Страница 114, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Запиши формулу одновременного движения для случая движения вдогонку. Объясни её смысл. Чему равна в этой формуле скорость сближения?

$v_1$, $v_2$, $s$

Формула одновременного движения для случая движения вдогонку имеет следующий вид:

$s = (v_1 - v_2) \cdot t$

где:

• $s$ – начальное расстояние между объектами;
• $v_1$ – скорость объекта, который догоняет (при этом обязательно $v_1 > v_2$);
• $v_2$ – скорость объекта, который движется впереди;
• $t$ – время, через которое произойдет встреча (первый объект догонит второй).

Смысл этой формулы заключается в следующем: чтобы догоняющему объекту преодолеть первоначальное расстояние $s$, которое их разделяет, ему необходимо двигаться быстрее. Разница в скоростях $(v_1 - v_2)$ как раз и показывает, насколько быстро сокращается расстояние между объектами. Формула утверждает, что начальное расстояние равно скорости сближения, умноженной на время, которое потребовалось для того, чтобы это расстояние стало равным нулю.

Скорость сближения в этой формуле – это и есть разность скоростей догоняющего и уходящего объектов. Она показывает, на какое расстояние объекты становятся ближе друг к другу за единицу времени. Она равна:

$v_{сбл} = v_1 - v_2$

Ответ: Формула движения вдогонку: $s = (v_1 - v_2) \cdot t$. Её смысл в том, что начальное расстояние равно произведению скорости сближения на время до встречи. Скорость сближения равна $v_1 - v_2$.

2 Придумай задачи по схемам и подбери к ним подходящие выражения:

Диаграмма 1:

Скорость 1: a км/ч

Скорость 2: b км/ч

Расстояние: ? км

Время встречи: $t_{\text{встр.}} = c$ ч

Диаграмма 2:

Скорость 1: b км/ч

Скорость 2: c км/ч

Расстояние: a км

Время встречи: $t_{\text{встр.}} = ?$ ч

Диаграмма 3:

Скорость 1: ? км/ч

Скорость 2: a км/ч

Расстояние: b км

Время встречи: $t_{\text{встр.}} = c$ ч

Возможные выражения:

$a : (b - c)$

$(a - b) \cdot c$

$b : c + a$

$a \cdot c - b \cdot c$

Для первой схемы:

Задача: Из двух пунктов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля, едущего сзади, равна $a$ км/ч, а скорость второго автомобиля, едущего впереди, — $b$ км/ч. Через $c$ часов первый автомобиль догнал второй. Каким было первоначальное расстояние между автомобилями?

Решение: Эту задачу можно решить двумя способами.
1 способ: Найдём скорость сближения автомобилей. Так как они движутся в одном направлении, она равна разности их скоростей: $v_{сбл.} = a - b$ (км/ч). Чтобы найти первоначальное расстояние, нужно скорость сближения умножить на время, через которое произошла встреча: $S = v_{сбл.} \cdot t_{встр.} = (a - b) \cdot c$ (км). Этому решению соответствует выражение (a - b) · c.
2 способ: За время $c$ часов первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = a \cdot c$ (км), а второй — $S_2 = b \cdot c$ (км). Поскольку в момент старта второй автомобиль был впереди и в итоге они встретились, значит, первый автомобиль проехал на всё первоначальное расстояние больше. Следовательно, искомое расстояние равно разности путей, пройденных автомобилями: $S = S_1 - S_2 = a \cdot c - b \cdot c$ (км). Этому решению соответствует выражение a · c - b · c.

Ответ: $(a - b) \cdot c$ или $a \cdot c - b \cdot c$.

Для второй схемы:

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми $a$ км, одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист едет сзади со скоростью $b$ км/ч, а велосипедист — впереди со скоростью $c$ км/ч. Через сколько часов мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение: Чтобы найти время, за которое мотоциклист догонит велосипедиста, нужно разделить первоначальное расстояние между ними на их скорость сближения. Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей: $v_{сбл.} = b - c$ (км/ч). Тогда время до встречи ($t_{встр.}$) будет равно: $t_{встр.} = S : v_{сбл.} = a : (b - c)$ (ч). Этому решению соответствует выражение a : (b - c).

Ответ: $a : (b - c)$.

Для третьей схемы:

Задача: Два пешехода вышли одновременно из двух разных сёл в одном направлении. Расстояние между сёлами $b$ км. Пешеход, который шёл впереди, двигался со скоростью $a$ км/ч. Второй пешеход, шедший сзади, догнал первого через $c$ часов. С какой скоростью двигался второй пешеход?

Решение: Чтобы найти скорость догоняющего пешехода, нужно к скорости пешехода, который шёл впереди, прибавить скорость их сближения. Сначала найдём скорость сближения. Для этого разделим первоначальное расстояние на время: $v_{сбл.} = b : c$ (км/ч). Теперь найдём скорость второго (догоняющего) пешехода. Она равна сумме скорости первого пешехода и скорости сближения: $v_2 = v_1 + v_{сбл.} = a + b : c$ (км/ч). Этому решению соответствует выражение b : c + a.

Ответ: $b : c + a$.

3 Придумай задачи на движение вдогонку, решениями которых являются данные выражения. Что ты замечаешь?

$(90 - 70) \cdot 6$

$120 : (90 - 70)$

$90 - 120 : 6$

(90 – 70) · 6

Задача: Из двух разных пунктов, расположенных на одном шоссе, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Автобус ехал впереди со скоростью 70 км/ч. Автомобиль ехал за ним со скоростью 90 км/ч и догнал автобус через 6 часов. Какое расстояние было между ними изначально?

Решение:

Чтобы найти, на сколько километров автомобилю нужно сократить расстояние до автобуса, сперва найдем скорость их сближения. Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей.

1. Скорость сближения: $v_{сбл.} = v_{авто} - v_{автоб.} = 90 - 70 = 20$ (км/ч).

2. Теперь найдем первоначальное расстояние, умножив скорость сближения на время, за которое автомобиль догнал автобус.

Первоначальное расстояние: $S = v_{сбл.} \cdot t = (90 - 70) \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120$ (км).

Ответ: 120 км.

120 : (90 – 70)

Задача: Из двух разных пунктов, расстояние между которыми 120 км, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Автобус ехал впереди со скоростью 70 км/ч, а автомобиль ехал за ним со скоростью 90 км/ч. Через сколько часов автомобиль догонит автобус?

Решение:

Чтобы узнать время, через которое произойдет встреча, нужно разделить первоначальное расстояние на скорость сближения.

1. Скорость сближения: $v_{сбл.} = v_{авто} - v_{автоб.} = 90 - 70 = 20$ (км/ч).

2. Время до встречи: $t = S : v_{сбл.} = 120 : (90 - 70) = 120 : 20 = 6$ (ч).

Ответ: 6 часов.

90 – 120 : 6

Задача: Из двух разных пунктов, расстояние между которыми 120 км, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Автомобиль ехал сзади со скоростью 90 км/ч и догнал автобус, который ехал впереди, через 6 часов. С какой скоростью ехал автобус?

Решение:

Чтобы найти скорость автобуса, нужно из скорости автомобиля вычесть скорость их сближения.

1. Сначала найдем скорость сближения, разделив первоначальное расстояние на время до встречи:

$v_{сбл.} = S : t = 120 : 6 = 20$ (км/ч).

2. Теперь, зная скорость автомобиля и скорость сближения, найдем скорость автобуса:

$v_{автоб.} = v_{авто} - v_{сбл.} = 90 - 20 = 70$ (км/ч).

Решение одним выражением: $90 - 120 : 6 = 70$ (км/ч).

Ответ: 70 км/ч.

Что ты замечаешь?

Все три задачи являются взаимообратными. Они описывают одну и ту же ситуацию, используя одни и те же величины: скорость догоняющего (90 км/ч), скорость уезжающего (70 км/ч), время (6 ч) и первоначальное расстояние (120 км). В каждой задаче одна из этих четырех величин является неизвестной, а остальные три — известны. Решение одной задачи позволяет найти значение для условия другой.

4 Щука плывёт за карасём. Скорость щуки $10 \, \text{м/с}$, а скорость карася $6 \, \text{м/с}$. На каком расстоянии друг от друга они будут через $3 \, \text{с}$, если сейчас между ними $80 \, \text{м}$? Через сколько времени щука догонит карася?

$10 \, \text{м/с}$

$6 \, \text{м/с}$

$80 \, \text{м}$

$? \, \text{М}$

На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 с, если сейчас между ними 80 м?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти, на каком расстоянии будут щука и карась через 3 секунды, нужно сначала определить скорость их сближения.

1. Находим скорость сближения. Она равна разности скоростей щуки и карася, так как щука плывет быстрее и догоняет карася.
Скорость щуки $v_щ = 10$ м/с.
Скорость карася $v_к = 6$ м/с.
Скорость сближения $v_{сбл} = v_щ - v_к = 10 - 6 = 4$ м/с.

2. Теперь найдем, на какое расстояние щука приблизится к карасю за 3 секунды. Для этого умножим скорость сближения на время.
Расстояние сближения $S_{сбл} = v_{сбл} \times t = 4 \text{ м/с} \times 3 \text{ с} = 12$ м.

3. Начальное расстояние между ними было 80 м. За 3 секунды оно сократилось на 12 м. Найдем новое расстояние.
Новое расстояние $S_1 = S_0 - S_{сбл} = 80 \text{ м} - 12 \text{ м} = 68$ м.

Ответ: через 3 с расстояние между щукой и карасем будет 68 м.

Через сколько времени щука догонит карася?

Щука догонит карася, когда расстояние между ними станет равным нулю. Это значит, что щука должна сократить всё начальное расстояние в 80 м. Мы знаем, что она сокращает это расстояние со скоростью 4 м/с (скорость сближения).

Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость сближения.
Время $t = \frac{S_0}{v_{сбл}} = \frac{80 \text{ м}}{4 \text{ м/с}} = 20$ с.

Ответ: щука догонит карася через 20 секунд.