Страница 105, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 От Коломны до Истры по шоссе 200 км. Из этих городов одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса. Скорость первого автобуса 40 км/ч, а второго — 60 км/ч. Вычисли, через сколько часов произойдёт встреча. Проиллюстрируй движение автобусов на координатном луче.

Коломна 0 40 80 120 160 200 Истра

Вычисли, через сколько часов произойдёт встреча.

Чтобы найти время, через которое автобусы встретятся, сначала необходимо вычислить их общую скорость сближения. Так как автобусы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдём скорость сближения автобусов ($v_{сбл}$):
Скорость первого автобуса $v_1 = 40$ км/ч.
Скорость второго автобуса $v_2 = 60$ км/ч.
Скорость сближения равна сумме скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 40 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$.
Это значит, что каждый час автобусы становятся ближе друг к другу на 100 км.

2. Найдём время до встречи ($t$):
Для этого разделим общее расстояние ($S = 200$ км) на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{200 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

Ответ: встреча произойдёт через 2 часа.

Проиллюстрируй движение автобусов на координатном луче.

На координатном луче, представленном в задаче, город Коломна находится в точке 0, а город Истра — в точке 200 км. Движение автобусов можно описать следующим образом:

Положение первого автобуса (выехавшего из Коломны) через $t$ часов можно найти по формуле: $x_1(t) = 0 + 40t$.
Положение второго автобуса (выехавшего из Истры) через $t$ часов можно найти по формуле: $x_2(t) = 200 - 60t$.

Мы уже знаем, что время встречи $t = 2$ часа. Подставим это значение в формулы, чтобы найти точку встречи на координатном луче:

Положение первого автобуса через 2 часа:
$x_1(2) = 40 \cdot 2 = 80$ км.

Положение второго автобуса через 2 часа:
$x_2(2) = 200 - 60 \cdot 2 = 200 - 120 = 80$ км.

Оба автобуса окажутся в точке с координатой 80 км через 2 часа после начала движения. Это и есть иллюстрация их встречи на координатном луче.

Ответ: встреча автобусов произойдёт на отметке 80 км координатного луча.

2 Два теплохода плывут навстречу друг другу со скоростями $b$ км/ч и $c$ км/ч. Сейчас между ними расстояние $a$ км. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 1 ч после начала движения, через 2 ч, 3 ч, $t$ ч? Через сколько часов произойдёт встреча?

$v_{\text{сбл.}} =$

$d =$

$t_{\text{встр.}} =$

Для решения задачи введем понятие скорости сближения. Поскольку теплоходы движутся навстречу друг другу, их общая скорость, с которой они сокращают расстояние между собой, равна сумме их скоростей.

Скорость сближения (v_сбл.)

Скорость сближения $v_{сбл.}$ вычисляется как сумма скоростей двух теплоходов:

$v_{сбл.} = b + c$ (км/ч)

Это означает, что каждый час расстояние между теплоходами сокращается на $(b + c)$ километров.

Ответ: $v_{сбл.} = b + c$ (км/ч)

Расстояние между теплоходами через определенное время

Чтобы найти расстояние $d$ между теплоходами через время $t$, нужно из начального расстояния $a$ вычесть расстояние, на которое они сблизились. Расстояние сближения равно скорости сближения, умноженной на время.

Общая формула: $d = a - v_{сбл.} \times t = a - (b+c)t$

Теперь рассчитаем расстояние для каждого указанного промежутка времени:

Через 1 ч

Подставим $t = 1$ в формулу:

$d = a - (b+c) \times 1 = a - (b+c)$ (км)

Ответ: $a - (b+c)$ км

Через 2 ч

Подставим $t = 2$ в формулу:

$d = a - (b+c) \times 2 = a - 2(b+c)$ (км)

Ответ: $a - 2(b+c)$ км

Через 3 ч

Подставим $t = 3$ в формулу:

$d = a - (b+c) \times 3 = a - 3(b+c)$ (км)

Ответ: $a - 3(b+c)$ км

Через t ч

Общая формула для расстояния через время $t$:

$d = a - (b+c)t$ (км)

Ответ: $a - (b+c)t$ км

Время до встречи (t_встр.)

Встреча произойдет, когда расстояние между теплоходами станет равным нулю ($d=0$). Это значит, что расстояние, которое они прошли вместе, равно начальному расстоянию $a$.

$a = v_{сбл.} \times t_{встр.}$

$a = (b+c) \times t_{встр.}$

Отсюда находим время до встречи:

$t_{встр.} = \frac{a}{b+c}$ (ч)

Ответ: $\frac{a}{b+c}$ ч

Заполнение таблицы и формул из условия

Заполним пропуски в соответствии с полученными результатами.

$v_{сбл.} = b+c$

$d = a - (b+c)t$

$t_{встр.} = \frac{a}{b+c}$

3 Два поезда выехали навстречу друг другу со скоростями $v_1$ км/ч и $v_2$ км/ч и встретились через $t$ ч. Какое расстояние было между ними первоначально? Сделай вывод.

$s = ?$

$s = $

При одновременном встречном движении первоначальное расстояние между объектами равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.

$s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}}$

$v_{\text{сбл.}} = v_1 + v_2$

Для того чтобы найти первоначальное расстояние между поездами ($s$), необходимо определить, какое расстояние прошел каждый поезд до момента встречи, и сложить эти расстояния.

1. Расстояние, которое проехал первый поезд за время $t$ со скоростью $v_1$, вычисляется по формуле: $s_1 = v_1 \cdot t$.

2. Расстояние, которое проехал второй поезд за то же время $t$ со скоростью $v_2$, вычисляется по формуле: $s_2 = v_2 \cdot t$.

3. Первоначальное расстояние $s$ равно сумме расстояний, пройденных обоими поездами до их встречи:

$s = s_1 + s_2$

Подставим в эту формулу выражения для $s_1$ и $s_2$:

$s = v_1 \cdot t + v_2 \cdot t$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$s = (v_1 + v_2) \cdot t$

Сумма скоростей $(v_1 + v_2)$ представляет собой скорость сближения ($v_{сбл}$) — это скорость, с которой уменьшается расстояние между поездами.

Ответ: Первоначальное расстояние между поездами было $s = (v_1 + v_2) \cdot t$.

Сделай вывод.

При одновременном встречном движении двух объектов первоначальное расстояние между ними равно произведению их скорости сближения на время до встречи. Скорость сближения в данном случае равна сумме скоростей этих объектов.

Ответ: Чтобы найти первоначальное расстояние при встречном движении, нужно скорость сближения (сумму скоростей) умножить на время до встречи.