Номер 16, страница 120, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 34. Формула одновременного движения. Часть 2 - номер 16, страница 120.

Условие.

16 Найди все возможные трёхзначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в записи числа:

а) не повторяются;

б) могут повторяться.

Решение.

Решение 2.

а) не повторяются;
Чтобы составить трёхзначное число из цифр 1, 2, 3 без повторений, нужно рассмотреть, сколько вариантов есть для каждой позиции в числе (сотни, десятки, единицы).
На позицию сотен можно поставить любую из трёх цифр (1, 2 или 3). Это даёт 3 варианта.
После выбора первой цифры, для позиции десятков останется две цифры. Например, если первой была цифра 1, то для второй позиции остаются 2 и 3. Это даёт 2 варианта.
После выбора первых двух цифр, для позиции единиц останется только одна цифра. Это даёт 1 вариант.
Общее количество возможных трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 \times 1 = 6$.
В комбинаторике это называется числом перестановок из 3 элементов и вычисляется как $P_3 = 3!$.
Перечислим все возможные числа:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

б) могут повторяться.
Если цифры в записи числа могут повторяться, то для каждой из трёх позиций (сотен, десятков и единиц) мы можем использовать любую из трёх данных цифр (1, 2 или 3).
На позицию сотен можно поставить любую из 3 цифр.
На позицию десятков также можно поставить любую из 3 цифр (так как повторения разрешены).
На позицию единиц также можно поставить любую из 3 цифр.
Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
В комбинаторике это называется числом размещений с повторениями.
Перечислим все возможные числа:
111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133,
211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233,
311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333.
Ответ: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333.