Страница 105, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

Вычисли значения выражений А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А?

A $A = \left[(4.5 - 2.75) \cdot \frac{4}{7}\right] : \left[\left(2.5 : 1\frac{1}{4}\right) : (3 : 12.5) + 0.5 : \left(11\frac{1}{9} \cdot 1.8 - 19.7\right)\right]$

B $B = 15 : \left[\frac{4 : (0.4 - 0.3)}{0.125 \cdot 2} - \frac{\left(7.083 - 6\frac{3}{4}\right) : (3.7 \cdot 0.3)}{\left(3.96 - 3\frac{3}{5}\right) : 120} + \frac{31.25 : 4\frac{1}{6}}{6\frac{2}{3} \cdot 4.5}\right]$

Для ответа на вопросы задачи необходимо сначала вычислить значения выражений А и В.

Вычисление значения выражения А

$ A = [(4,5 - 2,75) \cdot \frac{4}{7}] : [(2,5 : 1\frac{1}{4}) : (3 : 12,5) + 0,5 : (11\frac{1}{9} \cdot 1,8 - 19,7)] $

Выполним вычисления по действиям:

1) Вычисляем выражение в первых квадратных скобках:

$ 4,5 - 2,75 = 1,75 $

$ 1,75 \cdot \frac{4}{7} = \frac{175}{100} \cdot \frac{4}{7} = \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7} = 1 $

2) Вычисляем выражение во вторых квадратных скобках:

$ 2,5 : 1\frac{1}{4} = \frac{5}{2} : \frac{5}{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} = 2 $

$ 3 : 12,5 = 3 : \frac{125}{10} = 3 : \frac{25}{2} = 3 \cdot \frac{2}{25} = \frac{6}{25} = 0,24 $

$ 2 : 0,24 = 2 : \frac{6}{25} = 2 \cdot \frac{25}{6} = \frac{25}{3} $

$ 11\frac{1}{9} \cdot 1,8 = \frac{100}{9} \cdot \frac{18}{10} = \frac{100 \cdot 2}{10} = 20 $

$ 20 - 19,7 = 0,3 $

$ 0,5 : 0,3 = \frac{1}{2} : \frac{3}{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{5}{3} $

$ \frac{25}{3} + \frac{5}{3} = \frac{30}{3} = 10 $

3) Выполняем последнее действие:

$ A = 1 : 10 = 0,1 $

Таким образом, значение выражения $ A = 0,1 $.

Вычисление значения выражения B

$ B = 15 : [\frac{4 : (0,4 - 0,3)}{0,125 \cdot 2} - \frac{(7,083 - 6\frac{3}{4}) : (3,7 \cdot 0,3)}{(3,96 - 3\frac{3}{5}) : 120}] + \frac{31,25 : 4\frac{1}{6}}{6\frac{2}{3} \cdot 4,5} $

Выполним вычисления по действиям:

1) Вычисляем значение в квадратных скобках:

$ \frac{4 : (0,4 - 0,3)}{0,125 \cdot 2} = \frac{4 : 0,1}{0,25} = \frac{40}{0,25} = 160 $

$ (7,083 - 6\frac{3}{4}) : (3,7 \cdot 0,3) = (7,083 - 6,75) : 1,11 = 0,333 : 1,11 = \frac{333}{1000} : \frac{111}{100} = \frac{333}{1000} \cdot \frac{100}{111} = \frac{3}{10} = 0,3 $

$ (3,96 - 3\frac{3}{5}) : 120 = (3,96 - 3,6) : 120 = 0,36 : 120 = 0,003 $

$ \frac{0,3}{0,003} = 100 $

$ 160 - 100 = 60 $

2) Выполняем деление на результат в скобках:

$ 15 : 60 = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0,25 $

3) Вычисляем второе слагаемое:

$ 31,25 : 4\frac{1}{6} = \frac{3125}{100} : \frac{25}{6} = \frac{125}{4} \cdot \frac{6}{25} = \frac{5 \cdot 3}{2} = 7,5 $

$ 6\frac{2}{3} \cdot 4,5 = \frac{20}{3} \cdot \frac{9}{2} = 10 \cdot 3 = 30 $

$ \frac{7,5}{30} = \frac{75}{300} = \frac{1}{4} = 0,25 $

4) Выполняем сложение:

$ B = 0,25 + 0,25 = 0,5 $

Таким образом, значение выражения $ B = 0,5 $.

Теперь, зная, что $ A = 0,1 $ и $ B = 0,5 $, ответим на поставленные вопросы.

1) на сколько процентов А меньше, чем В

Чтобы найти, на сколько процентов число А меньше числа В, нужно найти их разность, разделить ее на В (число, с которым сравниваем) и умножить на 100%.

Разность: $ B - A = 0,5 - 0,1 = 0,4 $.

Процентное соотношение: $ \frac{B - A}{B} \cdot 100\% = \frac{0,4}{0,5} \cdot 100\% = 0,8 \cdot 100\% = 80\% $.

Ответ: А меньше, чем В, на 80%.

2) на сколько процентов В больше, чем А

Чтобы найти, на сколько процентов число В больше числа А, нужно найти их разность, разделить ее на А (число, с которым сравниваем) и умножить на 100%.

Разность: $ B - A = 0,5 - 0,1 = 0,4 $.

Процентное соотношение: $ \frac{B - A}{A} \cdot 100\% = \frac{0,4}{0,1} \cdot 100\% = 4 \cdot 100\% = 400\% $.

Ответ: В больше, чем А, на 400%.

459 Вычисли значения выражений А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А?

А $ [(4,5 - 2,75) \cdot \frac{4}{7}] : \left[\left(2,5 : 1\frac{1}{4}\right) : (3 : 12,5) + 0,5 : \left(11\frac{1}{9} \cdot 1,8 - 19,7\right)\right] $

В $ 15 : \left[\frac{4 : (0,4 - 0,3)}{0,125 \cdot 2} - \frac{\left(7,083 - 6\frac{3}{4}\right) : (3,7 \cdot 0,3)}{\left(3,96 - 3\frac{3}{5}\right) : 120}\right] + \frac{31,25 : 4\frac{1}{6}}{6\frac{2}{3} \cdot 4,5} $

460 Чему равна величина угла между стрелками часов в 9 ч 20 мин?

Для решения этой задачи необходимо найти угловое положение часовой и минутной стрелок в указанное время, а затем вычислить разницу между этими положениями.

Весь циферблат представляет собой окружность, то есть $360^{\circ}$. На циферблате 12 часовых делений и 60 минутных.

1. Вычисление положения минутной стрелки.
Минутная стрелка проходит полный круг ($360^{\circ}$) за 60 минут. Таким образом, ее скорость составляет $360^{\circ} \div 60 \text{ мин} = 6^{\circ}$ в минуту.
В 9 часов 20 минут, минутная стрелка будет указывать на 20-минутную отметку. Ее положение, отсчитывая от 12-часовой отметки по часовой стрелке, будет:
$20 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 120^{\circ}$

2. Вычисление положения часовой стрелки.
Часовая стрелка проходит полный круг ($360^{\circ}$) за 12 часов. Ее скорость составляет $360^{\circ} \div 12 \text{ ч} = 30^{\circ}$ в час. Так как в часе 60 минут, скорость часовой стрелки также равна $30^{\circ} \div 60 \text{ мин} = 0.5^{\circ}$ в минуту.
В 9:20 часовая стрелка сместится от 12-часовой отметки на 9 полных часов и еще на 20 минут. Рассчитаем ее положение:
Угол за 9 часов: $9 \text{ ч} \times 30^{\circ}/\text{ч} = 270^{\circ}$
Дополнительный угол за 20 минут: $20 \text{ мин} \times 0.5^{\circ}/\text{мин} = 10^{\circ}$
Итоговое положение часовой стрелки: $270^{\circ} + 10^{\circ} = 280^{\circ}$

3. Вычисление угла между стрелками.
Угол между стрелками равен модулю разности их угловых положений:
$|280^{\circ} - 120^{\circ}| = 160^{\circ}$

Как правило, под углом между стрелками понимают меньший из двух возможных углов (второй угол равен $360^{\circ} - 160^{\circ} = 200^{\circ}$). Поскольку $160^{\circ} < 180^{\circ}$, это и есть искомый угол.

Ответ: $160^{\circ}$

c 460

Чему равна величина угла между стрелками часов в 9 ч 20 мин?

461 На королевских соревнованиях Франции по фехтованию первые 4 места разделили Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян. Сумма мест, занятых Атосом, Портосом и д'Артаньяном, равна 6. Сумма мест Портоса и Арамиса тоже равна 6. Какое место занял каждый из мушкетёров, если Портос занял более высокое место, чем Арамис, а д'Артаньян – более высокое, чем Атос?

Для решения задачи введём обозначения для мест, занятых каждым мушкетёром:

• $А$ – место Атоса
• $П$ – место Портоса
• $Р$ – место Арамиса
• $Д$ – место д’Артаньяна

Поскольку мушкетёры заняли первые четыре места, то переменные $А, П, Р, Д$ являются уникальными числами из множества $\{1, 2, 3, 4\}$.

Сформулируем условия задачи в виде системы уравнений и неравенств:

1. Сумма мест Атоса, Портоса и д’Артаньяна равна 6: $А + П + Д = 6$
2. Сумма мест Портоса и Арамиса равна 6: $П + Р = 6$
3. Портос занял более высокое место, чем Арамис (т.е. номер его места меньше): $П < Р$
4. д’Артаньян занял более высокое место, чем Атос: $Д < А$

Какое место занял каждый из мушкетёров, если Портос занял более высокое место, чем Арамис, а д’Артаньян – более высокое, чем Атос?

1. Начнём со второго и третьего условий: $П + Р = 6$ и $П < Р$. Из множества мест $\{1, 2, 3, 4\}$ только два числа в сумме дают 6 – это 2 и 4. Так как $П < Р$, то однозначно следует, что $П = 2$ и $Р = 4$.
Таким образом, Портос занял 2-е место, а Арамис – 4-е место.

2. Теперь используем первое условие, подставив в него найденное значение $П=2$:
$А + 2 + Д = 6$
$А + Д = 4$

3. Оставшиеся свободные места – 1-е и 3-е. Их сумма как раз равна $1 + 3 = 4$. Нам нужно распределить эти места между Атосом и д’Артаньяном, используя последнее условие: $Д < А$.
Отсюда следует, что $Д = 1$, а $А = 3$.
Таким образом, д’Артаньян занял 1-е место, а Атос – 3-е место.

Итоговое распределение мест:

• д’Артаньян – 1 место
• Портос – 2 место
• Атос – 3 место
• Арамис – 4 место

Ответ: д’Артаньян занял 1-е место, Портос – 2-е, Атос – 3-е, Арамис – 4-е.

461 На королевских соревнованиях Франции по фехтованию первые 4 места разделили Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян. Сумма мест, занятых Атосом, Портосом и д'Артаньяном, равна 6. Сумма мест Портоса и Арамиса тоже равна 6. Какое место занял каждый из мушкетеров, если Портос занял более высокое место, чем Арамис, а д'Артаньян – более высокое, чем Атос?

451 Какие геометрические тела изображены на рисунке? Перерисуй их по клеточкам в тетрадь.

A Прямоугольный параллелепипед

B Цилиндр

C Куб

D Конус

E Шар

F Пирамида

A На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. Это многогранник, все шесть граней которого являются прямоугольниками. Его измерения (длина, ширина, высота) по клеточкам равны 6, 2 и 3 условным единицам.
Ответ: прямоугольный параллелепипед.

B На рисунке изображен цилиндр. Это геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом (основания цилиндра), и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Ответ: цилиндр.

C На рисунке изображен куб. Это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Все его шесть граней являются равными квадратами. Длина ребра этого куба составляет 3 условные единицы.
Ответ: куб.

D На рисунке изображен конус. Это тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность (основание). В данном случае основание — круг.
Ответ: конус.

E На рисунке изображен шар. Это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не превышающем заданное расстояние (радиус). Поверхность шара называется сферой.
Ответ: шар.

F На рисунке изображена пирамида. Это многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. В данном случае в основании лежит четырехугольник, поэтому это четырехугольная пирамида.
Ответ: пирамида.

451 Какие геометрические тела изображены на рисунке? Перерисуй их по клеточкам в тетрадь.

A Прямоугольный параллелепипед

B Цилиндр

C Куб

D Конус

E Шар

F Треугольная пирамида

452 a) На рисунках изображены фигуры, которые называются усечёнными пирамидами. Что в них общего и чем они отличаются?

б) Какие плоские фигуры ограничивают усечённые пирамиды? Какие из них являются видимыми для наблюдателя, а какие – нет?

в) По аналогии с усечёнными пирамидами начерти усечённый конус.

а)

Общее у изображённых усечённых пирамид заключается в следующем:

• Обе фигуры являются многогранниками, которые образуются при отсечении верхушки исходной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.
• Каждая усечённая пирамида имеет два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях.
• Боковые грани обеих фигур являются трапециями.

Различия между фигурами:

• Фигура слева является треугольной усечённой пирамидой, так как в её основаниях лежат треугольники ($ \triangle KMN $ и $ \triangle K_1M_1N_1 $). У неё 3 боковые грани.
• Фигура справа является четырёхугольной усечённой пирамидой, так как в её основаниях лежат четырёхугольники ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$). У неё 4 боковые грани.

Ответ: Общими для усечённых пирамид являются два параллельных и подобных основания-многоугольника и боковые грани в виде трапеций. Отличаются они формой многоугольника в основании (треугольник у первой и четырёхугольник у второй) и, как следствие, количеством боковых граней.

б)

Усечённые пирамиды ограничивают плоские фигуры двух типов:

• Два многоугольника, которые являются верхним и нижним основаниями.
• Несколько трапеций, которые являются боковыми гранями.

В стереометрических чертежах принято изображать видимые рёбра сплошными линиями, а невидимые – штриховыми. Таким образом, видимыми для наблюдателя являются те грани, все рёбра которых сплошные (или находятся на контуре фигуры), а невидимыми — те, у которых хотя бы одно внутреннее ребро штриховое.

Для треугольной усечённой пирамиды ($KMNK_1M_1N_1$):

• Видимые фигуры: верхнее основание $K_1M_1N_1$ и боковые грани $K_1KMM_1$ и $M_1MNN_1$.
• Невидимые фигуры: нижнее основание $KMN$ и боковая грань $K_1KNN_1$.

Для четырёхугольной усечённой пирамиды ($ABCDA_1B_1C_1D_1$):

• Видимые фигуры: верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ и боковые грани $A_1ADD_1$ и $D_1DCC_1$.
• Невидимые фигуры: нижнее основание $ABCD$ и боковые грани $A_1ABB_1$ и $B_1BCC_1$.

Ответ: Усечённые пирамиды ограничивают два многоугольника (основания) и несколько трапеций (боковые грани). На рисунках видимыми являются верхние основания и те боковые грани, которые обращены к наблюдателю (изображены сплошными линиями), а невидимыми – нижние основания и "дальние" от наблюдателя боковые грани (изображённые с использованием штриховых линий).

в)

Если в основании пирамиды лежит не многоугольник, а круг, то такая фигура называется конусом. По аналогии с усечённой пирамидой, усечённый конус — это часть конуса, заключённая между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус имеет два круглых основания разного радиуса и кривую боковую поверхность.

Чертёж усечённого конуса:

Ответ: На рисунке выше изображён усечённый конус, который по аналогии с усечённой пирамидой имеет два основания (в данном случае круга) и боковую поверхность, их соединяющую.

452 a) На рисунках изображены фигуры, которые называются «усеченными пирамидами». Что в них общего и чем они отличаются?

$K_1, M_1, N_1, K, M, N$ $A_1, B_1, C_1, D_1, A, B, C, D$

б) Какие плоские фигуры ограничивают усеченные пирамиды? Какие из них являются видимыми для наблюдателя, а какие – нет?

в) По аналогии с усеченными пирамидами начерти «усеченный конус».

453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$. Проверь правильность построения с помощью модели куба.

а) б) в)

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через три заданные точки, будем использовать метод следов и свойство параллельности плоскостей. Основной принцип: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

а)

Обозначим вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее. В соответствии с рисунком, точки расположены следующим образом:

• Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$ (верхняя передняя грань).
• Точка $N$ — середина ребра $B_1C_1$ (верхняя правая грань).
• Точка $K$ — середина ребра $AB$ (нижняя передняя грань).

Построение сечения:

1. Точки $M$ и $N$ лежат в одной плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединим их отрезком $MN$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с верхней гранью куба.
2. Точки $M$ и $K$ лежат в одной плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $MK$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с передней гранью куба.
3. Плоскость верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости нижней грани $(ABCD)$. Следовательно, секущая плоскость пересекает нижнюю грань по прямой, параллельной линии пересечения с верхней гранью, то есть прямой $MN$.
4. Проведем через точку $K$, лежащую в плоскости нижней грани, прямую, параллельную $MN$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $L$. Так как $M$ и $N$ — середины ребер $A_1B_1$ и $B_1C_1$, то отрезок $MN$ параллелен диагонали $A_1C_1$ и равен ее половине. Следовательно, отрезок $KL$ будет параллелен диагонали $AC$, и точка $L$ окажется серединой ребра $BC$. Отрезок $KL$ — еще одна сторона сечения.
5. Точки $N$ и $L$ обе лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $NL$, который будет последней стороной искомого сечения.

В результате построен четырехугольник $MNLK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Сечением является четырехугольник $MNLK$, вершины которого — точка $M$ (середина $A_1B_1$), $N$ (середина $B_1C_1$), $L$ (середина $BC$) и $K$ (середина $AB$).

б)

Обозначим вершины куба аналогично предыдущему пункту. В соответствии с рисунком, точки расположены следующим образом:

• Точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$ (верхняя левая грань).
• Точка $N$ — середина ребра $B_1C_1$ (верхняя правая грань).
• Точка $K$ — середина ребра $AA_1$ (передняя левая грань).

Построение сечения:

1. Точки $M$ (середина $A_1D_1$) и $N$ (середина $B_1C_1$) лежат в плоскости верхней грани. Отрезок $MN$ является следом секущей плоскости на верхней грани и одной из сторон сечения. Заметим, что прямая $MN$ параллельна ребрам $A_1B_1$ и $AB$, а значит, параллельна плоскости передней грани $ABB_1A_1$.
2. Согласно свойству, если прямая ($MN$), лежащая в секущей плоскости, параллельна некоторой другой плоскости (передней грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой другой плоскостью будет параллельна исходной прямой.
3. Линия пересечения секущей плоскости с передней гранью проходит через точку $K$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $MN$ (и, следовательно, $AB$). Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке $P$. Поскольку $K$ — середина $AA_1$, точка $P$ будет серединой ребра $BB_1$. Отрезок $KP$ — сторона сечения, лежащая на передней грани.
4. Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $K, M, N, P$. Последовательно соединим их. Точки $K$ и $M$ лежат на левой грани $ADD_1A_1$, соединяем их отрезком $KM$.
5. Точки $N$ и $P$ лежат на правой грани $BCC_1B_1$, соединяем их отрезком $NP$.

В результате построен четырехугольник $KMNP$, который является искомым сечением. Данный четырехугольник является прямоугольником.

Ответ: Сечением является прямоугольник $KMNP$, вершины которого — точка $K$ (середина $AA_1$), $M$ (середина $A_1D_1$), $N$ (середина $B_1C_1$) и $P$ (середина $BB_1$).

в)

Обозначим вершины куба, как и ранее. В соответствии с рисунком, точки расположены следующим образом:

• Точка $M$ — середина ребра $AB$ (нижняя передняя грань).
• Точка $N$ — середина ребра $C_1C$ (задняя правая грань).
• Точка $K$ — середина ребра $DC$ (нижняя задняя грань).

Построение сечения:

1. Точки $M$ и $K$ лежат в одной плоскости нижней грани $ABCD$. Соединим их отрезком $MK$. Это сторона сечения.
2. Точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединим их отрезком $NK$. Это еще одна сторона сечения.
3. Плоскость задней грани $(DCC_1D_1)$ параллельна плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Следовательно, секущая плоскость пересекает переднюю грань по прямой, параллельной линии пересечения с задней гранью, то есть прямой $NK$.
4. Проведем через точку $M$, лежащую на передней грани, прямую, параллельную $NK$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке $L$. Так как $N$ и $K$ — середины ребер $C_1C$ и $DC$, то $NK$ параллельна диагонали $C_1D$. Соответственно, прямая $ML$ будет параллельна диагонали $B_1A$, и точка $L$ окажется серединой ребра $BB_1$. Отрезок $ML$ — третья сторона сечения.
5. Точки $L$ и $N$ лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $LN$, который замыкает многоугольник сечения.

В результате построен четырехугольник $KMLN$, который является искомым сечением. Этот четырехугольник также является прямоугольником.

Ответ: Сечением является прямоугольник $KMLN$, вершины которого — точка $K$ (середина $DC$), $M$ (середина $AB$), $L$ (середина $BB_1$) и $N$ (середина $CC_1$).

453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$. Проверь правильность построения с помощью модели куба.

a) б) в)