Страница 98, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

2 Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100 м. Миша идёт со скоростью 80 м/мин, а Боря — со скоростью 60 м/мин. Через сколько времени Миша догонит Борю?

80 м/мин

60 м/мин

100 м

$t_{\text{встр.}} = ?$

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое Миша догонит Борю, нужно определить, на сколько метров Миша становится ближе к Боре каждую минуту (то есть найти скорость сближения), а затем разделить на это значение первоначальное расстояние между ними.

1. Найдём скорость сближения.
Скорость Миши ($v_М$) составляет 80 м/мин, а скорость Бори ($v_Б$) — 60 м/мин. Так как они движутся в одном направлении и Миша догоняет Борю, скорость их сближения ($v_{сбл}$) равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_М - v_Б = 80 \text{ м/мин} - 60 \text{ м/мин} = 20 \text{ м/мин}$.
Это значит, что каждую минуту расстояние между мальчиками сокращается на 20 метров.

2. Найдём время, через которое произойдет встреча.
Начальное расстояние ($S$) между ними равно 100 м. Чтобы найти время встречи ($t_{встр}$), нужно разделить это расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{100 \text{ м}}{20 \text{ м/мин}} = 5 \text{ мин}$.

Ответ: Миша догонит Борю через 5 минут.

3 Из двух городов А и В одновременно в одном направлении выехали два поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго, идущего вдогонку первому, — 110 км/ч. Встреча произошла через 4 ч после выезда поездов. Чему равно расстояние между городами А и В?

110 км/ч

80 км/ч

A

B

? км

$t_{\text{встр.}} = 4 \text{ ч}$

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1

Этот способ основан на понятии "скорость сближения". Поскольку поезда движутся в одном направлении и второй поезд догоняет первый, скорость сближения показывает, на сколько километров уменьшается расстояние между ними каждый час.

1. Найдем скорость сближения поездов. Она равна разности скоростей догоняющего (второго) и уезжающего (первого) поездов.
   Скорость первого поезда $v_1 = 80$ км/ч.
   Скорость второго поезда $v_2 = 110$ км/ч.
   Скорость сближения $v_{сбл}$ равна:
   $v_{сбл} = v_2 - v_1 = 110 - 80 = 30$ (км/ч).

2. Чтобы найти первоначальное расстояние между городами, нужно скорость сближения умножить на время, через которое произошла встреча ($t_{встр} = 4$ ч). Ведь именно это расстояние догоняющий поезд "сократил" за 4 часа.
   $S = v_{сбл} \cdot t_{встр} = 30 \cdot 4 = 120$ (км).

Ответ: расстояние между городами А и В равно 120 км.

Способ 2

Этот способ основан на вычислении расстояний, которые проехал каждый поезд до точки встречи.

1. Найдем расстояние, которое проехал первый поезд (из города B) за 4 часа до встречи. Обозначим его $S_1$.
   $S_1 = 80 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 320$ (км).

2. Найдем расстояние, которое проехал второй поезд (из города A) за 4 часа до встречи. Обозначим его $S_2$.
   $S_2 = 110 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 440$ (км).

3. К моменту встречи второй поезд проехал расстояние, равное первоначальному расстоянию между городами ($S_{AB}$) плюс путь, который проехал первый поезд ($S_1$). Следовательно, чтобы найти расстояние между городами, нужно из пути второго поезда вычесть путь первого.
   $S_{AB} = S_2 - S_1 = 440 - 320 = 120$ (км).

Ответ: расстояние между городами А и В равно 120 км.

4 Составь по схемам задачи и реши их. Что ты замечаешь?

а) 115 км/ч, 25 км/ч, ? км, $t_{\text{встр.}} = 3 \text{ ч}$

б) 115 км/ч, ? км/ч, 270 км, $t_{\text{встр.}} = 3 \text{ ч}$

в) 115 км/ч, 25 км/ч, 270 км, $t_{\text{встр.}} = ? \text{ ч}$

г) ? км/ч, 25 км/ч, 270 км, $t_{\text{встр.}} = 3 \text{ ч}$

а)

Составим задачу по схеме: Из двух пунктов одновременно в одном направлении выехали два объекта. Скорость первого объекта (догоняющего) равна 115 км/ч, а скорость второго (убегающего) — 25 км/ч. Через 3 часа первый объект догнал второй. Какое расстояние было между ними изначально?

Решение:

1. Найдем скорость сближения. Так как объекты движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл.} = v_1 - v_2 = 115 \text{ км/ч} - 25 \text{ км/ч} = 90 \text{ км/ч}$

2. Найдем начальное расстояние между объектами, умножив скорость сближения на время, через которое произошла встреча:

$S = v_{сбл.} \cdot t_{встр.} = 90 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 270 \text{ км}$

Ответ: 270 км.

в)

Составим задачу по схеме: Из двух пунктов, расстояние между которыми 270 км, одновременно в одном направлении выехали два объекта. Скорость первого объекта (догоняющего) равна 115 км/ч, а скорость второго (убегающего) — 25 км/ч. Через сколько часов первый объект догонит второй?

Решение:

1. Найдем скорость сближения:

$v_{сбл.} = v_1 - v_2 = 115 \text{ км/ч} - 25 \text{ км/ч} = 90 \text{ км/ч}$

2. Найдем время до встречи, разделив начальное расстояние на скорость сближения:

$t_{встр.} = S / v_{сбл.} = 270 \text{ км} / 90 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: 3 ч.

б)

Составим задачу по схеме: Из двух пунктов, расстояние между которыми 270 км, одновременно в одном направлении выехали два объекта. Скорость первого объекта (догоняющего) равна 115 км/ч. Он догнал второй объект через 3 часа. С какой скоростью двигался второй объект?

Решение:

1. Найдем скорость сближения, разделив начальное расстояние на время до встречи:

$v_{сбл.} = S / t_{встр.} = 270 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 90 \text{ км/ч}$

2. Зная скорость сближения и скорость первого объекта, найдем скорость второго. Так как $v_{сбл.} = v_1 - v_2$, то $v_2 = v_1 - v_{сбл.}$.

$v_2 = 115 \text{ км/ч} - 90 \text{ км/ч} = 25 \text{ км/ч}$

Ответ: 25 км/ч.

г)

Составим задачу по схеме: Из двух пунктов, расстояние между которыми 270 км, одновременно в одном направлении выехали два объекта. Скорость второго объекта (убегающего) была 25 км/ч. Первый объект догнал второй через 3 часа. С какой скоростью двигался первый объект?

Решение:

1. Найдем скорость сближения:

$v_{сбл.} = S / t_{встр.} = 270 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 90 \text{ км/ч}$

2. Зная скорость сближения и скорость второго объекта, найдем скорость первого. Так как $v_{сбл.} = v_1 - v_2$, то $v_1 = v_{сбл.} + v_2$.

$v_1 = 90 \text{ км/ч} + 25 \text{ км/ч} = 115 \text{ км/ч}$

Ответ: 115 км/ч.

Что ты замечаешь?

Все четыре задачи являются взаимообратными. В них используются одни и те же величины: начальное расстояние $S = 270$ км, скорость первого объекта $v_1 = 115$ км/ч, скорость второго объекта $v_2 = 25$ км/ч и время до встречи $t_{встр.} = 3$ ч. В каждой из четырех задач одна из этих величин неизвестна, а остальные три — известны. Все задачи описывают одну и ту же ситуацию движения вдогонку и связаны одной формулой: $S = (v_1 - v_2) \cdot t_{встр.}$.

5 Придумай и реши задачу на движение вдогонку. Составь для неё обратную задачу и реши её.

Задача на движение вдогонку

Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 50 км, одновременно в одном направлении выехали велосипедист и мотоциклист. Велосипедист, ехавший впереди, двигался со скоростью $15$ км/ч, а мотоциклист, ехавший сзади, – со скоростью $40$ км/ч. Через сколько часов мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение:

1) Чтобы найти, как быстро мотоциклист догоняет велосипедиста, нужно найти скорость сближения. Так как они движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{мотоциклиста} - v_{велосипедиста} = 40 \text{ км/ч} - 15 \text{ км/ч} = 25 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними сокращается на 25 км.

2) Чтобы найти время, через которое произойдет встреча, нужно начальное расстояние разделить на скорость сближения:

$t = S / v_{сбл} = 50 \text{ км} / 25 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста через 2 часа.

Обратная задача

Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 50 км, одновременно в одном направлении выехали велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал впереди со скоростью $15$ км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста через 2 часа. С какой скоростью ехал мотоциклист?

Решение:

1) Зная начальное расстояние и время, за которое мотоциклист его преодолел (относительно велосипедиста), найдем скорость сближения:

$v_{сбл} = S / t = 50 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 25 \text{ км/ч}$

2) Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей догоняющего и того, кого догоняют ($v_{сбл} = v_{мотоциклиста} - v_{велосипедиста}$). Чтобы найти скорость мотоциклиста, нужно к скорости велосипедиста прибавить скорость сближения:

$v_{мотоциклиста} = v_{велосипедиста} + v_{сбл} = 15 \text{ км/ч} + 25 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость мотоциклиста была 40 км/ч.

6 Задача-шутка.

Когда в кухне у Вовочки было 18 мух, он стал бить мухобойкой по 5 мух в минуту. В то же время за каждую минуту в кухню влетали 2 новые мухи. Через сколько времени после начала борьбы с мухами в кухне их не осталось?

Для решения этой задачи необходимо определить, с какой скоростью уменьшается количество живых мух в кухне.

Каждую минуту происходят два действия:

• Количество мух уменьшается на 5 (Вовочка их убивает).
• Количество мух увеличивается на 2 (прилетают новые).

Найдем итоговое изменение количества мух за одну минуту. Для этого вычтем из числа убитых мух число прилетевших:

$5 - 2 = 3$

Таким образом, каждую минуту количество живых мух в кухне сокращается на 3.

Изначально в кухне было 18 мух. Чтобы рассчитать, через сколько времени их не останется, нужно разделить начальное количество мух на скорость их убывания:

$18 / 3 = 6 \text{ минут}$

Эта задача помечена как «задача-шутка». Подвох заключается в том, что убитые мухи остаются в кухне. Если понимать вопрос буквально («чтобы в кухне не осталось мух вообще, ни живых, ни мертвых»), то ответ будет «никогда», так как мертвые мухи никуда не исчезают, а новые продолжают прилетать. Однако, в математическом смысле, задача спрашивает о времени, когда не останется живых мух.

Ответ: Через 6 минут.