Страница 108, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

466 В 1993 году инфляция в России составляла 20 % в месяц (то есть цены каждый месяц увеличивались на 20 % от последнего значения). На сколько процентов возросли цены за 4 месяца? Во сколько раз увеличились цены за это время? Ответ округли до целых.

Данная задача решается с использованием формулы сложных процентов. Если цены каждый месяц увеличиваются на 20%, это означает, что каждый месяц предыдущее значение цены умножается на коэффициент $1 + \frac{20}{100} = 1.2$.

Пусть $P_0$ — начальная цена. Через 4 месяца цена $P_4$ будет равна: $P_4 = P_0 \times (1.2)^4$

Вычислим значение $(1.2)^4$: $1.2^4 = (1.2^2)^2 = 1.44^2 = 2.0736$.

Таким образом, через 4 месяца цена станет $P_4 = P_0 \times 2.0736$.

466 В 1993 году инфляция в России составляла 30% в месяц (то есть цены каждый месяц увеличивались на 30% от последнего значения). На сколько процентов возросли цены за 4 месяца? Во сколько раз увеличились цены за это время? Ответ округли до целых.

467 За последние 3 года товарооборот фирмы снижается ежегодно на 20% от товарооборота предыдущего года. На сколько всего процентов снизился её товарооборот за эти 3 года?

Для решения этой задачи обозначим первоначальный товарооборот фирмы как $T_0$.

По условию, товарооборот ежегодно снижается на 20%. Это означает, что каждый следующий год он составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от товарооборота предыдущего года. Чтобы найти 80% от некоторой величины, нужно умножить её на 0,8.

Рассчитаем товарооборот фирмы после каждого из трёх лет:

• Через 1 год:
  Товарооборот $T_1$ составит 80% от первоначального $T_0$.
  $T_1 = T_0 \times 0.8$
• Через 2 года:
  Товарооборот $T_2$ составит 80% от товарооборота предыдущего года, то есть от $T_1$.
  $T_2 = T_1 \times 0.8 = (T_0 \times 0.8) \times 0.8 = T_0 \times 0.8^2 = T_0 \times 0.64$
• Через 3 года:
  Товарооборот $T_3$ составит 80% от товарооборота предыдущего года, то есть от $T_2$.
  $T_3 = T_2 \times 0.8 = (T_0 \times 0.64) \times 0.8 = T_0 \times 0.8^3 = T_0 \times 0.512$

Таким образом, через 3 года товарооборот фирмы составит $0.512$ от первоначального, что эквивалентно $51.2\%$.

Чтобы найти, на сколько процентов снизился товарооборот за 3 года, нужно вычесть из первоначального товарооборота (принятого за 100%) тот, что остался (51,2%).

Общее снижение = $100\% - 51.2\% = 48.8\%$

Альтернативный расчет:
Общее снижение в долях составляет $1 - 0.512 = 0.488$.
Чтобы выразить это в процентах, умножаем на 100:
$0.488 \times 100\% = 48.8\%$

Ответ: 48,8%

467 За последние 3 года товарооборот фирмы снижается ежегодно на 20% от товарооборота предыдущего года. На сколько всего процентов снизился ее товарооборот за эти 3 года?

468 Коммерческий банк выплачивает доход вкладчикам, исходя из следующих годовых процентных ставок: 3 месяца – $4\%$; 6 месяцев – $8.5\%$; 12 месяцев – $18\%$.

1) Какую сумму должен выплатить банк по вкладу, равному 2000 р., если договор заключён: а) на 3 месяца; б) на 6 месяцев; в) на 12 месяцев?

2) Сколько процентов годового дохода можно получить, если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый раз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца? Ответ округли до единиц.

1)

Для расчета итоговой суммы по вкладу в конце срока используется формула простых процентов, так как проценты начисляются однократно по окончании договора. Формула имеет вид:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100} \cdot \frac{t}{12})$

где:

• $S$ – итоговая сумма к выплате,
• $P$ – первоначальная сумма вклада (2000 р.),
• $r$ – годовая процентная ставка в процентах,
• $t$ – срок вклада в месяцах.

а) на 3 месяца

Для вклада на 3 месяца годовая ставка составляет 4%.

$S = 2000 \cdot (1 + \frac{4}{100} \cdot \frac{3}{12}) = 2000 \cdot (1 + 0.04 \cdot 0.25) = 2000 \cdot (1 + 0.01) = 2000 \cdot 1.01 = 2020$ р.

Ответ: 2020 р.

б) на 6 месяцев

Для вклада на 6 месяцев годовая ставка составляет 8,5%.

$S = 2000 \cdot (1 + \frac{8.5}{100} \cdot \frac{6}{12}) = 2000 \cdot (1 + 0.085 \cdot 0.5) = 2000 \cdot (1 + 0.0425) = 2000 \cdot 1.0425 = 2085$ р.

Ответ: 2085 р.

в) на 12 месяцев

Для вклада на 12 месяцев годовая ставка составляет 18%.

$S = 2000 \cdot (1 + \frac{18}{100} \cdot \frac{12}{12}) = 2000 \cdot (1 + 0.18 \cdot 1) = 2000 \cdot 1.18 = 2360$ р.

Ответ: 2360 р.

2)

В этом сценарии проценты начисляются и прибавляются к основной сумме вклада каждые 3 месяца (происходит капитализация процентов). Годовая ставка для 3-месячного вклада равна 4%. Так как в году 4 периода по 3 месяца ($12 / 3 = 4$), то начисление процентов будет происходить 4 раза.

Ставка за один 3-месячный период (квартал) составит: $4\% / 4 = 1\%$, или 0.01 в десятичной форме.

Для расчета итоговой суммы через год используется формула сложных процентов:

$S_n = P \cdot (1 + i)^n$

где:

• $S_n$ – итоговая сумма через $n$ периодов,
• $P$ – первоначальная сумма вклада,
• $i$ – процентная ставка за один период (0.01),
• $n$ – количество периодов (4).

Через год сумма на вкладе составит:

$S_4 = P \cdot (1 + 0.01)^4 = P \cdot (1.01)^4 = P \cdot 1.04060401$

Общий доход за год равен разнице между итоговой и первоначальной суммой:

Доход = $S_4 - P = P \cdot 1.04060401 - P = P \cdot 0.04060401$

Чтобы найти годовой процент дохода (эффективную годовую ставку), нужно отношение дохода к первоначальной сумме умножить на 100%:

Годовой процент = $\frac{P \cdot 0.04060401}{P} \cdot 100\% = 0.04060401 \cdot 100\% = 4.060401\%$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до единиц (до целого числа).

$4.060401\% \approx 4\%$

Ответ: 4%.

468 Коммерческий банк выплачивает доход вкладчикам, исходя из следующих годовых процентных ставок: 3 месяца – $4\%$; 6 месяцев – $8.5\%$; 12 месяцев – $18\%$.

1) Какую сумму должен выплатить банк по вкладу, равному 2000 р., если договор заключен:

а) на 3 месяца;

б) на 6 месяцев;

в) на 12 месяцев?

2) Сколько процентов годового дохода можно получить, если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый раз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца? Ответ округли до единиц.

Π 469 1) Составь 5 двусложных слов из слогов, используя все эти слоги:
ма, тон, дус, ко, тор, сум, нус, на, гра, кван.

2) Составь 4 трёхсложных слова из слогов, используя их все:
ро, ли, цен, мо, на, ты, тель, сто, дец, де, ло, про.

1) Из предложенных слогов (ма, тон, дус, ко, тор, сум, нус, на, гра, кван) необходимо составить 5 двусложных слов, использовав каждый слог ровно один раз. Путём подбора можно получить следующие слова:

гра + дус = градус
кван + тор = квантор
ко + нус = конус
сум + ма = сумма
тон + на = тонна

В результате все 10 слогов использованы для создания 5 осмысленных слов.

Ответ: градус, квантор, конус, сумма, тонна.

2) Из предложенных слогов (ро, ли, цен, мо, на, ты, тель, сто, дец, де, ло, про) необходимо составить 4 трёхсложных слова, использовав все слоги. Комбинируя слоги, получаем следующие слова:

мо + ло + дец = молодец
сто + ро + на = сторона
про + цен + ты = проценты
де + ли + тель = делитель

Все 12 слогов были использованы для составления 4 слов.

Ответ: молодец, сторона, проценты, делитель.

$\Pi$ 469 1) Составь 5 двусложных слов из слогов, используя все эти слоги:

ма, тон, дус, ко, тор, сум, нус, на, гра, кван.

2) Составь 4 трехсложных слова из слогов, используя их все:

ро, ли, цен, мо, на, ты, тель, сто, дец, де, ло, про.

470 Переведи высказывания с математического языка на русский и построй их отрицания.

1) $\forall a \in R: a^2 + a^3 = a^5$ (R – множество дробей).

2) $\exists d \in D: d^2$ – натуральное число (D – множество правильных дробей).

3) $\exists x \in P: x$ – имеет ось симметрии (P – множество параллелограммов).

4) $\forall y \in T:$ углы при основании у равны (T – множество трапеций).

1) $ \forall a \in R: a^2 + a^3 = a^5 $ ($R$ – множество дробей)
Перевод на русский язык:
Данное высказывание читается так: «Для любой дроби a верно равенство $a^2 + a^3 = a^5$».
Построение отрицания:
Чтобы построить отрицание высказывания с квантором всеобщности ($ \forall $), нужно заменить этот квантор на квантор существования ($ \exists $) и отрицать само утверждение, следующее за квантором. Утверждение $a^2 + a^3 = a^5$ отрицается как $a^2 + a^3 \neq a^5$.
Отрицание на математическом языке: $ \exists a \in R: a^2 + a^3 \neq a^5 $.
Отрицание на русском языке: «Существует такая дробь a, для которой равенство $a^2 + a^3 = a^5$ не выполняется».
Ответ: Перевод: «Для любой дроби a верно равенство $a^2 + a^3 = a^5$». Отрицание: «Существует такая дробь a, для которой равенство $a^2 + a^3 = a^5$ не выполняется».

2) $ \exists d \in D: d^2 $ – натуральное число ($D$ – множество правильных дробей)
Перевод на русский язык:
Данное высказывание читается так: «Существует такая правильная дробь d, квадрат которой является натуральным числом».
Построение отрицания:
Чтобы построить отрицание высказывания с квантором существования ($ \exists $), нужно заменить этот квантор на квантор всеобщности ($ \forall $) и отрицать само утверждение. Утверждение «$d^2$ – натуральное число» отрицается как «$d^2$ – не натуральное число».
Отрицание на математическом языке: $ \forall d \in D: d^2 $ – не натуральное число.
Отрицание на русском языке: «Для любой правильной дроби d её квадрат не является натуральным числом».
Ответ: Перевод: «Существует такая правильная дробь d, квадрат которой является натуральным числом». Отрицание: «Квадрат любой правильной дроби не является натуральным числом».

3) $ \exists x \in P: x $ – имеет ось симметрии ($P$ – множество параллелограммов)
Перевод на русский язык:
Данное высказывание читается так: «Существует параллелограмм, который имеет ось симметрии».
Построение отрицания:
Отрицание строится заменой квантора существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $) и отрицанием свойства. Свойство «x имеет ось симметрии» отрицается как «x не имеет оси симметрии».
Отрицание на математическом языке: $ \forall x \in P: x $ – не имеет оси симметрии.
Отрицание на русском языке: «Любой параллелограмм не имеет оси симметрии» или «Ни один параллелограмм не имеет оси симметрии».
Ответ: Перевод: «Существует параллелограмм, который имеет ось симметрии». Отрицание: «Любой параллелограмм не имеет оси симметрии».

4) $ \forall y \in T: $ углы при основании у y равны ($T$ – множество трапеций)
Перевод на русский язык:
Данное высказывание читается так: «У любой трапеции y углы при основании равны».
Построение отрицания:
Отрицание строится заменой квантора всеобщности ($ \forall $) на квантор существования ($ \exists $) и отрицанием свойства. Свойство «углы при основании у y равны» отрицается как «углы при основании у y не равны».
Отрицание на математическом языке: $ \exists y \in T: $ углы при основании у y не равны.
Отрицание на русском языке: «Существует трапеция, у которой углы при основании не равны».
Ответ: Перевод: «У любой трапеции углы при основании равны». Отрицание: «Существует трапеция, у которой углы при основании не равны».

470 Переведи высказывания с математического языка на русский и построй их отрицания:

1) $\forall a \in R: a^2 + a^3 = a^5$ ($R$ – множество дробей).

2) $\exists d \in D: d^2$ – натуральное число ($D$ – множество правильных дробей).

3) $\exists x \in P: x$ – имеет ось симметрии ($P$ – множество параллелограммов).

4) $\forall y \in T:$ углы при основании $y$ равны ($T$ – множество трапеций).

471 Докажи или опровергни высказывания, если $a, b, c, d \neq 0$:

1) $18\%$ от числа $a$ составляют $1,8a$;

2) $0,6b$ составляет $30\%$ от $2b$;

3) $0,4c$ на $40\%$ меньше, чем $c$;

4) $2d$ на $200\%$ больше, чем $d$.

1) Чтобы найти 18% от числа $a$, нужно умножить $a$ на долю, соответствующую проценту, то есть на $\frac{18}{100} = 0,18$.
$a \cdot \frac{18}{100} = 0,18a$.
В высказывании утверждается, что 18% от числа $a$ составляют $1,8a$.
Сравним наш результат с утверждением: $0,18a \neq 1,8a$ (при $a \neq 0$).
Следовательно, высказывание неверно.
Ответ: высказывание неверно.

2) Чтобы проверить, составляет ли $0,6b$ 30% от $2b$, найдем 30% от $2b$.
$2b \cdot \frac{30}{100} = 2b \cdot 0,3 = 0,6b$.
Результат вычислений совпадает с числом $0,6b$ из высказывания.
Следовательно, высказывание верно.
Ответ: высказывание верно.

3) Высказывание гласит, что $0,4c$ на 40% меньше, чем $c$. Найдем число, которое на 40% меньше, чем $c$. Для этого нужно из $c$ вычесть 40% от $c$.
$c - (c \cdot \frac{40}{100}) = c - 0,4c = 0,6c$.
Сравним полученный результат с утверждением: $0,6c \neq 0,4c$ (при $c \neq 0$).
Число $0,4c$ на самом деле на $\frac{c - 0,4c}{c} \cdot 100\% = \frac{0,6c}{c} \cdot 100\% = 60\%$ меньше, чем $c$.
Следовательно, высказывание неверно.
Ответ: высказывание неверно.

4) Высказывание гласит, что $2d$ на 200% больше, чем $d$. Найдем число, которое на 200% больше, чем $d$. Для этого нужно к $d$ прибавить 200% от $d$.
$d + (d \cdot \frac{200}{100}) = d + 2d = 3d$.
Сравним полученный результат с утверждением: $3d \neq 2d$ (при $d \neq 0$).
Число $2d$ на самом деле на $\frac{2d - d}{d} \cdot 100\% = \frac{d}{d} \cdot 100\% = 100\%$ больше, чем $d$.
Следовательно, высказывание неверно.
Ответ: высказывание неверно.

471 Докажи или опровергни высказывания, если $a, b, c, d \neq 0$:

1) 18% от числа $a$ составляют $1,8a$;

2) $0,6b$ составляет 30% от $2b$;

3) $0,4c$ на 40% меньше, чем $c$;

4) $2d$ на 200% больше, чем $d$.

472 1) Температура воздуха снизилась за первый день на 15 %, а за второй – на 40 %. На сколько процентов снизилась температура за два дня?

2) Цена товара за первый месяц увеличилась на 20 %, а за второй уменьшилась на 10 %. Как и на сколько процентов изменилась цена за два месяца?

1)

Пусть первоначальная температура воздуха была $T$. Последовательные изменения величины на определенный процент вычисляются поочередно.

После первого дня температура снизилась на 15%. Это означает, что она стала равна $100\% - 15\% = 85\%$ от первоначальной. Выразим это в виде десятичной дроби: $1 - 0,15 = 0,85$. Температура после первого дня: $T_1 = T \times 0,85$.

На второй день температура снизилась на 40% от нового значения $T_1$. Это означает, что она стала равна $100\% - 40\% = 60\%$ от температуры $T_1$. Выразим это в виде десятичной дроби: $1 - 0,40 = 0,60$. Итоговая температура после второго дня: $T_2 = T_1 \times 0,60 = (T \times 0,85) \times 0,60 = T \times 0,51$.

Итоговая температура $T_2$ составляет 0,51 от первоначальной температуры $T$, или 51%. Чтобы найти общее снижение в процентах, вычтем итоговый процент из начального (100%): $100\% - 51\% = 49\%$.

Ответ: температура за два дня снизилась на 49%.

2)

Пусть первоначальная цена товара была $P$.

За первый месяц цена увеличилась на 20%. Это означает, что она стала равна $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной. В виде десятичной дроби: $1 + 0,20 = 1,2$. Цена после первого месяца: $P_1 = P \times 1,2$.

За второй месяц цена уменьшилась на 10% от новой цены $P_1$. Это означает, что она стала равна $100\% - 10\% = 90\%$ от цены $P_1$. В виде десятичной дроби: $1 - 0,10 = 0,9$. Итоговая цена после второго месяца: $P_2 = P_1 \times 0,9 = (P \times 1,2) \times 0,9 = P \times 1,08$.

Итоговая цена $P_2$ составляет 1,08 от первоначальной цены $P$, или 108%. Чтобы найти, как и на сколько процентов изменилась цена, сравним итоговое значение (108%) с начальным (100%). $108\% - 100\% = 8\%$.

Так как результат положительный, цена увеличилась.

Ответ: цена за два месяца увеличилась на 8%.

472 1) Температура воздуха снизилась за первый день на 15%, а за второй – на 40%. На сколько процентов снизилась температура за два дня?

2) Цена товара за первый месяц увеличилась на 20%, а за второй уменьшилась на 10%. Как и на сколько процентов изменилась цена за два месяца?

473 В промышленных месторождениях содержание меди в медных рудах составляет от $0.3\%$ до $6\%$.

а) Сколько надо взять медной руды, чтобы получить не менее 12 т меди?

б) Сколько меди может получиться из 12 т руды?

а) Пусть $m_{руды}$ — масса медной руды в тоннах, а $p$ — процентное содержание меди в руде. По условию, содержание меди составляет от 0,3% до 6%, то есть $0,3 \le p \le 6$.

Масса меди ($m_{меди}$), которую можно получить из руды, вычисляется по формуле: $m_{меди} = m_{руды} \cdot \frac{p}{100}$.

Нам нужно найти, какое количество руды необходимо взять, чтобы получить не менее 12 т меди ($m_{меди} \ge 12$ т). Количество необходимой руды будет зависеть от концентрации в ней меди. Рассчитаем, сколько руды потребуется для получения ровно 12 т меди в двух крайних случаях: при минимальном и максимальном содержании меди.

1. Если руда имеет самое высокое содержание меди (богатая руда), то есть $p = 6\%$. В этом случае для получения 12 т меди потребуется наименьшее количество руды:
$m_{руды} = \frac{m_{меди}}{p/100} = \frac{12}{6/100} = \frac{12 \cdot 100}{6} = 2 \cdot 100 = 200$ т.

2. Если руда имеет самое низкое содержание меди (бедная руда), то есть $p = 0,3\%$. В этом случае для получения 12 т меди потребуется наибольшее количество руды:
$m_{руды} = \frac{12}{0,3/100} = \frac{12 \cdot 100}{0,3} = \frac{1200}{0,3} = \frac{12000}{3} = 4000$ т.

Таким образом, чтобы получить не менее 12 т меди, необходимо взять от 200 до 4000 тонн руды, в зависимости от её качества.

Ответ: от 200 т до 4000 т медной руды.

б) Теперь необходимо найти, сколько меди ($m_{меди}$) может получиться из 12 т руды ($m_{руды} = 12$ т). Количество получаемой меди будет зависеть от её процентного содержания в руде, которое варьируется от 0,3% до 6%.

1. При минимальном содержании меди в руде ($p = 0,3\%$) получится наименьшее количество меди:
$m_{меди} = m_{руды} \cdot \frac{p}{100} = 12 \cdot \frac{0,3}{100} = 12 \cdot 0,003 = 0,036$ т.

2. При максимальном содержании меди в руде ($p = 6\%$) получится наибольшее количество меди:
$m_{меди} = 12 \cdot \frac{6}{100} = 12 \cdot 0,06 = 0,72$ т.

Следовательно, из 12 т руды можно получить от 0,036 т (36 кг) до 0,72 т (720 кг) меди.

Ответ: от 0,036 т до 0,72 т меди.

473. В промышленных месторождениях содержание меди в медных рудах составляет от 0,3% до 6%.

а) Сколько надо взять медной руды, чтобы получить не менее 12 т меди?

б) Сколько меди может получиться из 12 т руды?

474 Дом стоимостью 1500 тыс. р. принёс в год 300 тыс. р. валового дохода. Из этих денег вычли расходы на содержание дома в размере 48 тыс. р. и получили чистый доход. Чему равен процент чистого дохода от стоимости дома?

Для того чтобы найти процент чистого дохода от стоимости дома, необходимо выполнить два действия: сначала рассчитать чистый доход, а затем найти его процентное отношение к стоимости дома.

1. Вычислим чистый доход. Он равен разнице между валовым доходом и расходами на содержание дома:

$300 \text{ тыс. р.} - 48 \text{ тыс. р.} = 252 \text{ тыс. р.}$

Таким образом, чистый доход составляет 252 тыс. рублей.

2. Теперь рассчитаем, какой процент составляет чистый доход от стоимости дома. Для этого разделим сумму чистого дохода на стоимость дома и умножим полученный результат на 100%.

Процент чистого дохода = $\frac{\text{Чистый доход}}{\text{Стоимость дома}} \times 100\%$

$\frac{252}{1500} \times 100\% = 0.168 \times 100\% = 16.8\%$

Ответ: 16,8%.

474 Дом стоимостью 1500 тыс. р. принес в год 300 тыс. р. валового дохода. Из этих денег вычли расходы на содержание дома в размере 48 тыс. р. и получили чистый доход. Чему равен процент чистого дохода от стоимости дома?

480 Вставь пропущенное число:

a) $7 - \dots = -6;$

б) $4 - \dots = 9;$

в) $-8 - \dots = -5;$

г) $-3 - \dots = -7;$

д) $\dots - (-9) = 8;$

е) $\dots - (+12) = -5;$

ж) $0 - \dots = 10;$

з) $-2 - \dots = -2.$

а) 7 - ... = -6

Обозначим пропущенное число переменной $x$. Получим уравнение: $7 - x = -6$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 7 - (-6)$
$x = 7 + 6$
$x = 13$
Проверка: $7 - 13 = -6$.
Ответ: 13

б) 4 - ... = 9

Обозначим пропущенное число переменной $x$: $4 - x = 9$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 4 - 9$
$x = -5$
Проверка: $4 - (-5) = 4 + 5 = 9$.
Ответ: -5

в) -8 - ... = -5

Обозначим пропущенное число переменной $x$: $-8 - x = -5$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = -8 - (-5)$
$x = -8 + 5$
$x = -3$
Проверка: $-8 - (-3) = -8 + 3 = -5$.
Ответ: -3

г) -3 - ... = -7

Обозначим пропущенное число переменной $x$: $-3 - x = -7$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = -3 - (-7)$
$x = -3 + 7$
$x = 4$
Проверка: $-3 - 4 = -7$.
Ответ: 4

д) ... - (-9) = 8

Обозначим пропущенное число переменной $x$: $x - (-9) = 8$.
Упростим выражение: $x + 9 = 8$.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое (в данном случае, после упрощения, находим неизвестное слагаемое).
$x = 8 - 9$
$x = -1$
Проверка: $-1 - (-9) = -1 + 9 = 8$.
Ответ: -1

е) ... - (+12) = -5

Обозначим пропущенное число переменной $x$: $x - (+12) = -5$.
Упростим выражение: $x - 12 = -5$.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = -5 + 12$
$x = 7$
Проверка: $7 - (+12) = 7 - 12 = -5$.
Ответ: 7

ж) 0 - ... = 10

Обозначим пропущенное число переменной $x$: $0 - x = 10$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 0 - 10$
$x = -10$
Проверка: $0 - (-10) = 0 + 10 = 10$.
Ответ: -10

з) -2 - ... = -2

Обозначим пропущенное число переменной $x$: $-2 - x = -2$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = -2 - (-2)$
$x = -2 + 2$
$x = 0$
Проверка: $-2 - 0 = -2$.
Ответ: 0

480 Вставь пропущенное число:

а) $7 - ... = -6;$

б) $4 - ... = 9;$

в) $-8 - ... = -5;$

г) $-3 - ... = -7;$

д) $... - (-9) = 8;$

е) $... - (+12) = -5;$

ж) $0 - ... = 10;$

з) $-2 - ... = -2.$

481 Реши уравнения двумя способами. Сделай проверку.

1) $2,5 + (-x) = 3,2;$

2) $-0,6 - (-y) = 0,9;$

3) $-z + (-4,8) = -1,6.$

Способ 1:

Сначала упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки. Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию.

$2,5 - x = 3,2$

В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 2,5 - 3,2$

$x = -0,7$

Способ 2:

Рассмотрим $(-x)$ как неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$-x = 3,2 - 2,5$

$-x = 0,7$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$.

$x = -0,7$

Проверка:

Подставим найденное значение $x = -0,7$ в исходное уравнение:

$2,5 + (-(-0,7)) = 3,2$

$2,5 + 0,7 = 3,2$

$3,2 = 3,2$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = -0,7$.

Способ 1:

Упростим левую часть уравнения. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению.

$-0,6 + y = 0,9$

В этом уравнении $y$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$y = 0,9 - (-0,6)$

$y = 0,9 + 0,6$

$y = 1,5$

Способ 2:

Рассмотрим $(-y)$ как неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$-y = -0,6 - 0,9$

$-y = -1,5$

Теперь, чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на $-1$.

$y = 1,5$

Проверка:

Подставим найденное значение $y = 1,5$ в исходное уравнение:

$-0,6 - (-(1,5)) = 0,9$

$-0,6 - (-1,5) = 0,9$

$-0,6 + 1,5 = 0,9$

$0,9 = 0,9$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $y = 1,5$.

Способ 1:

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки.

$-z - 4,8 = -1,6$

В этом уравнении $-z$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$-z = -1,6 + 4,8$

$-z = 3,2$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $z$.

$z = -3,2$

Способ 2:

Рассмотрим $-z$ как неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$-z = -1,6 - (-4,8)$

$-z = -1,6 + 4,8$

$-z = 3,2$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $z$.

$z = -3,2$

Проверка:

Подставим найденное значение $z = -3,2$ в исходное уравнение:

$-(-3,2) + (-4,8) = -1,6$

$3,2 - 4,8 = -1,6$

$-1,6 = -1,6$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $z = -3,2$.

481 Реши уравнения двумя способами. Сделай проверку.

1) $2,5 + (-x) = 3,2$;

2) $-0,6 - (-y) = 0,9$;

3) $-z + (-4,8) = -1,6$.

482 Реши уравнения и сделай проверку:

1) $-x = -7,2;$

2) $-a = -\frac{3}{16};$

3) $-y = -2 - (-0,8);$

4) $z + 1,4 = -1;$

5) $1\frac{2}{9} - x = \frac{2}{3};$

6) $b - 5,6 = -4;$

7) $-0,6 - (-y) = -0,4;$

8) $3,1 + (-n) = -2\frac{4}{5};$

9) $-x - (-1,2) = -0,8.$

1) $-x = -7,2$

Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на $-1$.

$x = -7,2 \cdot (-1)$

$x = 7,2$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$-(7,2) = -7,2$

$-7,2 = -7,2$

Равенство верное.

Ответ: $x = 7,2$

2) $-a = -\frac{3}{16}$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $a$.

$a = -\frac{3}{16} \cdot (-1)$

$a = \frac{3}{16}$

Проверка:

Подставим значение $a$ в исходное уравнение:

$-(\frac{3}{16}) = -\frac{3}{16}$

$-\frac{3}{16} = -\frac{3}{16}$

Равенство верное.

Ответ: $a = \frac{3}{16}$

3) $-y = -2 - (-0,8)$

Сначала упростим правую часть уравнения. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению.

$-y = -2 + 0,8$

$-y = -1,2$

Теперь умножим обе части на $-1$, чтобы найти $y$.

$y = 1,2$

Проверка:

Подставим $y = 1,2$ в исходное уравнение:

$-(1,2) = -2 - (-0,8)$

$-1,2 = -2 + 0,8$

$-1,2 = -1,2$

Равенство верное.

Ответ: $y = 1,2$

4) $z + 1,4 = -1$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$z = -1 - 1,4$

$z = -2,4$

Проверка:

Подставим $z = -2,4$ в исходное уравнение:

$-2,4 + 1,4 = -1$

$-1 = -1$

Равенство верное.

Ответ: $z = -2,4$

5) $1\frac{2}{9} - x = \frac{2}{3}$

Чтобы найти вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 1\frac{2}{9} - \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю $9$.

$x = \frac{11}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

$x = \frac{11}{9} - \frac{6}{9}$

$x = \frac{11 - 6}{9}$

$x = \frac{5}{9}$

Проверка:

$1\frac{2}{9} - \frac{5}{9} = \frac{11}{9} - \frac{5}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{5}{9}$

6) $b - 5,6 = -4$

Чтобы найти уменьшаемое $b$, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$b = -4 + 5,6$

$b = 1,6$

Проверка:

$1,6 - 5,6 = -4$

$-4 = -4$

Равенство верное.

Ответ: $b = 1,6$

7) $-0,6 - (-y) = -0,4$

Упростим левую часть уравнения.

$-0,6 + y = -0,4$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $y$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$y = -0,4 - (-0,6)$

$y = -0,4 + 0,6$

$y = 0,2$

Проверка:

$-0,6 - (-0,2) = -0,6 + 0,2 = -0,4$

$-0,4 = -0,4$

Равенство верное.

Ответ: $y = 0,2$

8) $3,1 + (-n) = -2\frac{4}{5}$

Перепишем уравнение и переведем смешанную дробь в десятичную: $-2\frac{4}{5} = -2,8$.

$3,1 - n = -2,8$

Чтобы найти вычитаемое $n$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$n = 3,1 - (-2,8)$

$n = 3,1 + 2,8$

$n = 5,9$

Проверка:

$3,1 + (-5,9) = 3,1 - 5,9 = -2,8$

$-2,8 = -2\frac{8}{10} = -2\frac{4}{5}$

Равенство верное.

Ответ: $n = 5,9$

9) $-x - (-1,2) = -0,8$

Упростим левую часть уравнения.

$-x + 1,2 = -0,8$

Перенесем $1,2$ в правую часть с противоположным знаком.

$-x = -0,8 - 1,2$

$-x = -2$

Умножим обе части на $-1$.

$x = 2$

Проверка:

$-(2) - (-1,2) = -2 + 1,2 = -0,8$

$-0,8 = -0,8$

Равенство верное.

Ответ: $x = 2$

482 Реши уравнения и сделай проверку.

1) $-x = -7,2;$

2) $-a = -\frac{3}{16};$

3) $-y = -2 - (-0,8);$

4) $z + 1,4 = -1;$

5) $1\frac{2}{9} - x = \frac{2}{3};$

6) $b - 5,6 = -4;$

7) $-0,6 - (-y) = -0,4;$

8) $3,1 + (-n) = -2\frac{4}{5};$

9) $-x - (-1,2) = -0,8.$

483 Найди значения двух данных выражений и сравни их. Какие закономерности ты наблюдаешь? Запиши их в обобщённом виде.

а) $5 - 8$ и $8 - 5$;

б) $11 - 7$ и $7 - 11$;

в) $4 - 11$ и $11 - 4$;

г) $10 - (-5)$ и $-5 - 10$;

д) $3 - (-9)$ и $-9 - 3$;

е) $-2 - 6$ и $6 - (-2)$.

а) $5 - 8 = -3$ и $8 - 5 = 3$. Сравнивая результаты, видим, что $-3$ и $3$ являются противоположными числами. Ответ: $-3$ и $3$.

б) $11 - 7 = 4$ и $7 - 11 = -4$. Сравнивая результаты, видим, что $4$ и $-4$ являются противоположными числами. Ответ: $4$ и $-4$.

в) $4 - 11 = -7$ и $11 - 4 = 7$. Сравнивая результаты, видим, что $-7$ и $7$ являются противоположными числами. Ответ: $-7$ и $7$.

г) $10 - (-5) = 10 + 5 = 15$ и $-5 - 10 = -15$. Сравнивая результаты, видим, что $15$ и $-15$ являются противоположными числами. Ответ: $15$ и $-15$.

д) $3 - (-9) = 3 + 9 = 12$ и $-9 - 3 = -12$. Сравнивая результаты, видим, что $12$ и $-12$ являются противоположными числами. Ответ: $12$ и $-12$.

е) $-2 - 6 = -8$ и $6 - (-2) = 6 + 2 = 8$. Сравнивая результаты, видим, что $-8$ и $8$ являются противоположными числами. Ответ: $-8$ и $8$.

Наблюдаемые закономерности и их обобщенный вид:

Во всех приведенных парах выражений вида $a-b$ и $b-a$ результаты вычислений являются противоположными числами. Это означает, что при перестановке уменьшаемого и вычитаемого знак разности меняется на противоположный. Данная закономерность показывает, что операция вычитания, в отличие от сложения, не обладает переместительным (коммутативным) свойством, то есть в общем случае $a - b \neq b - a$. В обобщенном виде эту закономерность можно записать с помощью формулы, которая верна для любых чисел $a$ и $b$: $a - b = -(b - a)$. Ответ: Значения выражений в каждой паре являются противоположными числами. В обобщенном виде: $a - b = -(b - a)$.

483 Найди значения двух данных выражений и сравни их. Какие закономерности ты наблюдаешь? Запиши их в обобщенном виде.

а) $5 - 8$ и $8 - 5$;

б) $11 - 7$ и $7 - 11$;

в) $4 - 11$ и $11 - 4$;

г) $10 - (-5)$ и $-5 - 10$;

д) $3 - (-9)$ и $-9 - 3$;

е) $-2 - 6$ и $6 - (-2)$.

484 Раскрой скобки в выражении $a - (b + c)$ и переведи с математического языка на русский правило вычитания суммы из числа. Проверь его при:

1) $a = -4; b = -2; c = 7;$

2) $a = 1,5; b = -0,6; c = -2,9;$

3) произвольно выбранных тобой значениях переменных.

Чтобы раскрыть скобки в выражении $a - (b + c)$, нужно учесть, что перед скобкой стоит знак «минус». При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», этот знак и скобки опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$a - (b + c) = a - b - c$

Это выражение является математической записью правила вычитания суммы из числа. На русском языке это правило формулируется так: чтобы из числа вычесть сумму двух чисел, можно из этого числа вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть второе слагаемое.

Проверим это правило на конкретных примерах, вычисляя значение выражения двумя способами: 1) сначала находя сумму в скобках, 2) раскрывая скобки.

1) a = -4; b = -2; c = 7;

Способ 1 (вычисление в скобках):
$a - (b + c) = -4 - (-2 + 7) = -4 - 5 = -9$

Способ 2 (раскрытие скобок):
$a - b - c = -4 - (-2) - 7 = -4 + 2 - 7 = -2 - 7 = -9$

Результаты совпадают.
Ответ: $-9$.

2) a = 1,5; b = -0,6; c = -2,9;

Способ 1 (вычисление в скобках):
$a - (b + c) = 1,5 - (-0,6 + (-2,9)) = 1,5 - (-0,6 - 2,9) = 1,5 - (-3,5) = 1,5 + 3,5 = 5$

Способ 2 (раскрытие скобок):
$a - b - c = 1,5 - (-0,6) - (-2,9) = 1,5 + 0,6 + 2,9 = 2,1 + 2,9 = 5$

Результаты совпадают.
Ответ: $5$.

3) произвольно выбранных тобой значениях переменных.

Выберем произвольные значения: $a = 20$, $b = 5$, $c = 10$.

Способ 1 (вычисление в скобках):
$a - (b + c) = 20 - (5 + 10) = 20 - 15 = 5$

Способ 2 (раскрытие скобок):
$a - b - c = 20 - 5 - 10 = 15 - 10 = 5$

Результаты совпадают, что подтверждает верность правила.
Ответ: $5$.

484 Раскрой скобки в выражении $a - (b + c)$ и переведи с математического языка на русский правило вычитания суммы из числа. Проверь его при:

1) $a = -4; b = -2; c = 7;$

2) $a = 1,5; b = -0,6; c = -2,9;$

3) произвольно выбранных тобой значениях переменных.

485 Раскрой скобки и упрости выражения:

1) $a - (b - c + d) - c + (d + b - a);$

2) $-(a - b + c) - (d + b - a + c) + d;$

3) $(a - b - c) - (a - d) + d - (b - c);$

4) $-(c - b - d) + a - (b + c) - (d - a).$

1) $a - (b - c + d) - c + (d + b - a)$

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «−», то знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых не меняются.

$a - (b - c + d) - c + (d + b - a) = a - b + c - d - c + d + b - a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a - a) + (-b + b) + (c - c) + (-d + d) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

2) $-(a - b + c) - (d + b - a + c) + d$

Раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак «−», меняем знаки всех слагаемых внутри них на противоположные.

$-(a - b + c) - (d + b - a + c) + d = -a + b - c - d - b + a - c + d$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-a + a) + (b - b) + (-c - c) + (-d + d) = 0 + 0 - 2c + 0 = -2c$

Ответ: $-2c$

3) $(a - b - c) - (a - d) + d - (b - c)$

Раскроем скобки. Первые скобки можно просто убрать. Перед второй и третьей скобками стоит знак «−», поэтому меняем знаки слагаемых внутри них.

$(a - b - c) - (a - d) + d - (b - c) = a - b - c - a + d + d - b + c$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a - a) + (-b - b) + (-c + c) + (d + d) = 0 - 2b + 0 + 2d = 2d - 2b$

Ответ: $2d - 2b$

4) $-(c - b - d) + a - (b + c) - (d - a)$

Раскроем скобки. Перед каждой из трех скобок стоит знак «−», поэтому меняем знаки всех слагаемых внутри них на противоположные.

$-(c - b - d) + a - (b + c) - (d - a) = -c + b + d + a - b - c - d + a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a + a) + (b - b) + (-c - c) + (d - d) = 2a + 0 - 2c + 0 = 2a - 2c$

Ответ: $2a - 2c$

485 Раскрой скобки и упрости выражения:

1) $a-(b-c+d)-c+(d+b-a);$

2) $-(a-b+c)-(d+b-a+c)+d;$

3) $(a-b-c)-(a-d)+d-(b-c);$

4) $-(c-b-d)+a-(b+c)-(d-a).$

486 Раскрой скобки и упрости выражения:

a) $ -(2.4 + 3.5) - (4.2 + 0.6 - 3.5) + 2.4; $

б) $ 0 - (2.5 - 5.8 + 0.4) + (-14.07 + 2.5 - 0.58); $

в) $ 0.62 + (3.9 - 12.04 + 0.5) - (-0.62 - 12.04 + 7.2); $

г) $ (0.376 + 2.8 - 9.12) + 3.5 - (4.35 + 2.8 - 9.12 - 0.524). $

а) $-(2,4 + 3,5) - (4,2 + 0,6 - 3,5) + 2,4$

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», то знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Если стоит знак «плюс» (или нет знака), знаки остаются прежними.

$-2,4 - 3,5 - 4,2 - 0,6 + 3,5 + 2,4$

Теперь сгруппируем и сократим взаимно уничтожающиеся слагаемые:

$(-2,4 + 2,4) + (-3,5 + 3,5) - 4,2 - 0,6 = 0 + 0 - 4,2 - 0,6 = -4,8$

Ответ: $-4,8$

б) $0 - (2,5 - 5,8 + 0,4) + (-14,07 + 2,5 - 0,58)$

Раскроем скобки. Ноль в начале можно опустить.

$-2,5 + 5,8 - 0,4 - 14,07 + 2,5 - 0,58$

Сгруппируем и упростим выражение:

$(-2,5 + 2,5) + 5,8 - 0,4 - 14,07 - 0,58 = 0 + 5,8 - (0,4 + 14,07 + 0,58)$

$5,8 - (14,47 + 0,58) = 5,8 - 15,05 = -9,25$

Ответ: $-9,25$

в) $0,62 + (3,9 - 12,04 + 0,5) - (-0,62 - 12,04 + 7,2)$

Раскроем скобки:

$0,62 + 3,9 - 12,04 + 0,5 + 0,62 + 12,04 - 7,2$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$(0,62 + 0,62) + (3,9 + 0,5) + (-12,04 + 12,04) - 7,2$

$1,24 + 4,4 + 0 - 7,2 = 5,64 - 7,2 = -1,56$

Ответ: $-1,56$

г) $(0,376 + 2,8 - 9,12) + 3,5 - (4,35 + 2,8 - 9,12 - 0,524)$

Раскроем скобки:

$0,376 + 2,8 - 9,12 + 3,5 - 4,35 - 2,8 + 9,12 + 0,524$

Сгруппируем и упростим выражение, сокращая противоположные числа:

$(0,376 + 0,524) + (2,8 - 2,8) + (-9,12 + 9,12) + 3,5 - 4,35$

$0,9 + 0 + 0 + 3,5 - 4,35 = 4,4 - 4,35 = 0,05$

Ответ: $0,05$

486 Раскрой скобки и упрости выражения:

а) $-(2,4 + 3,5) - (4,2 + 0,6 - 3,5) + 2,4;$

б) $0 - (2,5 - 5,8 + 0,4) + (-14,07 + 2,5 - 0,58);$

в) $0,62 + (3,9 - 12,04 + 0,5) - (-0,62 - 12,04 + 7,2);$

г) $(0,376 + 2,8 - 9,12) + 3,5 - (4,35 + 2,8 - 9,12 - 0,524).$

487 Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом:

а) $-3,4 + (-1\frac{2}{9} + 5,07 - 6\frac{7}{15}) - \frac{7}{9} - (-2,53 + 1\frac{2}{15} - 3,4);$

б) $(8,9 - \frac{2}{3}) - (-1,2 + 6\frac{1}{3} - 2\frac{3}{58} + \frac{3}{11}) + (0,6 - 4\frac{8}{11} - 2\frac{3}{58}).$

а) $-3,4+(-1\frac{2}{9}+5,07-6\frac{7}{15})-\frac{7}{9}-(-2,53+1\frac{2}{15}-3,4)$

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках не меняются. Если перед скобкой стоит знак «-», знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$-3,4 - 1\frac{2}{9} + 5,07 - 6\frac{7}{15} - \frac{7}{9} + 2,53 - 1\frac{2}{15} + 3,4$

Теперь сгруппируем слагаемые для удобства вычислений: десятичные дроби с десятичными, обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями.

$(-3,4 + 3,4) + (5,07 + 2,53) + (-1\frac{2}{9} - \frac{7}{9}) + (-6\frac{7}{15} - 1\frac{2}{15})$

Вычислим значение каждой группы:

1) $-3,4 + 3,4 = 0$

2) $5,07 + 2,53 = 7,6$

3) $-1\frac{2}{9} - \frac{7}{9} = -(1\frac{2}{9} + \frac{7}{9}) = -1\frac{2+7}{9} = -1\frac{9}{9} = -2$

4) $-6\frac{7}{15} - 1\frac{2}{15} = -(6\frac{7}{15} + 1\frac{2}{15}) = -(6+1)\frac{7+2}{15} = -7\frac{9}{15} = -7\frac{3}{5} = -7,6$

Сложим полученные результаты:

$0 + 7,6 + (-2) + (-7,6) = 7,6 - 2 - 7,6 = (7,6 - 7,6) - 2 = 0 - 2 = -2$

Ответ: -2

б) $(8,9-\frac{2}{3})-(-1,2+6\frac{1}{3}-2\frac{3}{58}+\frac{3}{11})+(0,6-4\frac{8}{11}-2\frac{3}{58})$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные, так как перед ней стоит знак «-».

$8,9 - \frac{2}{3} + 1,2 - 6\frac{1}{3} + 2\frac{3}{58} - \frac{3}{11} + 0,6 - 4\frac{8}{11} - 2\frac{3}{58}$

Сгруппируем слагаемые: десятичные дроби, дроби со знаменателем 3, дроби со знаменателем 58 и дроби со знаменателем 11.

$(8,9 + 1,2 + 0,6) + (-\frac{2}{3} - 6\frac{1}{3}) + (2\frac{3}{58} - 2\frac{3}{58}) + (-\frac{3}{11} - 4\frac{8}{11})$

Вычислим значение каждой группы:

1) $8,9 + 1,2 + 0,6 = 10,1 + 0,6 = 10,7$

2) $-\frac{2}{3} - 6\frac{1}{3} = -(\frac{2}{3} + 6\frac{1}{3}) = -6\frac{2+1}{3} = -6\frac{3}{3} = -7$

3) $2\frac{3}{58} - 2\frac{3}{58} = 0$

4) $-\frac{3}{11} - 4\frac{8}{11} = -(\frac{3}{11} + 4\frac{8}{11}) = -4\frac{3+8}{11} = -4\frac{11}{11} = -5$

Сложим полученные результаты:

$10,7 + (-7) + 0 + (-5) = 10,7 - 7 - 5 = 10,7 - 12 = -1,3$

Ответ: -1,3

487 Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом:

a) $-3.4 + \left(-1\frac{2}{9} + 5.07 - 6\frac{7}{15}\right) - \frac{7}{9} - \left(-2.53 + 1\frac{2}{15} - 3.4\right)$;

б) $\left(8.9 - \frac{2}{3}\right) - \left(-1.2 + 6\frac{1}{3} - 2\frac{3}{58} + \frac{3}{11}\right) + \left(0.6 - 4\frac{8}{11} - 2\frac{3}{58}\right)$.

460 Найди истинные высказывания и составь из соответствующих им букв название учебника по геометрии, который использовался более 2000 лет. Кто его автор?

О 285 является делителем 3

А $3 \cdot 140 \cdot 17$ кратно 10

Н 17 500 кратно 100

Д $815 + 72413$ делится на 5

Р 3048 делится на 2 и на 9

Е 9 не является делителем $34 \cdot 567$

А 123 456 кратно 6

Л $6402 - 78$ кратно 3

В 54 207 не делится на 9

А $279 + 1300 \cdot 45$ делится на 9

Ч 15 не является делителем 73 510

Й $70707 \cdot 160 \cdot 23$ не кратно 30

Чтобы найти название учебника и имя его автора, необходимо проверить истинность каждого высказывания. Буквы, соответствующие истинным высказываниям, составят название учебника.

О: 285 является делителем 3

Высказывание означает, что 3 должно делиться на 285 без остатка. Однако, $3 \div 285 = \frac{1}{95}$, что не является целым числом. Следовательно, высказывание ложно.

Ответ: Ложь.

Н: 17 500 кратно 100

Число кратно 100, если оно делится на 100 без остатка. Числа, оканчивающиеся на два или более нуля, делятся на 100. Число 17 500 оканчивается на два нуля, значит оно кратно 100 ($17500 \div 100 = 175$). Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Истина.

Р: 3048 делится на 2 и на 9

Проверим делимость на 2: число оканчивается на 8 (четная цифра), значит, оно делится на 2.
Проверим делимость на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр: $3 + 0 + 4 + 8 = 15$. Число 15 не делится на 9.
Поскольку число не делится на 9, всё высказывание ложно.

Ответ: Ложь.

А: 123 456 кратно 6

Число кратно 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Делимость на 2: число оканчивается на 6 (четная цифра), значит, оно делится на 2.
Делимость на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Число 21 делится на 3.
Поскольку число делится и на 2, и на 3, оно кратно 6. Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Истина.

В: 54 207 не делится на 9

Проверим делимость числа 54 207 на 9. Сумма цифр: $5 + 4 + 2 + 0 + 7 = 18$. Число 18 делится на 9. Значит, 54 207 делится на 9. Высказывание утверждает обратное, следовательно, оно ложно.

Ответ: Ложь.

Ч: 15 не является делителем 73 510

Чтобы 15 было делителем, число 73 510 должно делиться на 15, то есть на 3 и на 5 одновременно.
Делимость на 5: число оканчивается на 0, значит, оно делится на 5.
Делимость на 3: сумма цифр $7 + 3 + 5 + 1 + 0 = 16$. Число 16 не делится на 3.
Поскольку число не делится на 3, оно не делится и на 15. Следовательно, 15 не является его делителем. Высказывание истинно.

Ответ: Истина.

А: 3 ∙ 140 ∙ 17 кратно 10

Произведение кратно 10, если хотя бы один из множителей кратен 10. Множитель 140 оканчивается на 0, значит, он кратен 10. Следовательно, все произведение кратно 10. Высказывание истинно.

Ответ: Истина.

Д: 815 + 72 413 делится на 5

Сумма: $815 + 72 413 = 73 228$. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Последняя цифра суммы - 8. Значит, сумма не делится на 5. Высказывание ложно.

Ответ: Ложь.

Е: 9 не является делителем 34 ∙ 567

Проверим, делится ли произведение на 9. Для этого достаточно, чтобы хотя бы один из множителей делился на 9.
Проверим множитель 567. Сумма его цифр: $5 + 6 + 7 = 18$. Число 18 делится на 9, значит, 567 делится на 9.
Следовательно, все произведение $34 \cdot 567$ делится на 9, и 9 является его делителем. Высказывание утверждает обратное, значит, оно ложно.

Ответ: Ложь.

Л: 6402 − 78 кратно 3

Вычислим разность: $6402 - 78 = 6324$.
Проверим кратность числа 6324 трем. Сумма его цифр: $6 + 3 + 2 + 4 = 15$. Число 15 делится на 3. Значит, 6324 кратно 3. Высказывание истинно.

Ответ: Истина.

А: 279 + 1300 ∙ 45 делится на 9

Сумма делится на число, если каждое слагаемое делится на это число.
Первое слагаемое 279: сумма цифр $2 + 7 + 9 = 18$. 18 делится на 9, значит, 279 делится на 9.
Второе слагаемое $1300 \cdot 45$: один из множителей, 45, делится на 9. Значит, все произведение делится на 9.
Так как оба слагаемых делятся на 9, их сумма также делится на 9. Высказывание истинно.

Ответ: Истина.

Й: 70 707 ∙ 160 ∙ 23 не кратно 30

Чтобы число было кратно 30, оно должно делиться на 2, 3 и 5.
Делимость на 2 и 5: множитель 160 оканчивается на 0, значит, он делится и на 2, и на 5. Следовательно, все произведение делится на 2 и 5.
Делимость на 3: проверим множитель 70 707. Сумма цифр: $7 + 0 + 7 + 0 + 7 = 21$. 21 делится на 3. Значит, произведение делится на 3.
Поскольку произведение делится на 2, 3 и 5, оно кратно 30. Высказывание утверждает обратное, следовательно, оно ложно.

Ответ: Ложь.

Выпишем буквы, соответствующие истинным высказываниям: Н, А, Ч, А, Л, А.

Из этих букв можно составить название знаменитого учебника по геометрии: НАЧАЛА.

Этот труд был написан древнегреческим математиком Евклидом (или Эвклидом).

460 Найди истинные высказывания и составь из соответствующих им букв название учебника по геометрии, который использовался более 2000 лет. Кто его автор?

О 285 является делителем 3

Н 17 500 кратно 100

Р 3048 делится на 2 и на 9

А 123 456 кратно 6

В 54 207 не делится на 9

Ч 15 не является делителем 73 510

А $3 \cdot 140 \cdot 17$ кратно 10

Д $815 + 72413$ делится на 5

Е 9 не является делителем $34 \cdot 567$

Л $6402 - 78$ кратно 3

А $279 + 1300 \cdot 45$ делится на 9

Й $70707 \cdot 160 \cdot 23$ не кратно 30

461 1) Что значит – сократить дробь? Сформулируй определение. На какие понятия оно опирается?

2) Запиши на математическом языке основное свойство дроби: $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$, где $c \neq 0$. Пользуясь им, определи, увеличивается или уменьшается дробь при сокращении.

1) Что значит – сократить дробь? Сформулируй определение. На какие понятия оно опирается?

Сократить дробь — это значит заменить её на другую, равную ей дробь, но с меньшими по абсолютной величине числителем и знаменателем. Это действие выполняется путем деления числителя и знаменателя исходной дроби на их общий положительный делитель, отличный от 1.

Определение: Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель.

Данное определение опирается на следующие математические понятия: дробь (состоящая из числителя и знаменателя), общий делитель (число, на которое делятся без остатка и числитель, и знаменатель) и, что самое важное, основное свойство дроби. Это свойство утверждает, что при делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не меняется.

Ответ: Сократить дробь — это разделить её числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1. Определение опирается на понятия дроби (числителя и знаменателя), общего делителя и основное свойство дроби.

2) Запиши на математическом языке основное свойство дроби. Пользуясь им, определи, увеличивается или уменьшается дробь при сокращении.

Основное свойство дроби на математическом языке можно записать в виде двух равенств. Для любой дроби $ \frac{a}{b} $ и любого числа $n$ (где $b \neq 0, n \neq 0$) справедливо:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ и $ \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n} $ (во втором случае $n$ также должно быть общим делителем для $a$ и $b$).

Процесс сокращения дроби напрямую описывается второй формулой. Если у дроби $ \frac{p}{q} $ есть общий делитель $n$, то её сокращение выглядит так: $ \frac{p}{q} = \frac{p \div n}{q \div n} $.

Как видно из самого равенства, которое является математической записью основного свойства дроби, в результате сокращения получается дробь, равная исходной. Это означает, что величина дроби при сокращении не меняется — она не увеличивается и не уменьшается.

Ответ: Основное свойство дроби, используемое при сокращении: $ \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n} $, где $n$ — общий делитель $a$ и $b$. Из этого равенства следует, что при сокращении значение дроби не изменяется.

461 1) Что значит – сократить дробь?

Сформулируй определение. На какие понятия оно опирается?

2) Запиши на математическом языке основное свойство дроби.

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $

Пользуясь им, определи, увеличивается или уменьшается дробь при сокращении?

462 Найди значения выражений:

а) $\frac{2^4}{2^5}$;

б) $\frac{3^4}{3^2}$;

в) $\frac{5^2}{2 \cdot 5^3}$;

г) $\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}$;

д) $\frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 2 + 8 \cdot 15}$;

е) $\frac{54 \cdot 14 - 14 \cdot 6}{54 \cdot 14 + 6 \cdot 14}$;

ж) $\frac{525}{2 \cdot 5^3 \cdot 7}$;

з) $\frac{36 + 18 \cdot 7}{36 - 18 \cdot 7}$.

а) Для нахождения значения выражения $\frac{2^4}{2^5}$ воспользуемся свойством степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^4}{2^5} = 2^{4-5} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для нахождения значения выражения $\frac{3^4}{3^2}$ воспользуемся свойством степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2 = 9$.
Ответ: $9$.

в) Для нахождения значения выражения $\frac{5^2}{2 \cdot 5^3}$ сократим дробь на $5^2$.
$\frac{5^2}{2 \cdot 5^3} = \frac{5^2}{2 \cdot 5^2 \cdot 5} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

г) Для нахождения значения выражения $\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}$ сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3} = \frac{2^3}{2^4} \cdot \frac{3^2}{3^1} \cdot \frac{5^1}{5^3} = 2^{3-4} \cdot 3^{2-1} \cdot 5^{1-3} = 2^{-1} \cdot 3^1 \cdot 5^{-2} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{3}{2 \cdot 25} = \frac{3}{50}$.
Ответ: $\frac{3}{50}$.

д) Для нахождения значения выражения $\frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 2 + 8 \cdot 15}$ вынесем общий множитель $15$ в знаменателе за скобки.
$\frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 2 + 8 \cdot 15} = \frac{15 \cdot 2}{15 \cdot (2+8)} = \frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 10}$.
Сократим дробь на $15$:
$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

е) Для нахождения значения выражения $\frac{54 \cdot 14 - 14 \cdot 6}{54 \cdot 14 + 6 \cdot 14}$ вынесем общий множитель $14$ за скобки в числителе и знаменателе.
$\frac{14 \cdot (54 - 6)}{14 \cdot (54 + 6)} = \frac{14 \cdot 48}{14 \cdot 60}$.
Сократим дробь на $14$:
$\frac{48}{60}$.
Сократим полученную дробь на $12$:
$\frac{48 : 12}{60 : 12} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

ж) Для нахождения значения выражения $\frac{525}{2 \cdot 5^3 \cdot 7}$ разложим число $525$ на простые множители.
$525 = 5 \cdot 105 = 5 \cdot 5 \cdot 21 = 5^2 \cdot 3 \cdot 7$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\frac{3 \cdot 5^2 \cdot 7}{2 \cdot 5^3 \cdot 7}$.
Сократим дробь на $7$ и на $5^2$:
$\frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

з) Для нахождения значения выражения $\frac{36 + 18 \cdot 7}{36 - 18 \cdot 7}$ представим $36$ как $18 \cdot 2$ и вынесем общий множитель $18$ за скобки в числителе и знаменателе.
$\frac{18 \cdot 2 + 18 \cdot 7}{18 \cdot 2 - 18 \cdot 7} = \frac{18 \cdot (2+7)}{18 \cdot (2-7)} = \frac{18 \cdot 9}{18 \cdot (-5)}$.
Сократим дробь на $18$:
$\frac{9}{-5} = -\frac{9}{5}$.
Ответ: $-\frac{9}{5}$.

462 Найди значения выражений:

а) $ \frac{2^4}{2^5} $;

в) $ \frac{5^2}{2 \cdot 5^3} $;

д) $ \frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 2 + 8 \cdot 15} $;

ж) $ \frac{525}{2 \cdot 5^3 \cdot 7} $;

б) $ \frac{3^4}{3^2} $;

г) $ \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3} $;

е) $ \frac{54 \cdot 14 - 14 \cdot 6}{54 \cdot 14 + 6 \cdot 14} $;

з) $ \frac{36 + 18 \cdot 7}{36 - 18 \cdot 7} $.

463 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{12ab}{15b^2};$

б) $\frac{14xy}{21xyz};$

в) $\frac{10m^3n}{15b^2};$

г) $\frac{36c^2d}{45c^3d^3};$

д) $\frac{xy - xz}{xy + xz};$

е) $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2};$

ж) $\frac{cd^2 + c^3}{c^2d + d^3};$

з) $\frac{a^2 - 1}{a^3 - a}.$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{12ab}{15b^2}$, найдем общие множители в числителе и знаменателе.
Коэффициенты 12 и 15 имеют общий делитель 3. ($12 = 3 \cdot 4$, $15 = 3 \cdot 5$).
Переменные: в числителе есть $b$, а в знаменателе $b^2$. Их общий множитель - $b$.
Выполним сокращение дроби на общий множитель $3b$:$\frac{12ab}{15b^2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 5 \cdot b \cdot b} = \frac{4a}{5b}$.
Ответ: $\frac{4a}{5b}$

б) Сократим дробь $\frac{14xy}{21xyz}$.
Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 14 и 21, который равен 7.
Переменные $x$ и $y$ являются общими множителями для числителя и знаменателя.
Выполним сокращение на $7xy$:$\frac{14xy}{21xyz} = \frac{2 \cdot 7 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 7 \cdot x \cdot y \cdot z} = \frac{2}{3z}$.
Ответ: $\frac{2}{3z}$

в) Сократим дробь $\frac{10m^3n}{15b^2}$.
Найдем общий множитель для коэффициентов 10 и 15, который равен 5.
Среди переменных ($m, n, b$) общих множителей нет.
Сократим дробь на 5:$\frac{10m^3n}{15b^2} = \frac{2 \cdot 5 \cdot m^3n}{3 \cdot 5 \cdot b^2} = \frac{2m^3n}{3b^2}$.
Ответ: $\frac{2m^3n}{3b^2}$

г) Сократим дробь $\frac{36c^2d}{45c^3d^3}$.
Найдем НОД для коэффициентов 36 и 45. $36 = 9 \cdot 4$, $45 = 9 \cdot 5$. НОД(36, 45) = 9.
Для переменных: общий множитель для $c^2$ и $c^3$ есть $c^2$. Общий множитель для $d$ и $d^3$ есть $d$.
Выполним сокращение на общий множитель $9c^2d$:$\frac{36c^2d}{45c^3d^3} = \frac{9 \cdot 4 \cdot c^2 \cdot d}{9 \cdot 5 \cdot c^3 \cdot d^3} = \frac{4}{5c^{3-2}d^{3-1}} = \frac{4}{5cd^2}$.
Ответ: $\frac{4}{5cd^2}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{xy - xz}{xy + xz}$, нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители, вынеся общий множитель за скобки.
Числитель: $xy - xz = x(y - z)$.
Знаменатель: $xy + xz = x(y + z)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{x(y - z)}{x(y + z)}$.
Сократим на общий множитель $x$:$\frac{x(y - z)}{x(y + z)} = \frac{y - z}{y + z}$.
Ответ: $\frac{y - z}{y + z}$

е) Сократим дробь $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $a^2 - ab = a(a - b)$.
Знаменатель: $ab - b^2 = b(a - b)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{a(a - b)}{b(a - b)}$.
Сократим на общий множитель $(a - b)$:$\frac{a(a - b)}{b(a - b)} = \frac{a}{b}$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

ж) Сократим дробь $\frac{cd^2 + c^3}{c^2d + d^3}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $c$: $cd^2 + c^3 = c(d^2 + c^2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $d$: $c^2d + d^3 = d(c^2 + d^2)$.
Дробь примет вид: $\frac{c(d^2 + c^2)}{d(c^2 + d^2)}$.
Общим множителем является выражение $(c^2 + d^2)$, на которое можно сократить дробь:$\frac{c(c^2 + d^2)}{d(c^2 + d^2)} = \frac{c}{d}$.
Ответ: $\frac{c}{d}$

з) Сократим дробь $\frac{a^2 - 1}{a^3 - a}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель раскладываем по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
В знаменателе сначала вынесем общий множитель $a$: $a^3 - a = a(a^2 - 1)$.
Затем выражение в скобках также раскладываем по формуле разности квадратов: $a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - 1)(a + 1)}{a(a - 1)(a + 1)}$.
Сократим на общие множители $(a - 1)$ и $(a + 1)$:$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$

463 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{12ab}{15b^2}$;

б) $\frac{14xy}{21xyz}$;

в) $\frac{10m^3n}{15b^2}$;

г) $\frac{36c^2d}{45c^3d^3}$;

д) $\frac{xy - xz}{xy + xz}$;

е) $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2}$;

ж) $\frac{cd^2 + c^3}{c^2d + d^3}$;

з) $\frac{a^2 - 1}{a^3 - a}$.

464 Для тиражирования рукописи были использованы две копировальные машины. Первая машина может выполнить всю работу за 20 мин, а вторая – за полчаса. За сколько минут они размножат эту рукопись, работая вместе?

Для решения этой задачи необходимо найти производительность каждой машины, затем их общую производительность и, наконец, время, необходимое для выполнения всей работы вместе.

Примем весь объем работы по тиражированию рукописи за 1.

1. Определение производительности каждой машины

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 минуту).

• Первая машина выполняет всю работу за 20 минут. Её производительность $P_1$ составляет $ \frac{1}{20} $ часть работы в минуту.
• Вторая машина выполняет всю работу за полчаса, что составляет 30 минут. Её производительность $P_2$ составляет $ \frac{1}{30} $ часть работы в минуту.

2. Расчет общей производительности

При совместной работе производительности двух машин складываются. Общая производительность $P_{общ}$ будет равна:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 30 — это 60.

$P_{общ} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{1}{12}$

Таким образом, работая вместе, две машины выполняют $ \frac{1}{12} $ часть всей работы за одну минуту.

3. Расчет общего времени выполнения работы

Чтобы найти время $t$, за которое будет выполнена вся работа, нужно разделить объем работы (1) на общую производительность ($P_{общ}$):

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 1 \cdot 12 = 12$ минут.

Ответ: 12 минут.

464 Для тиражирования рукописи были использованы две копировальные машины. Первая машина может выполнить всю работу за 20 мин, а вторая – за полчаса. За сколько минут они размножат эту рукопись, работая вместе?

465 На путь между городами А и В один поезд тратит 2 ч, а второй – 1 ч 45 мин. Через какое время они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из городов А и В?

Для решения этой задачи мы можем принять все расстояние между городами А и В за единицу. Тогда скорость каждого поезда будет равна доле этого расстояния, которую он преодолевает за единицу времени. Для удобства расчетов переведем время в пути в минуты.

1. Найдем время в пути для каждого поезда в минутах.
Время первого поезда: $t_1 = 2 \text{ ч} = 2 \cdot 60 = 120 \text{ минут}$.
Время второго поезда: $t_2 = 1 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 60 + 45 = 105 \text{ минут}$.

2. Определим скорость каждого поезда как часть пути, проходимую за одну минуту.
Скорость первого поезда: $v_1 = 1 / 120$ пути/мин.
Скорость второго поезда: $v_2 = 1 / 105$ пути/мин.

3. Когда поезда движутся навстречу друг другу, их скорости сближения равны сумме их скоростей. Найдем общую скорость сближения.
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 1/120 + 1/105$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 120 и 105 равно 840.
$v_{сближения} = 7/840 + 8/840 = 15/840$.
Сократим полученную дробь:
$v_{сближения} = 15/840 = 1/56$ пути/мин.

4. Время, через которое поезда встретятся, равно всему пути (1), деленному на скорость их сближения.
$t_{встречи} = 1 / v_{сближения} = 1 / (1/56) = 56 \text{ минут}$.

Ответ: 56 минут.

465 На путь между городами А и В один поезд тратит 2 ч, а второй – 1 ч 45 мин. Через какое время они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из городов А и В?

466 Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за $5 \text{ ч } 20 \text{ мин}$, а через вторую трубу – опорожнить наполненный бассейн за $12 \text{ ч}$. За сколько времени наполнится пустой бассейн, если обе трубы будут открыты одновременно?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1. Найдем производительность (скорость работы) каждой трубы, то есть какую часть бассейна она наполняет или опустошает за 1 час.

1. Найдем производительность первой трубы (наполнение).
Время, за которое первая труба наполняет бассейн, составляет 5 ч 20 мин. Переведем это время в часы:
$5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 5 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \text{ ч}$.
Производительность первой трубы $P_1$ равна:
$P_1 = 1 \div \frac{16}{3} = 1 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{16}$ бассейна/час.

2. Найдем производительность второй трубы (опорожнение).
Время, за которое вторая труба опорожняет бассейн, составляет 12 ч.
Производительность второй трубы $P_2$ равна:
$P_2 = \frac{1}{12}$ бассейна/час.

3. Найдем общую производительность при одновременной работе двух труб.
Так как первая труба наполняет бассейн, а вторая опорожняет, то их общая производительность $P_{общ}$ будет равна разности их производительностей:
$P_{общ} = P_1 - P_2 = \frac{3}{16} - \frac{1}{12}$.
Приведем дроби к общему знаменателю (48):
$P_{общ} = \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{9}{48} - \frac{4}{48} = \frac{5}{48}$ бассейна/час.
Поскольку результат положительный, бассейн будет наполняться.

4. Найдем время, за которое наполнится пустой бассейн.
Чтобы найти время $T$, нужно весь объем (1) разделить на общую производительность:
$T = 1 \div P_{общ} = 1 \div \frac{5}{48} = 1 \cdot \frac{48}{5} = \frac{48}{5}$ ч.
Переведем это время в часы и минуты:
$\frac{48}{5} \text{ ч} = 9 \frac{3}{5} \text{ ч}$.
$\frac{3}{5}$ часа = $\frac{3}{5} \cdot 60 = 3 \cdot 12 = 36$ минут.
Таким образом, общее время наполнения бассейна составит 9 часов 36 минут.

Ответ: пустой бассейн наполнится за 9 часов 36 минут, если обе трубы будут открыты одновременно.

466 Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 5 ч 20 мин, а через вторую трубу – опорожнить наполненный бассейн за 12 ч. За сколько времени наполнится пустой бассейн, если обе трубы будут открыты одновременно?