Страница 112, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4 Тигр догнал оленя за 15 мин. Определи первоначальное расстояние между ними, если скорость тигра на 100 м/мин больше скорости оленя.

Для решения этой задачи используется понятие "скорость сближения". Скорость сближения показывает, на какое расстояние объекты становятся ближе друг к другу за единицу времени. Когда один объект догоняет другой, скорость сближения равна разности их скоростей.

Обозначим скорость тигра как $v_{т}$, а скорость оленя как $v_{о}$.

По условию, скорость тигра на $100$ м/мин больше скорости оленя. Это и есть их скорость сближения ($v_{сбл}$):

$v_{сбл} = v_{т} - v_{о} = 100$ м/мин.

Это означает, что каждую минуту расстояние между тигром и оленем сокращается на $100$ метров.

Время, за которое тигр догнал оленя, составляет $t = 15$ мин.

Чтобы найти первоначальное расстояние ($S$), нужно скорость сближения умножить на время, за которое это расстояние было преодолено:

$S = v_{сбл} \cdot t$

Подставим известные значения в формулу:

$S = 100 \text{ м/мин} \cdot 15 \text{ мин} = 1500 \text{ м}$.

Расстояние в $1500$ метров также можно выразить как $1.5$ километра.

Ответ: первоначальное расстояние между ними было $1500$ м.

5 а) Алёша пробегает на коньках 8 м в секунду, а Таня — 6 м в секунду. Через сколько секунд Алёша догонит Таню, если сейчас между ними 50 м?

8 м/с

6 м/с

50 м

$t_{\text{встр.}} = ?$

б) Составь и реши задачу, обратную данной.

а)

Чтобы найти время, через которое Алёша догонит Таню, необходимо сначала определить скорость их сближения. Поскольку они движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей.

1. Найдём скорость сближения ($v_{сбл}$):
Скорость Алёши ($v_А$) = 8 м/с.
Скорость Тани ($v_Т$) = 6 м/с.
$v_{сбл} = v_А - v_Т = 8 \text{ м/с} - 6 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$.
Это значит, что каждую секунду расстояние между ними сокращается на 2 метра.

2. Найдём время ($t_{встр}$), через которое произойдёт встреча. Для этого разделим первоначальное расстояние ($S$) на скорость сближения:
$S = 50$ м.
$t_{встр} = S \div v_{сбл} = 50 \text{ м} \div 2 \text{ м/с} = 25 \text{ с}$.

Ответ: Алёша догонит Таню через 25 секунд.

б)

Составим и решим обратную задачу, в которой неизвестным будет первоначальное расстояние между детьми.

Условие задачи:
Алёша бежит на коньках со скоростью 8 м/с, а Таня — со скоростью 6 м/с. Через 25 секунд Алёша догнал Таню. Какое расстояние было между ними изначально?

Решение:
1. Найдём скорость сближения Алёши и Тани:
$8 \text{ м/с} - 6 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$.

2. Зная скорость сближения (на сколько метров они сближались каждую секунду) и общее время, найдём первоначальное расстояние. Для этого умножим скорость сближения на время:
$2 \text{ м/с} \times 25 \text{ с} = 50 \text{ м}$.

Ответ: изначально между ними было 50 м.

Реши задачу двумя способами. Объясни, какой из них удобнее и почему.

«Из Москвы и Твери в Санкт-Петербург по одному шоссе выехали одновременно две машины: из Москвы легковая со скоростью 74 км/ч, а из Твери — грузовая. Найди скорость грузовой машины, если легковая догнала её через 7 ч после выезда, а расстояние от Москвы до Твери 168 км».

74 км/ч

? км/ч

$t_{\text{встр.}} = 7 \text{ ч}$

Москва

Тверь

Санкт-Петербург

168 км

Для решения задачи можно использовать два способа.

7 Шерлок Холмс пустился вдогонку за преступником в 7 ч утра. Сможет ли он догнать преступника к 2 ч дня, если скорость преступника $6 \text{ км/ч}$, Шерлока Холмса — $8 \text{ км/ч}$, а первоначальное расстояние между ними $12 \text{ км}$?

Для того чтобы определить, сможет ли Шерлок Холмс догнать преступника, необходимо найти, сколько времени ему потребуется на погоню и сравнить это с имеющимся временем.

1. Сначала найдем скорость сближения. Поскольку Шерлок Холмс догоняет преступника, их скорости вычитаются:

$v_{сближения} = v_{Шерлока} - v_{преступника} = 8 \text{ км/ч} - 6 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними сокращается на 2 километра.

2. Теперь рассчитаем, сколько времени потребуется Шерлоку, чтобы преодолеть первоначальное расстояние в 12 км с этой скоростью сближения. Для этого разделим расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{12 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 6 \text{ часов}$

Таким образом, погоня продлится 6 часов.

3. Погоня началась в 7 часов утра. Чтобы узнать время, когда Шерлок догонит преступника, прибавим время погони к начальному времени:

$7 \text{ ч утра} + 6 \text{ часов} = 13 \text{ часов}$

13 часов — это 1 час дня (13:00).

4. Условие задачи — успеет ли Шерлок догнать преступника к 2 часам дня (14:00). Сравним время, когда он его догонит, с конечным временем:

$13:00 < 14:00$

Так как 1 час дня наступает раньше, чем 2 часа дня, Шерлок Холмс успеет.

Ответ: Да, Шерлок Холмс сможет догнать преступника к 2 часам дня, так как ему потребуется на это 6 часов, и он настигнет его в 1 час дня.