Страница 96, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

5 Рыбаки поймали 240 т рыбы. Окуни составили $ \frac{5}{24} $ всей рыбы, судаки — $ \frac{7}{12} $ всей рыбы, а остальные были карпы.

Сколько было карпов? Что ещё можно узнать?

окуни судаки карпы

Сколько было карпов?

Для решения этой задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько тонн окуней поймали рыбаки. Для этого общее количество рыбы умножим на долю окуней:

$240 \cdot \frac{5}{24} = \frac{240 \cdot 5}{24} = 10 \cdot 5 = 50$ (т) – масса окуней.

2. Теперь найдем, сколько тонн судаков поймали. Для этого общее количество рыбы умножим на долю судаков:

$240 \cdot \frac{7}{12} = \frac{240 \cdot 7}{12} = 20 \cdot 7 = 140$ (т) – масса судаков.

3. Чтобы найти, сколько было карпов, нужно из общего количества рыбы вычесть массу окуней и судаков:

$240 - 50 - 140 = 190 - 140 = 50$ (т) – масса карпов.

Ответ: 50 тонн карпов.

Что ещё можно узнать?

Используя данные задачи, можно узнать много дополнительной информации. Например:

• Какую часть от всей рыбы составляют карпы?

  Сначала найдем, какую часть от всей рыбы составляют окуни и судаки вместе. Для этого сложим их доли:

  $\frac{5}{24} + \frac{7}{12} = \frac{5}{24} + \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{5}{24} + \frac{14}{24} = \frac{19}{24}$

  Вся рыба составляет 1 или $\frac{24}{24}$. Чтобы найти долю карпов, вычтем долю окуней и судаков из целого:

  $1 - \frac{19}{24} = \frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$

  Ответ: карпы составляют $\frac{5}{24}$ всей рыбы.

• На сколько тонн судаков поймали больше, чем окуней?

  Для этого из массы судаков (140 т) вычтем массу окуней (50 т):

  $140 - 50 = 90$ (т).

  Ответ: судаков поймали на 90 тонн больше, чем окуней.

• Во сколько раз масса пойманных судаков больше массы пойманных карпов?

  Мы знаем, что масса судаков 140 т, а масса карпов 50 т. Разделим массу судаков на массу карпов:

  $140 : 50 = \frac{140}{50} = \frac{14}{5} = 2.8$

  Ответ: масса судаков в 2,8 раза больше массы карпов.

6 В ларьке было 700 кг помидоров. До обеда продали 25%, а после обеда — 40% первоначального количества помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось?

до обеда после обеда осталось

Для того чтобы найти, сколько килограммов помидоров осталось, необходимо сначала вычислить, сколько всего помидоров было продано за день. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Поэтапное вычисление

1. до обеда
Найдем, сколько килограммов помидоров продали до обеда. Это 25% от первоначального количества в 700 кг.
$700 \cdot \frac{25}{100} = 700 \cdot 0.25 = 175$ (кг).

2. после обеда
Далее найдем, сколько килограммов помидоров продали после обеда. Это 40% от того же первоначального количества.
$700 \cdot \frac{40}{100} = 700 \cdot 0.40 = 280$ (кг).

3. осталось
Чтобы найти, сколько помидоров осталось, сначала сложим количество проданных до и после обеда, а затем вычтем полученную сумму из первоначального количества.

• Всего продано: $175 + 280 = 455$ (кг).
• Осталось: $700 - 455 = 245$ (кг).

Способ 2: Вычисление через проценты

1. Находим общий процент проданных помидоров за весь день. Так как оба процента (25% и 40%) рассчитываются от одной и той же величины, их можно сложить:
$25\% + 40\% = 65\%$.

2. Находим процент оставшихся помидоров. Первоначальное количество принимаем за 100%:
$100\% - 65\% = 35\%$.

3. Находим массу оставшихся помидоров, которая составляет 35% от 700 кг:
$700 \cdot \frac{35}{100} = 700 \cdot 0.35 = 245$ (кг).

Ответ: 245 кг.

7. Найди все решения неравенств, кратные 4:

а) $11 \le x < 28$;

б) $30 < y \le 48$;

в) $52 \le z \le 63$.

а) Дано неравенство $11 \le x < 28$. Необходимо найти все целые решения этого неравенства, которые кратны 4, то есть делятся на 4 без остатка. Решениями неравенства являются все числа от 11 (включительно) до 28 (не включительно).
Выберем из этого промежутка числа, кратные 4:
Первое число после 11, которое делится на 4, это 12. $11 \le 12 < 28$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $12 + 4 = 16$. $11 \le 16 < 28$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $16 + 4 = 20$. $11 \le 20 < 28$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $20 + 4 = 24$. $11 \le 24 < 28$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $24 + 4 = 28$. Неравенство $28 < 28$ неверно, поэтому 28 не является решением.
Таким образом, искомые решения: 12, 16, 20, 24.
Ответ: 12, 16, 20, 24.

б) Дано неравенство $30 < y \le 48$. Необходимо найти все целые решения этого неравенства, которые кратны 4. Решениями неравенства являются все числа от 30 (не включительно) до 48 (включительно).
Выберем из этого промежутка числа, кратные 4:
Первое число, большее 30, которое делится на 4, это 32. $30 < 32 \le 48$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $32 + 4 = 36$. $30 < 36 \le 48$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $36 + 4 = 40$. $30 < 40 \le 48$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $40 + 4 = 44$. $30 < 44 \le 48$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $44 + 4 = 48$. Неравенство $30 < 48 \le 48$ верно, поэтому 48 является решением.
Таким образом, искомые решения: 32, 36, 40, 44, 48.
Ответ: 32, 36, 40, 44, 48.

в) Дано неравенство $52 \le z \le 63$. Необходимо найти все целые решения этого неравенства, которые кратны 4. Решениями неравенства являются все числа от 52 (включительно) до 63 (включительно).
Выберем из этого промежутка числа, кратные 4:
Проверим число 52: $52 : 4 = 13$. Число 52 делится на 4, и неравенство $52 \le 52 \le 63$ верно. Значит, 52 является решением.
Следующее число, кратное 4, это $52 + 4 = 56$. $52 \le 56 \le 63$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $56 + 4 = 60$. $52 \le 60 \le 63$ – верное неравенство.
Следующее число, кратное 4, это $60 + 4 = 64$. Неравенство $64 \le 63$ неверно, поэтому 64 не является решением.
Таким образом, искомые решения: 52, 56, 60.
Ответ: 52, 56, 60.

8 Реши уравнения:

а) $(a + 6882) \div 28 = 2660$;

б) $(14289 - b) \cdot 404 = 4242000$.

а)

Дано уравнение $(a + 6882) : 28 = 2660$.

В данном уравнении выражение в скобках $(a + 6882)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

$a + 6882 = 2660 \cdot 28$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$2660 \cdot 28 = 74480$

Подставим полученное значение в уравнение:

$a + 6882 = 74480$

Теперь переменная $a$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$a = 74480 - 6882$

Выполним вычитание:

$a = 67598$

Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:

$(67598 + 6882) : 28 = 74480 : 28 = 2660$

$2660 = 2660$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $a = 67598$.

б)

Дано уравнение $(14289 - b) \cdot 404 = 4242000$.

В данном уравнении выражение в скобках $(14289 - b)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

$14289 - b = 4242000 : 404$

Выполним деление в правой части уравнения:

$4242000 : 404 = 10500$

Подставим полученное значение в уравнение:

$14289 - b = 10500$

Теперь переменная $b$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$b = 14289 - 10500$

Выполним вычитание:

$b = 3789$

Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:

$(14289 - 3789) \cdot 404 = 10500 \cdot 404 = 4242000$

$4242000 = 4242000$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $b = 3789$.

9 а) Найди объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6 см, 10 см и 5 см.

б) Найди объём куба с ребром 74 дм.

в) Объём комнаты формы прямоугольного параллелепипеда равен $72 \text{ м}^3$, длина 6 м, а ширина 4 м. Найди высоту комнаты.

а) Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ — его измерения (длина, ширина и высота). Подставим данные значения в формулу:

$V = 6 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 60 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 300 \text{ см}^3$.

Ответ: $300 \text{ см}^3$.

б) Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина его ребра. Подставим данное значение в формулу:

$V = (74 \text{ дм})^3 = 74 \cdot 74 \cdot 74 \text{ дм}^3 = 5476 \cdot 74 \text{ дм}^3 = 405224 \text{ дм}^3$.

Ответ: $405224 \text{ дм}^3$.

в) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины ($l$), ширины ($w$) и высоты ($h$): $V = l \cdot w \cdot h$. Чтобы найти высоту, нужно объём разделить на произведение длины и ширины, то есть на площадь основания комнаты.

Формула для нахождения высоты: $h = \frac{V}{l \cdot w}$.

Подставим известные значения:

$h = \frac{72 \text{ м}^3}{6 \text{ м} \cdot 4 \text{ м}} = \frac{72 \text{ м}^3}{24 \text{ м}^2} = 3 \text{ м}$.

Ответ: $3 \text{ м}$.

10 a) $510173 - 209 \cdot (8112 \div 39 + 196) - 102720 \div 96 \cdot 207$;

б) $48880 \div (3006 \cdot 702 - 2110024) + 2695 + 604 \cdot 3980 \div 10$.

а) $510173 - 209 \cdot (8112 : 39 + 196) - 102720 : 96 \cdot 207$

Решим пример по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в последнюю очередь вычитание.

1. Выполним действия в скобках:

1) $8112 : 39 = 208$

2) $208 + 196 = 404$

2. Теперь выполним умножение и деление по порядку слева направо:

3) $209 \cdot 404 = 84436$

4) $102720 : 96 = 1070$

5) $1070 \cdot 207 = 221490$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$510173 - 84436 - 221490$

4. Выполним вычитание слева направо:

6) $510173 - 84436 = 425737$

7) $425737 - 221490 = 204247$

Ответ: $204247$

б) $48880 : (3006 \cdot 702 - 2110024) + 2695 + 604 \cdot 3980 : 10$

Решаем пример, соблюдая порядок действий: сначала действия в скобках, далее деление и умножение слева направо, и в конце сложение.

1. Выполним действия в скобках:

1) $3006 \cdot 702 = 2110212$

2) $2110212 - 2110024 = 188$

2. Теперь выполним деление и умножение по порядку слева направо:

3) $48880 : 188 = 260$

4) $604 \cdot 3980 = 2403920$

5) $2403920 : 10 = 240392$

3. Подставим полученные значения в выражение и выполним сложение:

$260 + 2695 + 240392$

6) $260 + 2695 = 2955$

7) $2955 + 240392 = 243347$

Ответ: $243347$

11 Замени буквы цифрами так, чтобы равенство было верно (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные):

$ABB + BAC = BDDD$

Запишем данное равенство в виде сложения в столбик, где А, B, C, D — различные цифры. Так как ABB и BAC являются трехзначными числами, A и B не могут быть равны нулю.

$A B B$
$+ B A C$
$-------$
$B D D D$

Шаг 1: Определение цифры B

Сумма двух трехзначных чисел всегда меньше 2000 (например, $999 + 999 = 1998$). Поскольку результат BDDD является четырехзначным числом, его первая цифра B может быть только 1. Итак, $B = 1$.

Шаг 2: Подстановка значения B в равенство

Теперь равенство выглядит так: $A11 + 1AC = 1DDD$. Запишем это в столбик:

$A 1 1$
$+ 1 A C$
$-------$
$1 D D D$

Шаг 3: Анализ сложения по разрядам

Для удобства введем переменные для переносов между разрядами: $p_1$ — перенос из разряда единиц в разряд десятков, $p_2$ — перенос из разряда десятков в разряд сотен. Эти переносы могут быть равны 0 или 1.

Составим систему уравнений на основе сложения в столбик:

1. Разряд единиц: $1 + C = D + 10 \cdot p_1$
2. Разряд десятков: $1 + A + p_1 = D + 10 \cdot p_2$
3. Разряд сотен: $A + 1 + p_2 = 1D$, что равносильно $A + 1 + p_2 = 10 + D$

Шаг 4: Нахождение A и D

Рассмотрим третье уравнение: $A + 1 + p_2 = 10 + D$. Выразим A: $A = 9 + D - p_2$.

Поскольку $p_2$ может быть либо 0, либо 1, разберем оба случая:

• Случай 1: $p_2 = 0$.
  Уравнение принимает вид $A = 9 + D$. Так как A и D — это цифры от 0 до 9, единственно возможное решение — это $A=9$ и $D=0$. Подставим эти значения в уравнение для разряда десятков (2): $1 + 9 + p_1 = 0 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 10 + p_1 = 0$. Это уравнение не имеет решения, так как $p_1$ не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.
• Случай 2: $p_2 = 1$.
  Уравнение принимает вид $A = 9 + D - 1$, то есть $A = 8 + D$. Так как A и D — разные цифры и $D \ne B$ (то есть $D \ne 1$), возможны следующие пары (A, D): (8, 0) и (9, 1). Пара (9, 1) не подходит, так как $D=1$, а у нас уже $B=1$. Остается единственный вариант: $A = 8$ и $D = 0$.

Шаг 5: Нахождение C и проверка

Мы получили: $A=8, B=1, D=0$ и $p_2=1$. Проверим эти значения с помощью уравнения для разряда десятков (2), чтобы найти $p_1$:
$1 + A + p_1 = D + 10 \cdot p_2 \Rightarrow 1 + 8 + p_1 = 0 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 9 + p_1 = 10$.
Отсюда следует, что $p_1 = 1$. Это допустимое значение для переноса.

Теперь, зная $D=0$ и $p_1=1$, найдем C из уравнения для разряда единиц (1):
$1 + C = D + 10 \cdot p_1 \Rightarrow 1 + C = 0 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 1 + C = 10$.
Отсюда $C = 9$.

Шаг 6: Итоговая проверка

Мы нашли значения для всех букв:

• $A = 8$
• $B = 1$
• $C = 9$
• $D = 0$

Все цифры (8, 1, 9, 0) различны, что соответствует условию. Подставим их в исходное равенство:

$ABB + BAC = BDDD$

$811 + 189 = 1000$

Проверим вычисление: $811 + 189 = 1000$. Равенство верно.

Ответ: $A=8, B=1, C=9, D=0$.

12 Нарисуй недостающую картинку:

$ \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow \\ \uparrow & \uparrow \end{pmatrix} $

$ \begin{pmatrix} \rightarrow & \uparrow \\ \uparrow & \downarrow \end{pmatrix} $

$ \begin{pmatrix} \downarrow & \uparrow \\ \uparrow & \uparrow \end{pmatrix} $

Пустой квадрат.

Для того чтобы определить недостающую картинку, необходимо выявить закономерность изменения направления каждой из четырех стрелок в последовательности квадратов. Проанализируем движение каждой стрелки по отдельности:

1. Верхняя левая стрелка: Последовательность ее направлений — вверх, вправо, вверх. Эта стрелка циклически меняет направление: сначала поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке (вверх → вправо), затем на 90 градусов против часовой стрелки (вправо → вверх). Продолжая эту логику, следующий поворот будет снова по часовой стрелке, и стрелка будет направлена вправо (→).

2. Верхняя правая стрелка: Ее направление остается неизменным во всех трех квадратах — она всегда смотрит вверх. Следовательно, на четвертой картинке она также будет смотреть вверх (↑).

3. Нижняя левая стрелка: На первых двух картинках она смотрит вверх, а на третьей — вниз. Это означает, что она меняет свое направление на 180 градусов через каждые два шага. Таким образом, на четвертом шаге она сохраняет свое положение с третьего шага и будет направлена вниз (↓).

4. Нижняя правая стрелка: Эта стрелка меняет свое направление на 180 градусов на каждом шаге: вверх, вниз, вверх. Продолжая последовательность, на четвертом шаге она снова изменит направление и будет смотреть вниз (↓).

Собрав все части вместе, получаем, что в искомом квадрате стрелки должны быть расположены следующим образом:

• Верхняя левая: вправо
• Верхняя правая: вверх
• Нижняя левая: вниз
• Нижняя правая: вниз

Ответ:

Недостающая картинка должна выглядеть так, как показано на схеме ниже: верхняя левая стрелка направлена вправо, верхняя правая — вверх, а обе нижние стрелки — вниз.

10 Ледокол 3 дня пробивал себе путь во льдах. В первый день он проплыл $2/5$ всего пути, а во второй день $5/8$ оставшегося пути. После этого ему осталось проплыть 90 км. Какой путь проплыл ледокол в первый день, во второй день, за все 3 дня?

$1$ - ? км

I осталось

$2/5$ - ? км

$1$ - ? км

II III

$5/8$ - ? км 90 км

Для решения задачи будем двигаться в обратном порядке, от известного расстояния, пройденного в третий день, к определению общего пути.

1. Сначала узнаем, какая часть пути, оставшегося после первого дня, была пройдена в третий день. Весь путь, оставшийся после первого дня, примем за 1. Во второй день ледокол прошел $\frac{5}{8}$ этого остатка. Следовательно, на третий день осталась часть:

$1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Эта доля ($\frac{3}{8}$ от остатка) по условию задачи равна 90 км.

2. Теперь найдем, какое расстояние осталось пройти ледоколу после первого дня. Если $\frac{3}{8}$ этого расстояния равны 90 км, то весь остаток составляет:

$90 \div \frac{3}{8} = 90 \times \frac{8}{3} = \frac{90 \times 8}{3} = 30 \times 8 = 240$ (км)

Итак, после первого дня ледоколу оставалось проплыть 240 км.

3. В первый день ледокол проплыл $\frac{2}{5}$ всего пути. Это означает, что оставшиеся 240 км составляют $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ всего пути.

4. Зная, что $\frac{3}{5}$ всего пути равны 240 км, мы можем найти общую длину всего маршрута:

$240 \div \frac{3}{5} = 240 \times \frac{5}{3} = \frac{240 \times 5}{3} = 80 \times 5 = 400$ (км)

Это общее расстояние, которое ледокол проплыл за 3 дня. Теперь, зная все величины, ответим на вопросы задачи.

Какой путь проплыл ледокол в первый день?

В первый день было пройдено $\frac{2}{5}$ от общего пути (400 км).

$400 \times \frac{2}{5} = \frac{400 \times 2}{5} = 80 \times 2 = 160$ (км)

Ответ: в первый день ледокол проплыл 160 км.

Какой путь проплыл ледокол во второй день?

Во второй день было пройдено $\frac{5}{8}$ от расстояния, оставшегося после первого дня (240 км).

$240 \times \frac{5}{8} = \frac{240 \times 5}{8} = 30 \times 5 = 150$ (км)

Ответ: во второй день ледокол проплыл 150 км.

Какой путь проплыл ледокол за все 3 дня?

Общий путь мы нашли в пункте 4. Он составляет 400 км. Для проверки можно сложить расстояния, пройденные за каждый день: $160 \text{ км} + 150 \text{ км} + 90 \text{ км} = 400 \text{ км}$.

Ответ: за все 3 дня ледокол проплыл 400 км.

11 Составь программу действий и вычисли:

a) $(600 : 30 - 7) \cdot 5 - (24 - 4 \cdot 4) \cdot (32 : 16) + 60 : 4 \cdot 10;$

* б) $500 - (28 \cdot 5 + 25 \cdot 4 - 120 : 2) : 6 - (28 : 14 + 420 : 140) \cdot 30.$

а)

Для решения примера $(600 : 30 - 7) \cdot 5 - (24 - 4 \cdot 4) \cdot (32 : 16) + 60 : 4 \cdot 10$ необходимо составить программу действий и выполнить вычисления в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание.

Программа действий:

1. $600 : 30 = 20$
2. $20 - 7 = 13$ (результат первой скобки)
3. $4 \cdot 4 = 16$
4. $24 - 16 = 8$ (результат второй скобки)
5. $32 : 16 = 2$ (результат третьей скобки)
6. $13 \cdot 5 = 65$
7. $8 \cdot 2 = 16$
8. $60 : 4 = 15$
9. $15 \cdot 10 = 150$
10. $65 - 16 = 49$
11. $49 + 150 = 199$

Подставим результаты в исходное выражение: $(20 - 7) \cdot 5 - (24 - 16) \cdot 2 + 15 \cdot 10 = 13 \cdot 5 - 8 \cdot 2 + 150 = 65 - 16 + 150 = 49 + 150 = 199$.

Ответ: 199

б)

Для решения примера $500 - (28 \cdot 5 + 25 \cdot 4 - 120 : 2) : 6 - (28 : 14 + 420 : 140) \cdot 30$ также составим программу действий и выполним вычисления.

Программа действий:

1. Вычисляем значение в первой скобке $(28 \cdot 5 + 25 \cdot 4 - 120 : 2)$:
   1) $28 \cdot 5 = 140$
   2) $25 \cdot 4 = 100$
   3) $120 : 2 = 60$
   4) $140 + 100 = 240$
   5) $240 - 60 = 180$
2. Вычисляем значение во второй скобке $(28 : 14 + 420 : 140)$:
   6) $28 : 14 = 2$
   7) $420 : 140 = 3$
   8) $2 + 3 = 5$
3. Выполняем оставшиеся действия:
   9) $180 : 6 = 30$ (результат первой скобки делим на 6)
   10) $5 \cdot 30 = 150$ (результат второй скобки умножаем на 30)
   11) $500 - 30 = 470$
   12) $470 - 150 = 320$

Подставим результаты в исходное выражение: $500 - 180 : 6 - 5 \cdot 30 = 500 - 30 - 150 = 470 - 150 = 320$.

Ответ: 320

Одного мужика спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех нас ровно 1000 р. Вот и узнайте, сколько у меня денег».

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество денег у мужика, который задал загадку.

Исходя из его слов, выразим количество денег у каждого из его родственников через $x$:
- У брата денег втрое больше, чем у мужика: $3x$ рублей.
- У отца втрое больше, чем у брата: $3 \times (3x) = 9x$ рублей.
- У деда втрое больше, чем у отца: $3 \times (9x) = 27x$ рублей.

Общая сумма денег у всех четверых (мужика, его брата, отца и деда) составляет 1000 рублей. Можем составить уравнение, сложив все части:
$x + 3x + 9x + 27x = 1000$

Теперь решим полученное уравнение:
Сначала сложим все коэффициенты при $x$:
$(1 + 3 + 9 + 27)x = 1000$
$40x = 1000$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 40:
$x = \frac{1000}{40}$
$x = 25$

Таким образом, у мужика было 25 рублей.

Для уверенности можно выполнить проверку:
- Деньги мужика: 25 р.
- Деньги брата: $3 \times 25 = 75$ р.
- Деньги отца: $9 \times 25 = 225$ р.
- Деньги деда: $27 \times 25 = 675$ р.
- Их общая сумма: $25 + 75 + 225 + 675 = 100 + 900 = 1000$ р.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: у мужика 25 рублей.

13 Игра «Найди неизвестный рисунок».

Группа 1
( $\circ$
$\wedge$ ?

Группа 2
||| $\circ \circ \circ$
--- ?

Группа 3
(.) (.) $\odot$
_|_| ?

Группа 4
$\vee$ |_
$\wedge$ _|_
$\diamond$ ?

Группа 5
K $<$
$\text{И}$ ||
* $>$ ?

Группа 6
$\circ$
$\diamondsuit$

$\diamondsuit$
$\circ$

_ _
_/\_
?

73 а) Найди объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 15 см, 12 см, 24 см.

б) Объём комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен $72 \text{ м}^3$. Найди высоту комнаты, если её длина равна 6 м, а ширина 4 м.

а) Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина и высота).
В данном случае измерения равны 15 см, 12 см и 24 см. Подставим эти значения в формулу:
$V = 15 \cdot 12 \cdot 24$
Выполним умножение по шагам:
$15 \cdot 12 = 180$
$180 \cdot 24 = 4320$
Таким образом, объём параллелепипеда равен 4320 см³.
Ответ: 4320 см³.

б) Формула для объёма прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$, где $V$ – объём, $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.
Из этой формулы можно выразить высоту: $c = V / (a \cdot b)$.
По условию задачи известны:
Объём $V = 72$ м³
Длина $a = 6$ м
Ширина $b = 4$ м
Подставим известные значения в формулу для нахождения высоты:
$c = 72 / (6 \cdot 4)$
$c = 72 / 24$
$c = 3$
Следовательно, высота комнаты равна 3 м.
Ответ: 3 м.

74. Два катера плывут навстречу друг другу. Скорость первого катера $18 \text{ км/ч}$, а скорость второго на $6 \text{ км/ч}$ больше, чем первого. Сейчас между ними $168 \text{ км}$. На каком расстоянии друг от друга будут катера через $3 \text{ ч}$? Через сколько времени они встретятся?

На каком расстоянии друг от друга будут катера через 3 ч?

1. Сначала найдем скорость второго катера. По условию, она на 6 км/ч больше скорости первого катера:

$v_2 = 18 \text{ км/ч} + 6 \text{ км/ч} = 24 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем скорость сближения катеров. Так как они плывут навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 18 \text{ км/ч} + 24 \text{ км/ч} = 42 \text{ км/ч}$

3. За 3 часа катера сблизятся на расстояние, равное произведению их скорости сближения на время:

$S_1 = v_{сближения} \times t = 42 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 126 \text{ км}$

4. Чтобы найти, какое расстояние будет между катерами через 3 часа, нужно из начального расстояния вычесть то расстояние, на которое они сблизились:

$S_{оставшееся} = S_{начальное} - S_1 = 168 \text{ км} - 126 \text{ км} = 42 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа между катерами будет 42 км.

Через сколько времени они встретятся?

Чтобы найти время до встречи, необходимо начальное расстояние между катерами разделить на их скорость сближения:

$t_{встречи} = \frac{S_{начальное}}{v_{сближения}}$

Мы уже знаем начальное расстояние (168 км) и скорость сближения (42 км/ч):

$t_{встречи} = \frac{168 \text{ км}}{42 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: катера встретятся через 4 часа.

75 Из пункта А одновременно в противоположных направлениях выехали автомобиль и автобус. Через 3 ч после выезда расстояние между ними стало 480 км. На каком расстоянии друг от друга они находились через 2 ч после начала движения? Чему равна скорость автобуса, если автомобиль ехал со скоростью $96 \text{ км/ч}$?

Данная задача решается в несколько действий. Сначала необходимо найти общую скорость, с которой автомобиль и автобус удаляются друг от друга. Это называется скоростью удаления.

1. Найдем скорость удаления. Поскольку объекты движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются. Из условия известно, что за 3 часа они удалились друг от друга на 480 км. Чтобы найти скорость удаления, нужно расстояние разделить на время:
$S = v_{уд} \times t \implies v_{уд} = S / t$
$v_{уд} = 480 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 160 \text{ км/ч}$

Теперь, зная скорость удаления, мы можем ответить на оба вопроса задачи.

Чему равна скорость автобуса, если автомобиль ехал со скоростью 96 км/ч?
Скорость удаления ($v_{уд}$) равна сумме скоростей автомобиля ($v_а$) и автобуса ($v_б$):
$v_{уд} = v_а + v_б$
Отсюда можем выразить скорость автобуса:
$v_б = v_{уд} - v_а = 160 \text{ км/ч} - 96 \text{ км/ч} = 64 \text{ км/ч}$
Ответ: 64 км/ч.

На каком расстоянии друг от друга они находились через 2 ч после начала движения?
Чтобы найти расстояние через 2 часа, нужно скорость удаления умножить на это время:
$S = v_{уд} \times t = 160 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 320 \text{ км}$
Ответ: 320 км.

76 Придумай и реши задачи по схемам:

Схема 1:

Скорость первого объекта: 80 км/ч

Скорость второго объекта: 35 км/ч

Общее расстояние: 270 км

Время встречи: $t_{\text{встр.}}=?$

Схема 2:

Начальная скорость: 3 м/с

Конечная скорость: 8 м/с

Начальный отрезок пути: 15 м

Время движения: $t = 4 с$

Искомое расстояние: $d_4 = ?$

Первая схема

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 270 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик. Скорость легкового автомобиля – 80 км/ч, а скорость грузовика – 35 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1. Найдем скорость сближения автомобиля и грузовика. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 35 \text{ км/ч} = 115 \text{ км/ч}$

2. Чтобы найти время до встречи ($t_{встр.}$), нужно разделить начальное расстояние ($S$) на скорость сближения ($v_{сбл.}$):
$t_{встр.} = S / v_{сбл.} = 270 \text{ км} / 115 \text{ км/ч}$

3. Выполним деление и упростим дробь:
$270 / 115 = 2 \frac{40}{115} = 2 \frac{8}{23}$ часа.

Ответ: автомобили встретятся через $2 \frac{8}{23}$ часа.

Вторая схема

Задача: Два спортсмена бегут по дорожке в одном направлении. Скорость первого спортсмена 3 м/с, а скорость второго, который бежит за ним, – 8 м/с. В начальный момент времени расстояние между ними было 15 м. Каким будет расстояние между спортсменами через 4 секунды?

Решение:

1. Найдем скорость сближения спортсменов. Так как второй догоняет первого, скорость сближения равна разности их скоростей:
$v_{сбл.} = v_2 - v_1 = 8 \text{ м/с} - 3 \text{ м/с} = 5 \text{ м/с}$

2. Узнаем, на сколько сократится расстояние между ними за 4 секунды. Для этого умножим скорость сближения на время:
$\Delta d = v_{сбл.} \cdot t = 5 \text{ м/с} \cdot 4 \text{ с} = 20 \text{ м}$

3. Начальное расстояние между спортсменами было 15 м. За 4 секунды оно сократилось на 20 м. Это означает, что второй спортсмен не только догнал первого, но и обогнал его. Чтобы найти новое расстояние между ними, нужно из величины сокращения расстояния вычесть начальное расстояние:
$d_4 = \Delta d - d_0 = 20 \text{ м} - 15 \text{ м} = 5 \text{ м}$

Альтернативный способ:

1. Положение первого спортсмена через 4 секунды относительно точки старта второго: $15 + 3 \cdot 4 = 15 + 12 = 27$ м.

2. Положение второго спортсмена через 4 секунды: $8 \cdot 4 = 32$ м.

3. Расстояние между ними: $32 - 27 = 5$ м.

Ответ: через 4 секунды расстояние между спортсменами будет 5 м.

77 Длина одной стороны треугольника равна 36 см, что составляет $ \frac{6}{7} $ длины его второй стороны. Длина третьей стороны равна $ \frac{5}{13} $ от суммы длин первых двух сторон. Найди периметр треугольника.

1. Найдём длину второй стороны треугольника.
Пусть длина первой стороны $a = 36$ см. По условию, это составляет $\frac{6}{7}$ длины второй стороны, которую обозначим как $b$.
Составим уравнение: $36 = \frac{6}{7} \cdot b$.
Чтобы найти $b$, нужно разделить известное число (36) на дробь, которую оно составляет ($\frac{6}{7}$):
$b = 36 : \frac{6}{7} = 36 \cdot \frac{7}{6} = \frac{36 \cdot 7}{6} = 6 \cdot 7 = 42$ см.
Ответ: длина второй стороны треугольника равна 42 см.

2. Найдём длину третьей стороны треугольника.
Длина третьей стороны, которую обозначим как $c$, равна $\frac{5}{13}$ от суммы длин первых двух сторон ($a+b$).
Сначала вычислим сумму длин первых двух сторон:
$a + b = 36 + 42 = 78$ см.
Теперь найдём $\frac{5}{13}$ от этой суммы:
$c = \frac{5}{13} \cdot 78 = \frac{5 \cdot 78}{13} = 5 \cdot 6 = 30$ см.
Ответ: длина третьей стороны треугольника равна 30 см.

3. Найдём периметр треугольника.
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Подставим найденные значения:
$P = 36 + 42 + 30 = 78 + 30 = 108$ см.
Ответ: периметр треугольника равен 108 см.

78 Расположи ответы в порядке возрастания и расшифруй предложение:

Б $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$

Д $2\frac{7}{8} - 2\frac{4}{8}$

О $2 - 4\frac{3}{8}$

О $3\frac{4}{9} + 1\frac{5}{9}$

О $2\frac{5}{7} + \frac{4}{7}$

Г $8\frac{1}{7} + 4\frac{2}{7}$

Р $3\frac{6}{7} - 2\frac{4}{7}$

П $6\frac{1}{13} - \frac{10}{13}$

Т $3\frac{7}{13} + 2\frac{8}{13}$

И $12 - \left(9\frac{3}{7} - 3\frac{5}{7}\right)$

У $\left(2\frac{2}{5} + 7\frac{3}{5}\right) - 4\frac{1}{5}$

! $15\frac{7}{9} - \left(4\frac{7}{9} + 2\frac{1}{3}\right)$

Для того чтобы расшифровать предложение, необходимо решить каждый пример, а затем расположить полученные ответы в порядке возрастания.

Б

Вычислим сумму дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$.

Д

Вычтем смешанные числа. Целые части вычитаются из целых, дробные — из дробных:

$2\frac{7}{8} - 2\frac{4}{8} = (2-2) + (\frac{7}{8} - \frac{4}{8}) = 0 + \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$.

О (вверху справа)

Выполним вычитание смешанного числа из целого. Представим 9 как $8\frac{8}{8}$:

$9 - 4\frac{3}{8} = 8\frac{8}{8} - 4\frac{3}{8} = (8-4) + (\frac{8}{8} - \frac{3}{8}) = 4\frac{5}{8}$

Ответ: $4\frac{5}{8}$.

О (в центре слева)

Сложим смешанные числа. Целые части складываются с целыми, дробные — с дробными:

$3\frac{4}{9} + 1\frac{5}{9} = (3+1) + (\frac{4}{9} + \frac{5}{9}) = 4 + \frac{9}{9} = 4+1=5$

Ответ: $5$.

О (в центре)

Сложим смешанное число и дробь:

$2\frac{5}{7} + \frac{4}{7} = 2 + (\frac{5}{7} + \frac{4}{7}) = 2 + \frac{9}{7} = 2 + 1\frac{2}{7} = 3\frac{2}{7}$

Ответ: $3\frac{2}{7}$.

Г

Сложим смешанные числа:

$8\frac{1}{7} + 4\frac{2}{7} = (8+4) + (\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) = 12 + \frac{3}{7} = 12\frac{3}{7}$

Ответ: $12\frac{3}{7}$.

Р

Вычтем смешанные числа:

$3\frac{6}{7} - 2\frac{4}{7} = (3-2) + (\frac{6}{7} - \frac{4}{7}) = 1 + \frac{2}{7} = 1\frac{2}{7}$

Ответ: $1\frac{2}{7}$.

П

Для вычитания дроби из смешанного числа, займем единицу у целой части:

$6\frac{1}{13} - \frac{10}{13} = 5\frac{13+1}{13} - \frac{10}{13} = 5\frac{14}{13} - \frac{10}{13} = 5\frac{4}{13}$

Ответ: $5\frac{4}{13}$.

Т

Сложим смешанные числа:

$3\frac{7}{13} + 2\frac{8}{13} = (3+2) + (\frac{7}{13} + \frac{8}{13}) = 5 + \frac{15}{13} = 5 + 1\frac{2}{13} = 6\frac{2}{13}$

Ответ: $6\frac{2}{13}$.

И

Сначала выполним действие в скобках. Для вычитания займем единицу у целой части:

$9\frac{3}{7} - 3\frac{5}{7} = 8\frac{7+3}{7} - 3\frac{5}{7} = 8\frac{10}{7} - 3\frac{5}{7} = 5\frac{5}{7}$

Теперь выполним вычитание из 12:

$12 - 5\frac{5}{7} = 11\frac{7}{7} - 5\frac{5}{7} = 6\frac{2}{7}$

Ответ: $6\frac{2}{7}$.

У

Сначала выполним действие в скобках:

$2\frac{2}{5} + 7\frac{3}{5} = (2+7) + (\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) = 9 + \frac{5}{5} = 10$

Теперь выполним вычитание:

$10 - 4\frac{1}{5} = 9\frac{5}{5} - 4\frac{1}{5} = 5\frac{4}{5}$

Ответ: $5\frac{4}{5}$.

!

Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 9:

$4\frac{7}{9} + 2\frac{1}{3} = 4\frac{7}{9} + 2\frac{3}{9} = 6\frac{10}{9} = 7\frac{1}{9}$

Теперь выполним вычитание:

$15\frac{7}{9} - 7\frac{1}{9} = (15-7) + (\frac{7}{9} - \frac{1}{9}) = 8\frac{6}{9} = 8\frac{2}{3}$

Ответ: $8\frac{2}{3}$.

Теперь расположим полученные ответы в порядке возрастания, чтобы расшифровать предложение.

1. Д: $\frac{3}{8}$
2. Б: $\frac{5}{7}$
3. Р: $1\frac{2}{7}$
4. О: $3\frac{2}{7}$
5. О: $4\frac{5}{8}$
6. О: $5$
7. П: $5\frac{4}{13}$
8. У: $5\frac{4}{5}$
9. Т: $6\frac{2}{13}$
10. И: $6\frac{2}{7}$
11. !: $8\frac{2}{3}$
12. Г: $12\frac{3}{7}$

Если составить предложение из букв в этом порядке, получится бессмыслица: ДБРОООПУТИ!Г.

Вероятнее всего, в условии задачи допущены опечатки. Если предположить, что загадана фраза "ДОБРОГО ПУТИ!", то можно найти и исправить эти опечатки.

1. В примере О (вверху справа) вместо $9 - 4\frac{3}{8}$ должно быть $5 - 4\frac{3}{8}$. Плохо пропечатанная цифра 9 похожа на 5.
   $5 - 4\frac{3}{8} = 4\frac{8}{8} - 4\frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
2. В примере Г вместо сложения должно быть вычитание: $8\frac{1}{7} - 4\frac{2}{7}$.
   $8\frac{1}{7} - 4\frac{2}{7} = 7\frac{8}{7} - 4\frac{2}{7} = 3\frac{6}{7}$.

Расположим ответы с учетом этих исправлений в порядке возрастания:

1. Д: $\frac{3}{8}$
2. О: $\frac{5}{8}$ (исправленный)
3. Б: $\frac{5}{7}$
4. Р: $1\frac{2}{7}$
5. О: $3\frac{2}{7}$
6. Г: $3\frac{6}{7}$ (исправленный)
7. О: $5$
8. П: $5\frac{4}{13}$
9. У: $5\frac{4}{5}$
10. Т: $6\frac{2}{13}$
11. И: $6\frac{2}{7}$
12. !: $8\frac{2}{3}$

Теперь из букв складывается осмысленное предложение.

Ответ: ДОБРОГО ПУТИ!