Страница 106, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4. Два парохода плывут навстречу друг другу со скоростями $32 \text{ км/ч}$ и $27 \text{ км/ч}$. Сейчас между ними $354 \text{ км}$.

а) Какое расстояние будет между пароходами через $2 \text{ ч}$?

б) Через сколько времени они встретятся?

а) Какое расстояние будет между пароходами через 2 ч?

1. Сначала найдем скорость сближения пароходов. Так как они плывут навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = 32 \text{ км/ч} + 27 \text{ км/ч} = 59 \text{ км/ч}$.

2. Затем определим, какое расстояние пароходы пройдут вместе за 2 часа. Для этого умножим скорость сближения на время:
$S_{пройд} = 59 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 118 \text{ км}$.

3. Чтобы найти, какое расстояние останется между пароходами, вычтем пройденное расстояние из начального:
$S_{ост} = 354 \text{ км} - 118 \text{ км} = 236 \text{ км}$.

Ответ: через 2 часа между пароходами будет 236 км.

б) Через сколько времени они встретятся?

Чтобы найти время до встречи, нужно начальное расстояние разделить на скорость сближения.

1. Скорость сближения мы уже рассчитали в предыдущем пункте: $v_{сбл} = 59 \text{ км/ч}$.

2. Теперь найдем время до встречи ($t_{встр}$):
$t_{встр} = S / v_{сбл} = 354 \text{ км} / 59 \text{ км/ч} = 6 \text{ ч}$.

Ответ: пароходы встретятся через 6 часов.

5 а) Два такси одновременно выезжают навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 456 км. Скорость первого такси 68 км/ч, а скорость второго на 16 км/ч больше. Через сколько часов они встретятся?

б) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков со скоростями 12 км/ч и 18 км/ч. Чему равно расстояние между этими поселками, если велосипедисты встретились через 2 ч после выезда?

а)

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдём скорость второго такси. По условию, она на 16 км/ч больше скорости первого такси, которая равна 68 км/ч.

$68 + 16 = 84$ (км/ч) – скорость второго такси.

2. Определим скорость сближения такси. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения – это расстояние, на которое они становятся ближе друг к другу за один час.

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 68 + 84 = 152$ (км/ч).

3. Теперь, зная общее расстояние и скорость сближения, найдём время до встречи. Для этого разделим расстояние на скорость сближения.

$t = S / v_{сближения}$

$456 / 152 = 3$ (ч).

Ответ: такси встретятся через 3 часа.

б)

Для решения этой задачи нужно выполнить следующие действия:

1. Найдём скорость сближения велосипедистов. Поскольку они едут навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их скоростей.

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 12 + 18 = 30$ (км/ч).

2. Зная скорость сближения и время, которое они были в пути до встречи (2 часа), мы можем найти первоначальное расстояние между ними. Расстояние равно произведению скорости на время.

$S = v_{сближения} * t$

$30 * 2 = 60$ (км).

Ответ: расстояние между этими поселками равно 60 км.

6 а) Реши задачу двумя способами. Объясни, какой из них удобнее и почему.

«Из двух сёл одновременно навстречу друг другу вышли 2 пешехода и встретились через 3 часа. Расстояние между сёлами равно 27 км. Скорость первого пешехода 4 км/ч. Найди скорость второго пешехода».

4 км/ч

? км/ч

27 км

б) Составь и реши задачу, обратную данной.

а) Реши задачу двумя способами. Объясни, какой из них удобнее и почему.

Способ 1: Через скорость сближения

1. Найдём общую скорость, с которой пешеходы приближались друг к другу (скорость сближения). Так как они прошли всё расстояние в 27 км за 3 часа, их скорость сближения равна:
$v_{сбл} = S / t = 27 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Скорость сближения при движении навстречу равна сумме скоростей пешеходов: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Зная скорость сближения и скорость первого пешехода, найдём скорость второго:
$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 9 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость второго пешехода 5 км/ч.

Способ 2: По действиям

1. Сначала найдём расстояние, которое прошёл первый пешеход до встречи. Он шёл 3 часа со скоростью 4 км/ч:
$S_1 = v_1 \times t = 4 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 12 \text{ км}$

2. Теперь найдём расстояние, которое прошёл второй пешеход. Для этого из общего расстояния вычтем путь, пройденный первым пешеходом:
$S_2 = S - S_1 = 27 \text{ км} - 12 \text{ км} = 15 \text{ км}$

3. Зная, что второй пешеход прошёл 15 км за 3 часа, можем найти его скорость:
$v_2 = S_2 / t = 15 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 5 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость второго пешехода 5 км/ч.

Какой способ удобнее и почему?

Первый способ (через скорость сближения) удобнее, потому что он требует меньше вычислений (два действия вместо трёх). Он позволяет сразу найти общую характеристику движения (скорость сближения) и из неё определить искомую величину. Этот метод считается более рациональным при решении задач на встречное движение.

б) Составь и реши задачу, обратную данной.

Условие обратной задачи:

Из двух сёл, расстояние между которыми 27 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго — 5 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1. Найдём скорость сближения пешеходов, сложив их скорости, так как они движутся навстречу друг другу:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Чтобы найти время до встречи, разделим общее расстояние на скорость сближения:
$t = S / v_{сбл} = 27 \text{ км} / 9 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: пешеходы встретятся через 3 часа.

7 Запиши каждое высказывание в виде равенств 3 разными способами:

а) $a$ на 5 больше, чем $b$;

б) $c$ в 3 раза больше, чем $d$;

в) $x$ на 9 меньше, чем $y$;

г) $m$ в 7 раз меньше, чем $n$.

а) Высказывание "a на 5 больше, чем b" означает, что разность между $a$ и $b$ равна 5. Это можно записать следующими тремя равенствами:
$a = b + 5$
$a - b = 5$
$b = a - 5$
Ответ: $a = b + 5; a - b = 5; b = a - 5$.

б) Высказывание "c в 3 раза больше, чем d" означает, что $c$ получается умножением $d$ на 3. Это можно записать следующими тремя равенствами:
$c = 3d$
$\frac{c}{d} = 3$
$d = \frac{c}{3}$
Ответ: $c = 3d; \frac{c}{d} = 3; d = \frac{c}{3}$.

в) Высказывание "x на 9 меньше, чем y" означает, что $x$ получается вычитанием 9 из $y$. Это можно записать следующими тремя равенствами:
$x = y - 9$
$y - x = 9$
$y = x + 9$
Ответ: $x = y - 9; y - x = 9; y = x + 9$.

г) Высказывание "m в 7 раз меньше, чем n" означает, что $m$ получается делением $n$ на 7. Это можно записать следующими тремя равенствами:
$m = \frac{n}{7}$
$n = 7m$
$\frac{n}{m} = 7$
Ответ: $m = \frac{n}{7}; n = 7m; \frac{n}{m} = 7$.