за 2 часа (без учета начального расстояния):
$S_{уд} = S - S_0 = 80 \text{ км} - 10 \text{ км} = 70 \text{ км}$.

2. Найдем общую скорость удаления объектов:
$v_{уд} = S_{уд} / t = 70 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 35 \text{ км/ч}$.

3. Скорость удаления равна сумме скоростей объектов. Найдем скорость первого объекта:
$v_1 = v_{уд} - v_2 = 35 \text{ км/ч} - 20 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$.

Ответ: 15 км/ч.

в)

Задача: Из двух пунктов одновременно в противоположных направлениях выехали два объекта со скоростями 15 км/ч и 20 км/ч. Через 2 часа расстояние между ними стало 80 км. Какое расстояние было между ними изначально?

Решение:

1. Найдем скорость удаления объектов:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 15 \text{ км/ч} + 20 \text{ км/ч} = 35 \text{ км/ч}$.

2. Найдем, на какое расстояние объекты удалились друг от друга за 2 часа:
$S_{уд} = v_{уд} \cdot t = 35 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 70 \text{ км}$.

3. Найдем начальное расстояние, вычтя из конечного расстояния то, на которое они удалились:
$S_0 = S - S_{уд} = 80 \text{ км} - 70 \text{ км} = 10 \text{ км}$.

Ответ: 10 км.

г)

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми 10 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два объекта со скоростями 15 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними станет 80 км?

Решение:

1. Найдем, на какое расстояние должны удалиться объекты, чтобы итоговое расстояние стало 80 км:
$S_{уд} = S - S_0 = 80 \text{ км} - 10 \text{ км} = 70 \text{ км}$.

2. Найдем скорость удаления объектов:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 15 \text{ км/ч} + 20 \text{ км/ч} = 35 \text{ км/ч}$.

3. Найдем время, за которое они преодолеют это расстояние:
$t = S_{уд} / v_{уд} = 70 \text{ км} / 35 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: 2 ч.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все четыре задачи описывают одну и ту же ситуацию движения двух объектов. Они являются взаимообратными. В задаче а) находится конечное расстояние по известным скоростям, времени и начальному расстоянию. В задачах б), в) и г) поочередно находятся одна из скоростей, начальное расстояние и время, используя те же числовые данные.

5 Придумай и реши задачу на движение в противоположных направлениях. Составь обратную задачу и реши её.

Задача на движение в противоположных направлениях

Условие: Из одного села одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 12 км/ч, а скорость второго — 15 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1) Чтобы найти, на сколько километров велосипедисты удаляются друг от друга за один час, нужно сложить их скорости. Это называется скоростью удаления.
$v_{удаления} = v_1 + v_2 = 12 + 15 = 27$ (км/ч)

2) Теперь умножим скорость удаления на время в пути, чтобы найти итоговое расстояние между ними.
$S = v_{удаления} \cdot t = 27 \cdot 2 = 54$ (км)

Ответ: через 2 часа расстояние между велосипедистами будет 54 км.

Обратная задача

Условие: Из одного села одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 12 км/ч, а скорость второго — 15 км/ч. Через сколько времени расстояние между ними будет 54 км?

Решение:

1) Сначала, как и в прямой задаче, найдем скорость удаления велосипедистов.
$v_{удаления} = v_1 + v_2 = 12 + 15 = 27$ (км/ч)

2) Теперь, зная общее расстояние и скорость удаления, мы можем найти время. Для этого нужно расстояние разделить на скорость удаления.
$t = S : v_{удаления} = 54 : 27 = 2$ (ч)

Ответ: расстояние между велосипедистами составит 54 км через 2 часа.

6 а) Из двух городов, удалённых друг от друга на 1680 км, одновременно навстречу друг другу вышли 2 поезда. Всё расстояние первый поезд проходит за 21 ч, а второй — за 28 ч. Через сколько часов поезда встретятся?

? км/ч

? км/ч

1680 км $t_{\text{встр.}}=?$

$s$ $v$ $t$

I 1680 км ? км/ч 21 ч

II 1680 км ? км/ч 28 ч

б) Реши предыдущую задачу, если расстояние между городами равно 672 км, 1260 км. Что ты замечаешь?

а)

Для решения задачи сначала найдем скорости каждого поезда. Скорость вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

1. Найдем скорость первого поезда ($v_1$). Он проходит расстояние $S = 1680$ км за $t_1 = 21$ ч.

   $v_1 = \frac{1680 \text{ км}}{21 \text{ ч}} = 80$ км/ч.

2. Найдем скорость второго поезда ($v_2$). Он проходит то же расстояние $S = 1680$ км за $t_2 = 28$ ч.

   $v_2 = \frac{1680 \text{ км}}{28 \text{ ч}} = 60$ км/ч.

3. Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их общая скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей.

   $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 140$ км/ч.

4. Теперь найдем время ($t_{встр}$), через которое поезда встретятся. Для этого нужно общее расстояние разделить на скорость сближения.

   $t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{1680 \text{ км}}{140 \text{ км/ч}} = 12$ ч.

Ответ: поезда встретятся через 12 часов.

б)

Решим задачу для новых значений расстояния, исходя из условия, что первый поезд по-прежнему проходит всё расстояние за 21 час, а второй — за 28 часов.

Случай 1: Расстояние равно 672 км.

1. Скорость первого поезда: $v_1 = \frac{672 \text{ км}}{21 \text{ ч}} = 32$ км/ч.

2. Скорость второго поезда: $v_2 = \frac{672 \text{ км}}{28 \text{ ч}} = 24$ км/ч.

3. Скорость сближения: $v_{сбл} = 32 \text{ км/ч} + 24 \text{ км/ч} = 56$ км/ч.

4. Время до встречи: $t_{встр} = \frac{672 \text{ км}}{56 \text{ км/ч}} = 12$ ч.

Случай 2: Расстояние равно 1260 км.

1. Скорость первого поезда: $v_1 = \frac{1260 \text{ км}}{21 \text{ ч}} = 60$ км/ч.

2. Скорость второго поезда: $v_2 = \frac{1260 \text{ км}}{28 \text{ ч}} = 45$ км/ч.

3. Скорость сближения: $v_{сбл} = 60 \text{ км/ч} + 45 \text{ км/ч} = 105$ км/ч.

4. Время до встречи: $t_{встр} = \frac{1260 \text{ км}}{105 \text{ км/ч}} = 12$ ч.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что время до встречи поездов не зависит от расстояния между городами. Во всех трех случаях (1680 км, 672 км и 1260 км) поезда встречаются через 12 часов.

Это происходит потому, что при изменении расстояния $S$ пропорционально меняются и скорости поездов ($v_1 = S/t_1$ и $v_2 = S/t_2$), так как время на преодоление всего пути для каждого поезда ($t_1=21$ ч и $t_2=28$ ч) остается постоянным. В результате время до встречи, которое можно найти по общей формуле $t_{встр} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$, зависит только от времени $t_1$ и $t_2$, но не от расстояния $S$.

$t_{встр} = \frac{21 \cdot 28}{21 + 28} = \frac{588}{49} = 12$ ч.

Ответ: если расстояние между городами равно 672 км или 1260 км, поезда в обоих случаях встретятся через 12 часов. Можно заметить, что время до встречи не зависит от расстояния между городами, если время прохождения всего пути каждым поездом остается неизменным.

7 Найди последнее действие и прочитай выражения:

$a - b \cdot c;$ $(m \cdot k) : (c - d);$ $n : s - (k + d);$

$x : y + d;$ $(a + b) : (t : p);$ $(b - m) + y \cdot a.$

$a - b \cdot c$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Умножение: $b \cdot c$
2. Вычитание: $a - (b \cdot c)$

Последним действием является вычитание. Выражение читается как "разность числа a и произведения чисел b и c".
Ответ: последнее действие — вычитание.

$(m \cdot k) : (c - d)$
Сначала выполняются действия в скобках, а затем деление.

1. Умножение в первой скобке: $m \cdot k$
2. Вычитание во второй скобке: $c - d$
3. Деление: $(m \cdot k) : (c - d)$

Последним действием является деление. Выражение читается как "частное от деления произведения чисел m и k на разность чисел c и d".
Ответ: последнее действие — деление.

$n : s - (k + d)$
Сначала выполняется действие в скобках, затем деление, и в последнюю очередь вычитание.

1. Сложение в скобках: $k + d$
2. Деление: $n : s$
3. Вычитание: $(n : s) - (k + d)$

Последним действием является вычитание. Выражение читается как "разность частного чисел n и s и суммы чисел k и d".
Ответ: последнее действие — вычитание.

$x : y + d$
Сначала выполняется деление, а затем сложение.

1. Деление: $x : y$
2. Сложение: $(x : y) + d$

Последним действием является сложение. Выражение читается как "сумма частного чисел x и y и числа d".
Ответ: последнее действие — сложение.

$(a + b) \cdot (t : p)$
Сначала выполняются действия в каждой из скобок, а затем умножение их результатов.

1. Сложение в первой скобке: $a + b$
2. Деление во второй скобке: $t : p$
3. Умножение: $(a + b) \cdot (t : p)$

Последним действием является умножение. Выражение читается как "произведение суммы чисел a и b и частного чисел t и p".
Ответ: последнее действие — умножение.

$(b - m) + y \cdot a$
Сначала выполняются действие в скобках и умножение, а затем сложение их результатов.

1. Вычитание в скобках: $b - m$
2. Умножение: $y \cdot a$
3. Сложение: $(b - m) + (y \cdot a)$

Последним действием является сложение. Выражение читается как "сумма разности чисел b и m и произведения чисел y и a".
Ответ: последнее действие — сложение.

62 Найди значение выражения:

a) $7740 : 86 \cdot 35 + 2000 : 8 - (5760 : 90) \cdot 52 + 38430 : 7;$

б) $54200 - 49 \cdot 76 - (24792 + 5874) : 38 + 705 \cdot 108 : 30;$

в) $(32999 + 62111) : 1 - (508 \cdot 45 + 4544 \cdot 1) : 34 - 2748;$

г) $1536300 : 270 \cdot (56484 : 523) - (7125 - 0 : 4726) \cdot 248 : 62.$

а) $7740 : 86 \cdot 35 + 2000 : 8 - (5760 : 90) \cdot 52 + 38430 : 7$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в конце сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполним действие в скобках: $5760 : 90 = 64$.

2. Выполним операции умножения и деления по порядку:

$7740 : 86 = 90$

$90 \cdot 35 = 3150$

$2000 : 8 = 250$

$64 \cdot 52 = 3328$ (используем результат из первого действия)

$38430 : 7 = 5490$

3. Теперь подставим полученные значения в выражение и выполним сложение и вычитание:

$3150 + 250 - 3328 + 5490 = 3400 - 3328 + 5490 = 72 + 5490 = 5562$

Ответ: 5562

б) $54200 - 49 \cdot 76 - (24792 + 5874) : 38 + 705 \cdot 108 : 30$

1. Выполним действие в скобках: $24792 + 5874 = 30666$.

2. Выполним операции умножения и деления по порядку:

$49 \cdot 76 = 3724$

$30666 : 38 = 807$ (используем результат из первого действия)

$705 \cdot 108 = 76140$

$76140 : 30 = 2538$

3. Подставим значения и выполним сложение и вычитание:

$54200 - 3724 - 807 + 2538 = 50476 - 807 + 2538 = 49669 + 2538 = 52207$

Ответ: 52207

в) $(32999 + 62111) : 1 - (508 \cdot 45 + 4544 \cdot 1) : 34 - 2748$

1. Вычислим значения выражений в скобках:

Первая скобка: $32999 + 62111 = 95110$.

Вторая скобка: $508 \cdot 45 + 4544 \cdot 1 = 22860 + 4544 = 27404$.

2. Подставим результаты в исходное выражение:

$95110 : 1 - 27404 : 34 - 2748$

3. Выполним деление:

$95110 : 1 = 95110$

$27404 : 34 = 806$

4. Выполним вычитание:

$95110 - 806 - 2748 = 94304 - 2748 = 91556$

Ответ: 91556

г) $1536300 : 270 \cdot (56484 : 523) - (7125 - 0 : 4726) \cdot 248 : 62$

1. Вычислим значения выражений в скобках:

Первая скобка: $56484 : 523 = 108$.

Вторая скобка: $7125 - 0 : 4726 = 7125 - 0 = 7125$.

2. Подставим результаты в исходное выражение:

$1536300 : 270 \cdot 108 - 7125 \cdot 248 : 62$

3. Выполним умножение и деление слева направо для каждой части выражения:

Левая часть: $1536300 : 270 = 5690$, затем $5690 \cdot 108 = 614520$.

Правая часть: $7125 \cdot 248 = 1767000$, затем $1767000 : 62 = 28500$.

4. Выполним вычитание:

$614520 - 28500 = 586020$

Ответ: 586020

63 Приведи примеры величин, связанных зависимостью вида $a = b \cdot c$. Запиши формулы пути, площади прямоугольника, работы, стоимости. Придумай задачи с этими величинами, которые решаются так:

$32 \cdot 3; \quad 18 \cdot 2 + 6 \cdot 3; \quad (18 : 2) \cdot 4;$

$240 : 80; \quad 64 \cdot 5 - 25 \cdot 6; \quad 225 : (90 : 2);$

$28 - 5 \cdot 4; \quad 60 : 3 - 72 : 4; \quad (50 + 70) \cdot 2.$

Величины, связанные зависимостью вида $a = b \cdot c$:

Формула пути: $S = v \cdot t$, где $S$ - это путь, $v$ - скорость, а $t$ - время.

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $S$ - это площадь, $a$ и $b$ - длины его сторон.

Формула работы: $A = p \cdot t$, где $A$ - это работа, $p$ - производительность (скорость работы), а $t$ - время.

Формула стоимости: $C = c \cdot n$, где $C$ - это стоимость, $c$ - цена, а $n$ - количество товара.

Задачи, которые решаются с помощью предложенных выражений:

32 · 3
Задача: Килограмм яблок стоит 32 рубля. Сколько нужно заплатить за 3 кг таких яблок?
Решение: $32 \cdot 3 = 96$ (руб.) - стоимость покупки.
Ответ: 96 рублей.

18 · 2 + 6 · 3
Задача: В магазине купили 2 ручки по цене 18 рублей за штуку и 3 тетради по цене 6 рублей за штуку. Какова общая стоимость покупки?
Решение:
1) $18 \cdot 2 = 36$ (руб.) - стоимость ручек.
2) $6 \cdot 3 = 18$ (руб.) - стоимость тетрадей.
3) $36 + 18 = 54$ (руб.) - общая стоимость.
Ответ: 54 рубля.

(18 : 2) · 4
Задача: Лыжник прошел 18 км за 2 часа. Какое расстояние он пройдет за 4 часа, если будет двигаться с той же скоростью?
Решение:
1) $18 : 2 = 9$ (км/ч) - скорость лыжника.
2) $9 \cdot 4 = 36$ (км) - расстояние, которое он пройдет за 4 часа.
Ответ: 36 км.

240 : 80
Задача: Автобус проехал 240 км со средней скоростью 80 км/ч. Сколько времени он был в пути?
Решение: $240 : 80 = 3$ (ч).
Ответ: 3 часа.

64 · 5 - 25 · 6
Задача: На одном складе было 64 ящика по 5 кг печенья в каждом, а на другом - 25 ящиков по 6 кг. На каком складе печенья больше и на сколько?
Решение:
1) $64 \cdot 5 = 320$ (кг) - печенья на первом складе.
2) $25 \cdot 6 = 150$ (кг) - печенья на втором складе.
3) $320 - 150 = 170$ (кг) - разница в весе.
Ответ: на первом складе на 170 кг печенья больше.

225 : (90 : 2)
Задача: Один автомат за 2 часа упаковывает 90 коробок. За сколько часов он упакует 225 коробок, работая с той же производительностью?
Решение:
1) $90 : 2 = 45$ (коробок/час) - производительность автомата.
2) $225 : 45 = 5$ (часов) - время на упаковку 225 коробок.
Ответ: 5 часов.

28 - 5 · 4
Задача: У портного было 28 метров ткани. 4 дня он шил костюмы, расходуя по 5 метров ткани в день. Сколько метров ткани у него осталось?
Решение:
1) $5 \cdot 4 = 20$ (м) - ткани израсходовано.
2) $28 - 20 = 8$ (м) - ткани осталось.
Ответ: 8 метров.

60 : 3 - 72 : 4
Задача: Первый насос выкачивает 60 литров воды за 3 минуты, а второй - 72 литра за 4 минуты. Чья производительность больше и на сколько?
Решение:
1) $60 : 3 = 20$ (л/мин) - производительность первого насоса.
2) $72 : 4 = 18$ (л/мин) - производительность второго насоса.
3) $20 - 18 = 2$ (л/мин) - разница в производительности.
Ответ: производительность первого насоса на 2 л/мин больше.

(50 + 70) · 2
Задача: Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а второго - 70 км/ч. Каково расстояние между городами, если автомобили встретились через 2 часа?
Решение:
1) $50 + 70 = 120$ (км/ч) - скорость сближения автомобилей.
2) $120 \cdot 2 = 240$ (км) - расстояние между городами.
Ответ: 240 км.

64 БЛИЦтурнир.

а) Пешеход прошел путь $a$ км за 5 ч, а поезд — за 2 ч. Во сколько раз скорость пешехода меньше скорости поезда?

б) Вася читает в час $b$ страниц, а его сестра — на 8 страниц меньше. На сколько быстрее своей сестры Вася прочитает книгу в $c$ страниц?

в) За несколько пряников заплатили $y$ р., а за столько же шоколадок по цене $d$ р. — $x$ р. Сколько рублей стоит один пряник?

а) 1. Найдем скорость пешехода. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Скорость пешехода равна $v_п = \frac{a}{5}$ км/ч.
2. Найдем скорость поезда. Скорость поезда равна $v_{поезд} = \frac{a}{2}$ км/ч.
3. Чтобы узнать, во сколько раз скорость пешехода меньше скорости поезда, нужно скорость поезда разделить на скорость пешехода:
$\frac{v_{поезд}}{v_п} = \frac{a/2}{a/5} = \frac{a}{2} \cdot \frac{5}{a} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: в 2,5 раза.

б) 1. Скорость чтения Васи составляет $b$ страниц в час.
2. Скорость чтения его сестры на 8 страниц меньше, то есть $b-8$ страниц в час.
3. Время, за которое Вася прочитает книгу в $c$ страниц, равно $t_{Вася} = \frac{c}{b}$ часов.
4. Время, за которое сестра прочитает ту же книгу, равно $t_{сестра} = \frac{c}{b-8}$ часов.
5. Чтобы найти, на сколько быстрее Вася прочитает книгу, нужно из времени сестры вычесть время Васи:
$t_{сестра} - t_{Вася} = \frac{c}{b-8} - \frac{c}{b} = \frac{cb - c(b-8)}{b(b-8)} = \frac{cb - cb + 8c}{b(b-8)} = \frac{8c}{b(b-8)}$.
Ответ: на $\frac{8c}{b(b-8)}$ часов.

в) 1. Найдем количество купленных шоколадок. Для этого их общую стоимость $x$ разделим на цену одной шоколадки $d$. Количество шоколадок (и пряников) равно $\frac{x}{d}$.
2. Зная, что за $\frac{x}{d}$ пряников заплатили $y$ рублей, найдем цену одного пряника. Для этого общую стоимость пряников $y$ разделим на их количество $\frac{x}{d}$:
$y : \frac{x}{d} = y \cdot \frac{d}{x} = \frac{yd}{x}$.
Ответ: $\frac{yd}{x}$ рублей.

65 а) Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 85 км/ч, в следующие 2 ч он снизил скорость на 15 км/ч, а в последние 4 ч увеличил до 90 км/ч. Какое расстояние он проехал за всё время?

б) Поезд должен пройти 1060 км за 14 ч. Первые 420 км он ехал со скоростью 70 км/ч. С какой скоростью он должен ехать оставшийся путь, чтобы прибыть вовремя?

а)

Для решения задачи необходимо вычислить расстояние, пройденное автомобилем на каждом из трех участков пути, а затем сложить эти расстояния. Расстояние находится по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

1. Рассчитаем расстояние, которое автомобиль проехал за первые 3 часа:
Скорость $v_1 = 85$ км/ч, время $t_1 = 3$ ч.
$S_1 = 85 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 255$ км.

2. Рассчитаем скорость и расстояние на втором участке. Скорость была снижена на 15 км/ч от первоначальной:
Новая скорость $v_2 = 85 \text{ км/ч} - 15 \text{ км/ч} = 70$ км/ч.
Время на этом участке $t_2 = 2$ ч.
$S_2 = 70 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 140$ км.

3. Рассчитаем расстояние, пройденное на последнем участке:
Скорость $v_3 = 90$ км/ч, время $t_3 = 4$ ч.
$S_3 = 90 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 360$ км.

4. Найдем общее расстояние, сложив расстояния всех трех участков:
$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 255 \text{ км} + 140 \text{ км} + 360 \text{ км} = 755$ км.
Ответ: 755 км.

б)

Чтобы определить, с какой скоростью поезд должен ехать оставшийся путь, нужно выяснить, какое расстояние ему осталось проехать и сколько времени на это у него есть.

1. Найдем время, которое поезд затратил на первый участок пути. Используем формулу $t = S / v$:
Расстояние $S_1 = 420$ км, скорость $v_1 = 70$ км/ч.
$t_1 = \frac{420 \text{ км}}{70 \text{ км/ч}} = 6$ ч.

2. Найдем оставшееся расстояние, которое нужно проехать:
Общее расстояние $S_{общ} = 1060$ км.
$S_{ост} = S_{общ} - S_1 = 1060 \text{ км} - 420 \text{ км} = 640$ км.

3. Найдем оставшееся время в пути:
Общее время $T_{общ} = 14$ ч.
$t_{ост} = T_{общ} - t_1 = 14 \text{ ч} - 6 \text{ ч} = 8$ ч.

4. Теперь можно вычислить необходимую скорость на оставшемся участке пути по формуле $v = S / t$:
$v_{ост} = \frac{S_{ост}}{t_{ост}} = \frac{640 \text{ км}}{8 \text{ ч}} = 80$ км/ч.
Ответ: 80 км/ч.

66 Библиотеке нужно переплести 2700 книг. Первая мастерская может переплести эти книги за 15 дней, а вторая — за 30. За сколько дней сделают эту работу мастерские, работая вместе, если на переплет каждой книги идет одинаковое время?

Для решения этой задачи необходимо определить производительность каждой мастерской (сколько книг в день она может переплести), затем найти их общую производительность и, наконец, вычислить, сколько дней потребуется для выполнения всей работы при совместной деятельности.

Способ 1: Через производительность в книгах/день

1. Сначала определим, сколько книг в день переплетает первая мастерская. Если всю работу в 2700 книг она выполняет за 15 дней, то ее производительность равна:
$2700 \div 15 = 180$ книг/день.

2. Теперь определим производительность второй мастерской. Она выполняет ту же работу за 30 дней:
$2700 \div 30 = 90$ книг/день.

3. Когда мастерские работают вместе, их производительности складываются. Найдем их общую производительность:
$180 + 90 = 270$ книг/день.

4. Зная общую производительность, можно найти время, за которое они вместе переплетут 2700 книг. Для этого общее количество книг разделим на общую производительность:
$2700 \div 270 = 10$ дней.

Ответ: 10 дней.

Способ 2: Через части работы

1. Примем всю работу (переплет 2700 книг) за 1 (одну целую). Тогда производительность первой мастерской составляет $\frac{1}{15}$ всей работы в день.

2. Производительность второй мастерской, соответственно, составляет $\frac{1}{30}$ всей работы в день.

3. Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их доли:
$\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$
Таким образом, за один день они вместе выполняют $\frac{1}{10}$ всей работы.

4. Чтобы найти, за сколько дней они выполнят всю работу (1), нужно разделить единицу на их общую производительность:
$1 \div \frac{1}{10} = 1 \times 10 = 10$ дней.

Ответ: 10 дней.