Страница 115, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

5 БЛИЦтурнир.

Составь выражение и найди его значение:

а) Два поезда выехали одновременно в одном направлении из двух городов, и через 3 ч первый поезд догнал второй. Чему равно расстояние между городами, если скорости поездов 95 км/ч и 80 км/ч?

б) Самолёт и вертолёт летят в одном направлении. Скорость самолёта 720 км/ч, а вертолёта — 300 км/ч. Сейчас между ними 840 км. Через сколько времени самолёт догонит вертолёт?

в) Лодка поплыла за плотом, когда он был на расстоянии 12 км от неё, и через 4 ч догнала плот. Скорость плота 2 км/ч. Чему равна скорость лодки?

г) Волк гонится за зайцем со скоростью 14 м/с. Скорость зайца 10 м/с. Вначале расстояние между ними было 120 м. Каким оно станет через 25 с?

а) Два поезда движутся в одном направлении. Первый поезд догоняет второй. Чтобы найти расстояние, на которое первый поезд должен сократить отставание, нужно найти их скорость сближения и умножить на время, за которое он догнал второй поезд. Скорость сближения равна разности скоростей поездов.

1. Найдём скорость сближения поездов:
$v_{сбл} = v_1 - v_2 = 95 - 80 = 15$ (км/ч)

2. Найдём первоначальное расстояние между поездами (расстояние между городами), умножив скорость сближения на время:
$S = v_{сбл} \cdot t = 15 \cdot 3 = 45$ (км)

Выражение: $(95 - 80) \cdot 3 = 45$ (км).

Ответ: расстояние между городами равно 45 км.

б) Самолёт и вертолёт летят в одном направлении, причём самолёт догоняет вертолёт. Чтобы найти время, через которое самолёт догонит вертолёт, нужно разделить первоначальное расстояние между ними на их скорость сближения. Скорость сближения равна разности скоростей самолёта и вертолёта.

1. Найдём скорость сближения самолёта и вертолёта:
$v_{сбл} = v_{сам} - v_{верт} = 720 - 300 = 420$ (км/ч)

2. Найдём время, через которое самолёт догонит вертолёт, разделив расстояние на скорость сближения:
$t = S / v_{сбл} = 840 / 420 = 2$ (ч)

Выражение: $840 / (720 - 300) = 2$ (ч).

Ответ: самолёт догонит вертолёт через 2 часа.

в) Лодка догоняет плот. Чтобы найти скорость лодки, нужно знать её скорость сближения с плотом и скорость самого плота. Скорость сближения можно найти, разделив первоначальное расстояние на время, за которое лодка догнала плот. Скорость лодки будет равна сумме скорости сближения и скорости плота.

1. Найдём скорость сближения лодки и плота:
$v_{сбл} = S / t = 12 / 4 = 3$ (км/ч)

2. Найдём скорость лодки, прибавив к скорости сближения скорость плота:
$v_{лодки} = v_{сбл} + v_{плота} = 3 + 2 = 5$ (км/ч)

Выражение: $12 / 4 + 2 = 5$ (км/ч).

Ответ: скорость лодки равна 5 км/ч.

г) Волк гонится за зайцем. Чтобы найти, каким станет расстояние между ними через 25 секунд, нужно из начального расстояния вычесть то расстояние, на которое они сблизятся за это время. Расстояние сближения равно произведению скорости сближения на время.

1. Найдём скорость сближения волка и зайца:
$v_{сбл} = v_{волка} - v_{зайца} = 14 - 10 = 4$ (м/с)

2. Найдём, на какое расстояние они сблизятся за 25 секунд:
$\Delta S = v_{сбл} \cdot t = 4 \cdot 25 = 100$ (м)

3. Найдём новое расстояние между ними, вычтя из начального расстояния расстояние сближения:
$S_{новое} = S_{начальное} - \Delta S = 120 - 100 = 20$ (м)

Выражение: $120 - (14 - 10) \cdot 25 = 20$ (м).

Ответ: через 25 секунд расстояние между волком и зайцем станет 20 м.

6 Пассажирский поезд едет вслед за товарным. В 6 часов утра расстояние между ними было 70 км. Скорость пассажирского поезда 80 км/ч, а товарного — 60 км/ч. Успеет ли пассажирский поезд догнать товарный до 9 ч утра? Через сколько времени произойдёт встреча? (Ответ вырази сначала в часах, а затем в часах и минутах.)

Успеет ли пассажирский поезд догнать товарный до 9 ч утра?

1. Найдем скорость сближения поездов. Поскольку пассажирский поезд догоняет товарный, их скорости вычитаются:
$v_{сближения} = v_{пассажирского} - v_{товарного} = 80 \text{ км/ч} - 60 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.

2. Определим время, которое потребуется пассажирскому поезду, чтобы преодолеть начальное расстояние в 70 км. Для этого разделим расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{70 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 3.5 \text{ часа}$.

3. Проверим, успеет ли поезд до 9 часов утра. От 6 часов утра до 9 часов утра проходит:
$9 \text{ ч} - 6 \text{ ч} = 3 \text{ часа}$.

4. Сравним необходимое время для встречи (3.5 часа) с имеющимся временем (3 часа):
$3.5 \text{ часа} > 3 \text{ часа}$.
Поскольку времени для встречи требуется больше, чем есть до 9 часов утра, пассажирский поезд не успеет догнать товарный. Встреча произойдет в $6 \text{ ч} + 3.5 \text{ ч} = 9.5 \text{ ч}$, то есть в 9 часов 30 минут.

Ответ: нет, не успеет.

Через сколько времени произойдёт встреча? (Ответ вырази сначала в часах, а затем в часах и минутах.)

Как было рассчитано выше, время до встречи составляет:
$t = \frac{70 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 3.5 \text{ часа}$.

Теперь выразим это время в часах и минутах. 3.5 часа — это 3 целых часа и 0.5 часа. Переведем 0.5 часа в минуты, зная, что в одном часе 60 минут:
$0.5 \times 60 = 30 \text{ минут}$.

Таким образом, встреча произойдет через 3 часа 30 минут.

Ответ: через 3.5 часа, или через 3 часа 30 минут.

7 Пусть $A$ — множество натуральных решений неравенства $5 \le x < 9$, а $B$ — множество натуральных решений неравенства $6 < x \le 11$. Запиши множества $A$ и $B$ с помощью фигурных скобок, найди множества $A \cap B$ и $A \cup B$.

Запишем множества А и В с помощью фигурных скобок
Множество A является множеством натуральных решений неравенства $5 \le x < 9$. Натуральные числа, которые больше или равны 5 и строго меньше 9, это 5, 6, 7, 8.
Следовательно, множество A можно записать как $A = \{5, 6, 7, 8\}$.
Множество B является множеством натуральных решений неравенства $6 < x \le 11$. Натуральные числа, которые строго больше 6 и меньше или равны 11, это 7, 8, 9, 10, 11.
Следовательно, множество B можно записать как $B = \{7, 8, 9, 10, 11\}$.
Ответ: $A = \{5, 6, 7, 8\}$; $B = \{7, 8, 9, 10, 11\}$.

Найдем множество $A \cap B$
Пересечение множеств $A \cap B$ (читается "А пересечение В") — это множество, содержащее все те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B.
$A = \{5, 6, \underline{7}, \underline{8}\}$
$B = \{\underline{7}, \underline{8}, 9, 10, 11\}$
Общими элементами для множеств A и B являются числа 7 и 8.
Ответ: $A \cap B = \{7, 8\}$.

Найдем множество $A \cup B$
Объединение множеств $A \cup B$ (читается "А объединение В") — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо A, либо B, либо им обоим).
Для нахождения объединения перечислим все элементы из множества A, а затем добавим к ним недостающие элементы из множества B.
Элементы множества A: 5, 6, 7, 8.
Добавляем недостающие элементы из B: 9, 10, 11. (Элементы 7 и 8 уже есть).
Таким образом, объединение содержит элементы: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Ответ: $A \cup B = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.