Страница 102, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4 Собака гонится за лисой со скоростью 750 м/мин, а лиса убегает от неё со скоростью 800 м/мин. С какой скоростью изменяется расстояние между собакой и лисой? Каким оно станет через 8 мин, если сейчас между ними 600 м?

750 м/мин

800 м/мин

600 м

$t = 8$ мин

С какой скоростью изменяется расстояние между собакой и лисой?
Чтобы определить, с какой скоростью изменяется расстояние, нужно найти относительную скорость собаки и лисы. Поскольку они движутся в одном направлении, их относительная скорость (в данном случае, скорость удаления) равна разности их скоростей. Скорость лисы больше скорости собаки, поэтому расстояние между ними будет увеличиваться.

Обозначим скорость собаки как $v_с$ и скорость лисы как $v_л$.
$v_с = 750$ м/мин
$v_л = 800$ м/мин

Скорость удаления ($v_{удал}$) вычисляется по формуле: $v_{удал} = v_л - v_с$

$v_{удал} = 800 \text{ м/мин} - 750 \text{ м/мин} = 50 \text{ м/мин}$

Ответ: расстояние между собакой и лисой увеличивается со скоростью 50 м/мин.

Каким оно станет через 8 мин, если сейчас между ними 600 м?
Сначала найдем, на сколько увеличится расстояние за 8 минут. Для этого умножим скорость удаления на время.

Увеличение расстояния ($\Delta S$) за время $t = 8$ мин:
$\Delta S = v_{удал} \times t = 50 \text{ м/мин} \times 8 \text{ мин} = 400 \text{ м}$

Теперь к начальному расстоянию ($S_{0} = 600$ м) прибавим полученное увеличение, чтобы найти итоговое расстояние ($S_{итог}$).

$S_{итог} = S_{0} + \Delta S = 600 \text{ м} + 400 \text{ м} = 1000 \text{ м}$

Ответ: через 8 минут расстояние между собакой и лисой станет 1000 м (или 1 км).

5 Какое расстояние будет через 10 секунд между Геной и Буратино, Геной и Чебурашкой, Чебурашкой и Буратино?

$3 \text{ дм/с}$

$4 \text{ дм/с}$

$6 \text{ дм/с}$

$50 \text{ м}$

$15 \text{ м}$

Для решения задачи сперва необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Поскольку скорости даны в дециметрах в секунду (дм/с), а расстояния в метрах (м), переведем метры в дециметры, зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.

• Начальное расстояние между Чебурашкой и Геной: $S_{ЧГ,0} = 50 \text{ м} = 50 \cdot 10 = 500 \text{ дм}$.
• Начальное расстояние между Геной и Буратино: $S_{ГБ,0} = 15 \text{ м} = 15 \cdot 10 = 150 \text{ дм}$.
• Скорость Чебурашки: $v_Ч = 3 \text{ дм/с}$.
• Скорость Гены: $v_Г = 4 \text{ дм/с}$.
• Скорость Буратино: $v_Б = 6 \text{ дм/с}$.
• Время движения: $t = 10 \text{ с}$.

Теперь рассчитаем расстояние между каждой парой персонажей через 10 секунд.

Геной и Буратино

Гена и Буратино движутся в противоположных направлениях (Гена — влево, Буратино — вправо), поэтому они удаляются друг от друга. Скорость их удаления равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость удаления Гены и Буратино:

$v_{уд} = v_Г + v_Б = 4 \text{ дм/с} + 6 \text{ дм/с} = 10 \text{ дм/с}$.

2. Рассчитаем, на какое расстояние они удалятся друг от друга за 10 секунд:

$\Delta S = v_{уд} \cdot t = 10 \text{ дм/с} \cdot 10 \text{ с} = 100 \text{ дм}$.

3. Чтобы найти итоговое расстояние, прибавим это значение к начальному расстоянию между ними:

$S_{ГБ,10} = S_{ГБ,0} + \Delta S = 150 \text{ дм} + 100 \text{ дм} = 250 \text{ дм}$.

4. Переведем результат обратно в метры:

$250 \text{ дм} = 25 \text{ м}$.

Ответ: 25 м.

Геной и Чебурашкой

Чебурашка и Гена движутся навстречу друг другу (Чебурашка — вправо, Гена — влево). Скорость их сближения равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения Гены и Чебурашки:

$v_{сбл} = v_Г + v_Ч = 4 \text{ дм/с} + 3 \text{ дм/с} = 7 \text{ дм/с}$.

2. Рассчитаем, на какое расстояние они сблизятся за 10 секунд:

$\Delta S = v_{сбл} \cdot t = 7 \text{ дм/с} \cdot 10 \text{ с} = 70 \text{ дм}$.

3. Чтобы найти итоговое расстояние, вычтем это значение из начального расстояния между ними:

$S_{ЧГ,10} = S_{ЧГ,0} - \Delta S = 500 \text{ дм} - 70 \text{ дм} = 430 \text{ дм}$.

4. Переведем результат в метры:

$430 \text{ дм} = 43 \text{ м}$.

Ответ: 43 м.

Чебурашкой и Буратино

Чебурашка и Буратино движутся в одном направлении (вправо). Поскольку Буратино находится впереди и его скорость больше, расстояние между ними будет увеличиваться. Скорость их удаления равна разности их скоростей.

1. Найдем начальное расстояние между Чебурашкой и Буратино. Оно равно сумме расстояний от Чебурашки до Гены и от Гены до Буратино:

$S_{ЧБ,0} = S_{ЧГ,0} + S_{ГБ,0} = 500 \text{ дм} + 150 \text{ дм} = 650 \text{ дм}$.

2. Найдем скорость удаления Буратино от Чебурашки:

$v_{уд} = v_Б - v_Ч = 6 \text{ дм/с} - 3 \text{ дм/с} = 3 \text{ дм/с}$.

3. Рассчитаем, на какое расстояние они дополнительно удалятся друг от друга за 10 секунд:

$\Delta S = v_{уд} \cdot t = 3 \text{ дм/с} \cdot 10 \text{ с} = 30 \text{ дм}$.

4. Чтобы найти итоговое расстояние, прибавим это значение к начальному расстоянию между ними:

$S_{ЧБ,10} = S_{ЧБ,0} + \Delta S = 650 \text{ дм} + 30 \text{ дм} = 680 \text{ дм}$.

5. Переведем результат в метры:

$680 \text{ дм} = 68 \text{ м}$.

Ответ: 68 м.

6 Составь по схемам задачи и реши их. Что ты замечаешь?

a) 30 км/ч

60 км/ч

100 км

$? \text{ км}$

$t = 3 \text{ ч}$

в) 30 км/ч

60 км/ч

100 км

190 км

$t = ? \text{ ч}$

б) $? \text{ км/ч}$

60 км/ч

100 км

190 км

$t = 3 \text{ ч}$

г) 30 км/ч

60 км/ч

$? \text{ км}$

190 км

$t = 3 \text{ ч}$

а)

Условие задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, одновременно в одном направлении выехали два объекта. Скорость объекта, который находился позади, равна 30 км/ч. Скорость объекта, который был впереди, – 60 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Решение:

1. Найдем скорость удаления объектов. Так как более быстрый объект находится впереди, расстояние между ними будет увеличиваться. Скорость удаления равна разности их скоростей:

$v_{удаления} = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 30 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

2. Найдем, на какое расстояние объекты удалятся друг от друга за 3 часа:

$\Delta S = v_{удаления} \cdot t = 30 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 90 \text{ км}$

3. Найдем итоговое расстояние между объектами, прибавив к начальному расстоянию то, на которое они удалились:

$S_{конечное} = S_{начальное} + \Delta S = 100 \text{ км} + 90 \text{ км} = 190 \text{ км}$

Ответ: 190 км.

б)

Условие задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, одновременно в одном направлении выехали два объекта. Через 3 часа расстояние между ними стало 190 км. Найдите скорость первого объекта (который был позади), если скорость второго, который был впереди, равна 60 км/ч.

Решение:

1. Найдем, на какое расстояние увеличилось расстояние между объектами за 3 часа:

$\Delta S = S_{конечное} - S_{начальное} = 190 \text{ км} - 100 \text{ км} = 90 \text{ км}$

2. Найдем скорость удаления объектов:

$v_{удаления} = \Delta S / t = 90 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 30 \text{ км/ч}$

3. Скорость удаления равна разности скоростей $v_{удаления} = v_2 - v_1$. Найдем скорость первого объекта $v_1$:

$v_1 = v_2 - v_{удаления} = 60 \text{ км/ч} - 30 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

Ответ: 30 км/ч.

в)

Условие задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, одновременно в одном направлении выехали два объекта. Скорость первого – 30 км/ч, скорость второго – 60 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет 190 км?

Решение:

1. Найдем скорость удаления объектов:

$v_{удаления} = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 30 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

2. Найдем, на какое расстояние должны удалиться объекты, чтобы итоговое расстояние стало 190 км:

$\Delta S = S_{конечное} - S_{начальное} = 190 \text{ км} - 100 \text{ км} = 90 \text{ км}$

3. Найдем время, за которое это произойдет:

$t = \Delta S / v_{удаления} = 90 \text{ км} / 30 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: 3 ч.

г)

Условие задачи: Из двух пунктов одновременно в одном направлении выехали два объекта. Скорость первого – 30 км/ч, скорость второго – 60 км/ч. Через 3 часа расстояние между ними стало 190 км. Каким было начальное расстояние между объектами?

Решение:

1. Найдем скорость удаления объектов:

$v_{удаления} = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 30 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

2. Найдем, на какое расстояние объекты удалились друг от друга за 3 часа:

$\Delta S = v_{удаления} \cdot t = 30 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 90 \text{ км}$

3. Найдем начальное расстояние, вычтя из конечного расстояния то, на которое они удалились:

$S_{начальное} = S_{конечное} - \Delta S = 190 \text{ км} - 90 \text{ км} = 100 \text{ км}$

Ответ: 100 км.

Что ты замечаешь?

Все четыре задачи (а, б, в, г) являются взаимно обратными. Они описывают одну и ту же ситуацию движения двух объектов, но в каждой из них неизвестной является одна из величин, которая в других задачах известна (конечное расстояние, скорость одного из объектов, время, начальное расстояние). Решение каждой последующей задачи использует те же числа и зависимости, что и предыдущая, подтверждая их взаимосвязь.

7 Придумай и реши задачу на движение с отставанием. Составь для неё обратную задачу и реши её.

Задача на движение с отставанием

Условие: Из одного города в одном направлении одновременно выехали легковой автомобиль и грузовик. Скорость легкового автомобиля – 90 км/ч, а скорость грузовика – 65 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Решение:

1) Движение с отставанием происходит, когда объекты движутся в одном направлении с разной скоростью. Чтобы найти, на сколько километров они отдаляются друг от друга за один час, нужно найти скорость удаления. Она равна разности их скоростей.

$v_{уд} = v_1 - v_2$

$90 - 65 = 25$ (км/ч) – скорость удаления легкового автомобиля от грузовика.

2) Теперь найдём расстояние, которое будет между ними через 3 часа, умножив скорость удаления на время.

$S = v_{уд} \cdot t$

$25 \cdot 3 = 75$ (км).

Ответ: через 3 часа расстояние между автомобилями будет 75 км.

Обратная задача

Условие: Из одного города в одном направлении одновременно выехали легковой автомобиль и грузовик. Скорость легкового автомобиля – 90 км/ч, а скорость грузовика – 65 км/ч. Через какое время расстояние между ними составит 75 км?

Решение:

1) В обратной задаче известное из прямой задачи (расстояние) становится искомым, а искомое (время) – известным. Сначала так же найдём скорость удаления.

$v_{уд} = v_1 - v_2$

$90 - 65 = 25$ (км/ч).

2) Теперь, зная расстояние и скорость удаления, можно найти время. Для этого нужно расстояние разделить на скорость удаления.

$t = S : v_{уд}$

$75 : 25 = 3$ (ч).

Ответ: расстояние между автомобилями составит 75 км через 3 часа.

8 Алёша и Сергей читают одну и ту же книгу. Алёша начал её читать, когда Сергей прочитал уже 24 страницы. Алёша читает в день 18 страниц, а Сергей — 12 страниц. Догонит ли Алёша Сергея за 5 дней?

Чтобы ответить на вопрос, нужно сравнить, сколько страниц прочитает каждый мальчик за 5 дней, учитывая начальные условия.

1. Сначала посчитаем, сколько страниц прочитает Алёша за 5 дней. Он читает по 18 страниц в день.

$18 \text{ страниц/день} \times 5 \text{ дней} = 90 \text{ страниц}$

За 5 дней Алёша прочитает 90 страниц.

2. Теперь посчитаем, сколько всего страниц прочитает Сергей. Когда Алёша начал читать, у Сергея уже было прочитано 24 страницы. За 5 дней он прочитает ещё некоторое количество страниц, читая по 12 страниц в день.

$12 \text{ страниц/день} \times 5 \text{ дней} = 60 \text{ страниц}$

Чтобы найти общее количество прочитанных Сергеем страниц, нужно сложить страницы, которые у него уже были, и те, что он прочитал за 5 дней:

$24 + 60 = 84 \text{ страницы}$

Всего к концу пятого дня Сергей прочитает 84 страницы.

3. Теперь сравним количество прочитанных страниц у Алёши и Сергея через 5 дней.

Алёша прочитал 90 страниц, а Сергей — 84 страницы.

$90 > 84$

Поскольку через 5 дней Алёша прочитает больше страниц, чем Сергей, это означает, что он не только догонит его, но и обгонит.

Ответ: да, догонит.

Реши уравнение с комментированием и сделай проверку:

a) $7 \cdot x - 5 = 86;$

б) $250 : (y + 7) = 25;$

в) $46 - z : 12 = 38.$

а) $7 \cdot x - 5 = 86$

Комментирование:
В этом уравнении неизвестное $x$ входит в состав уменьшаемого $7 \cdot x$. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (86) прибавить вычитаемое (5).

$7 \cdot x = 86 + 5$

$7 \cdot x = 91$

Теперь у нас простое уравнение, где $x$ — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (91) разделить на известный множитель (7).

$x = 91 : 7$

$x = 13$

Проверка:
Подставим найденное значение $x = 13$ в исходное уравнение.

$7 \cdot 13 - 5 = 86$

$91 - 5 = 86$

$86 = 86$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 13$.

б) $250 : (y + 7) = 25$

Комментирование:
В этом уравнении неизвестное $y$ находится в делителе $(y + 7)$. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (250) разделить на частное (25).

$y + 7 = 250 : 25$

$y + 7 = 10$

Теперь $y$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (10) вычесть известное слагаемое (7).

$y = 10 - 7$

$y = 3$

Проверка:
Подставим найденное значение $y = 3$ в исходное уравнение.

$250 : (3 + 7) = 25$

$250 : 10 = 25$

$25 = 25$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $y = 3$.

в) $46 - z : 12 = 38$

Комментирование:
В данном уравнении неизвестное $z$ является частью вычитаемого $z : 12$. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (46) вычесть разность (38).

$z : 12 = 46 - 38$

$z : 12 = 8$

Теперь $z$ — это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (8) умножить на делитель (12).

$z = 8 \cdot 12$

$z = 96$

Проверка:
Подставим найденное значение $z = 96$ в исходное уравнение.

$46 - 96 : 12 = 38$

$46 - 8 = 38$

$38 = 38$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $z = 96$.