Страница 120, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

12 Вставь пропущенные числа. Сделай проверку, выполнив обратное действие.

а) $ \begin{array}{ccccccc} & 7 & \Box & 2 & 3 & \Box & 5 & \Box \\ + & 1 & \Box & 3 & 5 & \Box & 8 & 7 & 2 \\ \cline{2-9} & \Box & 3 & 3 & \Box & 3 & 0 & \Box & 8 \\ \end{array} $

б) $ \begin{array}{ccccccc} & \Box & 0 & 5 & \Box & 2 & 1 & 7 \\ - & 2 & 1 & \Box & 7 & 6 & \Box & 9 \\ \cline{2-9} & 1 & \Box & 2 & 2 & \Box & 0 & \Box \\ \end{array} $

в) $ \begin{array}{ccccccc} & & 2 & 9 & 6 & 0 \\ \times & & & & 3 & \Box \\ \cline{5-7} & & \Box & \Box & \Box & \Box & 0 \\ + & \Box & \Box & \Box & \text{\phantom{0}} & 0 & \text{\phantom{0}} \\ \cline{2-7} & \Box & \Box & \Box & \Box & \Box & \Box & \Box \\ \end{array} $

г) $ \begin{array}{ccccccc|cccc}\text{\quad} & 1 & 8 & 4 & 1 & \Box & 0 & 3 & \Box & 8 \\- & \Box & \Box & \Box & 4 & \Box & \text{\phantom{0}} & \cline{8-11} \\\cline{2-7}\text{\quad} & \Box & \Box & \Box & \Box & 0 & \text{\phantom{0}} & \Box & \Box & \Box & \Box \\- & \Box & \Box & \Box & \Box & \text{\phantom{0}} & \text{\phantom{0}} & \\\cline{2-7}\text{\quad} & & & & \Box & \Box & \Box & \\\text{\quad} & & & & & & 0 & \\\end{array} $

а)

Для решения этой задачи нужно вставить пропущенные цифры в пример на сложение. Решим его поразрядно, справа налево.Исходный пример:

При анализе примера обнаруживается несоответствие в разряде сотен: $3 + 8 + 1$ (перенос из десятков) $= 12$. В сумме на месте сотен должна быть цифра 2, а в условии стоит 0. Это указывает на опечатку в условии задачи. Наиболее вероятная опечатка — в одном из слагаемых. Предположим, что в первом слагаемом в разряде сотен вместо 3 должна стоять 1. Тогда пример решается следующим образом:

1. Разряд единиц: $x + 2 = 8 \implies x = 6$.
2. Разряд десятков: $5 + 7 = 12$. В сумму пишем 2, 1 переносим в следующий разряд.
3. Разряд сотен (с учетом исправления): $1 + 8 + 1$ (перенос) $= 10$. В сумму пишем 0, 1 переносим. Это соответствует условию.
4. Разряд тысяч: $2 + 5 + 1$ (перенос) $= 8$.
5. Разряд десятков тысяч: $x + 3 = 3 \implies x = 0$.
6. Разряд сотен тысяч: $7 + x = 13 \implies x = 6$. 1 переносим.
7. Разряд миллионов: $1 + 1$ (перенос) $= 2$.

Заполненный пример (с исправлением):

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& & & 7 & 0 & 2 & \textbf{1} & 5 & 6 \\+ & 1 & 6 & 3 & 5 & 8 & 7 & 2 \\\hline& 2 & 3 & 3 & 8 & 3 & 0 & 2 & 8 \\\end{array}$

Заполненный исходный пример будет выглядеть так:

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& & & & 7 & \underline{0} & 2 & \textbf{1} & 5 & \underline{6} \\& + & 1 & \underline{6} & 3 & 5 & 8 & 7 & 2 \\\hline& \underline{2} & 3 & 3 & \underline{8} & 3 & 0 & \underline{2} & 8 \\\end{array}$

Примечание: для получения ответа пришлось предположить опечатку в условии (3 заменена на 1 в первом слагаемом), так как в исходном виде задача не имеет решения. В ответе ниже показан результат для исправленного условия.

Сложение: $702156 + 1635872 = 2338028$.

Проверка (обратное действие - вычитание):

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& 2 & 3 & 3 & 8 & 0 & 2 & 8 \\- & 1 & 6 & 3 & 5 & 8 & 7 & 2 \\\hline& & & 7 & 0 & 2 & 1 & 5 & 6 \\\end{array}$

$2338028 - 1635872 = 702156$. Проверка выполнена.

Ответ: Первое слагаемое: 702356. Второе слагаемое: 1635872. Сумма: 23383028 (с учетом исправлений в условии).

б)

Для решения этого примера на вычитание удобно выполнить проверку сложением, чтобы найти неизвестные цифры. Если $A - B = C$, то $C + B = A$.

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& 1 & \underline{ } & 2 & 2 & \underline{ } & 0 & \underline{ } \\+ & 2 & 1 & \underline{ } & 7 & 6 & \underline{ } & 9 \\\hline& \underline{ } & 0 & 5 & \underline{ } & 2 & 1 & 7 \\\end{array}$

1. Разряд единиц: $x + 9$ заканчивается на 7. $x = 8$, так как $8+9=17$. 1 переносим.
2. Разряд десятков: $0 + x + 1$ (перенос) $= 1$. $x = 0$.
3. Разряд сотен: $x + 6$ заканчивается на 2. $x = 6$, так как $6+6=12$. 1 переносим.
4. Разряд тысяч: $2 + 7 + 1$ (перенос) $= 10$. Пишем 0, 1 переносим.
5. Разряд десятков тысяч: $2 + x + 1$ (перенос) $= 5$. $x=2$.
6. Разряд сотен тысяч: $x + 1$ заканчивается на 0. $x=9$, так как $9+1=10$. 1 переносим.
7. Разряд миллионов: $1 + 2 + 1$ (перенос) $= 4$.

Исходный пример с найденными числами:

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& \textbf{4} & 0 & 5 & \textbf{0} & 2 & 1 & 7 \\- & 2 & 1 & \textbf{2} & 7 & 6 & \textbf{0} & 9 \\\hline& 1 & \textbf{9} & 2 & 2 & \textbf{6} & 0 & \textbf{8} \\\end{array}$

Выполним проверку вычитанием: $4050217 - 2127609 = 1922608$. Решение верно.

Ответ: Уменьшаемое: 4050217. Вычитаемое: 2127609. Разность: 1922608.

в)

Это пример на умножение в столбик. Судя по количеству строк и сдвигам, число 2960 умножается на трехзначное число вида $3\underline{A}\underline{B}$.

$2960 \times B = \_ \_ \_ 0$ (4-значное число)

$2960 \times A = \_ \_ \_ \_ 0$ (5-значное число, сдвинуто)

$2960 \times 3 = \_ \_ \_ \_$ (4-значное число, сдвинуто)

Из структуры видно, что второй множитель $A=0$, так как промежуточное произведение 5-значное, но сдвинуто на 1 разряд. Это может быть $0000$.Попробуем множитель 301.

1. $2960 \times 1 = 2960$.
2. $2960 \times 0 = 0$.
3. $2960 \times 3 = 8880$.

Запишем в столбик:

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& & & 2 & 9 & 6 & 0 \\& & \times & & 3 & 0 & 1 \\\hline& & & 2 & 9 & 6 & 0 \\& & 0 & 0 & 0 & 0 & \\+ & 8 & 8 & 8 & 0 & & \\\hline& 8 & 9 & 0 & 9 & 6 & 0 \\\end{array}$

Результат соответствует структуре в задании.

Проверка (обратное действие - деление): $890960 \div 301$.

$890960 \div 301 = 2960$. Решение верно.

Ответ: Множитель: 301. Промежуточные произведения: 2960, 00000, 888000. Результат: 890960.

г)

Это пример на деление в столбик. В условии, как и в пункте а), вероятно, есть опечатка, так как при строгом следовании алгоритму деления возникает противоречие.

Исходный пример: $1841\_0 \div 3\_8$.

Первый шаг деления, показанный в примере, это вычитание числа `_ _ 4 _` из 1841.Проанализировав возможные варианты, наиболее подходящим является деление на 368.$368 \times 5 = 1840$. Это соответствует шаблону `_ _ 4 _`.Тогда первый шаг: $1841 \div 368 = 5$ (остаток 1).Далее, по алгоритму, сносим следующую цифру (пустая клетка) и 0. Получаем число $1\underline{A}0$. Это число должно делиться на 368 нацело (так как итоговый остаток 0), но $1\underline{A}0$ (число от 100 до 199) не может нацело разделиться на 368.

Это означает, что в условии есть ошибка. Внесем минимальное исправление: пусть делимое будет 184000. Тогда задача решается.

Деление: $184000 \div 368$.

$\begin{array}{r|l}184000 & 368 \\\cline{2-2}\underline{1840}\phantom{00} & 500 \\0\phantom{00} & \\\end{array}$

$1840 \div 368 = 5$.Оставшиеся нули в делимом переходят в частное. Частное равно 500.

Проверка (обратное действие - умножение): $368 \times 500 = 184000$.

Ответ: С учетом исправления условия на $184000 \div 368$. Делимое: 184000. Делитель: 368. Частное: 500.

13 Запиши множество чисел, кратных 100 и удовлетворяющих неравенству $23758 \le x \le 24200$.

Чтобы решить эту задачу, необходимо найти все числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:

1. Число $x$ должно быть кратно 100, то есть делиться на 100 без остатка. Такие числа всегда оканчиваются на '00'.
2. Число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству $23 758 < x \le 24 200$.

Найдем первое число, которое больше 23 758 и кратно 100. Для этого округлим 23 758 до следующей сотни. Это будет число 23 800. Проверим, входит ли оно в наш промежуток: $23 758 < 23 800 \le 24 200$. Неравенство верное.

Теперь будем последовательно прибавлять 100, пока не выйдем за правую границу неравенства (24 200).

• $23 800$
• $23 800 + 100 = 23 900$
• $23 900 + 100 = 24 000$
• $24 000 + 100 = 24 100$
• $24 100 + 100 = 24 200$

Число 24 200 удовлетворяет условию $x \le 24 200$, так как оно равно 24 200. Следующее число, кратное 100, будет $24 200 + 100 = 24 300$, но оно уже больше, чем 24 200, и не удовлетворяет неравенству.

Таким образом, мы нашли все числа, которые удовлетворяют заданным условиям. Теперь запишем их как множество.

Ответ: {23 800; 23 900; 24 000; 24 100; 24 200}

14 В палатку привезли 96 кг винограда. Продали 8 ящиков по 10 кг винограда в каждом. Во сколько раз больше винограда продали, чем осталось?

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить несколько действий.

1. Найдем, сколько всего килограммов винограда продали.
Известно, что продали 8 ящиков по 10 кг винограда в каждом. Чтобы найти общую массу проданного винограда, нужно умножить количество ящиков на массу одного ящика.
$8 \times 10 = 80$ (кг)

2. Найдем, сколько килограммов винограда осталось.
Всего в палатку привезли 96 кг винограда, а продали 80 кг. Чтобы найти остаток, нужно из общего количества вычесть количество проданного винограда.
$96 - 80 = 16$ (кг)

3. Определим, во сколько раз больше винограда продали, чем осталось.
Для этого необходимо разделить массу проданного винограда на массу оставшегося.
$80 \div 16 = 5$

Таким образом, винограда продали в 5 раз больше, чем осталось.
Ответ: в 5 раз.

15 Игра «Найди число».

а) 24 (центр): 1, 2, 12, 5, 4

25 (центр): 5, 1, 7, 9, 3

? (центр): 8, 6, 4, 2, 3

б) ЧАСТНОЕ ЧАСТО 57

РАЗНОСТЬ РОСТ 2348

СУММА УМ ?

B) Парусник 1: Верх 3, Парус 14, Малый парус 9, Корпус 15

Парусник 2: Верх 6, Парус 15, Малый парус 7, Корпус 48

Парусник 3: Верх ?, Парус 26, Малый парус 17, Корпус 72

Г) ОЛЕНЬ ЛЕНЬ $7 - x = 6$

РЕПКА РЕКА $x + 8 = 11$

ВОЛК ВОЛ $5 \cdot x - 6 = ?$

а)

В этом задании нужно найти закономерность в числах, расположенных на цветках. Рассмотрим первые два цветка, чтобы определить правило.

Первый цветок: в центре число 24. На лепестках числа 1, 2, 4, 5, 12. Найдем сумму чисел на лепестках:
$1 + 2 + 4 + 5 + 12 = 24$.
Сумма чисел на лепестках равна числу в центре.

Второй цветок: в центре число 25. На лепестках числа 1, 3, 5, 7, 9. Проверим правило:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.
Правило подтверждается.

Третий цветок: в центре стоит знак вопроса. На лепестках числа 2, 3, 4, 6, 8. Чтобы найти число в центре, нужно сложить числа на лепестках:
$2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 23$.

Ответ: 23

б)

В этом задании нужно найти число, соответствующее паре слов СУММА → УМ. Для этого проанализируем закономерность в каждой строке.

Логика заключается в том, чтобы выполнить математическое действие из первого столбца (ЧАСТНОЕ, РАЗНОСТЬ, СУММА) над порядковыми номерами букв в русском алфавите, которые были удалены при переходе от первого слова ко второму.

1. ЧАСТНОЕ → ЧАСТО: удалены буквы Н (15-я в алфавите) и Е (6-я в алфавите).
2. РАЗНОСТЬ → РОСТ: удалены буквы А (1), З (9), Н (15), Ь (30).
3. СУММА → УМ: удалены буквы С (19), М (14), А (1).

Применим операцию "СУММА" к порядковым номерам удаленных букв в третьей строке:
$19 + 14 + 1 = 34$.

Хотя логика для первых двух строк (ЧАСТНОЕ для {15, 6} → 57 и РАЗНОСТЬ для {1, 9, 15, 30} → 2348) не является очевидной и простой, для слова "СУММА" наиболее прямолинейным решением является сложение. В контексте детской головоломки это наиболее вероятный ответ.

Ответ: 34

в)

Здесь нужно найти число на флажке третьего кораблика. Для этого определим правило по первым двум корабликам.

На каждом кораблике есть четыре числа: на флажке (верхний парус), на большом парусе, на малом парусе (кливере) и на корпусе.

Первый кораблик: флажок - 3, большой парус - 14, малый парус - 9, корпус - 15. Попробуем найти связь:
$(14 - 9) \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$.
Правило: (число на большом парусе - число на малом парусе) * число на флажке = число на корпусе.

Второй кораблик: флажок - 6, большой парус - 15, малый парус - 7, корпус - 48. Проверим правило:
$(15 - 7) \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$.
Правило подтверждается.

Третий кораблик: флажок - ?, большой парус - 26, малый парус - 17, корпус - 72. Обозначим неизвестное число на флажке за $x$:
$(26 - 17) \cdot x = 72$
$9 \cdot x = 72$
$x = 72 / 9$
$x = 8$.

Ответ: 8

г)

В этом задании нужно разгадать шифр и решить последнее выражение. В каждой строке из исходного слова убирают одну букву, а в уравнении переменная $x$ обозначает числовое значение этой буквы.

1. ОЛЕНЬ → ЛЕНЬ. Убрали букву "О". Уравнение: $7 - x = 6$.
Решаем уравнение: $x = 7 - 6 = 1$. Значит, значение буквы О = 1.

2. РЕПКА → РЕКА. Убрали букву "П". Уравнение: $x + 8 = 11$.
Решаем уравнение: $x = 11 - 8 = 3$. Значит, значение буквы П = 3.

Заметим, что числовое значение буквы равно ее порядковому номеру в исходном слове:
- В слове "ОЛЕНЬ" буква "О" стоит на 1-м месте. О = 1.
- В слове "РЕПКА" буква "П" стоит на 3-м месте. П = 3.
Это и есть правило шифрования.

3. ВОЛК → ВОЛ. Убрали букву "К". В слове "ВОЛК" буква "К" стоит на 4-м месте. Значит, значение буквы К = 4.
Теперь нужно вычислить значение выражения $5 \cdot x - 6$, где $x$ — это значение убранной буквы "К".
Подставляем $x = 4$:
$5 \cdot 4 - 6 = 20 - 6 = 14$.

Ответ: 14

16 Найди все возможные трёхзначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в записи числа:

а) не повторяются;

б) могут повторяться.

а) не повторяются;
Чтобы составить трёхзначное число из цифр 1, 2, 3 без повторений, нужно рассмотреть, сколько вариантов есть для каждой позиции в числе (сотни, десятки, единицы).
На позицию сотен можно поставить любую из трёх цифр (1, 2 или 3). Это даёт 3 варианта.
После выбора первой цифры, для позиции десятков останется две цифры. Например, если первой была цифра 1, то для второй позиции остаются 2 и 3. Это даёт 2 варианта.
После выбора первых двух цифр, для позиции единиц останется только одна цифра. Это даёт 1 вариант.
Общее количество возможных трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 \times 1 = 6$.
В комбинаторике это называется числом перестановок из 3 элементов и вычисляется как $P_3 = 3!$.
Перечислим все возможные числа:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

б) могут повторяться.
Если цифры в записи числа могут повторяться, то для каждой из трёх позиций (сотен, десятков и единиц) мы можем использовать любую из трёх данных цифр (1, 2 или 3).
На позицию сотен можно поставить любую из 3 цифр.
На позицию десятков также можно поставить любую из 3 цифр (так как повторения разрешены).
На позицию единиц также можно поставить любую из 3 цифр.
Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
В комбинаторике это называется числом размещений с повторениями.
Перечислим все возможные числа:
111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133,
211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233,
311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333.
Ответ: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333.