Страница 92, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

393 В сумме, разности, произведении и частном чисел $x$ и $y$ изменены компоненты действий. Например, запись $(x : 11) : (y + 3)$ означает, что делимое уменьшено в 11 раз, а делитель увеличен на 3. Объясни, что изменилось в выражениях: 1) $x + y$; 2) $x - y$; 3) $xy$; 4) $x : y$. Запиши результаты этих изменений по образцу.

Образец: $(x+1)-(y-4)=(x-y)+5;$

$(x:2):(y \cdot 3)=(x:y):6.$

1) а) $(x + 7,6) + (y + \frac{2}{5})$

б) $(x + 1,5) + (y - 6)$

в) $(x - 3\frac{3}{4}) + (y - 0,25)$

2) г) $(x - 5) - (y + 1\frac{1}{3})$

д) $(x + 4) - (y + 0,4)$

е) $(x - 2\frac{1}{2}) - (y - 0,5)$

3) ж) $(x \cdot 3) \cdot (y \cdot 3)$

з) $(x : 2) \cdot (y : 4)$

и) $(x : 10) \cdot (y \cdot 5)$

4) к) $(x \cdot 4) : (y \cdot 2)$

л) $(x : 3) : (y \cdot 3)$

м) $(x \cdot 2) : (y : 2)$

а) В выражении $(x + 7,6) + (y + \frac{2}{5})$ первое слагаемое $x$ увеличено на 7,6, а второе слагаемое $y$ увеличено на $\frac{2}{5} = 0,4$. В результате исходная сумма $x+y$ изменится: $(x + 7,6) + (y + \frac{2}{5}) = x + 7,6 + y + 0,4 = (x + y) + (7,6 + 0,4) = (x + y) + 8$. Сумма увеличилась на 8.

Ответ: $(x + 7,6) + (y + \frac{2}{5}) = (x + y) + 8$.

б) В выражении $(x + 1,5) + (y - 6)$ первое слагаемое $x$ увеличено на 1,5, а второе слагаемое $y$ уменьшено на 6. В результате исходная сумма $x+y$ изменится: $(x + 1,5) + (y - 6) = x + 1,5 + y - 6 = (x + y) + (1,5 - 6) = (x + y) - 4,5$. Сумма уменьшилась на 4,5.

Ответ: $(x + 1,5) + (y - 6) = (x + y) - 4,5$.

в) В выражении $(x - 3\frac{3}{4}) + (y - 0,25)$ первое слагаемое $x$ уменьшено на $3\frac{3}{4} = 3,75$, а второе слагаемое $y$ уменьшено на 0,25. В результате исходная сумма $x+y$ изменится: $(x - 3,75) + (y - 0,25) = x - 3,75 + y - 0,25 = (x + y) - (3,75 + 0,25) = (x + y) - 4$. Сумма уменьшилась на 4.

Ответ: $(x - 3\frac{3}{4}) + (y - 0,25) = (x + y) - 4$.

г) В выражении $(x - 5) - (y + 1\frac{1}{3})$ уменьшаемое $x$ уменьшено на 5, а вычитаемое $y$ увеличено на $1\frac{1}{3}$. В результате исходная разность $x-y$ изменится: $(x - 5) - (y + 1\frac{1}{3}) = x - 5 - y - 1\frac{1}{3} = (x - y) - (5 + 1\frac{1}{3}) = (x - y) - 6\frac{1}{3}$. Разность уменьшилась на $6\frac{1}{3}$.

Ответ: $(x - 5) - (y + 1\frac{1}{3}) = (x - y) - 6\frac{1}{3}$.

д) В выражении $(x + 4) - (y + 0,4)$ уменьшаемое $x$ увеличено на 4, а вычитаемое $y$ увеличено на 0,4. В результате исходная разность $x-y$ изменится: $(x + 4) - (y + 0,4) = x + 4 - y - 0,4 = (x - y) + (4 - 0,4) = (x - y) + 3,6$. Разность увеличилась на 3,6.

Ответ: $(x + 4) - (y + 0,4) = (x - y) + 3,6$.

е) В выражении $(x - 2\frac{1}{2}) - (y - 0,5)$ уменьшаемое $x$ уменьшено на $2\frac{1}{2} = 2,5$, а вычитаемое $y$ уменьшено на 0,5. В результате исходная разность $x-y$ изменится: $(x - 2,5) - (y - 0,5) = x - 2,5 - y + 0,5 = (x - y) - (2,5 - 0,5) = (x - y) - 2$. Разность уменьшилась на 2.

Ответ: $(x - 2\frac{1}{2}) - (y - 0,5) = (x - y) - 2$.

ж) В выражении $(x \cdot 3) \cdot (y : 3)$ первый множитель $x$ увеличен в 3 раза, а второй множитель $y$ уменьшен в 3 раза. В результате исходное произведение $xy$ изменится: $(x \cdot 3) \cdot (y : 3) = 3x \cdot \frac{y}{3} = \frac{3xy}{3} = xy$. Произведение не изменилось.

Ответ: $(x \cdot 3) \cdot (y : 3) = xy$.

з) В выражении $(x : 2) \cdot (y : 4)$ первый множитель $x$ уменьшен в 2 раза, а второй множитель $y$ уменьшен в 4 раза. В результате исходное произведение $xy$ изменится: $(x : 2) \cdot (y : 4) = \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} = \frac{xy}{2 \cdot 4} = \frac{xy}{8} = xy : 8$. Произведение уменьшилось в 8 раз.

Ответ: $(x : 2) \cdot (y : 4) = xy : 8$.

и) В выражении $(x : 10) \cdot (y \cdot 5)$ первый множитель $x$ уменьшен в 10 раз, а второй множитель $y$ увеличен в 5 раз. В результате исходное произведение $xy$ изменится: $(x : 10) \cdot (y \cdot 5) = \frac{x}{10} \cdot 5y = \frac{5xy}{10} = \frac{xy}{2} = xy : 2$. Произведение уменьшилось в 2 раза.

Ответ: $(x : 10) \cdot (y \cdot 5) = xy : 2$.

к) В выражении $(x \cdot 4) : (y \cdot 2)$ делимое $x$ увеличено в 4 раза, а делитель $y$ увеличен в 2 раза. В результате исходное частное $x:y$ изменится: $(x \cdot 4) : (y \cdot 2) = \frac{4x}{2y} = \frac{4}{2} \cdot \frac{x}{y} = 2 \cdot (x:y) = (x:y) \cdot 2$. Частное увеличилось в 2 раза.

Ответ: $(x \cdot 4) : (y \cdot 2) = (x : y) \cdot 2$.

л) В выражении $(x : 3) : (y \cdot 3)$ делимое $x$ уменьшено в 3 раза, а делитель $y$ увеличен в 3 раза. В результате исходное частное $x:y$ изменится: $(x : 3) : (y \cdot 3) = \frac{x/3}{3y} = \frac{x}{3 \cdot 3y} = \frac{x}{9y} = \frac{1}{9} \cdot \frac{x}{y} = (x:y) : 9$. Частное уменьшилось в 9 раз.

Ответ: $(x : 3) : (y \cdot 3) = (x : y) : 9$.

м) В выражении $(x \cdot 2) : (y : 2)$ делимое $x$ увеличено в 2 раза, а делитель $y$ уменьшен в 2 раза. В результате исходное частное $x:y$ изменится: $(x \cdot 2) : (y : 2) = \frac{2x}{y/2} = 2x \cdot \frac{2}{y} = \frac{4x}{y} = 4 \cdot \frac{x}{y} = (x:y) \cdot 4$. Частное увеличилось в 4 раза.

Ответ: $(x \cdot 2) : (y : 2) = (x : y) \cdot 4$.

393 В сумме, разности, произведении и частном чисел $x$ и $y$ изменены компоненты действий. Например, запись $(x:11):(y+3)$ означает, что делимое уменьшено в 11 раз, а делитель увеличен на 3. Объясни, что изменилось в выражениях: 1) $x+y$; 2) $x-y$; 3) $xy$; 4) $x:y$. Запиши результаты этих изменений по образцу:

Образец:

$(x+1)-(y-4)=(x-y)+5$

$(x:2):(y \cdot 3)=(x:y):6$

1 а) $(x+7,6)+(y+\frac{2}{5})$

б) $(x+1,5)+(y-6)$

в) $(x-3\frac{3}{4})+(y-0,25)$

2 г) $(x-5)-(y+1\frac{1}{3})$

д) $(x+4)-(y+0,4)$

е) $(x-2\frac{1}{2})-(y-0,5)$

3 ж) $(x \cdot 3) \cdot (y:3)$

з) $(x:2) \cdot (y:4)$

и) $(x:10) \cdot (y \cdot 5)$

4 к) $(x \cdot 4) : (y \cdot 2)$

л) $(x:3) : (y \cdot 3)$

м) $(x \cdot 2) : (y:2)$.

394 Найди корень уравнения (устно):

а) $0.12 + x = 0.4;$

д) $3x = 11;$

и) $x + 4x = 2;$

н) $\frac{x}{3} = \frac{4}{5};$

б) $x - 5.4 = \frac{1}{5};$

е) $5 : x = 30;$

к) $2(0.5x - 3) = 0;$

о) $\frac{1}{x} = \frac{2}{3};$

в) $3 - x = 0.003;$

ж) $x : 0.6 = 1\frac{2}{3};$

л) $7x (x - 1.8) = 0;$

п) $\frac{0.1}{0.5} = \frac{x}{10}.$

г) $x + \frac{1}{8} = 1.375;$

з) $0.01x = 5;$

м) $2x + 9 = 3x - 1;$

р) $\frac{0.2}{0.3} = \frac{0.4}{x}.$

а) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $0,4$ вычесть известное слагаемое $0,12$.
$x = 0,4 - 0,12$
$x = 0,28$
Ответ: $0,28$.

б) Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности $\frac{1}{5}$ прибавить вычитаемое $5,4$. Представим дробь $\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби: $\frac{1}{5} = 0,2$.
$x = 0,2 + 5,4$
$x = 5,6$
Ответ: $5,6$.

в) Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого $3$ вычесть разность $0,003$.
$x = 3 - 0,003$
$x = 2,997$
Ответ: $2,997$.

г) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $1,375$ вычесть известное слагаемое $\frac{1}{8}$. Представим дробь $\frac{1}{8}$ в виде десятичной дроби: $\frac{1}{8} = 0,125$.
$x = 1,375 - 0,125$
$x = 1,25$
Ответ: $1,25$.

д) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $11$ разделить на известный множитель $3$.
$x = 11 : 3$
$x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$
Ответ: $3\frac{2}{3}$.

е) Чтобы найти делитель $x$, нужно делимое $5$ разделить на частное $30$.
$x = 5 : 30$
$x = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$.

ж) Чтобы найти делимое $x$, нужно частное $1\frac{2}{3}$ умножить на делитель $0,6$. Преобразуем числа в дроби: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$x = 1\frac{2}{3} \cdot 0,6$
$x = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}$
$x = 1$
Ответ: $1$.

з) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $5$ разделить на известный множитель $0,01$.
$x = 5 : 0,01$
$x = 500$
Ответ: $500$.

и) Сначала упростим левую часть уравнения, сложив подобные слагаемые.
$x + 4x = 5x$
$5x = 2$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим $2$ на $5$.
$x = 2 : 5$
$x = 0,4$
Ответ: $0,4$.

к) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $2 \ne 0$, то нулю должна быть равна скобка.
$0,5x - 3 = 0$
$0,5x = 3$
$x = 3 : 0,5$
$x = 6$
Ответ: $6$.

л) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Первый случай: $7x = 0$, откуда $x = 0$.
Второй случай: $x - 1,8 = 0$, откуда $x = 1,8$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 1,8$.

м) Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа - в другую.
$9 + 1 = 3x - 2x$
$10 = x$
Ответ: $10$.

н) Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).
$x \cdot 5 = 3 \cdot 4$
$5x = 12$
$x = 12 : 5$
$x = 2,4$
Ответ: $2,4$.

о) Это пропорция. Используем основное свойство пропорции.
$1 \cdot 3 = x \cdot 2$
$3 = 2x$
$x = 3 : 2$
$x = 1,5$
Ответ: $1,5$.

п) Это пропорция. Используем основное свойство пропорции.
$0,1 \cdot 10 = 0,5 \cdot x$
$1 = 0,5x$
$x = 1 : 0,5$
$x = 2$
Ответ: $2$.

р) Это пропорция. Используем основное свойство пропорции.
$0,2 \cdot x = 0,3 \cdot 0,4$
$0,2x = 0,12$
$x = 0,12 : 0,2$
$x = 0,6$
Ответ: $0,6$.

394 Найди корни уравнений (устно):

а) $0,12 + x = 0,4$;

б) $x - 5,4 = \frac{1}{5}$;

в) $3 - x = 0,003$;

г) $x + \frac{1}{8} = 1,375$;

д) $3x = 11$;

е) $5 : x = 30$;

ж) $x : 0,6 = 1\frac{2}{3}$;

з) $0,01x = 5$;

и) $x + 4x = 2$;

к) $2(0,5x - 3) = 0$;

л) $7x (x - 1,8) = 0$;

м) $2x + 9 = 3x - 1$;

н) $\frac{x}{3} = \frac{4}{5}$;

о) $\frac{1}{x} = \frac{2}{3}$;

п) $\frac{0,1}{0,5} = \frac{x}{10}$;

р) $\frac{0,2}{0,3} = \frac{0,4}{x}$.

395 Упрости выражение и найди его значение:

а) $7,2 \cdot (0,05a) \cdot 20$, если $a = \frac{1}{9}$;

б) $0,05 \cdot (0,125b) \cdot (8c)$, если $b = 1,8, c = 2$;

в) $0,1a + 2,5a + 0,5 + 1,8a + 3,5$, если $a = \frac{5}{11}$;

г) $1,6x + y + 0,4y + 0,9x$, если $x = 1,2, y = 5$;

д) $4(0,5n + 0,125) + 0,2(n + 2\frac{1}{2})$, если $n = 1,7$.

а) $7,2 \cdot (0,05a) \cdot 20$, если $a = \frac{1}{9}$

Сначала упростим выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения. Сгруппируем числовые множители:

$7,2 \cdot (0,05a) \cdot 20 = (7,2 \cdot 0,05 \cdot 20) \cdot a$

Вычислим произведение чисел в скобках:

$0,05 \cdot 20 = 1$

Тогда выражение примет вид:

$7,2 \cdot 1 \cdot a = 7,2a$

Теперь подставим значение $a = \frac{1}{9}$ в упрощенное выражение:

$7,2a = 7,2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7,2}{9} = 0,8$

Ответ: 0,8

б) $0,05 \cdot (0,125b) \cdot (8c)$, если $b = 1,8, c = 2$

Упростим выражение, перегруппировав множители:

$0,05 \cdot (0,125b) \cdot (8c) = (0,05 \cdot 0,125 \cdot 8) \cdot b \cdot c$

Вычислим произведение чисел в скобках:

$0,125 \cdot 8 = 1$

Выражение упрощается до:

$(0,05 \cdot 1) \cdot bc = 0,05bc$

Подставим значения $b = 1,8$ и $c = 2$:

$0,05 \cdot 1,8 \cdot 2 = 0,05 \cdot (1,8 \cdot 2) = 0,05 \cdot 3,6 = 0,18$

Ответ: 0,18

в) $0,1a + 2,5a + 0,5 + 1,8a + 3,5$, если $a = \frac{5}{11}$

Сначала приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и свободные члены:

$(0,1a + 2,5a + 1,8a) + (0,5 + 3,5)$

Сложим коэффициенты при $a$:

$0,1 + 2,5 + 1,8 = 4,4$

Сложим свободные члены:

$0,5 + 3,5 = 4$

Упрощенное выражение имеет вид:

$4,4a + 4$

Теперь подставим значение $a = \frac{5}{11}$:

$4,4 \cdot \frac{5}{11} + 4 = \frac{44}{10} \cdot \frac{5}{11} + 4 = \frac{44 \cdot 5}{10 \cdot 11} + 4 = \frac{4 \cdot 11 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 11} + 4 = \frac{4}{2} + 4 = 2 + 4 = 6$

Ответ: 6

г) $1,6x + y + 0,4y + 0,9x$, если $x = 1,2, y = 5$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав слагаемые с $x$ и слагаемые с $y$:

$(1,6x + 0,9x) + (y + 0,4y)$

Сложим коэффициенты при $x$ и при $y$:

$1,6 + 0,9 = 2,5$

$1 + 0,4 = 1,4$

Упрощенное выражение:

$2,5x + 1,4y$

Подставим значения $x = 1,2$ и $y = 5$:

$2,5 \cdot 1,2 + 1,4 \cdot 5 = 3 + 7 = 10$

Ответ: 10

д) $4(0,5n + 0,125) + 0,2(n + 2\frac{1}{2})$, если $n = 1,7$

Сначала раскроем скобки. Представим $2\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби $2,5$.

$4 \cdot 0,5n + 4 \cdot 0,125 + 0,2 \cdot n + 0,2 \cdot 2,5$

Выполним умножение:

$2n + 0,5 + 0,2n + 0,5$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(2n + 0,2n) + (0,5 + 0,5) = 2,2n + 1$

Подставим значение $n = 1,7$:

$2,2 \cdot 1,7 + 1 = 3,74 + 1 = 4,74$

Ответ: 4,74

395 Упрости выражения и найди их значения:

а) $7,2 \cdot (0,05a) \cdot 20$, если $a = \frac{1}{9}$;

б) $0,05 \cdot (0,125b) \cdot (8c)$, если $b = 1,8, c = 2$;

в) $0,1a + 2,5a + 0,5 + 1,8a + 3,5$, если $a = \frac{5}{11}$;

г) $1,6x + y + 0,4y + 0,9x$, если $x = 1,2, y = 5$;

д) $4(0,5n + 0,125) + 0,2(n + 2\frac{1}{2})$, если $n = 1,7$.

396 Запиши выражение в виде дроби и, если возможно, сократи его:

1) $\frac{a}{2} + \frac{b}{2a} (a \neq 0);$

2) $\frac{1}{5d} - \frac{c}{d^2} (d \neq 0);$

3) $\frac{3x}{y^2} \cdot (5y) \cdot \frac{2}{15x} (x, y \neq 0);$

4) $\frac{12mn^2}{k} : \frac{4mn}{7k^2} (k, m, n \neq 0).$

1) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2a}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2$ и $2a$ это $2a$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $a$:

$\frac{a}{2} + \frac{b}{2a} = \frac{a \cdot a}{2 \cdot a} + \frac{b}{2a} = \frac{a^2}{2a} + \frac{b}{2a}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{a^2 + b}{2a}$

Данную дробь сократить нельзя, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей.

Ответ: $\frac{a^2 + b}{2a}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{1}{5d} - \frac{c}{d^2}$, найдем их общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $5d$ и $d^2$ это $5d^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $d$, а второй — на $5$:

$\frac{1}{5d} - \frac{c}{d^2} = \frac{1 \cdot d}{5d \cdot d} - \frac{c \cdot 5}{d^2 \cdot 5} = \frac{d}{5d^2} - \frac{5c}{5d^2}$

Теперь вычтем числители:

$\frac{d - 5c}{5d^2}$

Полученную дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{d - 5c}{5d^2}$

3) Чтобы найти произведение, представим выражение $5y$ в виде дроби $\frac{5y}{1}$ и перемножим все числители и все знаменатели:

$\frac{3x}{y^2} \cdot (5y) \cdot \frac{2}{15x} = \frac{3x}{y^2} \cdot \frac{5y}{1} \cdot \frac{2}{15x} = \frac{3x \cdot 5y \cdot 2}{y^2 \cdot 1 \cdot 15x}$

Теперь сократим полученную дробь. Заметим, что $3 \cdot 5 = 15$, поэтому числовые коэффициенты в числителе и знаменателе сокращаются. Также сократим переменные $x$ и $y$:

$\frac{(3 \cdot 5) \cdot 2 \cdot x \cdot y}{15 \cdot x \cdot y^2} = \frac{15 \cdot 2 \cdot x \cdot y}{15 \cdot x \cdot y \cdot y} = \frac{2}{y}$

Ответ: $\frac{2}{y}$

4) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{12mn^2}{k} : \frac{4mn}{7k^2} = \frac{12mn^2}{k} \cdot \frac{7k^2}{4mn}$

Запишем произведение под одной дробной чертой и выполним сокращение:

$\frac{12mn^2 \cdot 7k^2}{k \cdot 4mn} = \frac{12 \cdot 7 \cdot m \cdot n^2 \cdot k^2}{4 \cdot k \cdot m \cdot n}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{12}{4} = 3$. Сократим переменные: $m$ сокращается, $\frac{n^2}{n} = n$, $\frac{k^2}{k} = k$.

В результате получаем: $3 \cdot 7 \cdot n \cdot k = 21nk$

Ответ: $21nk$

396 Запиши выражения в виде дробей и, если возможно, сократи их:

1) $ \frac{a}{2} + \frac{b}{2a} $ $(a \neq 0)$;

2) $ \frac{1}{5d} - \frac{c}{d^2} $ $(d \neq 0)$;

3) $ \frac{3x}{y^2} \cdot (5y) \cdot \frac{2}{15x} $ $(x, y \neq 0)$;

4) $ \frac{12mn^2}{k} : \frac{4mn}{7k^2} $ $(k, m, n \neq 0).$

411 На четырёх полках 180 книг. На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй, а число книг на третьей полке составляет 60 % от числа книг на второй и $\frac{2}{3}$ от числа книг на четвёртой полке. Сколько книг на каждой полке? На сколько процентов число книг на четвёртой полке меньше среднего арифметического числа книг на первых трёх полках?

Сколько книг на каждой полке?

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ — это количество книг на второй полке. Исходя из условий задачи, выразим количество книг на других полках через $x$:
- на первой полке: $2x$ книг;
- на третьей полке: $0.6x$ книг (поскольку 60% = 0.6).

Также известно, что количество книг на третьей полке составляет $\frac{2}{3}$ от количества книг на четвёртой. Выразим количество книг на четвёртой полке ($n_4$) через $x$:
$0.6x = \frac{2}{3} \cdot n_4$
$n_4 = 0.6x \cdot \frac{3}{2} = 0.9x$

Общее количество книг на всех четырёх полках равно 180. Составим уравнение, сложив количество книг на всех полках:
$2x + x + 0.6x + 0.9x = 180$
$4.5x = 180$
$x = \frac{180}{4.5} = \frac{1800}{45} = 40$

Мы нашли количество книг на второй полке ($x = 40$). Теперь вычислим количество книг на остальных полках:
- На первой полке: $2x = 2 \cdot 40 = 80$ книг.
- На второй полке: $x = 40$ книг.
- На третьей полке: $0.6x = 0.6 \cdot 40 = 24$ книги.
- На четвёртой полке: $0.9x = 0.9 \cdot 40 = 36$ книг.

Проверим, сходится ли сумма: $80 + 40 + 24 + 36 = 180$. Всё верно.
Ответ: на первой полке — 80 книг, на второй — 40 книг, на третьей — 24 книги, на четвёртой — 36 книг.

На сколько процентов число книг на четвёртой полке меньше среднего арифметического числа книг на первых трёх полках?

Сначала найдём среднее арифметическое числа книг на первых трёх полках ($n_1, n_2, n_3$):
Среднее арифметическое = $\frac{n_1 + n_2 + n_3}{3} = \frac{80 + 40 + 24}{3} = \frac{144}{3} = 48$ книг.

Теперь сравним это значение с количеством книг на четвёртой полке ($n_4 = 36$). Найдём, на сколько книг это меньше:
$48 - 36 = 12$ книг.

Чтобы определить, на сколько процентов число книг на четвёртой полке меньше среднего арифметического, нужно разделить разницу на среднее арифметическое (которое является базой для сравнения) и умножить на 100%.
Процентное соотношение = $\frac{\text{Разница}}{\text{Среднее арифметическое}} \cdot 100\% = \frac{12}{48} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: число книг на четвёртой полке на 25% меньше среднего арифметического числа книг на первых трёх полках.

411 На четырех полках 180 книг. На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй, а число книг на третьей полке составляет 60% от числа книг на второй и $\frac{2}{3}$ от числа книг на четвертой полке. Сколько книг на каждой полке?

На сколько процентов число книг на четвертой полке меньше среднего арифметического числа книг на первых трех полках?

412 В четырёх классах начальной школы 106 учеников. Во втором классе на 3 ученика больше, чем в первом, а число учеников в третьем классе составляет $ \frac{8}{9} $ от числа учеников в первом и 96 % от числа учеников в четвёртом классе. Сколько учеников в каждом классе? На сколько процентов среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах больше числа учеников в четвёртом классе?

Сколько учеников в каждом классе?

Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ — количество учеников в первом, втором, третьем и четвертом классах соответственно.
Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:
1) Общее число учеников: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 106$
2) Связь между первым и вторым классами: $x_2 = x_1 + 3$
3) Связь между первым и третьим классами: $x_3 = \frac{8}{9}x_1$
4) Связь между третьим и четвертым классами: $x_3 = 0.96x_4$

Для решения системы выразим все переменные через $x_1$.
Из уравнений (3) и (4) следует, что $\frac{8}{9}x_1 = 0.96x_4$.
Выразим $x_4$ через $x_1$:
$x_4 = \frac{\frac{8}{9}x_1}{0.96} = \frac{8}{9}x_1 \div \frac{96}{100} = \frac{8}{9}x_1 \cdot \frac{100}{96} = \frac{8}{9}x_1 \cdot \frac{25}{24} = \frac{25}{27}x_1$.

Теперь подставим выражения для $x_2$, $x_3$ и $x_4$ в уравнение (1):
$x_1 + (x_1 + 3) + \frac{8}{9}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 106$
Решим полученное уравнение:
$2x_1 + 3 + \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 106$
$2x_1 + \frac{24}{27}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 106 - 3$
$\frac{54}{27}x_1 + \frac{24}{27}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 103$
$\frac{54 + 24 + 25}{27}x_1 = 103$
$\frac{103}{27}x_1 = 103$
$x_1 = 27$

Зная количество учеников в первом классе ($x_1=27$), находим количество учеников в остальных классах:
Во втором классе: $x_2 = 27 + 3 = 30$ учеников.
В третьем классе: $x_3 = \frac{8}{9} \cdot 27 = 24$ ученика.
В четвертом классе: $x_4 = \frac{25}{27} \cdot 27 = 25$ учеников.
Проверка: $27 + 30 + 24 + 25 = 106$. Все верно.
Ответ: в первом классе – 27 учеников, во втором – 30 учеников, в третьем – 24 ученика, в четвёртом – 25 учеников.

На сколько процентов среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах больше числа учеников в четвёртом классе?

1. Найдём среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах:
$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{27 + 30 + 24}{3} = \frac{81}{3} = 27$ учеников.

2. Сравним полученное среднее значение (27) с числом учеников в четвёртом классе (25).
Для нахождения процентного превышения, примем число учеников в четвертом классе за 100%.
Найдём абсолютную разницу: $27 - 25 = 2$ ученика.
Вычислим, сколько процентов составляет эта разница от числа учеников в четвертом классе:
$\frac{2}{25} \cdot 100\% = 8\%$.
Ответ: среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах на 8% больше числа учеников в четвёртом классе.

412 В четырех классах начальной школы 106 учеников. Во втором классе на 3 ученика больше, чем в первом, а число учеников в третьем классе составляет $\frac{8}{9}$ от числа учеников в первом и 96% от числа учеников в четвертом классе. Сколько учеников в каждом классе? На сколько процентов среднее арифметическое число учеников в первых трех классах больше числа учеников в четвертом классе?

413 Выполни вычисления по алгоритму, заданному блок-схемой. Сопоставь полученным значениям $x$ соответствующие буквы и расшифруй имя и фамилию известного художника и учёного. Где и когда он жил и чем знаменит?

Алгоритм:

Вход: $a$

1. Вычислить $a_1 = a \cdot 0,1$.

2. Проверить условие $a_1 < 0,4$.

Если "да":

a) Вычислить $a_2 = a_1 + 2 \frac{2}{3}$.

b) Вычислить $a_3 = a_2 : \frac{7}{30}$.

c) Вычислить $x = a_3 - 5 \frac{3}{7}$.

Если "нет":

a) Вычислить $a_4 = a_1 - \frac{2}{9}$.

b) Проверить условие $a_4 \ge \frac{5}{18}$.

Если "да":

i) Вычислить $x = a_4 \cdot 9$.

Если "нет":

i) Вычислить $x = a_4 + 1 \frac{2}{45}$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить вычисления для каждого значения a от 0 до 10, следуя алгоритму, представленному на блок-схеме. Затем, полученные значения x нужно сопоставить с буквами из шифра.

В ходе вычислений выяснилось, что блок-схема, вероятно, содержит ошибки, так как для некоторых значений a (0, 1, 2, 3, 7) результат вычислений не соответствует ни одному из предложенных в шифре значений x. Также, для a=5 пришлось предположить, что условие в ромбе нестрогое ($ \ge $), а не строгое ($ > $), как нарисовано. Тем не менее, для большинства значений a вычисления приводят к верным результатам, что позволяет расшифровать имя.

Ниже представлены расчеты для каждого значения a.

a = 0

1. Начальное значение $ a=0 $. Вычисляем $ y = a \cdot 0,1 = 0 \cdot 0,1 = 0 $.

2. Проверяем условие $ y < 0,4 $. Так как $ 0 < 0,4 $, идем по ветке "да".

3. Выполняем операции: $ 0 + 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} $.

4. $ \frac{8}{3} : \frac{7}{30} = \frac{8}{3} \cdot \frac{30}{7} = \frac{8 \cdot 10}{7} = \frac{80}{7} $.

5. $ \frac{80}{7} - 5\frac{3}{7} = \frac{80}{7} - \frac{38}{7} = \frac{42}{7} = 6 $.

Полученное значение $ x=6 $ не соответствует ни одной букве в шифре.

Ответ: $ x=6 $ (нет в шифре).

a = 1, a = 2, a = 3

Для этих значений a также выполняется условие $ a \cdot 0,1 < 0,4 $, и вычисления идут по той же ветке "да".

При $ a=1 $: $ x = 6\frac{3}{7} $ (нет в шифре).

При $ a=2 $: $ x = 6\frac{6}{7} $ (нет в шифре).

При $ a=3 $: $ x = 7\frac{2}{7} $ (нет в шифре).

Ответ: Результаты не соответствуют значениям в шифре.

a = 4

1. Начальное значение $ a=4 $. Вычисляем $ y = a \cdot 0,1 = 4 \cdot 0,1 = 0,4 $.

2. Проверяем условие $ y < 0,4 $. Так как $ 0,4 $ не меньше $ 0,4 $, идем по ветке "нет".

3. Вычисляем $ z = y - \frac{2}{9} = 0,4 - \frac{2}{9} = \frac{4}{10} - \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18-10}{45} = \frac{8}{45} $.

4. Проверяем условие $ z > \frac{5}{18} $? $ \frac{8}{45} $ vs $ \frac{5}{18} $. Приводим к общему знаменателю 90: $ \frac{16}{90} < \frac{25}{90} $. Условие не выполняется, идем по ветке "нет".

5. $ x = z + 1\frac{2}{45} = \frac{8}{45} + 1\frac{2}{45} = 1\frac{10}{45} = 1\frac{2}{9} $.

Это значение есть в шифре. Оно соответствует букве И.

Ответ: $ x = 1\frac{2}{9} $ (буква И).

a = 5

1. Начальное значение $ a=5 $. Вычисляем $ y = a \cdot 0,1 = 5 \cdot 0,1 = 0,5 $.

2. $ 0,5 < 0,4 $ - нет.

3. $ z = y - \frac{2}{9} = 0,5 - \frac{2}{9} = \frac{1}{2} - \frac{2}{9} = \frac{9-4}{18} = \frac{5}{18} $.

4. Проверяем условие $ z > \frac{5}{18} $? $ \frac{5}{18} $ не больше $ \frac{5}{18} $. Если предположить, что в условии опечатка и оно должно быть $ \ge $ (больше или равно), то идем по ветке "да".

5. $ x = z \cdot 9 = \frac{5}{18} \cdot 9 = \frac{5}{2} = 2,5 $.

Это значение есть в шифре. Оно соответствует букве Р.

Ответ: $ x = 2,5 $ (буква Р).

a = 6

1. $ y = 6 \cdot 0,1 = 0,6 $. $ 0,6 < 0,4 $ - нет.

2. $ z = 0,6 - \frac{2}{9} = \frac{6}{10} - \frac{2}{9} = \frac{3}{5} - \frac{2}{9} = \frac{27-10}{45} = \frac{17}{45} $.

3. $ z > \frac{5}{18} $? $ \frac{17}{45} $ vs $ \frac{5}{18} \implies \frac{34}{90} > \frac{25}{90} $. Да.

4. $ x = z \cdot 9 = \frac{17}{45} \cdot 9 = \frac{17}{5} = 3,4 $.

Это значение есть в шифре. Оно соответствует буквам Н и С.

Ответ: $ x = 3,4 $ (буква Н или С).

a = 7

1. $ y = 7 \cdot 0,1 = 0,7 $. $ 0,7 < 0,4 $ - нет.

2. $ z = 0,7 - \frac{2}{9} = \frac{7}{10} - \frac{2}{9} = \frac{63-20}{90} = \frac{43}{90} $.

3. $ z > \frac{5}{18} $? $ \frac{43}{90} > \frac{25}{90} $. Да.

4. $ x = z \cdot 9 = \frac{43}{90} \cdot 9 = \frac{43}{10} = 4,3 $.

Полученное значение $ x=4,3 $ не соответствует ни одной букве в шифре.

Ответ: $ x=4,3 $ (нет в шифре).

a = 8

1. $ y = 8 \cdot 0,1 = 0,8 $. $ 0,8 < 0,4 $ - нет.

2. $ z = 0,8 - \frac{2}{9} = \frac{8}{10} - \frac{2}{9} = \frac{4}{5} - \frac{2}{9} = \frac{36-10}{45} = \frac{26}{45} $.

3. $ z > \frac{5}{18} $? $ \frac{26}{45} $ vs $ \frac{5}{18} \implies \frac{52}{90} > \frac{25}{90} $. Да.

4. $ x = z \cdot 9 = \frac{26}{45} \cdot 9 = \frac{26}{5} = 5,2 $.

Это значение есть в шифре. Оно соответствует буквам О и Д.

Ответ: $ x = 5,2 $ (буква О или Д).

a = 9

1. $ y = 9 \cdot 0,1 = 0,9 $. $ 0,9 < 0,4 $ - нет.

2. $ z = 0,9 - \frac{2}{9} = \frac{9}{10} - \frac{2}{9} = \frac{81-20}{90} = \frac{61}{90} $.

3. $ z > \frac{5}{18} $? $ \frac{61}{90} > \frac{25}{90} $. Да.

4. $ x = z \cdot 9 = \frac{61}{90} \cdot 9 = \frac{61}{10} = 6,1 $.

Это значение есть в шифре. Оно соответствует букве А.

Ответ: $ x = 6,1 $ (буква А).

a = 10

1. $ y = 10 \cdot 0,1 = 1 $. $ 1 < 0,4 $ - нет.

2. $ z = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $.

3. $ z > \frac{5}{18} $? $ \frac{7}{9} $ vs $ \frac{5}{18} \implies \frac{14}{18} > \frac{5}{18} $. Да.

4. $ x = z \cdot 9 = \frac{7}{9} \cdot 9 = 7 $.

Это значение есть в шифре. Оно соответствует букве В.

Ответ: $ x = 7 $ (буква В).

Расшифровка имени и фамилии

Соберем все успешно вычисленные соответствия:

• a=4 → x=1 2/9 → И
• a=5 → x=2,5 → Р
• a=6 → x=3,4 → Н (или С)
• a=8 → x=5,2 → О (или Д)
• a=9 → x=6,1 → А
• a=10 → x=7 → В

Полученные буквы (А, В, И, Н, О, Р, Д) являются частью имени и фамилии известного итальянского художника и учёного. Полный набор букв в шифре (Р, А, Н, И, Ч, Л, О, С, Д, Е, В) позволяет составить имя ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ. Рисунок на картинке, напоминающий "Витрувианского человека" и "Мону Лизу", также указывает на него.

Ответ: Зашифрованное имя и фамилия — Леонардо да Винчи.

Где и когда он жил и чем знаменит?

Леонардо ди сер Пьеро да Винчи (1452–1519) — великий итальянский художник (живописец, скульптор, архитектор) и учёный (анатом, естествоиспытатель), изобретатель, писатель, музыкант, один из крупнейших представителей искусства Высокого Возрождения.

Жил: в Италии (Флоренция, Милан, Рим) и во Франции.

Годы жизни: родился 15 апреля 1452 года, умер 2 мая 1519 года.

Чем знаменит:

• Как художник: автор всемирно известных шедевров, таких как "Мона Лиза" (Джоконда), фреска "Тайная вечеря", "Дама с горностаем".
• Как учёный и изобретатель: он оставил после себя тысячи страниц рукописей с научными исследованиями и чертежами. Он изучал анатомию, гидравлику, оптику, геологию, ботанику. Среди его изобретений — проекты парашюта, танка, вертолёта, велосипеда, прожектора, катапульты и многих других устройств, опередивших своё время на сотни лет. Его рисунок "Витрувианский человек" стал каноническим изображением идеальных пропорций человеческого тела.

Леонардо да Винчи считается универсальным гением, ярчайшим примером "человека эпохи Возрождения".

Ответ: Леонардо да Винчи жил в Италии и Франции с 1452 по 1519 год. Он знаменит как гениальный художник, создатель "Моны Лизы" и "Тайной вечери", а также как выдающийся учёный и изобретатель, чьи идеи и проекты значительно опередили его эпоху.

413 Выполни вычисления по алгоритму, заданному блок-схемой, сопоставь полученным значениям $x$ соответствующие буквы и расшифруй имя и фамилию известного художника и ученого. Где и когда он жил и чем знаменит?

Алгоритм вычисления:

Начальное значение: $a$

Умножить на $0,1$.

Если результат $< 0,4$ (да):

Прибавить $2\frac{1}{3}$.

Разделить на $\frac{7}{30}$.

Вычесть $5\frac{3}{7}$. Результат $x$.

Если результат $< 0,4$ (нет):

Вычесть $\frac{2}{9}$.

Если результат $>\frac{5}{18}$ (да):

Умножить на $9$. Результат $x$.

Если результат $>\frac{5}{18}$ (нет):

Прибавить $1\frac{2}{45}$. Результат $x$.

Таблица значений a и x:

a: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

x:

Буквы для расшифровки:

P A Н И Ч Л О С Д Е В

Возможные значения x:

2,5, 6,1, 3,4, $5\frac{3}{7}$, 5, $4\frac{4}{7}$, 5,2, 3,4

5,2, 5

7, $5\frac{6}{7}$, $5\frac{3}{7}$, $1\frac{2}{9}$, $5\frac{6}{7}$

414 Выполни деление и округли результат до сотых:

1) $63,04 : 0,9$;

2) $0,0348 : 0,07$;

3) $5,554 : 1,8$;

4) $11,31 : 0,56$.

1) Чтобы разделить $63,04$ на $0,9$, сначала избавимся от дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на $10$:

$63,04 : 0,9 = (63,04 \times 10) : (0,9 \times 10) = 630,4 : 9$

Выполним деление. Для округления до сотых нам нужно знать цифру в разряде тысячных.

$630,4 : 9 = 70,044...$

Теперь округлим результат до сотых. Следующая за сотыми цифра (в разряде тысячных) — это $4$. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем.

$70,044... \approx 70,04$

Ответ: $70,04$

2) Разделим $0,0348$ на $0,07$. Умножим делимое и делитель на $100$, чтобы делитель стал целым числом:

$0,0348 : 0,07 = (0,0348 \times 100) : (0,07 \times 100) = 3,48 : 7$

Выполним деление:

$3,48 : 7 \approx 0,4971...$

Округлим результат до сотых. Цифра в разряде тысячных — $7$. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотых ($9$) увеличиваем на единицу. Поскольку $9+1=10$, то в разряде сотых пишем $0$, а к разряду десятых прибавляем $1$.

$0,4971... \approx 0,50$

Ответ: $0,50$

3) Разделим $5,554$ на $1,8$. Умножим делимое и делитель на $10$:

$5,554 : 1,8 = (5,554 \times 10) : (1,8 \times 10) = 55,54 : 18$

Выполним деление:

$55,54 : 18 = 3,0855...$

Округлим результат до сотых. Цифра в разряде тысячных — $5$. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотых ($8$) увеличиваем на единицу.

$3,0855... \approx 3,09$

Ответ: $3,09$

4) Разделим $11,31$ на $0,56$. Умножим делимое и делитель на $100$:

$11,31 : 0,56 = (11,31 \times 100) : (0,56 \times 100) = 1131 : 56$

Выполним деление:

$1131 : 56 \approx 20,1964...$

Округлим результат до сотых. Цифра в разряде тысячных — $6$. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых ($9$) увеличиваем на единицу. Так же, как и во втором примере, это приводит к увеличению цифры в разряде десятых.

$20,1964... \approx 20,20$

Ответ: $20,20$

414 Выполни деление и округли результат до сотых:

1) $63,04 : 0,9$;

2) $0,0348 : 0,07$;

3) $5,554 : 1,8$;

4) $11,31 : 0,56$.

415 Вычисли и запиши следующие три числа в ряду ответов так, чтобы сохранялась закономерность.

$4 : 5$
$+ 1.2$
$- 1.5$
$\cdot 16$
$?$

$3 : \frac{1}{8}$
$\cdot 0.1$
$- \frac{4}{5}$
$: 0.02$
$?$

$1 - \frac{3}{7}$
$\cdot 3.5$
$: \frac{4}{15}$
$+ 1.5$
$?$

$0.9 \cdot 40$
$: 10$
$+ 5.4$
$: 0.1$
$?$

$\frac{14}{19} : 7$
$\cdot 19$
$- 0.8$
$: 0.12$
$?$

Чтобы решить задачу, сначала необходимо выполнить вычисления в каждом из пяти столбцов. Затем, получив ряд из пяти чисел, нужно определить закономерность в этом ряду и найти следующие три числа.

Выполним последовательно все действия, указанные в первом столбце:

1) $4 : 5 = 0,8$

2) $0,8 + 1,2 = 2$

3) $2 - 1,5 = 0,5$

4) $0,5 \cdot 16 = 8$

Результат первого вычисления: 8.

Ответ: 8

Выполним действия во втором столбце. Для удобства преобразуем смешанные типы чисел к одному виду (десятичным дробям).

1) $3 : \frac{1}{8} = 3 \cdot \frac{8}{1} = 24$

2) $24 \cdot 0,1 = 2,4$

3) $2,4 - \frac{4}{5} = 2,4 - 0,8 = 1,6$

4) $1,6 : 0,02 = 160 : 2 = 80$

Результат второго вычисления: 80.

Ответ: 80

Выполним действия в третьем столбце, работая с обыкновенными и десятичными дробями.

1) $1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$

2) $\frac{4}{7} \cdot 3,5 = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 2} = 2$

3) $2 : \frac{4}{15} = 2 \cdot \frac{15}{4} = \frac{30}{4} = 7,5$

4) $7,5 + 1,5 = 9$

Результат третьего вычисления: 9.

Ответ: 9

Выполним последовательно все действия в четвертом столбце:

1) $0,9 \cdot 40 = 36$

2) $36 : 10 = 3,6$

3) $3,6 + 5,4 = 9$

4) $9 : 0,1 = 90$

Результат четвертого вычисления: 90.

Ответ: 90

Выполним вычисления в последнем столбце:

1) $\frac{14}{19} : 7 = \frac{14}{19} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{19}$

2) $\frac{2}{19} \cdot 19 = 2$

3) $2 - 0,8 = 1,2$

4) $1,2 : 0,12 = 120 : 12 = 10$

Результат пятого вычисления: 10.

Ответ: 10

В результате вычислений мы получили ряд чисел: 8, 80, 9, 90, 10.

Проанализируем этот ряд, чтобы найти закономерность. Заметим, что ряд состоит из чередующихся чисел.

Члены на нечетных местах (первый, третий, пятый) образуют арифметическую прогрессию: 8, 9, 10. Каждый следующий член на 1 больше предыдущего.

Члены на четных местах (второй, четвертый) получаются умножением предыдущего члена на 10:

• Второй член: $8 \cdot 10 = 80$
• Четвертый член: $9 \cdot 10 = 90$

Следуя этой закономерности, найдем следующие три числа в ряду.

1. Шестой член ряда. Он должен быть равен пятому члену (10), умноженному на 10:

$10 \cdot 10 = 100$

2. Седьмой член ряда. Он должен быть на 1 больше пятого члена (10):

$10 + 1 = 11$

3. Восьмой член ряда. Он должен быть равен седьмому члену (11), умноженному на 10:

$11 \cdot 10 = 110$

Таким образом, следующие три числа, продолжающие закономерность: 100, 11, 110.

Ответ: 100, 11, 110

415 Вычисли и запиши следующие три числа в ряду ответов так, чтобы сохранялась закономерность:

$4 : 5$
$+ 1,2$
$- 1,5$
$\cdot 16$
$?$

$3 : \frac{1}{8}$
$\cdot 0,1$
$-\frac{4}{5}$
$: 0,02$
$?$

$1 - \frac{3}{7}$
$\cdot 3,5$
$: \frac{4}{15}$
$+ 1,5$
$?$

$0,9 \cdot 40$
$: 10$
$+ 5,4$
$: 0,1$
$?$

$\frac{14}{19} : 7$
$\cdot 19$
$- 0,8$
$: 0,12$
$?$

390 а) Первая сторона треугольника составляет $30 \%$ его периметра, а вторая – $25 \%$ периметра. Чему равна длина третьей стороны этого треугольника, если вторая сторона на $0,4$ дм короче первой?

б) Первая сторона треугольника составляет $48 \%$ второй стороны, а третья сторона – на $0,8$ см больше первой. На сколько процентов третья сторона треугольника меньше второй, если его периметр равен $5,7$ см?

а)

Пусть $P$ - периметр треугольника, $a$ - длина первой стороны, $b$ - длина второй стороны, $c$ - длина третьей стороны.
Согласно условию задачи:
Первая сторона составляет 30% периметра: $a = 0,3P$.
Вторая сторона составляет 25% периметра: $b = 0,25P$.
Вторая сторона на 0,4 дм короче первой: $a - b = 0,4$.

Подставим выражения для $a$ и $b$ в третье уравнение, чтобы найти периметр:
$0,3P - 0,25P = 0,4$
$0,05P = 0,4$
$P = \frac{0,4}{0,05} = 8$ дм.

Теперь, когда мы знаем периметр, мы можем найти длины сторон. Сумма длин всех сторон равна периметру: $a + b + c = P$.
Найдем, какую долю от периметра составляет третья сторона. Первая и вторая стороны вместе составляют $30\% + 25\% = 55\%$ периметра. Следовательно, на долю третьей стороны приходится:
$100\% - 55\% = 45\%$ от периметра.
Теперь найдем длину третьей стороны:
$c = 0,45 \cdot P = 0,45 \cdot 8 = 3,6$ дм.

Ответ: 3,6 дм.

б)

Пусть $a, b, c$ - длины первой, второй и третьей сторон треугольника соответственно. Периметр $P = 5,7$ см.
Из условия задачи известно:
1. Первая сторона составляет 48% от второй: $a = 0,48b$.
2. Третья сторона на 0,8 см больше первой: $c = a + 0,8$.
3. Сумма сторон равна периметру: $a + b + c = 5,7$.

Выразим все стороны через одну переменную, например, через $b$.
$a = 0,48b$
$c = a + 0,8 = 0,48b + 0,8$
Подставим эти выражения в уравнение периметра:
$(0,48b) + b + (0,48b + 0,8) = 5,7$
$1,96b + 0,8 = 5,7$
$1,96b = 5,7 - 0,8$
$1,96b = 4,9$
$b = \frac{4,9}{1,96} = 2,5$ см.
Теперь найдем длину третьей стороны:
$a = 0,48 \cdot 2,5 = 1,2$ см.
$c = a + 0,8 = 1,2 + 0,8 = 2$ см.

Вопрос задачи: на сколько процентов третья сторона меньше второй. Это значит, что для сравнения мы берем за 100% длину второй стороны $b$.
Найдем разницу в длинах: $b - c = 2,5 - 2 = 0,5$ см.
Теперь вычислим, какую долю эта разница составляет от длины второй стороны:
$\frac{b-c}{b} \cdot 100\% = \frac{0,5}{2,5} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: на 20%.

390 а) Первая сторона треугольника составляет 30% его периметра, а вторая – 25% периметра. Чему равна длина третьей стороны этого треугольника, если вторая сторона на 0,4 дм короче первой?

б) Первая сторона треугольника составляет 48% второй стороны, а третья сторона – на 0,8 см больше первой. На сколько процентов третья сторона треугольника меньше второй, если его периметр равен 5,7 см?

391 а) Увеличь число 12: на половину, на треть, на 10 %, на 25 %, на 100 %, на 200 %.

б) Уменьши число 60: на треть, на четверть, на 20 %, на 50 %, на 75 %, на 90 %.

в) Увеличь число $a$: на 4, на четверть, в 4 раза, на 30 %, на 50 %, на 250 %.

г) Уменьши число $b$: на 5, на пятую часть, в 5 раз, на 10 %, на 25 %, на 70 %.

а)

Чтобы увеличить число 12 на половину, нужно к нему прибавить его половину:
$12 + 12 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 6 = 18$.

Чтобы увеличить число 12 на треть, нужно к нему прибавить его третью часть:
$12 + 12 \cdot \frac{1}{3} = 12 + 4 = 16$.

Чтобы увеличить число 12 на 10 %, нужно к нему прибавить 10% от этого числа:
$12 + 12 \cdot \frac{10}{100} = 12 + 1.2 = 13.2$.

Чтобы увеличить число 12 на 25 %, нужно к нему прибавить 25% от этого числа:
$12 + 12 \cdot \frac{25}{100} = 12 + 3 = 15$.

Чтобы увеличить число 12 на 100 %, нужно к нему прибавить 100% от этого числа (то есть само число):
$12 + 12 \cdot \frac{100}{100} = 12 + 12 = 24$.

Чтобы увеличить число 12 на 200 %, нужно к нему прибавить 200% от этого числа (то есть удвоенное число):
$12 + 12 \cdot \frac{200}{100} = 12 + 24 = 36$.

Ответ: 18; 16; 13,2; 15; 24; 36.

б)

Чтобы уменьшить число 60 на треть, нужно из него вычесть его третью часть:
$60 - 60 \cdot \frac{1}{3} = 60 - 20 = 40$.

Чтобы уменьшить число 60 на четверть, нужно из него вычесть его четвертую часть:
$60 - 60 \cdot \frac{1}{4} = 60 - 15 = 45$.

Чтобы уменьшить число 60 на 20 %, нужно из него вычесть 20% от этого числа:
$60 - 60 \cdot \frac{20}{100} = 60 - 12 = 48$.

Чтобы уменьшить число 60 на 50 %, нужно из него вычесть 50% от этого числа:
$60 - 60 \cdot \frac{50}{100} = 60 - 30 = 30$.

Чтобы уменьшить число 60 на 75 %, нужно из него вычесть 75% от этого числа:
$60 - 60 \cdot \frac{75}{100} = 60 - 45 = 15$.

Чтобы уменьшить число 60 на 90 %, нужно из него вычесть 90% от этого числа:
$60 - 60 \cdot \frac{90}{100} = 60 - 54 = 6$.

Ответ: 40; 45; 48; 30; 15; 6.

в)

Увеличить число $a$ на 4: $a + 4$.

Увеличить число $a$ на четверть: $a + a \cdot \frac{1}{4} = a \cdot (1 + \frac{1}{4}) = \frac{5}{4}a = 1.25a$.

Увеличить число $a$ в 4 раза: $a \cdot 4 = 4a$.

Увеличить число $a$ на 30 %: $a + a \cdot \frac{30}{100} = a \cdot (1 + 0.3) = 1.3a$.

Увеличить число $a$ на 50 %: $a + a \cdot \frac{50}{100} = a \cdot (1 + 0.5) = 1.5a$.

Увеличить число $a$ на 250 %: $a + a \cdot \frac{250}{100} = a \cdot (1 + 2.5) = 3.5a$.

Ответ: $a + 4$; $1.25a$; $4a$; $1.3a$; $1.5a$; $3.5a$.

г)

Уменьшить число $b$ на 5: $b - 5$.

Уменьшить число $b$ на пятую часть: $b - b \cdot \frac{1}{5} = b \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{4}{5}b = 0.8b$.

Уменьшить число $b$ в 5 раз: $b : 5 = \frac{b}{5}$.

Уменьшить число $b$ на 10 %: $b - b \cdot \frac{10}{100} = b \cdot (1 - 0.1) = 0.9b$.

Уменьшить число $b$ на 25 %: $b - b \cdot \frac{25}{100} = b \cdot (1 - 0.25) = 0.75b$.

Уменьшить число $b$ на 70 %: $b - b \cdot \frac{70}{100} = b \cdot (1 - 0.7) = 0.3b$.

Ответ: $b - 5$; $0.8b$; $\frac{b}{5}$; $0.9b$; $0.75b$; $0.3b$.

391 a) Увеличь число 12: на половину, на треть, на 10%, на 25%, на 100%, на 200%.

б) Уменьши число 60: на треть, на четверть, на 20%, на 50%, на 75%, на 90%.

в) Увеличь число $a$: на 4, на четверть, в 4 раза, на 30%, на 50%, на 250%.

г) Уменьши число $b$: на 5, на пятую часть, в 5 раз, на 10%, на 25%, на 70%.

392 БЛИЦтурнир

а) Цена на товар увеличилась сначала на 30 %, а потом ещё на 20 % от новой цены. На сколько процентов увеличилась цена товара по сравнению с первоначальной?

б) В школе за счёт профилактических мероприятий число заболевших гриппом уменьшилось за первый год на 20 %, а за второй – ещё на 15 % по сравнению с первым годом. На сколько всего процентов уменьшилось число заболевших гриппом в школе за эти два года?

в) Температура воздуха за ночь понизилась на 20 %, а за день повысилась на 20 %. На сколько процентов и как изменилась температура воздуха за сутки?

г) За первый месяц число вкладчиков банка увеличилось на 10 %, а за второй уменьшилось на 10 %. На сколько процентов и как изменилось число вкладчиков за эти два месяца?

а) Пусть первоначальная цена товара равна $x$.
После первого увеличения на 30% цена стала составлять $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной:
$x_1 = x \times 1.3 = 1.3x$
Затем новая цена $x_1$ увеличилась ещё на 20%. Итоговая цена $x_2$ стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от цены $x_1$:
$x_2 = x_1 \times 1.2 = (1.3x) \times 1.2 = 1.56x$
Итоговая цена составляет $1.56$ от первоначальной, то есть 156%. Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась цена, вычтем из итогового процентного значения первоначальное (100%):
$156\% - 100\% = 56\%$
Или через отношение:
$\frac{x_2 - x}{x} \times 100\% = \frac{1.56x - x}{x} \times 100\% = 0.56 \times 100\% = 56\%$
Ответ: цена увеличилась на 56%.

б) Пусть первоначальное число заболевших гриппом равно $y$.
За первый год число заболевших уменьшилось на 20%, то есть составило $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначального:
$y_1 = y \times (1 - 0.2) = 0.8y$
За второй год число заболевших уменьшилось ещё на 15% по сравнению с числом в конце первого года ($y_1$). Новое число заболевших $y_2$ составило $100\% - 15\% = 85\%$ от $y_1$:
$y_2 = y_1 \times (1 - 0.15) = 0.85y_1$
Подставим значение $y_1$:
$y_2 = 0.85 \times (0.8y) = 0.68y$
Это означает, что через два года число заболевших составило 68% от первоначального. Общее уменьшение за два года составляет:
$100\% - 68\% = 32\%$
Ответ: число заболевших уменьшилось на 32%.

в) Пусть начальная температура воздуха была $T$.
За ночь температура понизилась на 20%, то есть стала равна $100\% - 20\% = 80\%$ от начальной:
$T_1 = T \times (1 - 0.2) = 0.8T$
За день температура повысилась на 20% от ночной температуры $T_1$. Конечная температура $T_2$ составила $100\% + 20\% = 120\%$ от $T_1$:
$T_2 = T_1 \times (1 + 0.2) = 1.2T_1$
Выразим конечную температуру через начальную:
$T_2 = 1.2 \times (0.8T) = 0.96T$
Конечная температура составляет 96% от начальной. Это означает, что температура понизилась. Изменение температуры в процентах:
$100\% - 96\% = 4\%$
Ответ: температура воздуха понизилась на 4%.

г) Пусть начальное число вкладчиков было $N$.
За первый месяц число вкладчиков увеличилось на 10%, составив $100\% + 10\% = 110\%$ от начального:
$N_1 = N \times 1.1 = 1.1N$
За второй месяц число вкладчиков уменьшилось на 10% от нового числа $N_1$, составив $100\% - 10\% = 90\%$ от $N_1$:
$N_2 = N_1 \times 0.9 = 0.9N_1$
Выразим конечное число вкладчиков через начальное:
$N_2 = 0.9 \times (1.1N) = 0.99N$
Конечное число вкладчиков составляет 99% от начального, то есть число вкладчиков уменьшилось. Уменьшение составляет:
$100\% - 99\% = 1\%$
Ответ: число вкладчиков уменьшилось на 1%.

392 БЛИЦтурнир.

а) Цена на товар увеличилась сначала на $30\%$, а потом еще на $20\%$ от новой цены. На сколько процентов увеличилась цена товара по сравнению с первоначальной?

б) В школе за счет профилактических мероприятий число заболевших гриппом уменьшилось за первый год на $20\%$, а за второй – еще на $15\%$ по сравнению с первым годом. На сколько всего процентов уменьшилось число заболевших гриппом в школе за эти два года?

в) Температура воздуха за ночь понизилась на $20\%$, а за день – повысилась на $20\%$. На сколько процентов и как изменилась температура воздуха за сутки?

г) За первый месяц число вкладчиков банка увеличилась на $10\%$, а за второй – уменьшилось на $10\%$. На сколько процентов и как изменилось число вкладчиков за эти два месяца?

393. В городе Пряничном мэр задумал ввести налог на пряники — каждый, кто покупает пряник, должен заплатить 20 % от стоимости пряника в городскую казну. А заместитель мэра предложил поднять цену на пряники на 20 % и забирать в казну 20 % выручки продавцов. Какое из двух предложений (мэра или его заместителя) принесёт в казну больше денег, если в обоих случаях покупать будут одинаково?

Для того чтобы определить, какое из предложений принесёт в казну больше денег, введём переменные и рассчитаем доход казны в каждом из случаев, предполагая, что количество проданных пряников будет одинаковым.

Пусть $C$ — это первоначальная стоимость одного пряника, а $N$ — количество проданных пряников.

1. Предложение мэра

Мэр предлагает ввести налог в размере 20% от стоимости пряника. Налог рассчитывается от первоначальной цены.

Сумма налога с одного пряника составит: $0,2 \times C$.

Общая сумма, которая поступит в казну от продажи $N$ пряников, будет равна:

$S_{1} = N \times (0,2 \times C) = 0,2NC$

2. Предложение заместителя мэра

Заместитель мэра предлагает сначала поднять цену на пряники на 20%, а затем забирать в казну 20% от выручки продавцов.

Сначала найдём новую цену пряника после повышения на 20%:

$C_{новая} = C + 0,2 \times C = C \times (1 + 0,2) = 1,2C$

Выручка продавца от продажи одного пряника по новой цене равна $1,2C$.

Далее, в казну забирают 20% от этой выручки. Сумма, поступающая в казну с одного проданного пряника, составит:

$0,2 \times C_{новая} = 0,2 \times (1,2C) = 0,24C$

Общая сумма, которая поступит в казну от продажи $N$ пряников, будет:

$S_{2} = N \times (0,24C) = 0,24NC$

Сравнение результатов

Теперь сравним суммы, которые поступят в казну при реализации каждого из предложений:

$S_{1} = 0,2NC$ (предложение мэра)

$S_{2} = 0,24NC$ (предложение заместителя)

Поскольку $0,24 > 0,2$, то и $S_{2} > S_{1}$. Это означает, что предложение заместителя мэра принесёт в казну больше денег.

Ответ: Предложение заместителя мэра принесёт в казну больше денег.

Вкладчиков за эти два месяца?

393 В городе Пряничном мэр задумал ввести налог на пряники — каждый, кто покупает пряник, должен заплатить 20% от стоимости пряника в городскую казну. А заместитель мэра предложил поднять цену на пряники на 20% и забирать в казну 20% выручки продавцов. Какое из двух предложений (мэра или его заместителя) принесет в казну больше денег, если в обоих случаях покупать будут одинаково?

394 a) В треугольнике первая сторона на 50 % больше второй, но на 25 % меньше третьей. Меньшую сторону увеличили на 40 %, а большую увеличили на 25 %. Как изменился периметр треугольника и на сколько процентов?

б) Одна сторона прямоугольника на 200 % больше второй. Меньшую сторону увеличили на 30 %, а большую уменьшили на 30 %. Как изменился периметр прямоугольника и на сколько процентов?

а)

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Пусть $a$ — первая сторона, $b$ — вторая, $c$ — третья.

По условию, первая сторона на 50% больше второй, что можно записать как:
$a = b + 0.5 \cdot b = 1.5b$

Также первая сторона на 25% меньше третьей, что означает:
$a = c - 0.25 \cdot c = 0.75c$
Из этого соотношения выразим третью сторону $c$ через первую $a$:
$c = \frac{a}{0.75} = \frac{a}{3/4} = \frac{4}{3}a$

Теперь выразим все стороны через вторую сторону $b$:
$a = 1.5b$
$b = b$
$c = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3}(1.5b) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}b = 2b$

Таким образом, длины сторон относятся как $1.5:1:2$. Сравним их, чтобы найти меньшую и большую стороны: $b < 1.5b < 2b$. Следовательно, меньшая сторона — это $b$, а большая — $c = 2b$.

Начальный периметр треугольника $P_1$ равен сумме длин его сторон:
$P_1 = a + b + c = 1.5b + b + 2b = 4.5b$

Теперь найдем новые длины сторон. Меньшую сторону ($b$) увеличили на 40%, а большую ($c$) увеличили на 25%. Средняя сторона ($a$) не изменилась.
Новая длина меньшей стороны: $b_{new} = b \cdot (1 + 0.40) = 1.4b$
Новая длина большей стороны: $c_{new} = c \cdot (1 + 0.25) = 2b \cdot 1.25 = 2.5b$
Длина средней стороны не изменилась: $a_{new} = 1.5b$

Новый периметр треугольника $P_2$ равен:
$P_2 = a_{new} + b_{new} + c_{new} = 1.5b + 1.4b + 2.5b = 5.4b$

Чтобы найти, на сколько процентов изменился периметр, воспользуемся формулой:
$\frac{P_2 - P_1}{P_1} \cdot 100\% = \frac{5.4b - 4.5b}{4.5b} \cdot 100\% = \frac{0.9b}{4.5b} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Поскольку результат положительный, периметр увеличился.

Ответ: Периметр треугольника увеличился на 20%.

б)

Обозначим стороны прямоугольника как $x$ и $y$. Пусть $y$ — меньшая сторона.

По условию, одна сторона на 200% больше второй. Это значит, что большая сторона $x$ равна:
$x = y + 2.00 \cdot y = 3y$

Итак, стороны прямоугольника — $y$ (меньшая) и $3y$ (большая).

Начальный периметр прямоугольника $P_1$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (длина + ширина)$:
$P_1 = 2 \cdot (3y + y) = 2 \cdot (4y) = 8y$

Теперь найдем новые длины сторон. Меньшую сторону ($y$) увеличили на 30%, а большую ($3y$) уменьшили на 30%.
Новая длина меньшей стороны: $y_{new} = y \cdot (1 + 0.30) = 1.3y$
Новая длина большей стороны: $x_{new} = 3y \cdot (1 - 0.30) = 3y \cdot 0.7 = 2.1y$

Новый периметр прямоугольника $P_2$ равен:
$P_2 = 2 \cdot (x_{new} + y_{new}) = 2 \cdot (2.1y + 1.3y) = 2 \cdot (3.4y) = 6.8y$

Чтобы найти, на сколько процентов изменился периметр, воспользуемся формулой:
$\frac{P_2 - P_1}{P_1} \cdot 100\% = \frac{6.8y - 8y}{8y} \cdot 100\% = \frac{-1.2y}{8y} \cdot 100\% = -0.15 \cdot 100\% = -15\%$

Поскольку результат отрицательный, периметр уменьшился.

Ответ: Периметр прямоугольника уменьшился на 15%.

394 а) В треугольнике первая сторона на 50% больше второй, но на 25% меньше третьей. Меньшую сторону увеличили на 40%, а большую – увеличили на 25%. Как изменился периметр треугольника и на сколько процентов?

б) Одна сторона прямоугольника на 200% больше второй. Меньшую сторо- ну увеличили на 30%, а большую – уменьшили на 30%. Как изменился периметр прямоугольника и на сколько процентов?