Страница 113, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 512 Запиши в виде произведения сумму:

1) $a + a + a + a + a + a + a + a$;

2) $-n - n - n - n - n - n$;

3) $-4x - 4x - 4x - 4x - 4x$;

4) $(b - 2c) + (b - 2c) + (b - 2c)$.

1) a + a + a + a + a + a + a + a

Данное выражение представляет собой сумму восьми одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $a$. По определению умножения, сумму одинаковых слагаемых можно заменить произведением этого слагаемого на их количество. В данном случае мы умножаем $a$ на 8.

$a + a + a + a + a + a + a + a = 8 \cdot a = 8a$

Ответ: $8a$

2) -n - n - n - n - n - n - n

Это выражение можно рассматривать как сумму семи слагаемых, каждое из которых равно $-n$. Запишем эту сумму в виде произведения.

$(-n) + (-n) + (-n) + (-n) + (-n) + (-n) + (-n) = 7 \cdot (-n) = -7n$

Альтернативно, можно вынести общий множитель $-1$ за скобки:

$-(n + n + n + n + n + n + n) = -(7 \cdot n) = -7n$

Ответ: $-7n$

3) -4x - 4x - 4x - 4x - 4x

Эта сумма состоит из пяти одинаковых слагаемых, где каждое слагаемое равно $-4x$. Чтобы представить сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое $(-4x)$ на их количество, то есть на 5.

$-4x - 4x - 4x - 4x - 4x = 5 \cdot (-4x)$

Выполним умножение:

$5 \cdot (-4x) = (5 \cdot (-4)) \cdot x = -20x$

Ответ: $-20x$

4) (b - 2c) + (b - 2c) + (b - 2c)

Здесь мы имеем сумму трех одинаковых слагаемых, где каждое слагаемое — это выражение в скобках $(b - 2c)$. Чтобы записать эту сумму как произведение, умножим это выражение на количество слагаемых, то есть на 3.

$(b - 2c) + (b - 2c) + (b - 2c) = 3 \cdot (b - 2c)$

Ответ: $3(b - 2c)$

512 Запиши в виде произведения сумму:

1) $a + a + a + a + a + a + a + a;$

2) $-n - n - n - n - n - n;$

3) $-4x - 4x - 4x - 4x - 4x;$

4) $(b - 2c) + (b - 2c) + (b - 2c).$

477 а) Какие из геометрических тел – конус, прямоугольный параллелепипед, цилиндр, шар, пирамида, куб – являются многогранниками? Обоснуй свой ответ, пользуясь определением многогранника.

б) Найди примеры многогранников в предметах окружающего мира.

в) Сформулируй определение вершины, ребра, грани многогранника и покажи их на предметной модели.

а)

Многогранник — это геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями. Исходя из этого определения, проанализируем каждое тело из списка.

• Прямоугольный параллелепипед, пирамида и куб являются многогранниками, так как их поверхности полностью состоят из плоских многоугольников (прямоугольников, квадратов, треугольников).
• Конус, цилиндр и шар не являются многогранниками, так как их поверхности содержат криволинейные (округлые) части. Такие тела называют телами вращения.

Следовательно, к многогранникам из перечисленного списка относятся прямоугольный параллелепипед, пирамида и куб.

Ответ: Прямоугольный параллелепипед, пирамида, куб.

б)

В окружающем мире можно найти множество предметов, имеющих форму многогранников. Вот некоторые примеры:

• Прямоугольный параллелепипед: кирпич, книга, спичечный коробок, здание, шкаф, аквариум.
• Куб: игральный кубик, кубик Рубика, некоторые виды подарочных коробок.
• Пирамида: египетские пирамиды, некоторые виды упаковок (например, для чая или молочных продуктов), крыши некоторых башен.
• Призма (например, шестиугольная): гайка, неочиненный карандаш, некоторые кристаллы.

Ответ: Кирпич, книга, игральный кубик, египетские пирамиды, неочиненный карандаш.

в)

Определения основных элементов многогранника:

• Грань — это плоский многоугольник (например, квадрат, прямоугольник, треугольник), который является частью поверхности, ограничивающей многогранник.
• Ребро — это отрезок, по которому пересекаются две соседние грани многогранника.
• Вершина — это точка, в которой сходятся рёбра многогранника. Вершины являются углами многогранника.

Чтобы показать эти элементы на предметной модели, можно взять, например, обычную картонную коробку (которая является моделью прямоугольного параллелепипеда):

• Плоские стороны коробки — это её грани.
• Линии сгиба, где соединяются стороны коробки — это её рёбра.
• Углы коробки, где сходятся по три ребра — это её вершины.

Ответ: Грань – это многоугольник, из которых состоит поверхность многогранника. Ребро – это отрезок, являющийся общей стороной двух смежных граней. Вершина – это точка, в которой сходятся рёбра.

477 а) Какие из геометрических тел – конус, прямоугольный параллелепипед, цилиндр, шар, пирамида, куб – являются многогранниками?

Обоснуй свой ответ, пользуясь определением многогранника.

б) Найди примеры многогранников в предметах окружающего мира.

в) Сформулируй определение вершины, ребра, грани многогранника и покажи их на предметной модели.

478. a) Может ли у многогранника быть три вершины? Почему?

б) Какое наименьшее число вершин, рёбер и граней может быть у многогранника?

а) Нет, у многогранника не может быть три вершины. Многогранник — это объёмное геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями). Три точки (вершины) всегда лежат в одной плоскости и могут образовать только плоскую фигуру — треугольник. Треугольник не является объёмным телом и не ограничивает часть пространства. Для создания объёмного тела требуется как минимум четыре вершины, не лежащие в одной плоскости. Кроме того, в любом выпуклом многограннике в каждой вершине должно сходиться не менее трёх рёбер, что невозможно, если общее число вершин равно трём.
Ответ: Нет, не может, потому что три вершины могут определить только плоскую фигуру (треугольник), а не объёмное тело.

б) Наименьшее число вершин, рёбер и граней имеет простейший многогранник — тетраэдр (треугольная пирамида). Этот многогранник является фигурой с минимально возможным числом элементов для существования в трёхмерном пространстве.

• Вершины: у тетраэдра 4 вершины (три в основании и одна на вершине). Как было показано в пункте (а), это минимально возможное количество.
• Грани: у тетраэдра 4 грани, каждая из которых является треугольником.
• Рёбра: у тетраэдра 6 рёбер (три ребра в основании и три боковых ребра).

Эти значения согласуются с теоремой Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Для тетраэдра: $4 - 6 + 4 = 2$.
Ответ: Наименьшее число вершин — 4, рёбер — 6, граней — 4.

478 a) Может ли у многогранника быть три вершины? Почему?

б) Какое наименьшее число вершин, ребер и граней может быть у многогранника?