Страница 98, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

433 Вычисли и расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам. Если вычисления выполнены верно, то полученное слово – название второго по высоте действующего вулкана в мире.

В какой части света он находится?

Л $ (-3) + (+11) $

Ю $ (+1,2) + (-0,8) $

Ь $ (-0,1) + (-0,02) $

О $ (-9) + (-6) $

Л $ (+0,7) + (-2) $

Я $ (-\frac{3}{4}) + (+0,25) $

Ъ $ (+8) + (-10) $

Й $ (-0,4) + (-0,6) $

Я $ (-2,08) + 0 $

К $ (-5) + (-7) $

Б $ (-0,2) + (+5) $

Л $ (-\frac{1}{2}) + (+0,5) $

Для того чтобы решить задачу, сначала вычислим значение каждого примера.

Л

$(-3) + (+11) = 11 - 3 = 8$

Ответ: $8$

О

$(-9) + (-6) = -9 - 6 = -15$

Ответ: $-15$

Б

$(+8) + (-10) = 8 - 10 = -2$

Ответ: $-2$

К

$(-5) + (-7) = -5 - 7 = -12$

Ответ: $-12$

Ю

$(+1,2) + (-0,8) = 1,2 - 0,8 = 0,4$

Ответ: $0,4$

Л

$(+0,7) + (-2) = 0,7 - 2 = -1,3$

Ответ: $-1,3$

Й

$(-0,4) + (-0,6) = -0,4 - 0,6 = -1$

Ответ: $-1$

Б

$(-0,2) + (+5) = 5 - 0,2 = 4,8$

Ответ: $4,8$

Ь

$(-0,1) + (-0,02) = -0,1 - 0,02 = -0,12$

Ответ: $-0,12$

Я

$(-\frac{3}{4}) + (+0,25)$. Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $-\frac{3}{4} = -0,75$.

$(-0,75) + (+0,25) = -0,5$

Ответ: $-0,5$

Я

$(-2,08) + 0 = -2,08$

Ответ: $-2,08$

Л

$(-\frac{1}{2}) + (+0,5)$. Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $-\frac{1}{2} = -0,5$.

$(-0,5) + (+0,5) = 0$

Ответ: $0$

Теперь расположим полученные ответы в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему) и сопоставим им соответствующие буквы:

1. $8$ (Л)
2. $4,8$ (Б)
3. $0,4$ (Ю)
4. $0$ (Л)
5. $-0,12$ (Ь)
6. $-0,5$ (Я)
7. $-1$ (Й)
8. $-1,3$ (Л)
9. $-2$ (Б)
10. $-2,08$ (Я)
11. $-12$ (К)
12. $-15$ (О)

Составив слово из букв в полученном порядке, мы получаем: ЛБЮЛЬЯЙЛБЯКО.

В условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Название второго по высоте действующего вулкана в мире — Льюльяйльяко. Чтобы получилось это слово, в примерах, которым соответствуют ответы $4,8$ и $-2$, вместо буквы "Б" должна была быть буква "Ь".

Таким образом, зашифрованное слово — Льюльяйльяко.

Вулкан Льюльяйльяко расположен в Южной Америке, на границе Аргентины и Чили.

433 Вычисли и расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам. Если вычисления выполнены верно, то полученное слово – название второго по высоте действующего вулкана в мире. В какой части света он находится?

Л $(-3) + (+11)$

О $(-9) + (-6)$

Ь $(+8) + (-10)$

К $(-5) + (-7)$

Ю $(+1.2) + (-0.8)$

Л $(+0.7) + (-2)$

Й $(-0.4) + (-0.6)$

Ъ $(-0.2) + (+5)$

Ь $(-0.1) + (-0.02)$

Я $(-\frac{3}{4}) + (+0.25)$

Я $(-2.08) + 0$

Л $(-\frac{1}{2}) + (+0.5)$

434 Подбери неизвестные слагаемые в сумме:

а) $(+7) + \ldots = +4$

в) $(-1) + \ldots = -5$

д) $(-8) + \ldots = -6$

ж) $0 + \ldots = -7$

б) $(+3) + \ldots = -2$

г) $(-4) + \ldots = +2$

е) $(+9) + \ldots = 0$

з) $(-2) + \ldots = -2$

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

а) Вычтем из суммы $(+4)$ известное слагаемое $(+7)$: $(+4) - (+7) = 4 - 7 = -3$.

Ответ: -3

б) Вычтем из суммы $(-2)$ известное слагаемое $(+3)$: $(-2) - (+3) = -2 - 3 = -5$.

Ответ: -5

в) Вычтем из суммы $(-5)$ известное слагаемое $(-1)$: $(-5) - (-1) = -5 + 1 = -4$.

Ответ: -4

г) Вычтем из суммы $(+2)$ известное слагаемое $(-4)$: $(+2) - (-4) = 2 + 4 = 6$.

Ответ: +6

д) Вычтем из суммы $(-6)$ известное слагаемое $(-8)$: $(-6) - (-8) = -6 + 8 = 2$.

Ответ: +2

е) Вычтем из суммы $0$ известное слагаемое $(+9)$: $0 - (+9) = -9$.

Ответ: -9

ж) Вычтем из суммы $(-7)$ известное слагаемое $0$: $-7 - 0 = -7$.

Ответ: -7

з) Вычтем из суммы $(-2)$ известное слагаемое $(-2)$: $(-2) - (-2) = -2 + 2 = 0$.

Ответ: 0

434 Подбери неизвестные слагаемые в сумме:

а) $(+7) + \dots = +4;$

в) $(-1) + \dots = -5;$

д) $(-8) + \dots = -6;$

ж) $0 + \dots = -7;$

б) $(+3) + \dots = -2;$

г) $(-4) + \dots = +2;$

е) $(+9) + \dots = 0;$

з) $(-2) + \dots = -2.$

435 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: a + 0 = 0 + a = a$;

2) $\exists a \in Q: a + (-a) \ne 0$;

3) $\forall a \in Q: a + |a| = 0$;

4) $\exists a, b \in Q: |a + b| > |a| + |b|.$

1) $\forall a \in Q: a + 0 = 0 + a = a$;

Данное высказывание утверждает, что для любого рационального числа $a$ его сумма с нулем равна самому числу $a$. Это является определением нейтрального элемента (нуля) по сложению в множестве рациональных чисел $Q$. Это свойство выполняется для всех рациональных чисел.

Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

2) $\exists a \in Q: a + (-a) \neq 0$;

Данное высказывание утверждает, что существует хотя бы одно рациональное число $a$, для которого сумма с противоположным ему числом $(-a)$ не равна нулю. Однако, по определению противоположного числа (обратного элемента по сложению), для любого рационального числа $a$ выполняется равенство $a + (-a) = 0$. Таким образом, не существует такого рационального числа, для которого это утверждение было бы верным.

Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание ложного высказывания строится путем замены квантора существования ($\exists$) на квантор всеобщности ($\forall$) и отрицания самого утверждения. Отрицанием для $a + (-a) \neq 0$ является $a + (-a) = 0$.

Отрицание: $\forall a \in Q: a + (-a) = 0$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $\forall a \in Q: a + (-a) = 0$.

3) $\forall a \in Q: a + |a| = 0$;

Данное высказывание утверждает, что для любого рационального числа $a$ сумма этого числа с его модулем равна нулю. Проверим это утверждение на примерах:

• Если $a$ — отрицательное число, например $a = -5$, то $a + |a| = -5 + |-5| = -5 + 5 = 0$. В этом случае утверждение верно.
• Если $a = 0$, то $a + |a| = 0 + |0| = 0$. Утверждение верно.
• Если $a$ — положительное число, например $a = 5$, то $a + |a| = 5 + |5| = 5 + 5 = 10 \neq 0$. В этом случае утверждение неверно.

Поскольку утверждение должно выполняться для *всех* рациональных чисел (из-за квантора $\forall$), а мы нашли контрпример (любое положительное число), то исходное высказывание ложно.

Отрицание ложного высказывания строится путем замены квантора всеобщности ($\forall$) на квантор существования ($\exists$) и отрицания самого утверждения. Отрицанием для $a + |a| = 0$ является $a + |a| \neq 0$.

Отрицание: $\exists a \in Q: a + |a| \neq 0$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $\exists a \in Q: a + |a| \neq 0$.

4) $\exists a, b \in Q: |a + b| > |a| + |b|$;

Данное высказывание утверждает, что существуют два рациональных числа $a$ и $b$, для которых модуль их суммы строго больше, чем сумма их модулей. Это утверждение противоречит известному свойству модуля, называемому неравенством треугольника, которое гласит, что для любых чисел $a$ и $b$ (в том числе и рациональных) всегда выполняется неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$.

Поскольку $|a + b|$ никогда не может быть больше, чем $|a| + |b|$, не существует таких чисел $a$ и $b$, для которых бы выполнялось данное неравенство.

Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание ложного высказывания строится путем замены квантора существования ($\exists$) на квантор всеобщности ($\forall$) и отрицания самого утверждения. Отрицанием для $|a + b| > |a| + |b|$ является $|a + b| \le |a| + |b|$.

Отрицание: $\forall a, b \in Q: |a + b| \le |a| + |b|$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $\forall a, b \in Q: |a + b| \le |a| + |b|$.

435 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: a + 0 = 0 + a = a;$

2) $\exists a \in Q: a + (-a) \neq 0;$

3) $\forall a \in Q: a + |a| = 0;$

4) $\exists a, b \in Q: |a + b| > |a| + |b|.$

436 1) Сформулируй переместительное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь переместительное свойство для значений переменных:

а) -4,8 и 0,3;

б) $-3\frac{1}{4}$ и -1,15.

2) Сформулируй сочетательное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь сочетательное свойство для значений переменных:

а) -1,5; +2,7; -0,2;

б) $-2\frac{3}{5}$; -1,4; +0,8.

3) Проверь переместительное и сочетательное свойства сложения для произвольно выбранных тобой рациональных чисел. В чём состоит значение этих свойств для практических вычислений? Приведи примеры.

1) Переместительное свойство сложения рациональных чисел: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
На математическом языке это свойство записывается так: для любых рациональных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $a + b = b + a$.
Проверим это свойство для заданных значений.

а) для $a = -4,8$ и $b = 0,3$:

$a + b = -4,8 + 0,3 = -4,5$

$b + a = 0,3 + (-4,8) = -4,5$

Так как $-4,5 = -4,5$, свойство выполняется.

Ответ: $-4,5 = -4,5$.

б) для $a = -3\frac{1}{4}$ и $b = -1,15$:

Сначала представим смешанную дробь в виде десятичной: $-3\frac{1}{4} = -3,25$.

$a + b = -3,25 + (-1,15) = -(3,25 + 1,15) = -4,4$

$b + a = -1,15 + (-3,25) = -(1,15 + 3,25) = -4,4$

Так как $-4,4 = -4,4$, свойство выполняется.

Ответ: $-4,4 = -4,4$.

2) Сочетательное свойство сложения рациональных чисел: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
На математическом языке это свойство записывается так: для любых рациональных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Проверим это свойство для заданных значений.

а) для $a = -1,5$; $b = +2,7$; $c = -0,2$:

$(a + b) + c = (-1,5 + 2,7) + (-0,2) = 1,2 + (-0,2) = 1$

$a + (b + c) = -1,5 + (2,7 + (-0,2)) = -1,5 + 2,5 = 1$

Так как $1 = 1$, свойство выполняется.

Ответ: $1 = 1$.

б) для $a = -2\frac{3}{5}$; $b = -1,4$; $c = +0,8$:

Сначала представим смешанную дробь в виде десятичной: $-2\frac{3}{5} = -2,6$.

$(a + b) + c = (-2,6 + (-1,4)) + 0,8 = -4 + 0,8 = -3,2$

$a + (b + c) = -2,6 + (-1,4 + 0,8) = -2,6 + (-0,6) = -3,2$

Так как $-3,2 = -3,2$, свойство выполняется.

Ответ: $-3,2 = -3,2$.

3) Проверим переместительное и сочетательное свойства для произвольно выбранных рациональных чисел, например, для $a = \frac{1}{2}$, $b = -2,5$ и $c = 4$.

Проверка переместительного свойства ($a+b=b+a$):
$a+b = \frac{1}{2} + (-2,5) = 0,5 - 2,5 = -2$
$b+a = -2,5 + \frac{1}{2} = -2,5 + 0,5 = -2$
Равенство $-2 = -2$ верно, свойство выполняется.

Проверка сочетательного свойства ($(a+b)+c=a+(b+c)$):
$(a+b)+c = (\frac{1}{2} + (-2,5)) + 4 = (0,5 - 2,5) + 4 = -2 + 4 = 2$
$a+(b+c) = \frac{1}{2} + (-2,5 + 4) = 0,5 + 1,5 = 2$
Равенство $2 = 2$ верно, свойство выполняется.

Значение этих свойств для практических вычислений состоит в том, что они позволяют переставлять и группировать слагаемые наиболее удобным способом для упрощения расчётов.

Примеры:

1. Группировка чисел, которые в сумме дают "круглое" или целое число.
   Найти сумму: $1,8 + (-\frac{3}{4}) + (-2,8) + \frac{3}{4}$.
   Удобнее сгруппировать так: $(1,8 + (-2,8)) + ((-\frac{3}{4}) + \frac{3}{4}) = -1 + 0 = -1$.

2. Группировка положительных и отрицательных чисел.
   Найти сумму: $-15 + 26 - 5 + 14$.
   Удобнее сгруппировать так: $(26 + 14) + (-15 - 5) = 40 + (-20) = 20$.

Ответ: Значение переместительного и сочетательного свойств сложения для практических вычислений заключается в возможности группировать и переставлять слагаемые для упрощения расчетов, например, для сложения противоположных чисел, чисел, дающих в сумме целое (круглое) число, или для раздельного сложения положительных и отрицательных чисел.

436 1) Сформулируй переместительное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь переместительное свойство для значений переменных:

а) $-4,8$ и $0,3$;

б) $-3\frac{1}{4}$ и $-1,15$.

2) Сформулируй сочетательное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь сочетательное свойство для значений переменных:

а) $-1,5$; $2,7$; $-0,2$;

б) $-2\frac{3}{5}$; $-1,4$; $0,8$.

3) Проверь переместительное и сочетательное свойство сложения для произвольно выбранных тобой рациональных чисел. В чем значение этих свойств для практических вычислений? Приведи примеры.

437 Раскрой скобки и запиши выражение в виде алгебраической суммы. Есть ли в этой сумме противоположные слагаемые? Если да, подчеркни их.

1) $(-3) + (-8) + (+9) + (-6) + (+8)$;

2) $(+0.2) + (-1.4) + (-2.3) + (-1.4)$;

3) $(-a) + (+b) + (-x) + (-b) + (-x)$;

4) $(+n) + (-d) + (-y) + (-n) + (-d)$.

Чтобы раскрыть скобки и записать выражение в виде алгебраической суммы, нужно убрать скобки и знаки сложения между ними, сохраняя при этом знаки самих слагаемых. Если слагаемое положительное, знак «+» можно опустить, если оно не стоит в начале выражения. Противоположные слагаемые — это два слагаемых, которые отличаются только знаком и в сумме дают ноль (например, $a$ и $-a$).

Раскроем скобки в выражении $(-3) + (-8) + (+9) + (-6) + (+8)$.

Получаем алгебраическую сумму: $-3 - 8 + 9 - 6 + 8$.

В этой сумме есть противоположные слагаемые: $-8$ и $+8$. Подчеркнем их.

Ответ: $-3 - 8 + 9 - 6 + 8$.

Раскроем скобки в выражении $(+0,2) + (-1,4) + (-2,3) + (-1,4)$.

Получаем алгебраическую сумму: $0,2 - 1,4 - 2,3 - 1,4$.

В этой сумме нет противоположных слагаемых. Слагаемые $-1,4$ и $-1,4$ являются равными, а не противоположными.

Ответ: $0,2 - 1,4 - 2,3 - 1,4$.

Раскроем скобки в выражении $(-a) + (+b) + (-x) + (-b) + (-x)$.

Получаем алгебраическую сумму: $-a + b - x - b - x$.

В этой сумме есть противоположные слагаемые: $+b$ и $-b$. Подчеркнем их.

Ответ: $-a + b - x - b - x$.

Раскроем скобки в выражении $(+n) + (-d) + (-y) + (-n) + (-d)$.

Получаем алгебраическую сумму: $n - d - y - n - d$.

В этой сумме есть противоположные слагаемые: $n$ и $-n$. Подчеркнем их.

Ответ: $n - d - y - n - d$.

437 Раскрой скобки и запиши выражение в виде алгебраической суммы. Есть ли в этой сумме противоположные слагаемые? Если да, подчеркни их.

1) $(-3) + (-8) + (+9) + (-6) + (+8);$

2) $(+0,2) + (-1,4) + (-2,3) + (-1,4);$

3) $(-a) + (+b) + (-x) + (-b) + (-x);$

4) $(+n) + (-d) + (-y) + (-n) + (-d).$

438 Запиши выражение в виде суммы и назови противоположные слагаемые, если они есть:

а) $-4-5$;

б) $3-12$;

в) $2-7+2$;

г) $0-5-5$;

д) $-9-8+6+9-8$;

е) $0,7-1,2+0,7+1,2$;

ж) $-a+b+c-a-c$;

з) $x-y+n-x-y$.

а)

Чтобы записать выражение в виде суммы, нужно каждое вычитание заменить сложением с противоположным числом. Выражение $ -4 - 5 $ можно представить как сумму чисел $ -4 $ и $ -5 $.

$ -4 - 5 = -4 + (-5) $

Противоположные слагаемые — это два слагаемых, сумма которых равна нулю (например, $ a $ и $ -a $). В данном выражении таких слагаемых нет.

Ответ: $ -4 + (-5) $; противоположных слагаемых нет.

б)

Представим выражение $ 3 - 12 $ в виде суммы:

$ 3 - 12 = 3 + (-12) $

Противоположных слагаемых в этом выражении нет.

Ответ: $ 3 + (-12) $; противоположных слагаемых нет.

в)

Представим выражение $ 2 - 7 + 2 $ в виде суммы:

$ 2 - 7 + 2 = 2 + (-7) + 2 $

Противоположных слагаемых в данном выражении нет.

Ответ: $ 2 + (-7) + 2 $; противоположных слагаемых нет.

г)

Представим выражение $ 0 - 5 - 5 $ в виде суммы:

$ 0 - 5 - 5 = 0 + (-5) + (-5) $

Противоположных слагаемых здесь нет.

Ответ: $ 0 + (-5) + (-5) $; противоположных слагаемых нет.

д)

Представим выражение $ -9 - 8 + 6 + 9 - 8 $ в виде суммы:

$ -9 - 8 + 6 + 9 - 8 = (-9) + (-8) + 6 + 9 + (-8) $

В этом выражении есть пара противоположных слагаемых: $ -9 $ и $ 9 $.

Ответ: $ (-9) + (-8) + 6 + 9 + (-8) $; противоположные слагаемые: $ -9 $ и $ 9 $.

е)

Представим выражение $ 0,7 - 1,2 + 0,7 + 1,2 $ в виде суммы:

$ 0,7 - 1,2 + 0,7 + 1,2 = 0,7 + (-1,2) + 0,7 + 1,2 $

Противоположными слагаемыми являются $ -1,2 $ и $ 1,2 $.

Ответ: $ 0,7 + (-1,2) + 0,7 + 1,2 $; противоположные слагаемые: $ -1,2 $ и $ 1,2 $.

ж)

Представим выражение $ -a + b + c - a - c $ в виде суммы:

$ -a + b + c - a - c = (-a) + b + c + (-a) + (-c) $

Противоположные слагаемые в данном выражении: $ c $ и $ -c $.

Ответ: $ (-a) + b + c + (-a) + (-c) $; противоположные слагаемые: $ c $ и $ -c $.

з)

Представим выражение $ x - y + n - x - y $ в виде суммы:

$ x - y + n - x - y = x + (-y) + n + (-x) + (-y) $

Противоположные слагаемые в этом выражении: $ x $ и $ -x $.

Ответ: $ x + (-y) + n + (-x) + (-y) $; противоположные слагаемые: $ x $ и $ -x $.

438 Запиши выражение в виде суммы и назови противоположные слагаемые, если они есть:

а) $-4 - 5$;
б) $3 - 12$;
в) $2 - 7 + 2$;
г) $0 - 5 - 5$;
д) $-9 - 8 + 6 + 9 - 8$;
е) $0.7 - 1.2 + 0.7 + 1.2$;
ж) $-a + b + c - a - c$;
з) $x - y + n - x - y$.

439. Переставь слагаемые в сумме всеми возможными способами:

1) $-1 - 2$;

2) $3 - 4$;

3) $-5 - 7 + 9$;

4) $-a + b$;

5) $x - y - z$.

Для решения этой задачи необходимо определить слагаемые в каждом выражении и записать все возможные их перестановки. Слагаемое — это часть суммы, взятая со своим знаком. Количество возможных перестановок (комбинаций) для $n$ слагаемых вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал), где $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.

1) $ -1 - 2 $

В данном выражении два слагаемых: $-1$ и $-2$. Это можно записать как сумму $ (-1) + (-2) $.
Количество возможных перестановок для двух слагаемых равно $2! = 2 \cdot 1 = 2$.

Все возможные способы:

• $ -1 - 2 $
• $ -2 - 1 $

Ответ: $ -1 - 2 $; $ -2 - 1 $.

2) $ 3 - 4 $

В данном выражении два слагаемых: $3$ и $-4$. Это можно записать как сумму $ 3 + (-4) $.
Количество возможных перестановок для двух слагаемых равно $2! = 2 \cdot 1 = 2$.

Все возможные способы:

• $ 3 - 4 $
• $ -4 + 3 $

Ответ: $ 3 - 4 $; $ -4 + 3 $.

3) $ -5 - 7 + 9 $

В данном выражении три слагаемых: $-5$, $-7$ и $9$. Это можно записать как сумму $ (-5) + (-7) + 9 $.
Количество возможных перестановок для трех слагаемых равно $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Все возможные способы:

• $ -5 - 7 + 9 $
• $ -5 + 9 - 7 $
• $ -7 - 5 + 9 $
• $ -7 + 9 - 5 $
• $ 9 - 5 - 7 $
• $ 9 - 7 - 5 $

Ответ: $ -5 - 7 + 9 $; $ -5 + 9 - 7 $; $ -7 - 5 + 9 $; $ -7 + 9 - 5 $; $ 9 - 5 - 7 $; $ 9 - 7 - 5 $.

4) $ -a + b $

В данном выражении два слагаемых: $-a$ и $b$. Это можно записать как сумму $ (-a) + b $.
Количество возможных перестановок для двух слагаемых равно $2! = 2 \cdot 1 = 2$.

Все возможные способы:

• $ -a + b $
• $ b - a $

Ответ: $ -a + b $; $ b - a $.

5) $ x - y - z $

В данном выражении три слагаемых: $x$, $-y$ и $-z$. Это можно записать как сумму $ x + (-y) + (-z) $.
Количество возможных перестановок для трех слагаемых равно $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Все возможные способы:

• $ x - y - z $
• $ x - z - y $
• $ -y + x - z $
• $ -y - z + x $
• $ -z + x - y $
• $ -z - y + x $

Ответ: $ x - y - z $; $ x - z - y $; $ -y + x - z $; $ -y - z + x $; $ -z + x - y $; $ -z - y + x $.

439 Переставь слагаемые в сумме всеми возможными способами:

1) $-1 - 2$;

2) $3 - 4$;

3) $-5 - 7 + 9$;

4) $-a + b$;

5) $x - y - z$.

416. Построй окружность, описанную около треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Центром окружности, описанной около любого треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Эта точка (называемая циркумцентром) равноудалена от всех трех вершин треугольника.

Общий алгоритм построения описанной окружности для треугольника $ABC$ с помощью циркуля и линейки:

1. Построить серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ как из центров провести две дуги окружности одинакового радиуса (больше половины длины отрезка $AB$). Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром.
2. Аналогично построить серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
3. Найти точку $O$ — точку пересечения этих двух перпендикуляров. Эта точка и будет центром описанной окружности.
4. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным расстоянию от точки $O$ до любой из вершин треугольника (например, $OA$).

Расположение центра описанной окружности зависит от типа треугольника.

Для построения описанной окружности около остроугольного треугольника $ABC$ выполним следующие шаги:

1. Начертим остроугольный треугольник $ABC$.
2. Построим серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$.
3. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника.
4. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Эта окружность пройдет также через вершины $B$ и $C$.

Ответ: Центр описанной окружности остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Построение выполняется путем нахождения точки пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Для построения описанной окружности около прямоугольного треугольника $ABC$ (с прямым углом при вершине $C$) выполним следующие шаги:

1. Начертим прямоугольный треугольник $ABC$.
2. Построим серединные перпендикуляры к катетам $AC$ и $BC$.
3. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит на середине гипотенузы $AB$. Таким образом, можно упростить построение, просто найдя середину гипотенузы.
4. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB = OC$.

Ответ: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы. Построение сводится к нахождению середины гипотенузы.

Для построения описанной окружности около тупоугольного треугольника $ABC$ (с тупым углом при вершине $C$) выполним следующие шаги:

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$.
2. Построим серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$. Для этого может потребоваться продлить стороны за пределы треугольника.
3. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда находится вне треугольника.
4. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Эта окружность пройдет также через вершины $B$ и $C$.

Ответ: Центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Построение выполняется путем нахождения точки пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

416. Построй окружность, описанную около треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

417. Построй окружность, вписанную в треугольник $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Для построения окружности, вписанной в треугольник, необходимо найти ее центр и радиус. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника (инцентр). Радиусом является длина перпендикуляра, опущенного из инцентра на любую из сторон треугольника. Алгоритм построения не зависит от вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Рассмотрим построение на примере остроугольного треугольника $ABC$.

Порядок построения:

1. Начертим произвольный остроугольный треугольник $ABC$.

2. С помощью циркуля и линейки построим биссектрисы двух любых углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. Для построения биссектрисы угла $A$, с центром в вершине $A$ проведем дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны $AB$ и $AC$. Из полученных точек пересечения проведем две дуги одинакового радиуса до их взаимного пересечения. Луч, соединяющий вершину $A$ с этой точкой пересечения дуг, является биссектрисой.

3. Точку пересечения биссектрис обозначим $O$. Эта точка является центром искомой вписанной окружности.

4. Для нахождения радиуса построим перпендикуляр из точки $O$ на любую из сторон, например, на сторону $AC$. Для этого из точки $O$ проведем дугу, пересекающую сторону $AC$ в двух точках. Из этих двух точек проведем новые дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, соединяющая точку $O$ и новую точку пересечения, будет перпендикулярна стороне $AC$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра со стороной $AC$ как $H$.

5. Длина отрезка $OH$ является радиусом $r$ вписанной окружности.

6. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OH$. Эта окружность будет касаться всех трех сторон треугольника $ABC$ и является вписанной.

Ответ: Построена окружность, вписанная в остроугольный треугольник, путем нахождения центра в точке пересечения биссектрис и радиуса как длины перпендикуляра от центра к стороне.

Построение вписанной окружности для прямоугольного треугольника $ABC$ (например, с прямым углом $\angle C$) выполняется по тому же самому алгоритму.

1. Начертим прямоугольный треугольник $ABC$.

2. Построим биссектрисы двух любых углов (например, острых углов $\angle A$ и $\angle B$).

3. Найдем точку их пересечения $O$ — это и будет центр вписанной окружности.

4. Определим радиус $r$, построив перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на любую сторону (например, на катет $BC$).

5. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OH$.

Ответ: Искомая окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, построена согласно общему алгоритму.

Построение вписанной окружности для тупоугольного треугольника $ABC$ (например, с тупым углом $\angle B$) также выполняется по стандартному алгоритму. Важно отметить, что центр вписанной окружности, в отличие от центра описанной, всегда лежит внутри треугольника, независимо от его вида.

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$.

2. Построим биссектрисы двух любых углов (например, $\angle A$ и $\angle C$).

3. Найдем точку их пересечения $O$ — инцентр.

4. Определим радиус $r$, построив перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на любую из сторон (например, на сторону $AC$).

5. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OH$.

Ответ: Искомая окружность, вписанная в тупоугольный треугольник, построена по общему для всех треугольников алгоритму.

417 Построй окружность, вписанную в треугольник $ABC$, если треугольник $ABC$:

a) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

418 Построй ортоцентр треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Ортоцентр треугольника — это точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Для нахождения ортоцентра достаточно построить две такие прямые и найти их точку пересечения, так как третья прямая, содержащая высоту, обязательно пройдет через эту же точку.

а) треугольник ABC остроугольный

В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке, которая лежит внутри треугольника. Эта точка и является ортоцентром.
Порядок построения:
1. Из вершины A опускаем перпендикуляр (высоту) на сторону BC.
2. Из вершины B опускаем перпендикуляр (высоту) на сторону AC.
3. Точка пересечения H этих двух высот является искомым ортоцентром.

Ответ: Ортоцентр остроугольного треугольника находится внутри треугольника и является точкой пересечения его высот.

б) треугольник ABC прямоугольный

Пусть в треугольнике ABC угол C — прямой ($\angle C = 90^\circ$). Стороны AC и BC, образующие прямой угол, называются катетами.
Так как катеты взаимно перпендикулярны, то катет AC является высотой, опущенной из вершины A на прямую BC. Аналогично, катет BC является высотой, опущенной из вершины B на прямую AC.
Эти две высоты (катеты AC и BC) пересекаются в вершине C. Следовательно, ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ответ: Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной его прямого угла.

в) треугольник ABC тупоугольный

Пусть в треугольнике ABC угол B — тупой. В этом случае две из трех высот (проведенные из вершин острых углов) будут опущены на продолжения сторон, и их основания будут лежать вне отрезков, являющихся сторонами треугольника. Ортоцентр будет лежать вне треугольника.
Порядок построения:
1. Проводим прямую, содержащую высоту из вершины A. Для этого из точки A опускаем перпендикуляр на прямую, содержащую сторону BC (перпендикуляр упадет на продолжение стороны BC).
2. Проводим прямую, содержащую высоту из вершины C. Для этого из точки C опускаем перпендикуляр на прямую, содержащую сторону AB (перпендикуляр упадет на продолжение стороны AB).
3. Точка пересечения H этих двух прямых и будет ортоцентром.

Ответ: Ортоцентр тупоугольного треугольника находится вне треугольника и является точкой пересечения прямых, содержащих его высоты.

418. Построй ортоцентр треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

419 Практическая работа

Точка пересечения медиан является одновременно центром тяжести треугольника. Чтобы познакомиться с этим свойством, начерти на плотном листе картона произвольный треугольник $ABC$ и найди точку $O$ пересечения его медиан. Затем вырежь треугольник $ABC$, расположи его горизонтально и помести на вертикальный стержень (например, на острие карандаша или ручки) сначала в точке $O$, а потом в других точках. Что ты наблюдаешь?

Это практическая работа, демонстрирующая физическое свойство точки пересечения медиан треугольника. Для её выполнения нужно проделать следующие шаги:

1. Начертить на плотном листе картона или другого однородного материала произвольный треугольник $ABC$.
2. Найти середины каждой из трёх сторон. Для этого можно использовать линейку или циркуль. Обозначим середину стороны $BC$ как $M_1$, середину стороны $AC$ как $M_2$, и середину стороны $AB$ как $M_3$.
3. Провести медианы – отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон: $AM_1$, $BM_2$, $CM_3$.
4. Все три медианы пересекутся в одной точке. Обозначим эту точку буквой $O$. Эта точка называется центроидом треугольника.
5. Аккуратно вырезать треугольник $ABC$ по контуру.
6. Взять вертикальный стержень с острым концом, например, карандаш или ручку.
7. Попытаться уравновесить вырезанный треугольник, поместив его горизонтально на острие стержня.

В ходе проведения эксперимента можно сделать следующие наблюдения:

• Когда треугольник помещается на острие карандаша так, чтобы опора приходилась точно на точку $O$ (точку пересечения медиан), треугольник будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. Он будет лежать горизонтально, не качаясь и не падая. Это объясняется тем, что точка пересечения медиан является центром тяжести (или центром масс) для однородной треугольной пластины. Вся масса треугольника как бы сконцентрирована в этой точке, поэтому сила тяжести, приложенная к этой точке, полностью уравновешивается силой реакции опоры.
• Если попытаться установить треугольник на острие в любой другой точке, отличной от точки $O$, он не сможет удержать равновесие. Треугольник сразу же наклонится в сторону, где масса больше, и упадет. Это происходит потому, что сила тяжести, приложенная к центру масс $O$, создает вращающий момент относительно точки опоры, который и выводит фигуру из равновесия.

Таким образом, этот простой опыт наглядно доказывает, что точка пересечения медиан треугольника является его физическим центром тяжести.

Ответ: Если поместить картонный треугольник на острие стержня в точке пересечения медиан $O$, он будет сохранять равновесие. Если же поместить его на острие в любой другой точке, он потеряет равновесие и упадет.

419 Практическая работа.

Точка пересечения медиан является одновременно центром тяжести треугольника. Чтобы познакомиться с этим свойством, начерти на плотном листе картона произвольный треугольник $ABC$ и найди точку $O$ пересечения его медиан. Затем вырежь треугольник $ABC$, расположи его горизонтально и помести на вертикальный стержень (например, на острие карандаша или ручки) сначала в точке $O$, а потом в других точках. Что ты наблюдаешь?