Страница 110, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

488 1) Сколько составляют:

a) $4 \%$ от $72$ см;

б) $125 \%$ от $64$;

в) $40 \%$ от $x$?

2) Найди число, если:

a) $20 \%$ его составляют $2,8$;

б) $13 \frac{1}{3} \%$ его составляют $12$;

в) $25 \%$ составляют $x$;

г) $300 \%$ составляют $y$.

3) На сколько процентов $18$ меньше, чем $72$? На сколько процентов $72$ больше, чем $18$?

1)

а) Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число. 4% в виде десятичной дроби — это 0,04.
$72 \cdot 0,04 = 2,88$ (см).
Ответ: 2,88 см.

б) 125% в виде десятичной дроби — это 1,25.
$64 \cdot 1,25 = 80$.
Ответ: 80.

в) 40% в виде десятичной дроби — это 0,4.
$x \cdot 0,4 = 0,4x$.
Ответ: $0,4x$.

2)

а) Чтобы найти число по его проценту, нужно известную часть разделить на долю, которую она составляет. 20% — это 0,2.
$2,8 : 0,2 = 14$.
Ответ: 14.

б) Сначала переведем проценты в обыкновенную дробь: $13\frac{1}{3}\% = \frac{40}{3}\% = \frac{40}{3 \cdot 100} = \frac{40}{300} = \frac{2}{15}$.
Теперь найдем исходное число, разделив известную часть на полученную дробь: $12 : \frac{2}{15} = 12 \cdot \frac{15}{2} = 6 \cdot 15 = 90$.
Ответ: 90.

в) 25% — это 0,25. Если 25% от искомого числа составляют $x$, то само число равно:
$x : 0,25 = 4x$.
Ответ: $4x$.

г) 300% — это 3. Если 300% от искомого числа составляют $y$, то само число равно:
$y : 3 = \frac{y}{3}$.
Ответ: $\frac{y}{3}$.

3)

Для ответа на вопрос "На сколько процентов 18 меньше, чем 72?" за 100% принимается число, с которым сравнивают, то есть 72.
1. Находим разность между числами: $72 - 18 = 54$.
2. Вычисляем, какой процент эта разность составляет от 72: $\frac{54}{72} \cdot 100\% = \frac{3}{4} \cdot 100\% = 75\%$.
Ответ: на 75%.

Для ответа на вопрос "На сколько процентов 72 больше, чем 18?" за 100% принимается число, с которым сравнивают, то есть 18.
1. Разность между числами та же: $72 - 18 = 54$.
2. Вычисляем, какой процент эта разность составляет от 18: $\frac{54}{18} \cdot 100\% = 3 \cdot 100\% = 300\%$.
Ответ: на 300%.

488 1) Сколько составляют: а) 4% от 72 см; б) 125% от 64; в) 40% от $x$?

2) Найти число, если:

а) 20% его составляют 2,8;

б) $13\frac{1}{3}\%$ его составляют 12;

в) 25% составляют $x$;

г) 300% составляют $y$.

3) На сколько процентов 18 меньше, чем 72? На сколько процентов 72 больше, чем 18?

489. Сколько процентов от заданной величины составляют:

а) половина от её $30\ \%$;

б) четверть от её $200\ \%$;

в) пятая часть от трёх четвертей;

г) $10\ \%$ от её половины;

д) половина от её четверти;

е) $25\ \%$ от её половины?

Для решения задачи обозначим заданную величину как $X$. 100% от этой величины равно $X$.

а) Найдём половину от 30% заданной величины.

Сначала вычислим 30% от величины $X$:
$30\% \text{ от } X = X \cdot \frac{30}{100} = 0.3X$.

Теперь найдём половину (то есть $\frac{1}{2}$) от полученного значения:
$\frac{1}{2} \cdot 0.3X = 0.15X$.

Чтобы выразить эту часть в процентах от исходной величины $X$, умножим десятичную дробь на 100:
$0.15 \cdot 100\% = 15\%$.
Ответ: 15%.

б) Найдём четверть от 200% заданной величины.

Сначала вычислим 200% от величины $X$:
$200\% \text{ от } X = X \cdot \frac{200}{100} = 2X$.

Теперь найдём четверть (то есть $\frac{1}{4}$) от полученного значения:
$\frac{1}{4} \cdot 2X = \frac{2}{4}X = \frac{1}{2}X = 0.5X$.

Выразим эту часть в процентах от исходной величины $X$:
$0.5 \cdot 100\% = 50\%$.
Ответ: 50%.

в) Найдём пятую часть от трёх четвертей заданной величины.

Сначала найдём три четверти (то есть $\frac{3}{4}$) от величины $X$:
$\frac{3}{4}X$.

Теперь найдём пятую часть (то есть $\frac{1}{5}$) от полученного значения:
$\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}X = \frac{3}{20}X$.

Чтобы выразить дробь в процентах, умножим её на 100:
$\frac{3}{20} \cdot 100\% = \frac{300}{20}\% = 15\%$.
Ответ: 15%.

г) Найдём 10% от половины заданной величины.

Сначала найдём половину (то есть $\frac{1}{2}$) от величины $X$:
$\frac{1}{2}X = 0.5X$.

Теперь найдём 10% от полученного значения:
$10\% \text{ от } 0.5X = 0.5X \cdot \frac{10}{100} = 0.5X \cdot 0.1 = 0.05X$.

Выразим эту часть в процентах от исходной величины $X$:
$0.05 \cdot 100\% = 5\%$.
Ответ: 5%.

д) Найдём половину от четверти заданной величины.

Сначала найдём четверть (то есть $\frac{1}{4}$) от величины $X$:
$\frac{1}{4}X$.

Теперь найдём половину (то есть $\frac{1}{2}$) от полученного значения:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}X = \frac{1}{8}X$.

Выразим дробь в процентах:
$\frac{1}{8} \cdot 100\% = \frac{100}{8}\% = 12.5\%$.
Ответ: 12.5%.

е) Найдём 25% от половины заданной величины.

Сначала найдём половину (то есть $\frac{1}{2}$) от величины $X$:
$\frac{1}{2}X = 0.5X$.

Теперь найдём 25% (то есть $\frac{1}{4}$ или 0.25) от полученного значения:
$0.25 \cdot 0.5X = 0.125X$.

Выразим эту часть в процентах от исходной величины $X$:
$0.125 \cdot 100\% = 12.5\%$.
Ответ: 12.5%.

489 Сколько процентов от заданной величины составляют:
а) половина от ее 30%;
б) четверть от ее 200%;
в) пятая часть от трех четвертей;
г) 10% от ее половины;
д) половина от ее четверти;
е) 25% от ее половины?

490 1) Доходы населения увеличились в первом квартале на $5\%$, а во втором – на $6\%$. Как и на сколько процентов увеличились доходы населения за два квартала?

2) Выпуск продукции в прошлом году снизился на $20\%$, а в текущем повысился на $5\%$. Как и на сколько процентов изменился выпуск продукции за два года?

490 1) Доходы населения увеличились в первом квартале на 5% , а во втором – на 6%. Как и на сколько процентов увеличились доходы населения за два квартала?

2) Выпуск продукции в прошлом году снизился на 20%, а в текущем повысился на 5%. Как и на сколько процентов изменился выпуск продукции за два года?

491 Требуется заменить 40 % покрытия дороги. Длина дороги составляет 600 км. В течение недели сменили покрытие на участке длиной 100 км. Сколько километров покрытия ещё осталось заменить?

Для начала определим, сколько всего километров дороги необходимо отремонтировать. Согласно условию, требуется заменить 40% от общей длины дороги, которая составляет 600 км.

Чтобы вычислить эту величину, мы умножим общую длину дороги на процент, который нужно заменить, выраженный в виде десятичной дроби (40% = 0,4).

$600 \text{ км} \times 0,4 = 240 \text{ км}$

Таким образом, общая протяженность участка дороги, подлежащего замене, составляет 240 км.

Далее, из условия известно, что в течение недели уже было заменено 100 км покрытия. Чтобы найти, сколько километров еще осталось заменить, вычтем из общего плана выполненный объем работ.

$240 \text{ км} - 100 \text{ км} = 140 \text{ км}$

Ответ: осталось заменить 140 км покрытия.

491 Требуется заменить 40% покрытия дороги. Длина дороги составляет 600 км. В течение недели сменили покрытие на участке длиной 100 км.

Сколько километров покрытия еще осталось заменить?

492 1) После повышения зарплаты на $40\%$ она составила 12 600 р. На сколько рублей повышена зарплата?

2) Магазин приобрёл товар за 9,6 млн р., а продал за 12 млн р. Найди процентное отношение дохода к себестоимости.

1)

Пусть первоначальная зарплата составляет 100%. После повышения на 40% новая зарплата стала составлять $100\% + 40\% = 140\%$ от первоначальной суммы. Эта новая зарплата равна 12 600 рублей. Нам нужно найти, на сколько рублей была повышена зарплата, то есть найти величину, соответствующую 40%.

Составим пропорцию, где $x$ — это сумма повышения зарплаты в рублях:

12 600 рублей — это 140%
$x$ рублей — это 40%

Решим пропорцию относительно $x$:
$x = \frac{12600 \cdot 40}{140} = \frac{12600 \cdot 4}{14}$

Разделим 12600 на 14: $12600 \div 14 = 900$.
$x = 900 \cdot 4 = 3600$ рублей.

Ответ: на 3600 рублей.

2)

Себестоимость товара (затраты на приобретение) составляет 9,6 млн р.
Цена продажи товара составляет 12 млн р.

Сначала найдем доход, который представляет собой разницу между ценой продажи и себестоимостью:
$Доход = 12 \text{ млн р.} - 9,6 \text{ млн р.} = 2,4 \text{ млн р.}$

Теперь найдем процентное отношение дохода к себестоимости. Для этого нужно разделить сумму дохода на себестоимость и умножить результат на 100%:

$\frac{Доход}{Себестоимость} \cdot 100\% = \frac{2,4}{9,6} \cdot 100\%$

Упростим дробь и вычислим процент:

$\frac{2,4}{9,6} \cdot 100\% = \frac{24}{96} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 0,25 \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.

492 1) После повышения зарплаты на $40\%$ она составила 12 600 р. На сколько рублей повышена зарплата?

2) Магазин приобрел товар за 9,6 млн. р., а продал за 12 млн. р. Найди процентное отношение дохода к себестоимости.

493 В канистре было 15 л бензина. Из неё взяли сначала 30 % бензина, а потом ещё 20 % остатка. Сколько бензина осталось в канистре?

Для решения задачи необходимо выполнить вычисления в два этапа.

1. Сначала найдем, сколько бензина осталось в канистре после того, как из нее взяли 30%. Первоначальный объем — 15 литров.

Вычислим, сколько литров составляют 30% от 15 литров:

$15 \cdot \frac{30}{100} = 15 \cdot 0.3 = 4.5$ л.

Теперь найдем остаток бензина в канистре:

$15 - 4.5 = 10.5$ л.

2. Затем из этого остатка (10.5 л) взяли еще 20%. Теперь за 100% мы принимаем 10.5 л.

Вычислим, сколько литров составляют 20% от 10.5 литров:

$10.5 \cdot \frac{20}{100} = 10.5 \cdot 0.2 = 2.1$ л.

Найдем окончательное количество бензина, которое осталось в канистре, вычтя из остатка объем, взятый во второй раз:

$10.5 - 2.1 = 8.4$ л.

Другой способ решения:

1. Если сначала взяли 30% бензина, то в канистре осталось $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначального объема. Это составляет:

$15 \cdot 0.7 = 10.5$ л.

2. Затем от этого остатка взяли 20%, значит, от него осталось $100\% - 20\% = 80\%$. Вычислим, сколько это в литрах:

$10.5 \cdot 0.8 = 8.4$ л.

Ответ: 8,4 л.

493 В канистре было $15 \text{ л}$ бензина. Из нее взяли сначала $30\%$ бензина, а потом еще $20\%$ остатка. Сколько бензина осталось в канистре?

494 В городе три района. В первом районе живёт на 20 % жителей больше, чем во втором, а в третьем – 50 % от числа жителей первого. Сколько жителей в каждом районе города, если во всех трёх районах проживает 70 тыс. человек?

Для решения задачи обозначим за $x$ количество жителей во втором районе.

Согласно условию, в первом районе живёт на 20% жителей больше, чем во втором. Это значит, что количество жителей в первом районе составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от количества жителей во втором. В виде десятичной дроби это $1.2x$.

В третьем районе живёт 50% от числа жителей первого, что составляет $0.5 \cdot (1.2x) = 0.6x$.

Общее количество жителей во всех трёх районах равно 70 000 человек. Составим уравнение, просуммировав жителей всех районов:

$x + 1.2x + 0.6x = 70000$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1 + 1.2 + 0.6)x = 70000$

$2.8x = 70000$

Теперь найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 2.8:

$x = \frac{70000}{2.8} = \frac{700000}{28} = 25000$

Таким образом, во втором районе проживает 25 000 жителей.

Теперь рассчитаем количество жителей в первом и третьем районах:

Количество жителей в первом районе: $1.2 \cdot x = 1.2 \cdot 25000 = 30000$ жителей.

Количество жителей в третьем районе: $0.6 \cdot x = 0.6 \cdot 25000 = 15000$ жителей.

Проверка: $25000 + 30000 + 15000 = 70000$. Сумма верна.

Ответ: в первом районе — 30 000 жителей, во втором районе — 25 000 жителей, в третьем районе — 15 000 жителей.

494 В городе три района. В первом районе живет на 20% жителей больше, чем во втором, а в третьем – 50% от числа жителей первого. Сколько жителей в каждом районе города, если во всех трех районах проживает 70 тыс. человек?

495 К 150 г 30 %-ного солевого раствора добавили 350 г воды. Чему равна концентрация полученного солевого раствора?

Для того чтобы найти концентрацию полученного раствора, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала определим массу соли в исходном 30%-ном растворе. Масса исходного раствора составляет 150 г. Концентрация 30% означает, что массовая доля соли равна 0,30.
Масса соли ($m_{соли}$) вычисляется по формуле:
$m_{соли} = m_{раствора} \times w_{соли}$
$m_{соли} = 150 \text{ г} \times 0,30 = 45 \text{ г}$
Таким образом, в исходном растворе содержится 45 г соли.

2. Далее вычислим массу нового раствора. К исходным 150 г раствора добавили 350 г воды. При добавлении воды масса соли в растворе не изменяется.
Масса нового раствора ($m_{нового\_раствора}$) равна сумме массы исходного раствора и массы добавленной воды:
$m_{нового\_раствора} = 150 \text{ г} + 350 \text{ г} = 500 \text{ г}$

3. Теперь можно найти концентрацию ($w_{новая}$) полученного раствора. Она рассчитывается как отношение массы соли к массе нового раствора, выраженное в процентах.
$w_{новая} = \frac{m_{соли}}{m_{нового\_раствора}} \times 100\%$
$w_{новая} = \frac{45 \text{ г}}{500 \text{ г}} \times 100\% = 0,09 \times 100\% = 9\%$

Ответ: 9%.

495 К 150 граммам 30%-го солевого раствора добавили 350 г воды. Чему равна концентрация полученного солевого раствора?

496 1) Верно ли начислены пени, если при квартплате 5500 р. и просрочке на 54 дня сумма к оплате составила 5594,05 р.?

2) Вкладчик положил на беспроцентный счёт в банк 110 000 р. и написал поручение ежемесячно перечислять 5 % от этой суммы за квартплату. Сколько денег останется на его счёте через 8 месяцев?

1) Чтобы определить, верно ли начислены пени, необходимо выполнить проверку расчёта.
1. Найдём фактическую сумму начисленных пеней. Она равна разнице между итоговой суммой к оплате и первоначальной квартплатой:
$5594.05 \text{ р.} - 5500 \text{ р.} = 94.05 \text{ р.}$
2. Теперь рассчитаем, какая ежедневная процентная ставка была для этого применена. Сумма пени ($S_{\text{пеней}}$) рассчитывается по формуле простых процентов: $S_{\text{пеней}} = \text{Сумма долга} \times \text{Дневная ставка} \times \text{Количество дней}$.
Отсюда можно выразить дневную ставку:
$\text{Дневная ставка} = \frac{S_{\text{пеней}}}{\text{Сумма долга} \times \text{Количество дней}} = \frac{94.05}{5500 \times 54} = \frac{94.05}{297000} \approx 0.0003167$
3. Переведём эту ставку в проценты: $0.0003167 \times 100\% \approx 0.0317\%$.
Данная процентная ставка является нестандартной. Как правило, для расчёта пеней используются законодательно установленные или простые договорные ставки (например, 0.1% в день или 1% в месяц).
Для сравнения, если бы ставка была 1% в месяц (условно 30 дней), то за 54 дня пеня составила бы:
$5500 \times \frac{0.01}{30} \times 54 = 99 \text{ р.}$
Поскольку начисленная сумма (94.05 р.) не соответствует расчёту по типичной ставке и сама по себе является результатом применения нестандартной процентной ставки, можно сделать вывод, что начисление неверно.
Ответ: нет, неверно.

2) 1. Сначала найдём сумму, которая ежемесячно списывается со счёта в качестве квартплаты. Она составляет 5% от первоначальной суммы вклада:
$110000 \times \frac{5}{100} = 110000 \times 0.05 = 5500 \text{ р.}$
2. Далее рассчитаем общую сумму, которая будет списана со счёта за 8 месяцев:
$5500 \text{ р./месяц} \times 8 \text{ месяцев} = 44000 \text{ р.}$
3. Чтобы найти остаток на счёте, вычтем общую сумму списаний из первоначального вклада:
$110000 - 44000 = 66000 \text{ р.}$
Ответ: через 8 месяцев на его счёте останется 66000 р.

496 1) Верно ли начислена пеня, если при квартплате 1500 р., величине пени 0,1% за день просрочки и просрочке на 24 дня сумма к оплате составила 1544 р.?

2) Вкладчик положил на беспроцентный счет в банк 28 000 р. и написал поручение ежемесячно перечислять 5% от этой суммы за квартплату. Сколько денег останется на его счете через 8 месяцев?

497 Начальный вклад клиента банка составил 5000 р. Годовая процентная ставка банка 8 %. Каким станет вклад через 3 года, если банк начисляет:

а) простые проценты;

б) сложные проценты?

а) простые проценты

При начислении простых процентов доход каждый год рассчитывается от первоначальной суммы вклада.

Исходные данные:

• Начальный вклад ($S_0$): 5000 р.
• Годовая процентная ставка ($r$): 8% или 0.08
• Срок вклада ($n$): 3 года

Сумма процентов, начисленная за один год, составляет:
$5000 \cdot 0.08 = 400$ р.

За три года общая сумма начисленных процентов составит:
$400 \cdot 3 = 1200$ р.

Итоговая сумма на вкладе через 3 года будет равна начальному вкладу плюс общая сумма процентов:
$5000 + 1200 = 6200$ р.

Также можно использовать общую формулу для простых процентов: $S_n = S_0 (1 + n \cdot r)$, где $S_n$ — итоговая сумма.
$S_3 = 5000 \cdot (1 + 3 \cdot 0.08) = 5000 \cdot (1 + 0.24) = 5000 \cdot 1.24 = 6200$ р.

Ответ: 6200 р.

б) сложные проценты

При начислении сложных процентов доход за каждый год прибавляется к основной сумме вклада, и в следующем году проценты начисляются на увеличенную сумму (капитализация процентов).

Для расчета используется формула сложных процентов: $S_n = S_0 (1 + r)^n$.

Подставим наши значения в формулу:
$S_3 = 5000 \cdot (1 + 0.08)^3$

Выполним вычисления:
$S_3 = 5000 \cdot (1.08)^3$
$S_3 = 5000 \cdot 1.259712$
$S_3 = 6298.56$ р.

Распишем по годам:

• После 1-го года: $5000 \cdot 1.08 = 5400$ р.
• После 2-го года: $5400 \cdot 1.08 = 5832$ р.
• После 3-го года: $5832 \cdot 1.08 = 6298.56$ р.

Ответ: 6298.56 р.

497 Начальный вклад клиента банка составил 5000 р. Годовая процентная ставка банка 8%. Каким станет вклад через 3 года, если банк начисляет:

а) простые проценты;

б) сложные проценты?

493 Отметь числа $m$ и $n$ на координатной прямой, если известно, что:

1) $m > 0; n < 0; |m| > |n|;$

2) $m < 0; n > 0; |m| < |n|;$

3) $m < 0; n < 0; |m| < |n|;$

4) $m < 0; n < 0; |m| > |n|.$

1) Дано: $m > 0$, $n < 0$, $|m| > |n|$.

Из условия $m > 0$ следует, что число $m$ является положительным и расположено на координатной прямой правее нуля.
Из условия $n < 0$ следует, что число $n$ является отрицательным и расположено левее нуля.
Таким образом, на координатной прямой точки будут располагаться в следующем порядке (слева направо): $n$, $0$, $m$.

Условие $|m| > |n|$ означает, что расстояние от точки $m$ до нуля больше, чем расстояние от точки $n$ до нуля. То есть, точка $m$ находится дальше от нуля, чем точка $n$.

Например, если $n = -2$, то $|n| = 2$. Тогда $|m| > 2$, и так как $m > 0$, то $m > 2$. Возьмем, к примеру, $m = 4$.

Расположение на координатной прямой будет выглядеть так:

Ответ: Точка $n$ находится слева от нуля, точка $m$ – справа от нуля, при этом точка $m$ находится дальше от нуля, чем точка $n$.

2) Дано: $m < 0$, $n > 0$, $|m| < |n|$.

Из условия $m < 0$ следует, что число $m$ является отрицательным и расположено на координатной прямой левее нуля.
Из условия $n > 0$ следует, что число $n$ является положительным и расположено правее нуля.
Таким образом, на координатной прямой точки будут располагаться в следующем порядке: $m$, $0$, $n$.

Условие $|m| < |n|$ означает, что расстояние от точки $m$ до нуля меньше, чем расстояние от точки $n$ до нуля. То есть, точка $m$ находится ближе к нулю, чем точка $n$.

Например, если $m = -1$, то $|m| = 1$. Тогда $|n| > 1$, и так как $n > 0$, то $n > 1$. Возьмем, к примеру, $n = 3$.

Расположение на координатной прямой будет выглядеть так:

Ответ: Точка $m$ находится слева от нуля, точка $n$ – справа от нуля, при этом точка $m$ находится ближе к нулю, чем точка $n$.

3) Дано: $m < 0$, $n < 0$, $|m| < |n|$.

Из условий $m < 0$ и $n < 0$ следует, что оба числа являются отрицательными и расположены на координатной прямой левее нуля.

Условие $|m| < |n|$ означает, что расстояние от точки $m$ до нуля меньше, чем расстояние от точки $n$ до нуля. Для отрицательных чисел, чем меньше модуль (расстояние до нуля), тем больше само число. Следовательно, из $|m| < |n|$ вытекает, что $m > n$.

Таким образом, на координатной прямой точки будут располагаться в следующем порядке: $n$, $m$, $0$.

Например, если $n = -5$, то $|n| = 5$. Тогда $|m| < 5$, и так как $m < 0$, то $-5 < m < 0$. Возьмем, к примеру, $m = -2$.

Расположение на координатной прямой будет выглядеть так:

Ответ: Обе точки, $m$ и $n$, находятся слева от нуля. При этом точка $m$ находится ближе к нулю, чем точка $n$ (то есть $n < m < 0$).

4) Дано: $m < 0$, $n < 0$, $|m| > |n|$.

Из условий $m < 0$ и $n < 0$ следует, что оба числа являются отрицательными и расположены на координатной прямой левее нуля.

Условие $|m| > |n|$ означает, что расстояние от точки $m$ до нуля больше, чем расстояние от точки $n$ до нуля. Для отрицательных чисел, чем больше модуль (расстояние до нуля), тем меньше само число. Следовательно, из $|m| > |n|$ вытекает, что $m < n$.

Таким образом, на координатной прямой точки будут располагаться в следующем порядке: $m$, $n$, $0$.

Например, если $n = -2$, то $|n| = 2$. Тогда $|m| > 2$, и так как $m < 0$, то $m < -2$. Возьмем, к примеру, $m = -4$.

Расположение на координатной прямой будет выглядеть так:

Ответ: Обе точки, $m$ и $n$, находятся слева от нуля. При этом точка $m$ находится дальше от нуля, чем точка $n$ (то есть $m < n < 0$).

493 Отметь числа $m$ и $n$ на координатной прямой, если известно, что:

1) $m > 0; n < 0; |m| > |n|;$

2) $m < 0; n > 0; |m| < |n|;$

3) $m < 0; n < 0; |m| < |n|;$

4) $m < 0; n < 0; |m| > |n|.$

494 Реши уравнения (устно):

1) $a + 0,2 = 5;$

3) $c - 0,9 = 0,5;$

5) $0,1 - x = 0,02;$

2) $4,6 - b = 1,4;$

4) $3,9 + d = 6,4;$

6) $y - 0,6 = 0.$

1) $a + 0,2 = 5$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $a$, нужно из суммы $5$ вычесть известное слагаемое $0,2$.

$a = 5 - 0,2$

$a = 4,8$

Ответ: $4,8$.

2) $4,6 - b = 1,4$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $b$, нужно из уменьшаемого $4,6$ вычесть разность $1,4$.

$b = 4,6 - 1,4$

$b = 3,2$

Ответ: $3,2$.

3) $c - 0,9 = 0,5$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $c$, нужно к разности $0,5$ прибавить вычитаемое $0,9$.

$c = 0,5 + 0,9$

$c = 1,4$

Ответ: $1,4$.

4) $3,9 + d = 6,4$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $d$, нужно из суммы $6,4$ вычесть известное слагаемое $3,9$.

$d = 6,4 - 3,9$

$d = 2,5$

Ответ: $2,5$.

5) $0,1 - x = 0,02$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого $0,1$ вычесть разность $0,02$.

$x = 0,1 - 0,02$

$x = 0,08$

Ответ: $0,08$.

6) $y - 0,6 = 0$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $y$, нужно к разности $0$ прибавить вычитаемое $0,6$.

$y = 0 + 0,6$

$y = 0,6$

Ответ: $0,6$.

494 Реши уравнения (устно):

1) $a+0.2=5;$

2) $4.6-b=1.4;$

3) $c-0.9=0.5;$

4) $3.9+d=6.4;$

5) $0.1-x=0.02;$

6) $y-0.6=0.$

495 Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение.

1) Задумали число, увеличили его в 4 раза, потом увеличили на 12, результат уменьшили в 5 раз, затем вычли 6 и получили 2. Какое число задумали?

$ (4x + 12) / 5 - 6 = 2 $

2) Задумали число, увеличили его в 3 раза, а затем уменьшили на 18. В результате получилось число в 1,5 раза больше задуманного. Какое число задумали?

$ 3x - 18 = 1.5x $

1)

Пусть задуманное число — это $x$. Переведем условие задачи на математический язык, последовательно записывая все действия:

• Задумали число: $x$
• Увеличили его в 4 раза: $4x$
• Потом увеличили на 12: $4x + 12$
• Результат уменьшили в 5 раз: $\frac{4x + 12}{5}$
• Затем вычли 6: $\frac{4x + 12}{5} - 6$
• И получили 2.

Составим уравнение, приравняв полученное выражение к 2, и решим его:

$\frac{4x + 12}{5} - 6 = 2$

Сначала перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\frac{4x + 12}{5} = 2 + 6$

$\frac{4x + 12}{5} = 8$

Теперь умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$4x + 12 = 8 \cdot 5$

$4x + 12 = 40$

Перенесем 12 в правую часть уравнения:

$4x = 40 - 12$

$4x = 28$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{28}{4}$

$x = 7$

Проверка: $(7 \cdot 4 + 12) \div 5 - 6 = (28 + 12) \div 5 - 6 = 40 \div 5 - 6 = 8 - 6 = 2$. Всё верно.

Ответ: 7.

2)

Пусть задуманное число — это $y$. Переведем условие задачи на математический язык:

• Задумали число: $y$
• Увеличили его в 3 раза: $3y$
• Затем уменьшили на 18: $3y - 18$
• В результате получилось число, в 1,5 раза большее задуманного: $1.5y$

Составим уравнение, приравняв результат выполненных действий к числу, которое в 1,5 раза больше задуманного:

$3y - 18 = 1.5y$

Перенесем все члены с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки:

$3y - 1.5y = 18$

Выполним вычитание в левой части:

$1.5y = 18$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 1,5:

$y = \frac{18}{1.5}$

$y = 12$

Проверка: Левая часть уравнения: $3 \cdot 12 - 18 = 36 - 18 = 18$. Правая часть уравнения: $1.5 \cdot 12 = 18$. Так как $18 = 18$, решение верное.

Ответ: 12.

495 Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение:

1) Задумали число, увеличили его в 4 раза, потом увеличили на 12, результат уменьшили в 5 раз, затем вычли 6 и получили 2. Какое число задумали?

$\frac{4x + 12}{5} - 6 = 2$

2) Задумали число, увеличили его в 3 раза, а затем уменьшили на 18. В результате получилось число в 1,5 раза больше задуманного. Какое число задумали?

$3x - 18 = 1.5x$

496 Составь по данной математической модели задачу и реши её:

1) $0,48 : (1,6 – 2x) + 5,2 = 6;$

2) $2(x – 1,8) = \frac{2}{3}x.$

Задача: Задумали число $x$. Это число удвоили, и результат вычли из числа 1,6. Затем число 0,48 разделили на полученную разность. К частному прибавили 5,2 и в итоге получили 6. Найдите задуманное число.

Решение:
$0,48 : (1,6 - 2x) + 5,2 = 6$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $0,48 : (1,6 - 2x)$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$0,48 : (1,6 - 2x) = 6 - 5,2$
$0,48 : (1,6 - 2x) = 0,8$
Чтобы найти неизвестный делитель $(1,6 - 2x)$, нужно делимое разделить на частное:
$1,6 - 2x = 0,48 : 0,8$
$1,6 - 2x = 0,6$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $2x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$2x = 1,6 - 0,6$
$2x = 1$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = 1 : 2$
$x = 0,5$
Проверка:
$0,48 : (1,6 - 2 \cdot 0,5) + 5,2 = 0,48 : (1,6 - 1) + 5,2 = 0,48 : 0,6 + 5,2 = 0,8 + 5,2 = 6$.
$6 = 6$.
Ответ: 0,5.

Задача: Катер двигался 2 часа против течения реки. Такое же расстояние он прошел бы по озеру (в стоячей воде) за $\frac{2}{3}$ часа. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 1,8 км/ч?

Решение:
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера против течения реки равна $(x - 1,8)$ км/ч. Расстояние, пройденное катером за 2 часа против течения, составляет $2(x - 1,8)$ км. В стоячей воде (озере) скорость катера равна его собственной скорости $x$ км/ч, и за $\frac{2}{3}$ часа он пройдет расстояние $\frac{2}{3}x$ км. По условию задачи эти расстояния равны. Составим уравнение:
$2(x - 1,8) = \frac{2}{3}x$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2x - 3,6 = \frac{2}{3}x$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые значения — в правую:
$2x - \frac{2}{3}x = 3,6$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{6}{3}x - \frac{2}{3}x = 3,6$
$\frac{4}{3}x = 3,6$
Найдем $x$:
$x = 3,6 : \frac{4}{3}$
$x = \frac{36}{10} \cdot \frac{3}{4}$
$x = \frac{9 \cdot 3}{10}$
$x = \frac{27}{10}$
$x = 2,7$
Проверка:
Левая часть: $2(2,7 - 1,8) = 2 \cdot 0,9 = 1,8$ (км).
Правая часть: $\frac{2}{3} \cdot 2,7 = \frac{2 \cdot 2,7}{3} = 2 \cdot 0,9 = 1,8$ (км).
$1,8 = 1,8$.
Ответ: 2,7 км/ч.

496 Составь по данной математической модели задачу и реши ее:

1) $0,48 : (1,6 - 2x) + 5,2 = 6;$

2) $2(x - 1,8) = \frac{2}{3}x.$

497 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом проб и ошибок.

Задуманное положительное число сначала увеличили на 0,3, потом его же уменьшили на 0,2, полученные результаты перемножили и получили 0,36.

Найти задуманное число.

Перевод условия задачи на математический язык

Пусть $x$ — задуманное положительное число. Согласно условию, $x>0$.

Увеличение числа на 0,3 даёт результат $x + 0,3$.

Уменьшение числа на 0,2 даёт результат $x - 0,2$.

Произведение этих двух результатов равно 0,36. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$(x + 0,3)(x - 0,2) = 0,36$

Решение методом проб и ошибок

Теперь необходимо найти такое положительное число $x$, которое удовлетворяет полученному уравнению. Будем подставлять различные значения.

Проба 1. Попробуем $x = 1$.
$(1 + 0,3)(1 - 0,2) = 1,3 \cdot 0,8 = 1,04$.
Результат $1,04$ больше, чем $0,36$. Это означает, что задуманное число меньше 1.

Проба 2. Попробуем $x = 0,5$.
$(0,5 + 0,3)(0,5 - 0,2) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24$.
Результат $0,24$ меньше, чем $0,36$. Это означает, что задуманное число больше 0,5.

Проба 3. Попробуем число, которое находится между 0,5 и 1, например, $x = 0,6$.
$(0,6 + 0,3)(0,6 - 0,2) = 0,9 \cdot 0,4 = 0,36$.
Результат $0,36$ в точности равен значению в условии задачи. Следовательно, мы нашли верное число.

Ответ: 0,6.

497 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом проб и ошибок:

Задуманное положительное число сначала увеличили на 0,3, потом его же уменьшили на 0,2, полученные результаты перемножили и получили 0,36.

Найти задуманное число.

498 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора.

Если цифры двузначного числа поменять местами, то оно уменьшится на 45.

Какое это число?

Перевод условия задачи на математический язык

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков a и цифры единиц b. Тогда значение этого числа можно записать в виде выражения $10a + b$.

Поскольку число является двузначным, цифра десятков a не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра единиц b может быть любой цифрой, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Число, полученное после перестановки цифр, будет иметь b десятков и a единиц, и его значение равно $10b + a$.

Согласно условию задачи, если в исходном числе поменять цифры местами, то оно уменьшится на 45. Это означает, что разность между исходным числом и новым числом равна 45. Составим математическое уравнение:

$(10a + b) - (10b + a) = 45$

Теперь упростим это уравнение:

$10a + b - 10b - a = 45$

$9a - 9b = 45$

Разделим обе части уравнения на 9:

$a - b = 5$

Таким образом, условие задачи на математическом языке — это найти двузначное число, цифры a (десятки) и b (единицы) которого удовлетворяют уравнению $a - b = 5$.

Решение задачи методом перебора

Теперь решим уравнение $a - b = 5$ методом перебора, подставляя последовательно возможные значения для цифры единиц b и находя соответствующую цифру десятков a.

1. Если $b = 0$, то $a = 5 + 0 = 5$. Получается число 50. Проверяем: $50 - 05 = 45$. Условие выполнено.

2. Если $b = 1$, то $a = 5 + 1 = 6$. Получается число 61. Проверяем: $61 - 16 = 45$. Условие выполнено.

3. Если $b = 2$, то $a = 5 + 2 = 7$. Получается число 72. Проверяем: $72 - 27 = 45$. Условие выполнено.

4. Если $b = 3$, то $a = 5 + 3 = 8$. Получается число 83. Проверяем: $83 - 38 = 45$. Условие выполнено.

5. Если $b = 4$, то $a = 5 + 4 = 9$. Получается число 94. Проверяем: $94 - 49 = 45$. Условие выполнено.

6. Если $b = 5$, то $a = 5 + 5 = 10$. Так как a должно быть одной цифрой (от 1 до 9), это значение не подходит. Для больших значений b значение a также будет больше 9, поэтому дальнейший перебор не требуется.

Таким образом, мы нашли все возможные числа, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 50, 61, 72, 83, 94.

498 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора:

Если цифры двузначного числа поменять местами, то оно уменьшится на 45.

Какое это число?

499 Построй треугольник ABC, проведи три его медианы и найди их точку пересечения O (см. № 223, с. 56). Найди для каждой медианы отношение отрезков, на которые она делится точкой O, считая от вершины. Повтори эксперимент. Что ты замечаешь? Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер? Как называется высказывание, являющееся предположением?

1. Построение треугольника и нахождение отношений

Сначала построим произвольный треугольник $ABC$. Затем для каждой стороны найдем ее середину. Обозначим середину стороны $BC$ как $A_1$, середину стороны $AC$ как $B_1$, и середину стороны $AB$ как $C_1$.

Теперь проведем медианы. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Проведем три медианы: $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Мы увидим, что все три медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой $O$.

Далее, измерим для каждой медианы длины отрезков, на которые ее делит точка $O$. Например, с помощью линейки.

• Для медианы $AA_1$ измерим отрезки $AO$ и $OA_1$.
• Для медианы $BB_1$ измерим отрезки $BO$ и $OB_1$.
• Для медианы $CC_1$ измерим отрезки $CO$ и $OC_1$.

Найдем отношение этих отрезков (длину большего отрезка, идущего от вершины, разделим на длину меньшего).

Например, в нашем эксперименте могли получиться следующие значения: $AO = 4$ см, $OA_1 = 2$ см; $BO = 3.6$ см, $OB_1 = 1.8$ см; $CO = 5$ см, $OC_1 = 2.5$ см.

Вычислим отношения:

$ \frac{AO}{OA_1} = \frac{4}{2} = 2 $

$ \frac{BO}{OB_1} = \frac{3.6}{1.8} = 2 $

$ \frac{CO}{OC_1} = \frac{5}{2.5} = 2 $

Повторив эксперимент с другим треугольником (например, тупоугольным или прямоугольным), мы получим тот же результат: отношение отрезков для каждой медианы будет равно 2.

Ответ: Для каждой медианы отношение отрезка от вершины до точки пересечения к отрезку от точки пересечения до середины противоположной стороны равно 2.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в одном и том же отношении, независимо от формы и размеров треугольника. Этот результат повторяется при каждом эксперименте.

Ответ: Точка пересечения медиан делит каждую медиану в одном и том же отношении — 2 к 1, считая от вершины.

Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер?

Да, можно утверждать, что полученный вывод имеет общий характер. Это не случайное совпадение, а фундаментальное свойство любого треугольника, которое формулируется в виде теоремы. Теорема о медианах треугольника гласит: медианы треугольника пересекаются в одной точке (называемой центроидом) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Да, можно, так как это свойство является доказанной теоремой геометрии, верной для любого треугольника.

Как называется высказывание, являющееся предположением?

Высказывание, которое выдвигается в качестве предположения на основе наблюдений и экспериментов, но еще не доказано строго математически, называется гипотезой. После того как гипотеза доказывается, она становится теоремой.

Ответ: Гипотеза.

499 Построй треугольник $ABC$, проведи три его медианы и найди их точку пересечения $O$ (см. № 223, стр. 56). Найди для каждой медианы отношение отрезков, на которые она делится точкой $O$, считая от вершины. Повтори эксперимент. Что ты замечаешь? Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер? Как называется высказывание, являющееся предположением?

D 500 Вычисли:

а) $(+2) - (-8)$;

б) $(-5) - (+4)$;

в) $(+3) - (+11)$;

г) $7 - 25$;

д) $9 - (-3)$;

е) $-8 - (-1)$;

ж) $-2,9 - 0,6$;

з) $\frac{4}{5} - 1,5$;

и) $0,8 - (-0,5)$;

к) $0 - 9,6$;

л) $-1\frac{2}{3} - (-4)$;

м) $-3,4 - 2,8$.

а) Вычитание отрицательного числа заменяется сложением с противоположным ему положительным числом.
$(+2) - (-8) = 2 + 8 = 10$.
Ответ: 10

б) Чтобы вычесть из отрицательного числа положительное, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак минус.
$(-5) - (+4) = -5 - 4 = -(5 + 4) = -9$.
Ответ: -9

в) Вычитание из меньшего числа большего. Результат будет отрицательным, а его модуль равен разности модулей чисел.
$(+3) - (+11) = 3 - 11 = -(11 - 3) = -8$.
Ответ: -8

г) Вычитаем из меньшего числа большее.
$7 - 25 = -(25 - 7) = -18$.
Ответ: -18

д) Вычитание отрицательного числа заменяется сложением.
$9 - (-3) = 9 + 3 = 12$.
Ответ: 12

е) Вычитание отрицательного числа из отрицательного. Это эквивалентно прибавлению положительного числа.
$-8 - (-1) = -8 + 1 = -(8 - 1) = -7$.
Ответ: -7

ж) Вычитание положительного числа из отрицательного. Складываем модули и ставим знак минус.
$-2,9 - 0,6 = -(2,9 + 0,6) = -3,5$.
Ответ: -3,5

з) Для вычисления приведем обыкновенную дробь к виду десятичной.
$\frac{4}{5} = 4 \div 5 = 0,8$.
Теперь выполним вычитание:
$0,8 - 1,5 = -(1,5 - 0,8) = -0,7$.
Ответ: -0,7

и) Вычитание отрицательного десятичного числа заменяется сложением.
$0,8 - (-0,5) = 0,8 + 0,5 = 1,3$.
Ответ: 1,3

к) Вычитание числа из нуля дает число, противоположное вычитаемому.
$0 - 9,6 = -9,6$.
Ответ: -9,6

л) Вычитание отрицательного числа из отрицательной смешанной дроби.
$-1\frac{2}{3} - (-4) = -1\frac{2}{3} + 4$.
Это то же самое, что $4 - 1\frac{2}{3}$.
$4 - 1\frac{2}{3} = 3\frac{3}{3} - 1\frac{2}{3} = (3-1) + (\frac{3}{3} - \frac{2}{3}) = 2\frac{1}{3}$.
Ответ: $2\frac{1}{3}$

м) Вычитание положительного числа из отрицательного, что равносильно сложению двух отрицательных чисел.
$-3,4 - 2,8 = -(3,4 + 2,8) = -6,2$.
Ответ: -6,2

D 500 Вычисли:

а) $ (+2) - (-8); $

б) $ (-5) - (+4); $

в) $ (+3) - (+11); $

г) $ 7 - 25; $

д) $ 9 - (-3); $

е) $ -8 - (-1); $

ж) $ -2,9 - 0,6; $

з) $ \frac{4}{5} - 1,5; $

и) $ 0,8 - (-0,5); $

к) $ 0 - 9,6; $

л) $ -1\frac{2}{3} - (-4); $

м) $ -3,4 - 2,8. $

501. Реши уравнения и сделай проверку:

а) $-x=1,8;$

б) $y+5,6=-4;$

в) $-3-z=-2,6;$

г) $t-(+0,8)=-0,05.$

а) $-x = 1,8$

Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на $-1$.

$(-1) \cdot (-x) = 1,8 \cdot (-1)$

$x = -1,8$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$-(-1,8) = 1,8$

$1,8 = 1,8$

Равенство верно.

Ответ: $x = -1,8$.

б) $y + 5,6 = -4$

Чтобы найти $y$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Перенесём $5,6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$y = -4 - 5,6$

$y = -9,6$

Проверка:

Подставим найденное значение $y$ в исходное уравнение:

$-9,6 + 5,6 = -4$

$-4 = -4$

Равенство верно.

Ответ: $y = -9,6$.

в) $-3 - z = -2,6$

В данном уравнении $-3$ — уменьшаемое, $z$ — вычитаемое, а $-2,6$ — разность. Чтобы найти вычитаемое $z$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$z = -3 - (-2,6)$

$z = -3 + 2,6$

$z = -0,4$

Проверка:

Подставим найденное значение $z$ в исходное уравнение:

$-3 - (-0,4) = -2,6$

$-3 + 0,4 = -2,6$

$-2,6 = -2,6$

Равенство верно.

Ответ: $z = -0,4$.

г) $t - (+0,8) = -0,05$

Упростим левую часть уравнения:

$t - 0,8 = -0,05$

Чтобы найти уменьшаемое $t$, нужно к разности прибавить вычитаемое. Перенесём $-0,8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$t = -0,05 + 0,8$

$t = 0,75$

Проверка:

Подставим найденное значение $t$ в исходное уравнение:

$0,75 - (+0,8) = -0,05$

$0,75 - 0,8 = -0,05$

$-0,05 = -0,05$

Равенство верно.

Ответ: $t = 0,75$.

501 Реши уравнения и сделай проверку:

а) $-x = 1,8;$

б) $y+5,6 = -4;$

в) $-3-z = -2,6;$

г) $t-(+0,8) = -0,05.$

471 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{825}{2750};$

б) $\frac{121212}{212121};$

в) $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2};$

г) $\frac{32x^2y}{24xy^2};$

д) $\frac{ab + a}{ab - a}.$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{825}{2750}$, разложим числитель и знаменатель на простые множители.

Разложение числителя: $825 = 5 \cdot 165 = 5 \cdot 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Разложение знаменателя: $2750 = 10 \cdot 275 = 2 \cdot 5 \cdot 275 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 55 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 = 2 \cdot 5^3 \cdot 11$.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{825}{2750} = \frac{3 \cdot 5^2 \cdot 11}{2 \cdot 5^3 \cdot 11} = \frac{3 \cdot \cancel{5^2} \cdot \cancel{11}}{2 \cdot 5 \cdot \cancel{5^2} \cdot \cancel{11}} = \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{121212}{212121}$, заметим, что числитель и знаменатель имеют общую структуру.

Представим числитель и знаменатель в виде произведений:

Числитель: $121212 = 12 \cdot 10000 + 12 \cdot 100 + 12 = 12 \cdot (10000 + 100 + 1) = 12 \cdot 10101$.

Знаменатель: $212121 = 21 \cdot 10000 + 21 \cdot 100 + 21 = 21 \cdot (10000 + 100 + 1) = 21 \cdot 10101$.

Подставим эти выражения в дробь и сократим общий множитель 10101:

$\frac{121212}{212121} = \frac{12 \cdot 10101}{21 \cdot 10101} = \frac{12}{21}$.

Теперь сократим полученную дробь $\frac{12}{21}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе и затем сократим дробь.

Упростим знаменатель: $2^3 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 3^{1+2} \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

Дробь принимает вид: $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2}$.

Сокращаем степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$ при $n>m$:

$\frac{2^1}{2^3} = \frac{1}{2^{3-1}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$\frac{3^2}{3^3} = \frac{1}{3^{3-2}} = \frac{1}{3}$

$\frac{5^1}{5^2} = \frac{1}{5^{2-1}} = \frac{1}{5}$

Множитель 7 остается в числителе. Перемножим оставшиеся множители:

$\frac{7}{2^2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{4 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{60}$.

Ответ: $\frac{7}{60}$.

г) Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{32x^2y}{24xy^2}$, сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.

Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{32}{24}$. Наибольший общий делитель чисел 32 и 24 равен 8.

$\frac{32 \div 8}{24 \div 8} = \frac{4}{3}$.

Сокращаем переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$.

$\frac{y}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.

Объединяем полученные результаты:

$\frac{32x^2y}{24xy^2} = \frac{4}{3} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{4x}{3y}$. (Дробь определена при $x \ne 0, y \ne 0$).

Ответ: $\frac{4x}{3y}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{ab + a}{ab - a}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, вынеся общий множитель за скобки.

В числителе $ab + a$ общий множитель $a$: $a(b+1)$.

В знаменателе $ab - a$ общий множитель $a$: $a(b-1)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{a(b+1)}{a(b-1)}$.

Сократим общий множитель $a$ (при условии, что $a \ne 0$):

$\frac{\cancel{a}(b+1)}{\cancel{a}(b-1)} = \frac{b+1}{b-1}$. (Дробь определена при $a \ne 0, b \ne 1$).

Ответ: $\frac{b+1}{b-1}$.

471 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{825}{2750}$;

б) $\frac{121212}{212121}$;

в) $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$;

г) $\frac{32x^2y}{24xy^2}$;

д) $\frac{ab+a}{ab-a}$.

472 Трое рабочих отремонтировали квартиру за 4 дня. Первый, работая один, может отремонтировать эту квартиру за 10 дней, а второй – за 12. За сколько дней сможет отремонтировать её третий рабочий?

Для решения задачи примем весь объем работы по ремонту квартиры за 1 (единицу).

1. Найдем общую производительность (часть работы, выполняемую за один день) трех рабочих, работающих вместе. Поскольку они выполняют всю работу за 4 дня, их совместная производительность равна:

$P_{общ} = 1 \div 4 = \frac{1}{4}$ (часть работы в день).

2. Найдем производительность первого рабочего. Он один выполняет всю работу за 10 дней, значит, его производительность составляет:

$P_1 = 1 \div 10 = \frac{1}{10}$ (часть работы в день).

3. Найдем производительность второго рабочего. Он один выполняет всю работу за 12 дней, значит, его производительность составляет:

$P_2 = 1 \div 12 = \frac{1}{12}$ (часть работы в день).

4. Общая производительность равна сумме производительностей каждого из трех рабочих: $P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3$. Чтобы найти производительность третьего рабочего ($P_3$), нужно из общей производительности вычесть производительности первого и второго рабочих:

$P_3 = P_{общ} - (P_1 + P_2) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{10} + \frac{1}{12})$

5. Сначала найдем сумму производительностей первого и второго рабочих. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60:

$\frac{1}{10} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 6}{60} + \frac{1 \cdot 5}{60} = \frac{6+5}{60} = \frac{11}{60}$

6. Теперь вычтем полученную сумму из общей производительности. Также приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 60:

$P_3 = \frac{1}{4} - \frac{11}{60} = \frac{1 \cdot 15}{60} - \frac{11}{60} = \frac{15 - 11}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$

Таким образом, производительность третьего рабочего составляет $\frac{1}{15}$ часть работы в день.

7. Зная производительность третьего рабочего, найдем время, за которое он сможет отремонтировать квартиру в одиночку. Для этого разделим весь объем работы (1) на его производительность:

$t_3 = 1 \div P_3 = 1 \div \frac{1}{15} = 1 \cdot 15 = 15$ (дней).

Ответ: 15 дней.

2756 212121 $2^3$ $24xy$ $ab$ $a$

472 Трое рабочих отремонтировали квартиру за 4 дня. Первый, работая один, может отремонтировать эту квартиру за 10 дней, а второй – за 12. За сколько дней сможет отремонтировать ее третий рабочий?

473 Рыжий и серый коты вместе могут съесть миску сметаны за 6 мин. За сколько времени может съесть эту сметану каждый кот в отдельности, если рыжий кот ест сметану на 25 % быстрее, чем серый?

Для решения этой задачи введем переменные, связанные со скоростью поедания сметаны (производительностью) каждого кота.

Пусть $t_с$ — время (в минутах), за которое серый кот съедает всю миску сметаны в одиночку. Тогда его скорость поедания (производительность) $V_с$ составляет $\frac{1}{t_с}$ миски в минуту.

Пусть $t_р$ — время (в минутах), за которое рыжий кот съедает всю миску сметаны в одиночку. Его скорость поедания $V_р$ составляет $\frac{1}{t_р}$ миски в минуту.

По условию задачи, рыжий кот ест на 25% быстрее, чем серый. Это означает, что его скорость $V_р$ на 25% больше, чем скорость $V_с$:$V_р = V_с + 0.25 \cdot V_с = 1.25 \cdot V_с$

Когда коты едят вместе, их скорости складываются. Их общая скорость $V_{общ} = V_с + V_р$.Они вместе съедают миску за 6 минут, значит, их общая скорость равна:$V_{общ} = \frac{1}{6}$ миски в минуту.

Теперь мы можем составить систему уравнений:$ \begin{cases} V_с + V_р = \frac{1}{6} \\ V_р = 1.25 V_с \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти скорость серого кота:$V_с + 1.25 V_с = \frac{1}{6}$$2.25 V_с = \frac{1}{6}$$V_с = \frac{1}{6 \cdot 2.25} = \frac{1}{13.5} = \frac{2}{27}$ (миски в минуту)

Теперь, зная скорость серого кота, мы можем найти время, за которое он съест всю миску.

Время для серого кота
Время равно единице, деленной на скорость:$t_с = \frac{1}{V_с} = \frac{1}{\frac{2}{27}} = \frac{27}{2} = 13.5$ минут.
Ответ: Серый кот съест миску сметаны за 13,5 минут.

Теперь найдем скорость рыжего кота, используя соотношение $V_р = 1.25 V_с$:$V_р = 1.25 \cdot \frac{2}{27} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{27} = \frac{10}{108} = \frac{5}{54}$ (миски в минуту)

Время для рыжего кота
Время, за которое рыжий кот съест всю миску:$t_р = \frac{1}{V_р} = \frac{1}{\frac{5}{54}} = \frac{54}{5} = 10.8$ минут.
Ответ: Рыжий кот съест миску сметаны за 10,8 минут.

473 Рыжий и серый коты вместе могут съесть миску сметаны за 6 мин. За сколько времени может съесть эту сметану каждый кот в отдельности, если рыжий кот ест сметану на 25% быстрее, чем серый?

474 Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй слова. Что они означают?

А: $-1\frac{3}{4} + 0.25$

М: $-\frac{3}{8} \cdot 0.32$

Я: $-0.42 \div 0.4$

Р: $(-0.4)^2$

И: $3.4 - 45$

О: $-0.4 \cdot (-0.25)$

Н: $36.18 \div (-1.8)$

Е: $-0.4^2$

Т: $-2.8 - 3\frac{1}{5}$

С: $2.6 \cdot (-1\frac{3}{5})$

П: $-1.53 \div (-1.5)$

Л: $(-0.2)^3$

Для того чтобы расшифровать слова, необходимо решить каждый пример и сопоставить полученный ответ с буквой.

А $-1\frac{3}{4} + 0,25$

Сначала представим смешанную дробь в виде десятичной: $1\frac{3}{4} = 1,75$.

$-1,75 + 0,25 = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

М $-\frac{3}{8} \cdot 0,32$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,32 = \frac{32}{100}$.

$-\frac{3}{8} \cdot \frac{32}{100} = -\frac{3 \cdot 32}{8 \cdot 100} = -\frac{3 \cdot 4}{100} = -\frac{12}{100} = -0,12$

Ответ: $-0,12$.

Я $-0,42 : 0,4$

$-0,42 : 0,4 = -4,2 : 4 = -1,05$

Ответ: $-1,05$.

Р $(-0,4)^2$

Возведение в квадрат отрицательного числа дает положительный результат.

$(-0,4) \cdot (-0,4) = 0,16$

Ответ: $0,16$.

И $3,4 - 45$

$3,4 - 45 = -(45 - 3,4) = -41,6$

Ответ: $-41,6$.

О $-0,4 \cdot (-0,25)$

Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$0,4 \cdot 0,25 = 0,1$

Ответ: $0,1$.

Н $36,18 : (-1,8)$

Результат деления будет отрицательным.

$36,18 : (-1,8) = -(361,8 : 18) = -20,1$

Ответ: $-20,1$.

Е $-0,4^2$

Знак минус не находится в скобках, поэтому сначала возводим число в степень, а затем применяем знак.

$-(0,4 \cdot 0,4) = -0,16$

Ответ: $-0,16$.

Т $-2,8 - 3\frac{1}{5}$

Представим смешанную дробь в виде десятичной: $3\frac{1}{5} = 3,2$.

$-2,8 - 3,2 = -(2,8 + 3,2) = -6$

Ответ: $-6$.

С $2,6 \cdot (-1\frac{3}{5})$

Представим смешанную дробь в виде десятичной: $1\frac{3}{5} = 1,6$.

$2,6 \cdot (-1,6) = -(2,6 \cdot 1,6) = -4,16$

Ответ: $-4,16$.

П $-1,53 : (-1,5)$

Частное двух отрицательных чисел положительно.

$-1,53 : (-1,5) = 1,53 : 1,5 = 15,3 : 15 = 1,02$

Ответ: $1,02$.

Л $(-0,2)^3$

Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает отрицательный результат.

$(-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$

Ответ: $-0,008$.

Теперь подставим буквы в таблицу в соответствии с полученными ответами:

Расшифрованные слова: СТЕРЕОМЕТРИЯ и ПЛАНИМЕТРИЯ.

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в трёхмерном пространстве (например, куб, шар, пирамида).

Планиметрия — это раздел геометрии, изучающий свойства фигур на двумерной плоскости (например, треугольник, круг, квадрат).

474 Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй слова. Что они означают?

А $-1\frac{3}{4} + 0,25$

М $-\frac{3}{8} \cdot 0,32$

Я $-0,42 : 0,4$

Р $(-0,4)^2$

И $3,4 - 45$

О $-0,4 \cdot (-0,25)$

Н $36,18 : (-1,8)$

Е $-0,4^2$

Т $-2,8 - 3\frac{1}{5}$

С $2,6 \cdot (-1\frac{3}{5})$

П $-1,53 : (-1,5)$

Л $(-0,2)^3$

-4,16 -6 -0,16 0,16 -0,16 0,1 -0,12 -0,16 -6 0,16 -41,6 -1,05

1,02 -0,008 -1,5 -20,1 -41,6 -0,12 -0,16 -6 0,16 -41,6 -1,05

C 475* Белый куб с ребром 3 см покрасили краской и распилили на кубики с ребром 1 см (рис. 49). Сколько всего получилось кубиков?

Сколько среди них имеют одну окрашенную грань, 2 окрашенные грани, 3 окрашенные грани?

Сколько неокрашенных кубиков?

Рис. 49

Сколько всего получилось кубиков?

Исходный куб имеет ребро 3 см, а маленькие кубики, на которые его распилили, — 1 см. Это означает, что вдоль каждого ребра большого куба укладывается $3 \text{ см} / 1 \text{ см} = 3$ маленьких кубика. Общее количество получившихся кубиков равно произведению их количеств по трём измерениям (длине, ширине и высоте): $3 \times 3 \times 3 = 27$.
Ответ: 27 кубиков.

Сколько среди них имеет одну окрашенную грань, 2 окрашенные грани, 3 окрашенные грани?

Чтобы определить количество кубиков с разным числом окрашенных граней, нужно рассмотреть их расположение в исходном большом кубе:

• Кубики с 3 окрашенными гранями. Это кубики, которые находились в вершинах большого куба. У любого куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков 8.
• Кубики с 2 окрашенными гранями. Это кубики, которые располагались на рёбрах большого куба, но не в вершинах. У куба 12 рёбер. На каждом ребре, состоящем из 3 маленьких кубиков, находится $3 - 2 = 1$ кубик с двумя окрашенными гранями. Всего таких кубиков: $12 \times 1 = 12$.
• Кубики с 1 окрашенной гранью. Это кубики, которые находились в центре каждой из 6 граней большого куба. На каждой грани размером $3 \times 3$ маленьких кубика находится $(3-2) \times (3-2) = 1$ центральный кубик. Всего таких кубиков: $6 \times 1 = 6$.

Ответ: 6 кубиков имеют одну окрашенную грань, 12 кубиков — две окрашенные грани, 8 кубиков — три окрашенные грани.

Сколько неокрашенных кубиков?

Неокрашенные кубики — это те, что расположены внутри большого куба и не соприкасаются с его поверхностью. Они образуют внутренний, "сердцевинный" куб. Его ребро будет на 2 кубика меньше ребра большого куба (по одному с каждой стороны): $3 - 2 = 1$. Количество неокрашенных кубиков равно объёму этого внутреннего куба: $1^3 = 1$.
Для проверки можно из общего числа кубиков вычесть все окрашенные: $27 - (8 + 12 + 6) = 27 - 26 = 1$.
Ответ: 1 кубик.

C 475

Белый куб с ребром 3 см покрасили краской и распилили на кубики с ребром 1 см (рис. 49). Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеют одну окрашенную грань, 2 окрашенные грани, 3 окрашенные грани? Сколько неокрашенных кубиков?

Рис. 49

476 В стаде 8 овец. Первая съедает копну сена за 1 день, вторая – за 2, третья – за 3, ..., восьмая – за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена – две первые овцы или все остальные вместе?

Чтобы выяснить, кто быстрее съест копну сена, нам нужно сравнить их общую скорость поедания, или производительность. Производительность — это часть работы (в данном случае, поедания одной копны сена), выполняемая за единицу времени (за 1 день).

Производительность первых двух овец

Найдем производительность каждой из первых двух овец и сложим их. Если овца съедает копну за $N$ дней, ее производительность составляет $\frac{1}{N}$ копны в день.

• Производительность первой овцы: $\frac{1}{1} = 1$ копны/день.
• Производительность второй овцы: $\frac{1}{2}$ копны/день.

Их общая производительность $P_1$ равна сумме их производительностей:
$P_1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ копны/день.

Производительность остальных овец

Теперь найдем общую производительность остальных овец (с третьей по восьмую). В этой группе 6 овец.

• Производительность третьей овцы: $\frac{1}{3}$ копны/день.
• Производительность четвертой овцы: $\frac{1}{4}$ копны/день.
• Производительность пятой овцы: $\frac{1}{5}$ копны/день.
• Производительность шестой овцы: $\frac{1}{6}$ копны/день.
• Производительность седьмой овцы: $\frac{1}{7}$ копны/день.
• Производительность восьмой овцы: $\frac{1}{8}$ копны/день.

Их общая производительность $P_2$ равна сумме их производительностей:
$P_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$
Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8 равно 840.
$P_2 = \frac{280}{840} + \frac{210}{840} + \frac{168}{840} + \frac{140}{840} + \frac{120}{840} + \frac{105}{840} = \frac{280+210+168+140+120+105}{840} = \frac{1023}{840}$ копны/день.

Сравнение и вывод

Теперь сравним производительность двух групп: $P_1 = \frac{3}{2}$ и $P_2 = \frac{1023}{840}$. Чем выше производительность, тем быстрее будет съедена копна.
Приведем дробь $P_1$ к знаменателю 840:
$P_1 = \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 420}{2 \cdot 420} = \frac{1260}{840}$
Теперь сравним полученные дроби:
$\frac{1260}{840} > \frac{1023}{840}$
Следовательно, $P_1 > P_2$.
Это означает, что производительность первых двух овец вместе выше, чем производительность остальных шести овец вместе. Значит, первые две овцы съедят копну сена быстрее.
Ответ: две первые овцы съедят копну сена быстрее.

476 В стаде 8 овец. Первая съедает копну сена за 1 день, вторая – за 2, третья – за 3, ..., восьмая – за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена – две первые овцы или все остальные вместе?