Страница 108, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Запиши формулу одновременного встречного движения. Объясни её смысл. Чему равна в этом случае скорость сближения?

$v_1$

$v_2$

$s$

Запиши формулу одновременного встречного движения.

При одновременном встречном движении двух объектов с начальным расстоянием между ними $s$, скоростями $v_1$ и $v_2$ соответственно, время до их встречи $t$ можно найти с помощью следующей формулы:
$s = (v_1 + v_2) \cdot t$
Ответ: $s = (v_1 + v_2) \cdot t$.

Объясни её смысл.

Смысл этой формулы заключается в том, что при движении двух тел навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается с общей скоростью, которая называется скоростью сближения. Эта скорость равна сумме скоростей двух тел. Формула показывает, что начальное расстояние $s$ равно произведению скорости сближения $(v_1 + v_2)$ на время движения до встречи $t$.
Ответ: Начальное расстояние между объектами равно произведению скорости их сближения на время до встречи.

Чему равна в этом случае скорость сближения?

Скорость сближения показывает, на какое расстояние объекты становятся ближе друг к другу за единицу времени. При встречном движении каждый объект своим движением сокращает расстояние между ними. Поэтому скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей этих объектов.
$v_{сбл} = v_1 + v_2$
Ответ: Скорость сближения равна сумме скоростей объектов: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

2 Придумай задачи по схемам и подбери к ним подходящие выражения:

$a$ км/ч
$b$ км/ч
? км
$t_{\text{встр.}} = c$ ч

$b$ км/ч
$c$ км/ч
$a$ км
$t_{\text{встр.}} = ?$ ч

? км/ч
$a$ км/ч
$b$ км
$t_{\text{встр.}} = c$ ч

$b : c - a$
$(a + b) \cdot c$
$a : (b + c)$
$a \cdot c + b \cdot c$

Верхняя схема

Задача: Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля $a$ км/ч, а второго – $b$ км/ч. Они встретились через $c$ часов. Каково расстояние между городами?

Решение: При движении навстречу друг другу скорость сближения объектов равна сумме их скоростей. Чтобы найти общее расстояние, нужно скорость сближения умножить на время в пути до встречи.
1) Найдём скорость сближения автомобилей: $v_{сбл.} = a + b$ (км/ч).
2) Рассчитаем расстояние между городами: $S = v_{сбл.} \cdot c = (a + b) \cdot c$ (км).
Этому решению соответствует выражение $(a + b) \cdot c$.

Ответ: $(a + b) \cdot c$

Средняя схема

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми $a$ км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого $b$ км/ч, а второго $c$ км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение: Чтобы найти время до встречи, необходимо общее расстояние разделить на скорость сближения. Скорость сближения равна сумме скоростей велосипедистов.
1) Найдём скорость сближения велосипедистов: $v_{сбл.} = b + c$ (км/ч).
2) Рассчитаем время до встречи: $t_{встр.} = a / v_{сбл.} = a / (b + c)$ (ч).
Этому решению соответствует выражение $a : (b + c)$.

Ответ: $a : (b + c)$

Нижняя схема

Задача: От двух станций, расстояние между которыми $b$ км, одновременно навстречу друг другу отправились два поезда. Они встретились через $c$ часов. Скорость одного поезда $a$ км/ч. Найдите скорость второго поезда.

Решение: Сначала найдём общую скорость сближения поездов, разделив расстояние на время. Затем, зная общую скорость сближения и скорость одного поезда, найдём скорость второго, вычтя известную скорость из общей.
1) Найдём скорость сближения поездов: $v_{сбл.} = b / c$ (км/ч).
2) Найдём скорость второго поезда: $v_2 = v_{сбл.} - a = (b / c) - a$ (км/ч).
Этому решению соответствует выражение $b : c - a$.

Ответ: $b : c - a$

3 Придумай задачи на встречное движение, решениями которых являются данные выражения. Что ты замечаешь?

$(60 + 90) \cdot 3$

$450 \div (60 + 90)$

$450 \div 3 - 90$

Все три выражения описывают одну и ту же ситуацию встречного движения, но в каждой задаче неизвестной является одна из величин: расстояние, время или скорость одного из объектов. Это взаимообратные задачи.

Общая ситуация для всех задач: Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух городов. Скорость одного автомобиля – 60 км/ч, а второго – 90 км/ч. Расстояние между городами – 450 км. Время до встречи – 3 часа.

(60 + 90) · 3

Задача: Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 60 км/ч, а скорость второго – 90 км/ч. Какое расстояние между городами, если автомобили встретились через 3 часа?

Решение:
1. Находим скорость сближения автомобилей. Для этого складываем их скорости:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 + 90 = 150$ (км/ч)
2. Находим расстояние между городами. Для этого скорость сближения умножаем на время в пути до встречи:
$S = v_{сбл} \cdot t = (60 + 90) \cdot 3 = 150 \cdot 3 = 450$ (км)
Ответ: 450 км.

450 : (60 + 90)

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 60 км/ч, а скорость второго – 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:
1. Находим скорость сближения автомобилей, сложив их скорости:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 + 90 = 150$ (км/ч)
2. Находим время до встречи. Для этого делим расстояние на скорость сближения:
$t = S : v_{сбл} = 450 : (60 + 90) = 450 : 150 = 3$ (ч)
Ответ: 3 часа.

450 : 3 – 90

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 3 часа. Скорость одного автомобиля была 90 км/ч. С какой скоростью ехал второй автомобиль?

Решение:
1. Находим общую скорость сближения автомобилей, разделив расстояние на время:
$v_{сбл} = S : t = 450 : 3 = 150$ (км/ч)
2. Находим скорость второго автомобиля. Для этого из скорости сближения вычитаем скорость первого автомобиля:
$v_2 = v_{сбл} - v_1 = (450 : 3) - 90 = 150 - 90 = 60$ (км/ч)
Ответ: 60 км/ч.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все три задачи являются взаимообратными. Они описывают одну и ту же ситуацию с одними и теми же числовыми данными, но в каждой из них требуется найти разную величину:

• Первая задача (прямая): известны скорости и время, нужно найти расстояние.
• Вторая задача (обратная): известны расстояние и скорости, нужно найти время.
• Третья задача (обратная): известны расстояние, время и одна из скоростей, нужно найти вторую скорость.

Все эти задачи связаны основной формулой для задач на встречное движение: $S = (v_1 + v_2) \cdot t$.

4 Колобок катится навстречу Лисе. Сейчас между ними 900 м. Скорость Колобка равна 70 м/мин, а Лисы — 80 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 2 минуты? Через сколько минут они встретятся?

70 м/мин ? М 80 м/мин

900 м

Какое расстояние будет между ними через 2 минуты?

Чтобы найти расстояние между Колобком и Лисой через 2 минуты, нужно сначала определить, на какое расстояние они сблизятся за это время. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта величина называется скоростью сближения.

1) Найдем скорость сближения Колобка и Лисы:
$v_{сбл} = v_{Колобка} + v_{Лисы} = 70 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 150 \text{ м/мин}$

2) Теперь рассчитаем, какое расстояние они вместе пройдут за 2 минуты:
$S_{пройд} = v_{сбл} \times t = 150 \text{ м/мин} \times 2 \text{ мин} = 300 \text{ м}$

3) Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем из начального расстояния то, на которое они сблизились:
$S_{ост} = S_{нач} - S_{пройд} = 900 \text{ м} - 300 \text{ м} = 600 \text{ м}$

Ответ: через 2 минуты расстояние между ними будет 600 метров.

Через сколько минут они встретятся?

Встреча произойдет в тот момент, когда общее пройденное ими расстояние станет равным начальному расстоянию, то есть 900 м. Чтобы найти время до встречи, нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения, которую мы уже вычислили.

1) Рассчитаем время до встречи:
$t_{встр} = S_{нач} / v_{сбл} = 900 \text{ м} / 150 \text{ м/мин} = 6 \text{ мин}$

Ответ: они встретятся через 6 минут.