Страница 110, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

8 В 8 ч утра расстояние между двумя катерами, плывущими навстречу друг другу, было 250 км. Скорости катеров равны $25 \text{ км/ч}$ и $35 \text{ км/ч}$. Встретятся ли они до полудня того же дня? Через сколько времени произойдёт встреча? (Ответ вырази сначала в часах, затем в часах и минутах.)

Для решения задачи сначала определим скорость сближения катеров и время, которое потребуется им для встречи.

1. Скорость сближения. Поскольку катера движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. Обозначим скорости катеров как $v_1 = 25$ км/ч и $v_2 = 35$ км/ч. Тогда скорость сближения $v_{сбл}$ будет:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 25 \text{ км/ч} + 35 \text{ км/ч} = 60 \text{ км/ч}$.

2. Время до встречи. Чтобы найти время ($t$), через которое катера встретятся, нужно разделить начальное расстояние между ними ($S = 250$ км) на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{250}{60} = \frac{25}{6}$ часа.

Теперь, зная время до встречи, можно ответить на вопросы задачи.

Через сколько времени произойдёт встреча?

Мы рассчитали, что время до встречи составляет $\frac{25}{6}$ часа. Выразим этот ответ, как требуется в условии, сначала в часах, а затем в часах и минутах.

В часах (в виде смешанной дроби): $t = \frac{25}{6} = 4 \frac{1}{6}$ часа.

Чтобы выразить время в часах и минутах, переведем дробную часть $\frac{1}{6}$ часа в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:

$\frac{1}{6} \times 60 \text{ минут} = 10 \text{ минут}$.

Следовательно, время до встречи составляет 4 часа 10 минут.

Ответ: встреча произойдёт через $4 \frac{1}{6}$ часа, или через 4 часа 10 минут.

Встретятся ли они до полудня того же дня?

Движение катеров началось в 8 часов утра. Полдень — это 12 часов дня. Промежуток времени от 8:00 до 12:00 составляет $12 - 8 = 4$ часа.

Рассчитанное время до встречи — 4 часа 10 минут. Сравним это значение с временем, оставшимся до полудня:

$4 \text{ часа } 10 \text{ минут} > 4 \text{ часа}$.

Поскольку катерам нужно больше времени для встречи, чем осталось до полудня, они не встретятся до 12:00. Их встреча произойдет в 12:10 (8 ч 00 мин + 4 ч 10 мин).

Ответ: нет.

9 Запиши выражения:

a) произведение числа $a$ и суммы чисел $b$ и $c$;

б) частное разности чисел $x$ и $d$ и произведения чисел $y$ и $n$;

в) сумма частного чисел $k$ и $m$ и разности чисел $a$ и $b$.

а) В данном задании требуется найти произведение. Произведение — это результат умножения. Множителями являются число a и сумма чисел b и c. Сумма чисел b и c записывается как $(b + c)$. Скобки необходимы, чтобы показать, что число a умножается на всю сумму, а не только на первое слагаемое. Таким образом, произведение числа a и суммы $(b + c)$ записывается как $a \cdot (b + c)$. Знак умножения в таких выражениях принято опускать.
Ответ: $a(b + c)$

б) Здесь требуется найти частное. Частное — это результат деления. Делимое (то, что делят) — это разность чисел x и d, которая записывается как $(x - d)$. Делитель (то, на что делят) — это произведение чисел y и n, которое записывается как $yn$. Частное принято записывать в виде дроби, где в числителе стоит делимое, а в знаменателе — делитель.
Ответ: $\frac{x - d}{yn}$

в) В этом задании требуется найти сумму. Сумма — это результат сложения. Первое слагаемое — это частное чисел k и m. Частное записывается в виде дроби $\frac{k}{m}$. Второе слагаемое — это разность чисел a и b, которая записывается как $(a - b)$. Теперь нужно сложить эти два слагаемых.
Ответ: $\frac{k}{m} + (a - b)$

10 Пользуясь таблицей мер массы, выполни действия:

$1 \text{т} = 10 \text{ц}$

$1 \text{ц} = 100 \text{кг}$

$1 \text{кг} = 1000 \text{г}$

а) $2 \text{т} \ 4 \text{ц} \ 3 \text{кг} - 19 \text{ц} \ 75 \text{кг}$;

б) $5 \text{ц} \ 37 \text{кг} + 3 \text{т} \ 7 \text{ц} \ 68 \text{кг}$;

в) $3 \text{кг} \ 716 \text{г} + 2 \text{кг} \ 96 \text{г}$;

г) $8 \text{кг} - 3 \text{кг} \ 9 \text{г}$.

Для решения данных задач воспользуемся соотношениями единиц массы: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$, $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Из этого также следует, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

а) $2 \text{ т } 4 \text{ ц } 3 \text{ кг } – 19 \text{ ц } 75 \text{ кг}$

Для удобства вычислений, сначала преобразуем тонны и центнеры в одну единицу измерения, например, в центнеры.

$2 \text{ т } 4 \text{ ц } 3 \text{ кг} = 2 \times 10 \text{ ц } + 4 \text{ ц } + 3 \text{ кг} = 24 \text{ ц } 3 \text{ кг}$.

Теперь задача выглядит так: $24 \text{ ц } 3 \text{ кг} - 19 \text{ ц } 75 \text{ кг}$.

Выполним вычитание столбиком. Поскольку из $3 \text{ кг}$ нельзя вычесть $75 \text{ кг}$, "займем" 1 центнер из 24 центнеров. Зная, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, получаем:

$24 \text{ ц } 3 \text{ кг} = 23 \text{ ц } + 1 \text{ ц } + 3 \text{ кг} = 23 \text{ ц } + 100 \text{ кг } + 3 \text{ кг} = 23 \text{ ц } 103 \text{ кг}$.

Теперь вычитаем:

$(23 \text{ ц } 103 \text{ кг}) - (19 \text{ ц } 75 \text{ кг}) = (23 - 19) \text{ ц } (103 - 75) \text{ кг} = 4 \text{ ц } 28 \text{ кг}$.

Ответ: 4 ц 28 кг

б) $5 \text{ ц } 37 \text{ кг } + 3 \text{ т } 7 \text{ ц } 68 \text{ кг}$

Сложим величины по разрядам, начиная с наименьших единиц (килограммов).

1. Складываем килограммы: $37 \text{ кг} + 68 \text{ кг} = 105 \text{ кг}$. Так как $100 \text{ кг} = 1 \text{ ц}$, то $105 \text{ кг} = 1 \text{ ц } 5 \text{ кг}$. Записываем $5 \text{ кг}$ и запоминаем $1 \text{ ц}$ для переноса в следующий разряд.

2. Складываем центнеры с учетом переноса: $5 \text{ ц} + 7 \text{ ц} + 1 \text{ ц} = 13 \text{ ц}$. Так как $10 \text{ ц} = 1 \text{ т}$, то $13 \text{ ц} = 1 \text{ т } 3 \text{ ц}$. Записываем $3 \text{ ц}$ и запоминаем $1 \text{ т}$ для переноса.

3. Складываем тонны с учетом переноса: $0 \text{ т} + 3 \text{ т} + 1 \text{ т} = 4 \text{ т}$.

Объединяем полученные результаты: $4 \text{ т } 3 \text{ ц } 5 \text{ кг}$.

Ответ: 4 т 3 ц 5 кг

в) $3 \text{ кг } 716 \text{ г } + 2 \text{ кг } 96 \text{ г}$

Сложим одноименные единицы измерения.

1. Складываем граммы: $716 \text{ г} + 96 \text{ г} = 812 \text{ г}$.

2. Складываем килограммы: $3 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$.

Поскольку $812 \text{ г} < 1000 \text{ г}$, дальнейших преобразований не требуется. Результат: $5 \text{ кг } 812 \text{ г}$.

Ответ: 5 кг 812 г

г) $8 \text{ кг } – 3 \text{ кг } 9 \text{ г}$

Чтобы выполнить вычитание, представим уменьшаемое $8 \text{ кг}$ в виде килограммов и граммов. Для этого "займем" 1 кг и переведем его в граммы ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

$8 \text{ кг} = 7 \text{ кг} + 1 \text{ кг} = 7 \text{ кг } 1000 \text{ г}$.

Теперь выполним вычитание:

$(7 \text{ кг } 1000 \text{ г}) - (3 \text{ кг } 9 \text{ г}) = (7 - 3) \text{ кг } (1000 - 9) \text{ г} = 4 \text{ кг } 991 \text{ г}$.

Ответ: 4 кг 991 г

11 Запиши в виде равенства, какую часть тонны составляет:

$1 \text{ ц} = \frac{1}{10} \text{ т}$

$8 \text{ ц} = \frac{8}{10} \text{ т}$

$12 \text{ кг} = \frac{12}{1000} \text{ т}$

$1 \text{ г} = \frac{1}{1000000} \text{ т}$

$290 \text{ г} = \frac{290}{1000000} \text{ т}$

1 ц
Для того чтобы выразить центнеры в тоннах, необходимо знать соотношение между этими единицами массы. В одной тонне содержится 10 центнеров.
$1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$
Следовательно, один центнер составляет одну десятую часть от тонны. Это можно записать в виде дроби.
$1 \text{ ц} = \frac{1}{10} \text{ т}$
Также это можно представить в виде десятичной дроби: $1 \text{ ц} = 0,1 \text{ т}$.
Ответ: $1 \text{ ц} = \frac{1}{10} \text{ т}$

8 ц
Используя соотношение $1 \text{ ц} = \frac{1}{10} \text{ т}$, найдем, какую часть тонны составляют 8 центнеров. Для этого нужно умножить 8 на долю, которую составляет один центнер.
$8 \text{ ц} = 8 \times \frac{1}{10} \text{ т} = \frac{8}{10} \text{ т}$
Полученную дробь $\frac{8}{10}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2.
$\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$
Таким образом, 8 центнеров — это четыре пятых части тонны. В виде десятичной дроби это $0,8$ т.
Ответ: $8 \text{ ц} = \frac{4}{5} \text{ т}$

12 кг
Для выражения килограммов в тоннах вспомним, что в одной тонне содержится 1000 килограммов.
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
Отсюда следует, что 1 килограмм составляет одну тысячную часть тонны ($1 \text{ кг} = \frac{1}{1000} \text{ т}$). Тогда 12 килограммов составляют двенадцать тысячных части тонны.
$12 \text{ кг} = \frac{12}{1000} \text{ т}$
Сократим дробь $\frac{12}{1000}$. Наибольший общий делитель чисел 12 и 1000 равен 4.
$\frac{12 \div 4}{1000 \div 4} = \frac{3}{250}$
В виде десятичной дроби это $0,012$ т.
Ответ: $12 \text{ кг} = \frac{3}{250} \text{ т}$

1 г
Чтобы выразить граммы в тоннах, нужно знать, сколько граммов в одной тонне.
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
Перемножив эти значения, получим количество граммов в тонне:
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} \times 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} = 1000000 \text{ г}$
Следовательно, 1 грамм составляет одну миллионную часть тонны.
Ответ: $1 \text{ г} = \frac{1}{1000000} \text{ т}$

290 г
Зная, что $1 \text{ т} = 1000000 \text{ г}$, мы можем определить, какую часть тонны составляют 290 граммов.
$290 \text{ г} = \frac{290}{1000000} \text{ т}$
Эту дробь можно упростить, сократив ее на 10 (убрав по одному нулю в числителе и знаменателе).
$\frac{290}{1000000} = \frac{29}{100000}$
Так как 29 — простое число, дальнейшее сокращение дроби невозможно. В виде десятичной дроби это $0,00029$ т.
Ответ: $290 \text{ г} = \frac{29}{100000} \text{ т}$

12 Брату $12\frac{1}{12}$ года, а сестре $9\frac{5}{12}$ лет.

Сколько лет было брату, когда сестре было $7\frac{11}{12}$ лет?

Для решения этой задачи есть два способа. Основной принцип заключается в том, что разница в возрасте между братом и сестрой всегда остается неизменной.

Способ 1: Через нахождение разницы в возрасте

1. Сначала найдем, на сколько лет брат старше сестры. Для этого вычтем из возраста брата возраст сестры:

$12\frac{1}{12} - 9\frac{5}{12}$

Поскольку дробная часть у уменьшаемого ($\frac{1}{12}$) меньше, чем у вычитаемого ($\frac{5}{12}$), "займем" единицу у целой части:

$12\frac{1}{12} = 11 + 1 + \frac{1}{12} = 11 + \frac{12}{12} + \frac{1}{12} = 11\frac{13}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$11\frac{13}{12} - 9\frac{5}{12} = (11 - 9) + (\frac{13 - 5}{12}) = 2\frac{8}{12}$

Сократим дробь: $2\frac{8}{12} = 2\frac{2}{3}$ года.Таким образом, брат старше сестры на $2\frac{2}{3}$ года.

2. Теперь, чтобы узнать, сколько лет было брату, когда сестре было $7\frac{11}{12}$ лет, прибавим разницу в возрасте к возрасту сестры в прошлом:

$7\frac{11}{12} + 2\frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$2\frac{2}{3} = 2\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = 2\frac{8}{12}$

Сложим полученные значения:

$7\frac{11}{12} + 2\frac{8}{12} = (7 + 2) + (\frac{11 + 8}{12}) = 9\frac{19}{12}$

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{19}{12}$:

$\frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$

Добавим это к целой части:

$9 + 1\frac{7}{12} = 10\frac{7}{12}$ лет.

Способ 2: Через нахождение прошедшего времени

1. Узнаем, сколько лет назад сестре было $7\frac{11}{12}$ лет:

$9\frac{5}{12} - 7\frac{11}{12} = 8\frac{17}{12} - 7\frac{11}{12} = 1\frac{6}{12} = 1\frac{1}{2}$ года назад.

2. Теперь отнимем это время от текущего возраста брата, чтобы узнать, сколько ему было лет в прошлом:

$12\frac{1}{12} - 1\frac{1}{2} = 12\frac{1}{12} - 1\frac{6}{12} = 11\frac{13}{12} - 1\frac{6}{12} = 10\frac{7}{12}$ лет.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: когда сестре было $7\frac{11}{12}$ лет, брату было $10\frac{7}{12}$ лет.

13 Отцу было $26\frac{8}{12}$ лет, когда родилась дочь, и $30\frac{7}{12}$ лет, когда родился сын.

Сколько лет сыну, если дочери $7\frac{4}{12}$ лет?

Для решения этой задачи нужно выполнить два основных действия: сначала найти разницу в возрасте между дочерью и сыном, а затем, зная возраст дочери, вычислить возраст сына.

1. Найдем разницу в возрасте между дочерью и сыном.

Разница в возрасте между детьми постоянна и равна разнице в возрасте отца на момент их рождения. Отцу было $26 \frac{8}{12}$ лет, когда родилась дочь, и $30 \frac{7}{12}$ лет, когда родился сын. Так как отцу было больше лет, когда родился сын, значит, дочь старше сына. Найдем эту разницу:

$30 \frac{7}{12} - 26 \frac{8}{12}$

Поскольку дробная часть уменьшаемого ($ \frac{7}{12} $) меньше дробной части вычитаемого ($ \frac{8}{12} $), нужно занять единицу у целой части уменьшаемого:

$30 \frac{7}{12} = 29 + 1 + \frac{7}{12} = 29 + \frac{12}{12} + \frac{7}{12} = 29 \frac{19}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$29 \frac{19}{12} - 26 \frac{8}{12} = (29 - 26) + (\frac{19}{12} - \frac{8}{12}) = 3 \frac{11}{12}$

Таким образом, дочь старше сына на $3 \frac{11}{12}$ лет.

2. Найдем возраст сына.

По условию, дочери сейчас $7 \frac{4}{12}$ лет. Зная, что она старше брата на $3 \frac{11}{12}$ лет, мы можем найти возраст сына, вычтя разницу в возрасте из возраста дочери:

$7 \frac{4}{12} - 3 \frac{11}{12}$

Здесь также необходимо занять единицу у целой части, так как $ \frac{4}{12} < \frac{11}{12} $:

$7 \frac{4}{12} = 6 + 1 + \frac{4}{12} = 6 + \frac{12}{12} + \frac{4}{12} = 6 \frac{16}{12}$

Теперь вычитаем:

$6 \frac{16}{12} - 3 \frac{11}{12} = (6 - 3) + (\frac{16}{12} - \frac{11}{12}) = 3 \frac{5}{12}$

Следовательно, сыну $3 \frac{5}{12}$ лет.

Ответ: $3 \frac{5}{12}$ лет.

14 Верно ли высказывание:

$\frac{16790 : 365 \cdot 800 - (79 \cdot 806 + 362700 : 900) : 53}{(42956 + 131508) : 58 + (95 \cdot 35 - 3081 : 39 - 3124) \cdot 270} \ge 1?$

Для проверки истинности высказывания необходимо вычислить значение дроби в левой части неравенства и сравнить его с 1.

Вычислим значение числителя: $16790 : 365 \cdot 800 - (79 \cdot 806 + 362700 : 900) : 53$

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций:

1) Сначала выполним действия в скобках. Внутри скобок сначала умножение и деление, затем сложение.

$79 \cdot 806 = 63674$

$362700 : 900 = 403$

$63674 + 403 = 64077$

2) Теперь выполним оставшиеся действия в числителе. Деление и умножение имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо.

$16790 : 365 = 46$

$46 \cdot 800 = 36800$

3) Разделим результат, полученный в скобках, на 53.

$64077 : 53 = 1209$

4) Выполним последнее действие — вычитание.

$36800 - 1209 = 35591$

Значение числителя равно 35591.

Вычислим значение знаменателя: $(42956 + 131508) : 58 + (95 \cdot 35 - 3081 : 39 - 3124) \cdot 270$

Выполним вычисления по действиям:

1) Вычислим значение первого выражения в скобках.

$42956 + 131508 = 174464$

2) Разделим полученную сумму на 58.

$174464 : 58 = 3008$

3) Вычислим значение второго выражения в скобках. Сначала умножение и деление, затем вычитание.

$95 \cdot 35 = 3325$

$3081 : 39 = 79$

$3325 - 79 - 3124 = 3246 - 3124 = 122$

4) Умножим результат из второй скобки на 270.

$122 \cdot 270 = 32940$

5) Сложим результаты, полученные в пунктах 2 и 4.

$3008 + 32940 = 35948$

Значение знаменателя равно 35948.

Сравним результат с 1 и сделаем вывод

Мы получили дробь:

$ \frac{35591}{35948} $

Теперь проверим истинность исходного высказывания: $ \frac{35591}{35948} \ge 1 $?

Дробь больше или равна 1 в том случае, если ее числитель больше или равен знаменателю. Сравним числитель и знаменатель:

$35591 < 35948$

Поскольку числитель меньше знаменателя, то и вся дробь меньше 1. Следовательно, неравенство $ \frac{35591}{35948} \ge 1 $ является ложным.

Ответ: высказывание неверно.

15 Стоножка Ева купила и надела 16 пар новых башмаков. Несмотря на это, 14 ножек остались босыми. Сколько ножек были обуты до того, как она купила башмаки?

Для решения задачи нам нужно выполнить несколько шагов, исходя из того, что "стоножка" имеет 100 ножек.

1. Сначала определим, на сколько ножек Ева надела новые башмаки. Она купила 16 пар, а в каждой паре по 2 башмака. Значит, она обула:

$16 \times 2 = 32$ ножки.

2. Теперь выясним, сколько всего ножек у стоножки было обуто после покупки. Нам известно, что 14 ножек остались босыми. Общее количество ножек у стоножки — 100. Следовательно, общее число обутых ножек стало:

$100 - 14 = 86$ ножек.

3. Это число (86) включает в себя как ножки, которые были обуты раньше, так и те 32 ножки, которые она только что обула. Чтобы найти, сколько ножек было обуто до покупки, нужно из общего числа обутых ножек вычесть количество ножек в новых башмаках:

$86 - 32 = 54$ ножки.

Ответ: 54 ножки были обуты до того, как она купила башмаки.