Страница 116, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

8 Запиши три решения неравенства $7 < y < 8$ сначала в виде смешанных чисел, а затем переведи их в неправильные дроби.

Неравенство $7 < y < 8$ означает, что нужно найти три числа, которые больше 7, но меньше 8. Такими числами могут быть смешанные числа с целой частью 7 и любой правильной дробной частью.

Первое решение

Возьмем в качестве первого решения смешанное число $7\frac{1}{2}$. Оно удовлетворяет неравенству, так как $7 < 7\frac{1}{2} < 8$.
Теперь переведем это смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим к результату числитель. Это будет новый числитель, а знаменатель останется прежним:
$7\frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{14 + 1}{2} = \frac{15}{2}$
Ответ: смешанное число $7\frac{1}{2}$, неправильная дробь $\frac{15}{2}$.

Второе решение

Возьмем в качестве второго решения смешанное число $7\frac{1}{4}$. Оно также удовлетворяет неравенству: $7 < 7\frac{1}{4} < 8$.
Переведем его в неправильную дробь по тому же правилу:
$7\frac{1}{4} = \frac{7 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{28 + 1}{4} = \frac{29}{4}$
Ответ: смешанное число $7\frac{1}{4}$, неправильная дробь $\frac{29}{4}$.

Третье решение

В качестве третьего решения возьмем смешанное число $7\frac{3}{5}$. Условие $7 < 7\frac{3}{5} < 8$ выполняется.
Переведем его в неправильную дробь:
$7\frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{35 + 3}{5} = \frac{38}{5}$
Ответ: смешанное число $7\frac{3}{5}$, неправильная дробь $\frac{38}{5}$.

9 Какую часть недели составляют: 1 сут., 5 сут., 1 ч, 18 ч, 1 мин, 56 мин?

Чтобы найти, какую часть недели составляют указанные промежутки времени, сначала необходимо выразить одну неделю в сутках, часах и минутах.

• 1 неделя = 7 суток
• 1 неделя = 7 суток $\times$ 24 часа/сутки = 168 часов
• 1 неделя = 168 часов $\times$ 60 минут/час = 10080 минут

Теперь решим каждую подзадачу.

1 сут.

В одной неделе 7 суток. Следовательно, 1 сутки составляют одну из семи частей недели.

$\frac{1 \text{ сутки}}{7 \text{ суток}} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

5 сут.

В одной неделе 7 суток. Следовательно, 5 суток составляют пять из семи частей недели.

$\frac{5 \text{ суток}}{7 \text{ суток}} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

1 ч

В одной неделе 168 часов. Следовательно, 1 час составляет одну из ста шестидесяти восьми частей недели.

$\frac{1 \text{ час}}{168 \text{ часов}} = \frac{1}{168}$

Ответ: $\frac{1}{168}$

18 ч

В одной неделе 168 часов. Чтобы найти, какую часть недели составляют 18 часов, нужно составить дробь $\frac{18}{168}$ и сократить её. Наибольший общий делитель для 18 и 168 равен 6.

$\frac{18}{168} = \frac{18 \div 6}{168 \div 6} = \frac{3}{28}$

Ответ: $\frac{3}{28}$

1 мин

В одной неделе 10080 минут. Следовательно, 1 минута составляет одну из десяти тысяч восьмидесяти частей недели.

$\frac{1 \text{ минута}}{10080 \text{ минут}} = \frac{1}{10080}$

Ответ: $\frac{1}{10080}$

56 мин

В одной неделе 10080 минут. Чтобы найти, какую часть недели составляют 56 минут, нужно составить дробь $\frac{56}{10080}$ и сократить её. Наибольший общий делитель для 56 и 10080 равен 56.

$\frac{56}{10080} = \frac{56 \div 56}{10080 \div 56} = \frac{1}{180}$

Ответ: $\frac{1}{180}$

10 Который теперь час, если от полудня до настоящей минуты прошло $\frac{13}{48}$ суток?

Чтобы найти текущее время, нужно рассчитать, сколько часов и минут составляет $\frac{13}{48}$ суток, и прибавить это время к полудню (12:00).

1. Сначала определим, сколько часов в $\frac{13}{48}$ суток. В одних сутках 24 часа.
$ \frac{13}{48} \times 24 \text{ часа} = \frac{13 \times 24}{48} \text{ часа} = \frac{13}{2} \text{ часа} = 6,5 \text{ часа} $.

2. Прошло 6,5 часа. Это 6 целых часов и 0,5 часа. Переведем 0,5 часа в минуты. В одном часе 60 минут.
$ 0,5 \times 60 \text{ минут} = 30 \text{ минут} $.

3. Таким образом, с полудня прошло 6 часов 30 минут.

4. Полдень — это 12:00. Прибавляем к этому времени 6 часов 30 минут:
12 часов 00 минут + 6 часов 30 минут = 18 часов 30 минут.

Ответ: сейчас 18:30.

11. Борис рассчитал, что $ \frac{1}{4} $ часть суток он проводит в школе, $ \frac{1}{8} $ суток — дома за выполнением домашнего задания, $ \frac{1}{24} $ суток — дома за едой, $ \frac{3}{8} $ суток он спит, а остальное время играет или отдыхает.

Сколько часов у него остаётся для игры и отдыха? Какая это часть суток?

Для решения задачи сначала найдем, какую часть суток Борис тратит на все перечисленные занятия, а затем определим, какая часть суток и сколько часов у него остается на отдых.

Какая это часть суток?

1. Сначала сложим все части суток, которые Борис тратит на известные занятия: школа, домашнее задание, еда и сон.

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{3}{8} $

2. Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 8 и 24 — это 24.

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24} $

$ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24} $

$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $

3. Теперь сложим полученные дроби:

$ \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24} + \frac{9}{24} = \frac{6+3+1+9}{24} = \frac{19}{24} $

Это часть суток, которую Борис тратит на все перечисленные дела.

4. Чтобы найти оставшуюся часть суток, нужно из целых суток (которые равны 1 или $ \frac{24}{24} $) вычесть занятую часть.

$ 1 - \frac{19}{24} = \frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24} $

Ответ: на игры и отдых у Бориса остается $ \frac{5}{24} $ часть суток.

Сколько часов у него остаётся для игры и отдыха?

1. Мы знаем, что в сутках 24 часа. Чтобы найти, сколько часов составляют $ \frac{5}{24} $ суток, нужно общее количество часов в сутках умножить на эту дробь.

$ 24 \cdot \frac{5}{24} = \frac{24 \cdot 5}{24} = 5 $ часов.

Ответ: у Бориса остается 5 часов для игры и отдыха.

12 Найди значения выражений:

a) $a + 32658$, если $a = 408934$;в) $51900 \cdot c$, если $c = 708$;

б) $700105 - b$, если $b = 74816$;г) $d : 35$, если $d = 702100$.

а) Подставим в выражение $a + 32 658$ значение $a = 408 934$ и вычислим сумму:

$408 934 + 32 658 = 441 592$

Ответ: $441 592$.

б) Подставим в выражение $700 105 - b$ значение $b = 74 816$ и вычислим разность:

$700 105 - 74 816 = 625 289$

Ответ: $625 289$.

в) Подставим в выражение $51 900 \cdot c$ значение $c = 708$ и вычислим произведение:

$51 900 \cdot 708$

Чтобы упростить вычисление, можно сначала умножить $519$ на $708$, а затем результат умножить на $100$:

$519 \cdot 708 = 367 452$

$367 452 \cdot 100 = 36 745 200$

Таким образом, $51 900 \cdot 708 = 36 745 200$.

Ответ: $36 745 200$.

г) Подставим в выражение $d : 35$ значение $d = 702 100$ и вычислим частное:

$702 100 : 35 = 20 060$

Проверим результат умножением:

$20 060 \cdot 35 = 702 100$

Ответ: $20 060$.

13 Найди площади фигур по размерам, данным на чертеже:

а) 2 дм, 5 дм, 3 дм

б) 3 дм, 6 дм, 3 дм, 2 дм

а)

Представленная фигура является треугольником. Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Из данных на чертеже мы видим, что высота треугольника $h = 2$ дм.

Основание треугольника состоит из двух отрезков длиной $5$ дм и $3$ дм. Чтобы найти общую длину основания, сложим длины этих отрезков:

$a = 5 \text{ дм} + 3 \text{ дм} = 8 \text{ дм}$

Теперь, зная основание и высоту, можем вычислить площадь треугольника:

$S_a = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ дм} \cdot 2 \text{ дм} = 8 \text{ дм}^2$

Ответ: $8 \text{ дм}^2$.

б)

Представленная фигура является трапецией. Площадь трапеции ($S$) можно вычислить по формуле полусуммы оснований, умноженной на высоту: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.

Из чертежа определяем параметры трапеции:

• Высота $h = 3$ дм.
• Верхнее (меньшее) основание $b = 3$ дм.
• Нижнее (большее) основание $a$ состоит из трех отрезков: $6$ дм, $3$ дм и $2$ дм. Найдем его полную длину: $a = 6 \text{ дм} + 3 \text{ дм} + 2 \text{ дм} = 11 \text{ дм}$

Подставим найденные значения в формулу площади трапеции:

$S_б = \frac{11 \text{ дм} + 3 \text{ дм}}{2} \cdot 3 \text{ дм} = \frac{14 \text{ дм}}{2} \cdot 3 \text{ дм} = 7 \text{ дм} \cdot 3 \text{ дм} = 21 \text{ дм}^2$

Также эту площадь можно найти, разбив трапецию на три более простые фигуры: два прямоугольных треугольника по бокам и прямоугольник в центре.

• Площадь левого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ дм} \cdot 3 \text{ дм} = 9 \text{ дм}^2$.
• Площадь центрального прямоугольника: $S_2 = 3 \text{ дм} \cdot 3 \text{ дм} = 9 \text{ дм}^2$.
• Площадь правого треугольника: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ дм} \cdot 3 \text{ дм} = 3 \text{ дм}^2$.

Суммарная площадь: $S_б = S_1 + S_2 + S_3 = 9 + 9 + 3 = 21 \text{ дм}^2$.

Ответ: $21 \text{ дм}^2$.

14. Игра «От 1 до 10».

Напиши числа от 1 до 10 с помощью четырёх четвёрок, вставляя между ними, если это необходимо, знаки арифметических действий и скобки:

$4\ 4\ 4\ 4 = 1;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 2;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 3;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 4;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 5;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 6;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 7;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 8;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 9;$

$4\ 4\ 4\ 4 = 10.$

4 4 4 4 = 1;

Чтобы получить 1, можно разделить число само на себя. Составим число 44 из двух четвёрок и используем вторую пару для создания такого же числа. При делении 44 на 44 получится 1.

Ответ: $44 / 44 = 1$.

4 4 4 4 = 2;

Разделив 4 на 4, мы получим 1. Если сложить результаты двух таких же операций, мы получим 2.

Ответ: $4 / 4 + 4 / 4 = 2$.

4 4 4 4 = 3;

Сумма трёх четвёрок равна 12 ($4+4+4=12$). Если разделить это значение на оставшуюся четвёртую четвёрку, получится 3.

Ответ: $(4 + 4 + 4) / 4 = 3$.

4 4 4 4 = 4;

Вычтем из четвёрки четвёрку, чтобы получить 0. Умножение на 0 даёт 0. Прибавив к результату оставшуюся четвёрку, получим 4.

Ответ: $4 + (4 - 4) \cdot 4 = 4$.

4 4 4 4 = 5;

Умножим 4 на 4, чтобы получить 16. Затем прибавим ещё 4, получив 20. Разделив 20 на последнюю четвёрку, мы получим 5.

Ответ: $(4 \cdot 4 + 4) / 4 = 5$.

4 4 4 4 = 6;

Сложим две четвёрки, чтобы получить 8. Разделим 8 на 4, получив 2. Затем прибавим 2 к оставшейся четвёрке.

Ответ: $4 + (4 + 4) / 4 = 6$.

4 4 4 4 = 7;

Составим число 44 из двух четвёрок и разделим его на 4, получив 11. Затем вычтем из результата оставшуюся четвёрку.

Ответ: $44 / 4 - 4 = 7$.

4 4 4 4 = 8;

Сумма двух четвёрок равна 8. Прибавив и затем вычтя оставшиеся две четвёрки, мы не изменим результат.

Ответ: $4 + 4 + 4 - 4 = 8$.

4 4 4 4 = 9;

Сложим две четвёрки, чтобы получить 8. Разделим оставшиеся две четвёрки друг на друга, получив 1. Сумма 8 и 1 равна 9.

Ответ: $4 + 4 + 4 / 4 = 9$.

4 4 4 4 = 10;

Составим число 44 из двух четвёрок и вычтем из него 4, получив 40. Разделив 40 на оставшуюся четвёрку, получим 10.

Ответ: $(44 - 4) / 4 = 10$.