Страница 103, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

10 Запиши неравенства и проверь их истинность:

a) Разность чисел 26 000 и 10 192 больше или равна произведению чисел 268 и 709.

$26000 - 10192 \ge 268 \times 709$

б) Частное чисел 48 762 и 54 меньше или равно сумме чисел 1395 и 689.

$48762 \div 54 \le 1395 + 689$

а) Разность чисел 26 000 и 10 192 больше или равна произведению чисел 268 и 709.

Для проверки истинности данного утверждения, сначала запишем его в виде математического неравенства:

$26000 - 10192 \ge 268 \times 709$

Теперь выполним вычисления для левой и правой частей неравенства.

1. Вычислим разность в левой части:

$26000 - 10192 = 15808$

2. Вычислим произведение в правой части:

$268 \times 709 = 190012$

3. Сравним полученные результаты:

$15808 \ge 190012$

Данное неравенство является ложным, так как 15 808 на самом деле меньше, чем 190 012. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Неравенство $26000 - 10192 \ge 268 \times 709$ ложно.

б) Частное чисел 48 762 и 54 меньше или равно сумме чисел 1395 и 689.

Запишем данное утверждение в виде математического неравенства:

$48762 \div 54 \le 1395 + 689$

Теперь выполним вычисления для левой и правой частей неравенства.

1. Вычислим частное в левой части:

$48762 \div 54 = 903$

2. Вычислим сумму в правой части:

$1395 + 689 = 2084$

3. Сравним полученные результаты:

$903 \le 2084$

Данное неравенство является истинным, так как 903 действительно меньше, чем 2084. Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: Неравенство $48762 \div 54 \le 1395 + 689$ истинно.

11 Начерти три разных прямоугольника, площадь которых равна $12 \text{ см}^2$. Сравни их периметры.

Чтобы решить задачу, сначала нужно найти три разные пары целых чисел, произведение которых равно 12. Эти числа будут длинами сторон трех разных прямоугольников, площадь каждого из которых равна 12 см². Затем мы вычислим периметр для каждого прямоугольника и сравним полученные результаты.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Нам дано, что $S = 12 \text{ см}^2$.

Возможные пары сторон (в сантиметрах):

1. 1 см и 12 см (так как $1 \cdot 12 = 12$)

2. 2 см и 6 см (так как $2 \cdot 6 = 12$)

3. 3 см и 4 см (так как $3 \cdot 4 = 12$)

Теперь для каждого из этих прямоугольников найдем периметр. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$.

Прямоугольник 1: стороны 1 см и 12 см

Находим периметр этого прямоугольника:

$P_1 = 2 \cdot (1 \text{ см} + 12 \text{ см}) = 2 \cdot 13 \text{ см} = 26 \text{ см}$.

Ответ: периметр первого прямоугольника равен 26 см.

Прямоугольник 2: стороны 2 см и 6 см

Находим периметр этого прямоугольника:

$P_2 = 2 \cdot (2 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Ответ: периметр второго прямоугольника равен 16 см.

Прямоугольник 3: стороны 3 см и 4 см

Находим периметр этого прямоугольника:

$P_3 = 2 \cdot (3 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Ответ: периметр третьего прямоугольника равен 14 см.

Сравнение периметров

Мы получили три различных периметра для прямоугольников с одинаковой площадью 12 см²:

$P_1 = 26 \text{ см}$

$P_2 = 16 \text{ см}$

$P_3 = 14 \text{ см}$

Сравнивая эти значения, получаем: $26 \text{ см} > 16 \text{ см} > 14 \text{ см}$.

Таким образом, у прямоугольника со сторонами 1 см и 12 см самый большой периметр, а у прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см — самый маленький. Можно сделать вывод, что при одинаковой площади наименьший периметр имеет тот прямоугольник, который по форме ближе всего к квадрату.

Ответ: периметры трех прямоугольников равны 26 см, 16 см и 14 см. Самый большой периметр у прямоугольника со сторонами 1 см и 12 см, а самый маленький — у прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см.

12 Что общего и что различного у треугольников $ABC$ и $MKT$? Измерь стороны этих треугольников, сосчитай их периметры и площади. Что ты замечаешь?

Для решения этой задачи необходимо измерить стороны треугольников с помощью линейки, а затем вычислить их периметры и площади.

Что общего и что различного у треугольников ABC и MKT?

Общее:

• Оба объекта являются геометрическими фигурами - треугольниками.
• У каждого треугольника по 3 стороны и 3 угла.

• Треугольники имеют разную форму. Треугольник ABC является прямоугольным (угол B прямой), а треугольник MKT — тупоугольным (угол K тупой).
• У них разные длины сторон.
• У них разные по величине углы.
• Как мы увидим из расчетов, у них разные периметры.

В ходе дальнейших вычислений мы найдем еще одно важное общее свойство.

Измерь стороны этих треугольников, сосчитай их периметры и площади.

1. Треугольник ABC
Измерим стороны с помощью линейки:

• Сторона AB = 4 см
• Сторона BC = 3 см
• Сторона AC (гипотенуза) = 5 см

Периметр треугольника ABC:
Периметр — это сумма длин всех сторон.
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 4 + 3 + 5 = 12$ см. Площадь треугольника ABC:
Так как это прямоугольный треугольник, его площадь равна половине произведения катетов.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ см².

Ответ: Стороны треугольника ABC равны 4 см, 3 см, 5 см. Периметр $P_{ABC} = 12$ см. Площадь $S_{ABC} = 6$ см².

2. Треугольник MKT
Измерим стороны с помощью линейки:

• Сторона MT = 6 см
• Сторона MK ≈ 2,8 см
• Сторона KT ≈ 4,5 см

Периметр треугольника MKT:
$P_{MKT} = MT + MK + KT \approx 6 + 2,8 + 4,5 = 13,3$ см. Площадь треугольника MKT:
Для вычисления площади используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Возьмем за основание сторону MT. Теперь измерим линейкой высоту, опущенную из вершины K на сторону MT.

• Основание MT = 6 см
• Высота h (из вершины K) = 2 см

$S_{MKT} = \frac{1}{2} \cdot MT \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ см².

Ответ: Стороны треугольника MKT примерно равны 6 см, 2,8 см, 4,5 см. Периметр $P_{MKT} \approx 13,3$ см. Площадь $S_{MKT} = 6$ см².

Что ты замечаешь?

Проанализировав результаты вычислений, можно заметить, что площади обоих треугольников равны: $S_{ABC} = S_{MKT} = 6$ см².

Ответ: Я замечаю, что несмотря на то, что треугольники ABC и MKT имеют разную форму, разные длины сторон и, как следствие, разные периметры, их площади одинаковы.

13 a) $14\frac{20}{29} - (3\frac{13}{29} + 2\frac{7}{29}) - 5\frac{6}{7}$;$

б) $(5\frac{1}{14} - 1\frac{9}{14}) - (2\frac{11}{14} + \frac{5}{14})$;$

в) $(4\frac{13}{16} + 8\frac{7}{16}) - 5\frac{7}{16}$;$

г) $15\frac{19}{32} - (14\frac{19}{32} + \frac{25}{32}).$

а) $14\frac{20}{29} - (3\frac{13}{29} + 2\frac{7}{29}) - 5\frac{6}{7}$
Решим по действиям:
1. Сначала выполним сложение в скобках. Складываем целые части и дробные части отдельно:
$3\frac{13}{29} + 2\frac{7}{29} = (3+2) + (\frac{13}{29} + \frac{7}{29}) = 5 + \frac{20}{29} = 5\frac{20}{29}$
2. Теперь выражение выглядит так: $14\frac{20}{29} - 5\frac{20}{29} - 5\frac{6}{7}$. Выполним первое вычитание:
$14\frac{20}{29} - 5\frac{20}{29} = (14-5) + (\frac{20}{29} - \frac{20}{29}) = 9 + 0 = 9$
3. Выполним последнее действие:
$9 - 5\frac{6}{7} = 8\frac{7}{7} - 5\frac{6}{7} = (8-5) + (\frac{7}{7} - \frac{6}{7}) = 3 + \frac{1}{7} = 3\frac{1}{7}$
Ответ: $3\frac{1}{7}$.

б) $(5\frac{1}{14} - 1\frac{9}{14}) - (2\frac{11}{14} + \frac{5}{14})$
Решим по действиям:
1. Вычислим значение выражения в первых скобках. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{14}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{14}$), "займем" единицу у целой части:
$5\frac{1}{14} - 1\frac{9}{14} = 4\frac{14+1}{14} - 1\frac{9}{14} = 4\frac{15}{14} - 1\frac{9}{14} = (4-1) + (\frac{15-9}{14}) = 3\frac{6}{14} = 3\frac{3}{7}$
2. Вычислим значение выражения во вторых скобках:
$2\frac{11}{14} + \frac{5}{14} = 2 + \frac{11+5}{14} = 2\frac{16}{14} = 2 + 1\frac{2}{14} = 3\frac{2}{14} = 3\frac{1}{7}$
3. Вычтем из результата первого действия результат второго:
$3\frac{3}{7} - 3\frac{1}{7} = (3-3) + (\frac{3}{7} - \frac{1}{7}) = 0 + \frac{2}{7} = \frac{2}{7}$
Ответ: $\frac{2}{7}$.

в) $(4\frac{13}{16} + 8\frac{7}{16}) - 5\frac{7}{16}$
Чтобы упростить вычисления, можно раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые:
$4\frac{13}{16} + 8\frac{7}{16} - 5\frac{7}{16} = 4\frac{13}{16} + (8\frac{7}{16} - 5\frac{7}{16})$
1. Выполним вычитание в скобках:
$8\frac{7}{16} - 5\frac{7}{16} = (8-5) + (\frac{7}{16}-\frac{7}{16}) = 3+0 = 3$
2. Выполним сложение:
$4\frac{13}{16} + 3 = (4+3) + \frac{13}{16} = 7\frac{13}{16}$
Ответ: $7\frac{13}{16}$.

г) $15\frac{19}{32} - (14\frac{19}{32} + \frac{25}{32})$
Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "-", знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$15\frac{19}{32} - 14\frac{19}{32} - \frac{25}{32}$
1. Выполним первое вычитание:
$15\frac{19}{32} - 14\frac{19}{32} = (15-14) + (\frac{19}{32} - \frac{19}{32}) = 1+0 = 1$
2. Выполним второе вычитание:
$1 - \frac{25}{32} = \frac{32}{32} - \frac{25}{32} = \frac{32-25}{32} = \frac{7}{32}$
Ответ: $\frac{7}{32}$.

14 Старинная задача.

«Из двух деревень шагают навстречу друг другу два работника. От нечего делать они считают свои шаги (в аршин каждый). Один насчитал в минуту 133 шага, а другой — 167 шагов. Вышли они одновременно и через 5 минут встретились. Чему равно расстояние между этими деревнями?»

Узнай примерное расстояние между деревнями в сантиметрах и вырази его в возможно более крупных единицах измерения. (1 аршин $ \approx $ 71 см.)

Чему равно расстояние между этими деревнями?

Чтобы найти расстояние между деревнями, нужно определить, какое общее расстояние прошли оба работника до встречи. Для этого сначала найдем их скорость сближения, сложив их скорости.

1. Найдем скорость сближения работников. Поскольку один работник делает 133 шага в минуту, а другой — 167, их общая скорость сближения равна:

$133 + 167 = 300$ шагов в минуту.

Так как по условию один шаг равен одному аршину, скорость сближения составляет 300 аршин в минуту.

2. Работники встретились через 5 минут. Чтобы найти общее расстояние, умножим скорость сближения на время в пути:

$300 \text{ аршин/мин} \times 5 \text{ мин} = 1500 \text{ аршин}$.

Следовательно, расстояние между деревнями равно 1500 аршин.

Ответ: 1500 аршин.

Узнай примерное расстояние между деревнями в сантиметрах и вырази его в возможно более крупных единицах измерения.

Мы знаем, что расстояние между деревнями — 1500 аршин, и 1 аршин примерно равен 71 см.

1. Переведем расстояние из аршин в сантиметры:

$1500 \times 71 = 106500$ см.

2. Теперь выразим это расстояние в более крупных единицах — метрах. В одном метре 100 сантиметров:

$106500 \text{ см} \div 100 \text{ см/м} = 1065$ м.

3. Расстояние в 1065 метров можно выразить в километрах и метрах. В одном километре 1000 метров:

$1065 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 65 \text{ м} = 1 \text{ км } 65 \text{ м}$.

Ответ: примерное расстояние между деревнями составляет 106 500 см, что равно 1065 м или 1 км 65 м.