Страница 111, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Повозка догоняет пешехода. Скорость повозки $8 \text{ км/ч}$, а пешехода — $3 \text{ км/ч}$. Сейчас между ними $10 \text{ км}$. Вычисли, через сколько часов произойдёт встреча. Проиллюстрируй движение повозки и пешехода на координатном луче.

Вычисление времени встречи

Чтобы найти время, через которое повозка догонит пешехода, необходимо определить их скорость сближения. Скорость сближения — это скорость, с которой сокращается расстояние между объектами, движущимися в одном направлении. Она равна разности скоростей повозки и пешехода.

1. Найдём скорость сближения ($v_{сбл}$):
Скорость повозки $v_{п} = 8$ км/ч.
Скорость пешехода $v_{пеш} = 3$ км/ч.
$v_{сбл} = v_{п} - v_{пеш} = 8 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 5$ км/ч.

2. Зная скорость сближения и начальное расстояние ($S = 10$ км), вычислим время до встречи ($t$) по формуле $t = S / v_{сбл}$:
$t = 10 \text{ км} / 5 \text{ км/ч} = 2$ часа.

Ответ: встреча произойдёт через 2 часа.

Иллюстрация движения на координатном луче

Примем начальное положение повозки за точку 0 на координатном луче. Так как пешеход находится на 10 км впереди, его начальное положение будет в точке 10.

Чтобы найти место встречи, вычислим, какое расстояние проедет каждый из них за 2 часа:
Повозка проедет: $S_{п} = v_{п} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 16$ км. Её координата будет 16.
Пешеход пройдёт: $S_{пеш} = v_{пеш} \times t = 3 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 6$ км. Его итоговая координата будет $10 + 6 = 16$.

Таким образом, встреча произойдет в точке 16 на координатном луче.

Ответ: Иллюстрация движения повозки и пешехода до места встречи представлена на координатном луче выше.

2 Вадим бежит за Серёжей со скоростью $b$ м/мин, а Серёжа убегает со скоростью $c$ м/мин ($b > c$). Сейчас между ними $a$ м. На каком расстоянии они окажутся через 1 мин, 2 мин, 3 мин, $t$ мин? Через сколько минут Вадим догонит Сережу?

Условия движения:

$b$ м/мин

$c$ м/мин

$a$ м

Таблица:

t мин | d м

0

1

2

3

$t$

Дополнительные формулы:

$v_{\text{сбл.}} =$

$d =$

$t_{\text{встр.}} =$

Для решения задачи о движении вдогонку, сначала найдем скорость сближения. Так как Вадим бежит быстрее Серёжи ($b>c$) и догоняет его, их скорость сближения равна разности их скоростей.

Скорость сближения: $v_{сбл.} = v_{Вадима} - v_{Серёжи} = b - c$ (м/мин).

Это означает, что каждую минуту расстояние между ними сокращается на величину $(b - c)$ метров.

Изначальное расстояние между ними составляет $a$ метров. Чтобы найти расстояние $d$ через время $t$, нужно из начального расстояния вычесть путь, на который они сблизились за это время.
Формула для расстояния через время $t$: $d = a - v_{сбл.} \times t = a - (b - c)t$.

Используя эту формулу, найдем расстояние для каждого момента времени:
Через 1 мин: $d_1 = a - (b - c) \times 1 = a - (b - c)$ м.
Через 2 мин: $d_2 = a - (b - c) \times 2 = a - 2(b - c)$ м.
Через 3 мин: $d_3 = a - (b - c) \times 3 = a - 3(b - c)$ м.
Через t мин: $d_t = a - t(b - c)$ м.

Заполним таблицу из условия задачи:

Ответ: через 1 минуту расстояние будет $a - (b - c)$ м, через 2 минуты – $a - 2(b - c)$ м, через 3 минуты – $a - 3(b - c)$ м, через t минут – $a - t(b - c)$ м.

Встреча (или в данном случае, момент, когда Вадим догонит Серёжу) произойдет, когда расстояние между ними станет равным нулю ($d = 0$). Время, необходимое для этого, называется временем встречи ($t_{встр.}$). Чтобы его найти, нужно начальное расстояние разделить на скорость сближения.

$t_{встр.} = \frac{\text{начальное расстояние}}{\text{скорость сближения}} = \frac{a}{b-c}$

Также можно приравнять общую формулу расстояния к нулю и решить уравнение относительно $t$:
$a - (b - c)t = 0$
$a = (b - c)t$
$t = \frac{a}{b-c}$

Ответ: Вадим догонит Серёжу через $\frac{a}{b - c}$ минут.

На основе полученных решений, заполняем пропуски в задании:
$v_{сбл.} =$ $b - c$
$d =$ $a - (b-c)t$
$t_{встр.} =$ $\frac{a}{b-c}$

3 Самолёт и вертолёт вылетели одновременно в одном направлении. Найди расстояние между ними в момент вылета, если скорость самолёта $v_1$ км/ч, вертолёта $v_2$ км/ч ($v_1 > v_2$) и самолёт догнал вертолёт через $t$ ч. Сделай вывод.

$s=$

При одновременном движении вдогонку первоначальное расстояние между объектами равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.

$s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}}$

$v_{\text{сбл.}} = v_1 - v_2$

Найди расстояние между ними в момент вылета

Пусть $s$ — искомое расстояние между самолётом и вертолётом в момент вылета. Скорость самолёта равна $v_1$ км/ч, а скорость вертолёта — $v_2$ км/ч. Так как самолёт и вертолёт движутся в одном направлении и по условию скорость самолёта больше ($v_1 > v_2$), самолёт будет догонять вертолёт.

Скорость, с которой самолёт приближается к вертолёту, называется скоростью сближения ($v_{сбл}$). При движении в одном направлении она находится как разность скоростей: $v_{сбл} = v_1 - v_2$

По условию, самолёт догнал вертолёт через время $t$. Это означает, что за это время он сократил первоначальное расстояние $s$ между ними до нуля.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. В данном случае, первоначальное расстояние равно произведению скорости сближения на время, за которое самолёт догнал вертолёт: $s = v_{сбл} \cdot t$

Подставим в формулу выражение для скорости сближения: $s = (v_1 - v_2) \cdot t$

Ответ: $s = (v_1 - v_2) \cdot t$

Сделай вывод

При одновременном движении двух объектов в одном направлении (вдогонку), первоначальное расстояние между ними равно произведению их скорости сближения (которая равна разности скоростей) на время, через которое более быстрый объект догонит более медленный.

Ответ: Первоначальное расстояние между объектами при движении вдогонку равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.