Страница 85, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

376 Найди значение выражения наиболее рациональным способом:

1) $(12.75 + 2.25 \cdot 1\frac{5}{9} - 1\frac{2}{3} - 12.75 + 3.6 \cdot 1\frac{3}{4}) : 24.4;$

2) $\frac{11.2 \cdot 3.06 - 3.05 \cdot (13.25 - 3.69 : 1.8)}{0.056 \cdot 8.09 - 3.09 \cdot 0.056}$.

$(12,75 + 2,25 \cdot 1\frac{5}{9} - 1\frac{2}{3} - 12,75 + 3,6 \cdot 1\frac{3}{4}) : 24,4$

Наиболее рациональный способ решения — это сначала упростить выражение в скобках, сгруппировав и сократив некоторые члены.

1. Заметим, что в скобках есть числа $12,75$ и $-12,75$, которые в сумме дают ноль: $12,75 - 12,75 = 0$.

Выражение упрощается до: $(2,25 \cdot 1\frac{5}{9} - 1\frac{2}{3} + 3,6 \cdot 1\frac{3}{4}) : 24,4$.

2. Преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений.

$2,25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

$1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$

$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

$3,6 = 3\frac{6}{10} = \frac{18}{5}$

$1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$24,4 = 24\frac{4}{10} = \frac{122}{5}$

3. Выполним умножения в скобках:

$2,25 \cdot 1\frac{5}{9} = \frac{9}{4} \cdot \frac{14}{9} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$3,6 \cdot 1\frac{3}{4} = \frac{18}{5} \cdot \frac{7}{4} = \frac{9 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{63}{10}$

4. Подставим результаты обратно в скобки и выполним вычитание и сложение:

$\frac{7}{2} - \frac{5}{3} + \frac{63}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю $30$:

$\frac{7 \cdot 15}{30} - \frac{5 \cdot 10}{30} + \frac{63 \cdot 3}{30} = \frac{105 - 50 + 189}{30} = \frac{55 + 189}{30} = \frac{244}{30} = \frac{122}{15}$

5. Выполним последнее действие — деление:

$\frac{122}{15} : 24,4 = \frac{122}{15} : \frac{122}{5} = \frac{122}{15} \cdot \frac{5}{122} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

$\frac{11,2 \cdot 3,06 - 3,05 \cdot (13,25 - 3,69 : 1,8)}{0,056 \cdot 8,09 - 3,09 \cdot 0,056}$

Для рационального решения упростим отдельно числитель и знаменатель дроби, используя распределительный закон умножения (вынесение общего множителя за скобки).

1. Упростим знаменатель: $0,056 \cdot 8,09 - 3,09 \cdot 0,056$.

Общий множитель здесь $0,056$. Вынесем его за скобки:

$0,056 \cdot (8,09 - 3,09) = 0,056 \cdot 5 = 0,28$

2. Упростим числитель: $11,2 \cdot 3,06 - 3,05 \cdot (13,25 - 3,69 : 1,8)$.

Сначала выполним действия в скобках:

$3,69 : 1,8 = 36,9 : 18 = 2,05$

$13,25 - 2,05 = 11,2$

Теперь числитель выглядит так: $11,2 \cdot 3,06 - 3,05 \cdot 11,2$.

Общий множитель здесь $11,2$. Вынесем его за скобки:

$11,2 \cdot (3,06 - 3,05) = 11,2 \cdot 0,01 = 0,112$

3. Найдем значение всей дроби:

Подставим упрощенные значения числителя и знаменателя:

$\frac{0,112}{0,28}$

Для удобства деления умножим числитель и знаменатель на $1000$, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{0,112 \cdot 1000}{0,28 \cdot 1000} = \frac{112}{280}$

Сократим полученную дробь. $112 = 4 \cdot 28$ и $280 = 10 \cdot 28$.

$\frac{112}{280} = \frac{4 \cdot 28}{10 \cdot 28} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: $0,4$

376 Найди значение выражения наиболее рациональным способом:

1) $(12.75 + 2.25 \cdot 1\frac{5}{9} - 1\frac{2}{3} - 12.75 + 3.6 \cdot 1\frac{3}{4}) : 24.4;$

2) $\frac{11.2 \cdot 3.06 - 3.05 \cdot (13.25 - 3.69 : 1.8)}{0.056 \cdot 8.09 - 3.09 \cdot 0.056}$

D 377 Вставь число так, чтобы получилось истинное высказывание. Переведи высказывание с математического языка на русский и сделай чертёж:

а) $-(+2) = ...;$

б) $-(...) = 5;$

в) $3 = -(...);$

г) $-4 = -(...).$

а)

Чтобы высказывание стало истинным, нужно найти число, противоположное числу $(+2)$. Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаком и расположены на координатной прямой на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Для положительного числа $+2$ противоположным является отрицательное число $-2$.

Таким образом, получаем истинное высказывание: $-(+2) = -2$.

Перевод с математического языка на русский: «Число, противоположное числу плюс два, равно минус два».

Чертёж, иллюстрирующий расположение противоположных чисел $+2$ и $-2$ на координатной прямой:

Ответ: $-2$.

б)

Требуется найти число, противоположное которому равно $5$. Обозначим искомое число за $x$. Тогда по условию $-x = 5$. Умножив обе части уравнения на $-1$, получим $x = -5$. Также это следует из правила: $-(-a) = a$.

Вставив число $-5$ в скобки, получим истинное высказывание: $-(-5) = 5$.

Перевод с математического языка на русский: «Число, противоположное числу минус пять, равно пять».

Чертёж, иллюстрирующий расположение противоположных чисел $-5$ и $+5$ на координатной прямой:

Ответ: $-5$.

в)

В этом выражении нужно найти число, противоположное которому равно $3$. Если $3 = -x$, то, умножив обе части на $-1$, получим $x=-3$. Значит, искомое число — это $-3$.

Вставив $-3$ в скобки, получим верное равенство: $3 = -(-3)$.

Перевод с математического языка на русский: «Число три равно числу, противоположному числу минус три».

Чертёж, иллюстрирующий расположение противоположных чисел $-3$ и $+3$ на координатной прямой:

Ответ: $-3$.

г)

Здесь необходимо найти число, противоположное которому равно $-4$. Если $-4 = -x$, то, разделив обе части на $-1$, получим $x=4$. Искомое число — это $4$ (или $+4$).

Вставив число $+4$ в скобки, получим истинное высказывание: $-4 = -(+4)$.

Перевод с математического языка на русский: «Число минус четыре равно числу, противоположному числу плюс четыре».

Чертёж, иллюстрирующий расположение противоположных чисел $-4$ и $+4$ на координатной прямой:

Ответ: $+4$.

D 377 Вставь число так, чтобы получилось истинное высказывание. Переведи высказывание с математического языка на русский и сделай чертеж:

а) $- (+2) = \dots$;

б) $- (\dots) = 5$;

в) $3 = - (\dots)$;

г) $-4 = - (\dots)$.

378 Реши уравнения и расположи их корни на координатной прямой. Если задание выполнено верно, то соответствующие им буквы образуют имя древнегреческой богини судьбы и случая.

И $-x = 1$

Е $-y = -4$

Т $-z = -(-3)$

Х $-(+2) = -t$

Для того чтобы узнать имя древнегреческой богини, необходимо решить каждое уравнение, найти его корень и расположить корни на координатной прямой в порядке возрастания. Каждому корню соответствует буква.

И

Решим уравнение $-x = 1$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$(-1) \cdot (-x) = 1 \cdot (-1)$
$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

Е

Решим уравнение $-y = -4$.
Чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$(-1) \cdot (-y) = (-4) \cdot (-1)$
$y = 4$

Ответ: $y = 4$.

Т

Решим уравнение $-z = -(-3)$.
Сначала упростим правую часть уравнения: $-(-3) = 3$.
Получаем уравнение $-z = 3$.
Чтобы найти $z$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$(-1) \cdot (-z) = 3 \cdot (-1)$
$z = -3$

Ответ: $z = -3$.

Х

Решим уравнение $-(+2) = -t$.
Сначала упростим левую часть уравнения: $-(+2) = -2$.
Получаем уравнение $-2 = -t$.
Чтобы найти $t$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$(-2) \cdot (-1) = (-t) \cdot (-1)$
$2 = t$ или $t = 2$.

Ответ: $t = 2$.

Теперь расположим полученные корни на координатной прямой в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

• $z = -3$ (буква Т)
• $x = -1$ (буква И)
• $t = 2$ (буква Х)
• $y = 4$ (буква Е)

Расположив буквы в соответствии с порядком их корней на числовой прямой (от меньшего к большему), получаем имя:

ТИХЕ

Тихе — в древнегреческой мифологии богиня судьбы и случая.

378 Реши уравнения и расположи их корни на координатной прямой. Если задание выполнено верно, то соответствующие им буквы образуют имя древнегреческой богини судьбы и случая.

И $-x = 1$

Е $-y = -4$

Т $-z = -(-3)$

Х $-(+2) = -t$

379 Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу. Запиши на математическом языке закономерности, которые ты наблюдаешь.

Для решения задачи необходимо заполнить таблицу, а затем на основе полученных данных сформулировать и записать математические закономерности. Для заполнения таблицы воспользуемся определениями противоположного числа и модуля числа.

• Противоположное число для числа $x$ — это число $-x$. Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля на координатной прямой, но в разных направлениях. Например, для 5 противоположным является -5, а для -3 — это $-(-3)=3$.
• Модуль числа (абсолютная величина), обозначаемый как $|x|$, — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки, изображающей это число. Модуль любого числа является неотрицательной величиной. Например, $|5|=5$ и $|-3|=3$.

Заполним таблицу, выполняя вычисления для каждого столбца:

Теперь запишем закономерности, которые можно наблюдать в таблице, на математическом языке.

1. Модули противоположных чисел равны

Сравнивая значения в третьей ("Модуль числа") и четвертой ("Модуль противоположного числа") строках таблицы, мы видим, что они полностью совпадают для каждого столбца. Это говорит о том, что модуль любого числа равен модулю противоположного ему числа.

Ответ: $|x| = |-x|$

2. Противоположное для противоположного числа

Если взять число, найти для него противоположное, а затем для полученного результата снова найти противоположное, мы вернемся к исходному числу. Например, для числа $4$ противоположное $-4$, а для $-4$ противоположное $-(-4)=4$.

Ответ: $-(-x) = x$

3. Неотрицательность модуля

Все значения в строках с модулями (третья и четвертая строки) являются неотрицательными, то есть больше или равны нулю. Модуль равен нулю только для числа ноль, а для всех остальных чисел он положителен.

Ответ: $|x| \ge 0$

379 Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу. Запиши на математическом языке закономерности, которые ты наблюдаешь.

Число

$x$

$5$

$-3$

$0$

Противоположное число

$2$

$-4$

Модуль числа

Модуль противоположного числа

$|-x|$

$5$

380 Найди значение выражения:

1) $|x| + |y|$, если $x = 2\frac{5}{6}$, $y = -1,3$;

2) $|x| - |y|$, если $x = -5,28$, $y = -2,8$;

3) $|x| \cdot |y|$, если $x = -4,8$, $y = -2\frac{1}{12}$;

4) $|x| : |y|$, если $x = -872,9$, $y = 14,5$.

1) Найдем значение выражения $|x| + |y|$, если $x = 2\frac{5}{6}$ и $y = -1,3$.
Сначала вычислим модули заданных чисел:
$|x| = |2\frac{5}{6}| = 2\frac{5}{6}$
$|y| = |-1,3| = 1,3$
Теперь выполним сложение, подставив значения в выражение:
$|x| + |y| = 2\frac{5}{6} + 1,3$
Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,3$ в виде смешанного числа: $1,3 = 1\frac{3}{10}$.
$2\frac{5}{6} + 1\frac{3}{10}$
Приведем дробные части к общему знаменателю 30:
$2\frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} + 1\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 2\frac{25}{30} + 1\frac{9}{30}$
Сложим целые и дробные части по отдельности:
$(2 + 1) + (\frac{25}{30} + \frac{9}{30}) = 3 + \frac{34}{30} = 3\frac{34}{30}$
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{34}{30} = 1\frac{4}{30}$ и сократим дробную часть: $1\frac{4}{30} = 1\frac{2}{15}$.
Окончательный результат:
$3 + 1\frac{2}{15} = 4\frac{2}{15}$.
Ответ: $4\frac{2}{15}$.

2) Найдем значение выражения $|x| - |y|$, если $x = -5,28$ и $y = -2,8$.
Вычислим модули чисел:
$|x| = |-5,28| = 5,28$
$|y| = |-2,8| = 2,8$
Подставим значения в выражение и выполним вычитание:
$|x| - |y| = 5,28 - 2,8 = 2,48$.
Ответ: 2,48.

3) Найдем значение выражения $|x| \cdot |y|$, если $x = -4,8$ и $y = -2\frac{1}{12}$.
Вычислим модули чисел:
$|x| = |-4,8| = 4,8$
$|y| = |-2\frac{1}{12}| = 2\frac{1}{12}$
Подставим значения в выражение:
$|x| \cdot |y| = 4,8 \cdot 2\frac{1}{12}$
Для выполнения умножения преобразуем оба числа в неправильные дроби:
$4,8 = 4\frac{8}{10} = 4\frac{4}{5} = \frac{24}{5}$
$2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$
Теперь перемножим дроби, предварительно сократив их:
$\frac{24}{5} \cdot \frac{25}{12} = \frac{24 \cdot 25}{5 \cdot 12} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 12} = 2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10.

4) Найдем значение выражения $|x| : |y|$, если $x = -872,9$ и $y = 14,5$.
Вычислим модули чисел:
$|x| = |-872,9| = 872,9$
$|y| = |14,5| = 14,5$
Подставим значения в выражение:
$|x| : |y| = 872,9 : 14,5$
Чтобы выполнить деление, избавимся от запятой в делителе. Для этого умножим делимое и делитель на 10:
$872,9 : 14,5 = (872,9 \cdot 10) : (14,5 \cdot 10) = 8729 : 145$
Выполним деление:
$8729 : 145 = 60,2$.
Ответ: 60,2.

380 Найди значение выражения:

1) $|x| + |y|$, если $x = 2\frac{5}{6}$, $y = -1,3$;

2) $|x| - |y|$, если $x = -5,28$, $y = -2,8$;

3) $|x| \cdot |y|$, если $x = -4,8$, $y = -2\frac{1}{12}$;

4) $|x| : |y|$, если $x = -872,9$, $y = 14,5$.

381 Реши уравнения:

а) $|x|=6;$

б) $|-y|=1;$

в) $|z|=0;$

г) $-|t|=5.$

а) Уравнение $|x|=6$ означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат равно 6. На координатной прямой есть две точки, удовлетворяющие этому условию: 6 и -6.
Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -6$.

б) По свойству модуля, $|-y| = |y|$. Поэтому исходное уравнение можно переписать в виде $|y|=1$. Это означает, что расстояние от точки $y$ до начала координат равно 1. Этому условию удовлетворяют две точки: 1 и -1.
Ответ: $y_1 = 1, y_2 = -1$.

в) Уравнение $|z|=0$ означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат равно 0. Единственное число, расстояние от которого до нуля равно нулю, — это само число ноль.
Ответ: $z = 0$.

г) В уравнении $-|t|=5$ умножим обе части на -1, чтобы выразить модуль $t$. Получим $|t|=-5$. Модуль (абсолютная величина) любого числа по определению не может быть отрицательным, то есть $|t| \ge 0$ для любого значения $t$. Так как -5 является отрицательным числом, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

381. Реши уравнения:

а) $|x|=6;$

б) $|-y|=1;$

в) $|z|=0;$

г) $-|t|=5.$

382 Найди множество целых решений неравенства и сделай рисунок:

а) $|x| < 2$;

б) $|x| \le 2$;

в) $|x| > 2$;

г) $|x| \ge 2$.

а)

Неравенство $|x| < 2$ равносильно двойному неравенству $-2 < x < 2$.

Целыми решениями этого неравенства являются все целые числа, которые строго больше -2 и строго меньше 2. Это числа -1, 0, 1.

Множество целых решений: $\{-1, 0, 1\}$.

Рисунок на числовой оси:

Ответ: $\{-1, 0, 1\}$.

б)

Неравенство $|x| \le 2$ равносильно двойному неравенству $-2 \le x \le 2$.

Целыми решениями этого неравенства являются все целые числа, которые больше или равны -2 и меньше или равны 2. Это числа -2, -1, 0, 1, 2.

Множество целых решений: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Рисунок на числовой оси:

Ответ: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

в)

Неравенство $|x| > 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $x < -2$ или $x > 2$.

Целые решения неравенства $x < -2$: $\dots, -5, -4, -3$.

Целые решения неравенства $x > 2$: $3, 4, 5, \dots$.

Множество целых решений: $\{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -3 \text{ или } x \ge 3\}$.

Рисунок на числовой оси:

Ответ: $\{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -3 \text{ или } x \ge 3\}$.

г)

Неравенство $|x| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \le -2$ или $x \ge 2$.

Целые решения неравенства $x \le -2$: $\dots, -4, -3, -2$.

Целые решения неравенства $x \ge 2$: $2, 3, 4, \dots$.

Множество целых решений: $\{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -2 \text{ или } x \ge 2\}$.

Рисунок на числовой оси:

Ответ: $\{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -2 \text{ или } x \ge 2\}$.

382. Найди множество целых решений неравенства и сделай рисунок:

а) $|x| < 2$;

б) $|x| \le 2$;

в) $|x| > 2$;

г) $|x| \ge 2$.

374 Найди процентное отношение чисел:

1) А и В;

2) В и А.

$A \left(\left(5 \frac{4}{17} + 3 \frac{7}{8}\right) - 7 \frac{4}{17}\right) \cdot \left(-5 \frac{1}{3}\right) : (-6,25);$

$B -1,8 : (-1,2) + \left(3 \frac{1}{12} - 2 \frac{1}{12} : \left(-\frac{15}{16}\right) - 7 \frac{1}{4}\right) : \left(-\frac{7}{9}\right).$

Для нахождения процентного отношения чисел A и B, сначала необходимо вычислить значения этих чисел.

Вычисление значения A

$A = ((5\frac{4}{17} + 3\frac{7}{8}) - 7\frac{4}{17}) \cdot (-5\frac{1}{3}) : (-6,25)$

1. Выполним действие в первых скобках, сгруппировав слагаемые для удобства:

$(5\frac{4}{17} + 3\frac{7}{8}) - 7\frac{4}{17} = (5\frac{4}{17} - 7\frac{4}{17}) + 3\frac{7}{8} = -2 + 3\frac{7}{8} = 1\frac{7}{8}$

2. Теперь выражение для A выглядит так:

$A = 1\frac{7}{8} \cdot (-5\frac{1}{3}) : (-6,25)$

3. Преобразуем все числа в неправильные дроби или десятичные дроби для удобства вычислений:

$1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$

$-5\frac{1}{3} = -\frac{16}{3}$

$-6,25 = -6\frac{1}{4} = -\frac{25}{4}$

4. Выполним умножение:

$\frac{15}{8} \cdot (-\frac{16}{3}) = -\frac{15 \cdot 16}{8 \cdot 3} = -\frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 1} = -10$

5. Выполним деление:

$-10 : (-\frac{25}{4}) = -10 \cdot (-\frac{4}{25}) = \frac{10 \cdot 4}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5} = 1,6$

Таким образом, $A = 1,6$.

Вычисление значения B

$B = -1,8 : (-1,2) + (3\frac{1}{12} - 2\frac{1}{12} : (-\frac{15}{16}) - 7\frac{1}{4}) : (-\frac{7}{9})$

1. Выполним первое деление:

$-1,8 : (-1,2) = 1,8 : 1,2 = 18 : 12 = 1,5$

2. Теперь разберемся со второй частью выражения. Сначала выполним деление внутри скобок:

$2\frac{1}{12} : (-\frac{15}{16}) = \frac{25}{12} \cdot (-\frac{16}{15}) = -\frac{25 \cdot 16}{12 \cdot 15} = -\frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 3} = -\frac{20}{9}$

3. Теперь выполним остальные действия в скобках:

$3\frac{1}{12} - (-\frac{20}{9}) - 7\frac{1}{4} = 3\frac{1}{12} + \frac{20}{9} - 7\frac{1}{4}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби и приведем их к общему знаменателю 36:

$\frac{37}{12} + \frac{20}{9} - \frac{29}{4} = \frac{37 \cdot 3}{36} + \frac{20 \cdot 4}{36} - \frac{29 \cdot 9}{36} = \frac{111 + 80 - 261}{36} = \frac{191 - 261}{36} = -\frac{70}{36} = -\frac{35}{18}$

4. Результат в скобках разделим на $(-\frac{7}{9})$:

$(-\frac{35}{18}) : (-\frac{7}{9}) = \frac{35}{18} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5$

5. Сложим результаты первого и четвертого шагов:

$B = 1,5 + 2,5 = 4$

Таким образом, $B = 4$.

Теперь мы можем найти процентное отношение чисел $A = 1,6$ и $B = 4$.

1) А и В

Чтобы найти, сколько процентов составляет число A от числа B, нужно отношение A к B умножить на 100%.

$\frac{A}{B} \cdot 100\% = \frac{1,6}{4} \cdot 100\% = 0,4 \cdot 100\% = 40\%$

Ответ: 40%.

2) В и А

Чтобы найти, сколько процентов составляет число B от числа A, нужно отношение B к A умножить на 100%.

$\frac{B}{A} \cdot 100\% = \frac{4}{1,6} \cdot 100\% = \frac{40}{16} \cdot 100\% = 2,5 \cdot 100\% = 250\%$

Ответ: 250%.

374 Найди процентное отношение чисел: 1) A и B; 2) B и A.

A

$A = \left(\left(5\frac{4}{17} + 3\frac{7}{8}\right) - 7\frac{4}{17}\right) \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right) : \left(-6.25\right)$;

B

$B = -1.8 : (-1.2) + \left(3\frac{1}{12} - 2\frac{1}{12} : \left(-\frac{15}{16}\right) - 7\frac{1}{4}\right) : \left(-\frac{7}{9}\right).$

C 375* Дан прямоугольник, длины сторон которого относятся как 2 : 1. Разрежь его на части так, чтобы из них можно было составить:

а) равнобедренный прямоугольный треугольник;

б) равнобедренный тупоугольный треугольник;

в) равнобедренный остроугольный треугольник.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $2a$. Его площадь равна $S = 2a \cdot a = 2a^2$. Любой треугольник, составленный из частей этого прямоугольника, должен иметь такую же площадь.

а) равнобедренный прямоугольный треугольник;

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом $b$ равна $S = \frac{1}{2}b^2$.Так как $S=2a^2$, получаем $\frac{1}{2}b^2 = 2a^2$, откуда $b^2=4a^2$ и $b=2a$.Следовательно, нам нужно составить равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $2a$.

Для этого разрежем прямоугольник следующим образом:

1. Пусть прямоугольник $ABCD$ имеет длинные стороны $AB$ и $CD$, и короткие стороны $AD$ и $BC$. Длина $AB = CD = 2a$, а $AD = BC = a$.
2. Найдем середину стороны $AB$, назовем ее точкой $M$. Таким образом, $AM = MB = a$.
3. Проведем разрез от вершины $C$ к точке $M$.

Этот разрез делит прямоугольник на две части: треугольник $MBC$ и пятиугольник $AMCD$.

Рассмотрим треугольник $MBC$. У него сторона $MB$ имеет длину $a$, а сторона $BC$ имеет длину $a$. Угол $\angle B$ прямой, так как это угол исходного прямоугольника. Следовательно, $MBC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $a$.

Теперь составим из этих двух частей искомый треугольник. Для этого:

1. Возьмем пятиугольник $AMCD$.
2. Приложим треугольник $MBC$ к пятиугольнику так, чтобы его катет $MB$ совпал со стороной $AM$ пятиугольника (они равны по длине, $AM=MB=a$).

В результате получится новая фигура. Проверим, что это искомый треугольник. Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$, $A(0,a)$.Точка $M$ (середина $AB$) будет иметь координаты $(a,a)$.Разрез проходит по отрезку $MC$.Первая часть — пятиугольник $AMCD$ с вершинами $A(0,a)$, $M(a,a)$, $C(2a,0)$, $D(0,0)$.Вторая часть — треугольник $MBC$ с вершинами $M(a,a)$, $B(2a,a)$, $C(2a,0)$.

Приложим сторону $MB$ треугольника к стороне $AM$ пятиугольника. Это равносильно повороту треугольника $MBC$ на 180° вокруг точки $M$.Новая позиция вершины $B$ будет $B' = A(0,a)$.Новая позиция вершины $C$ будет $C' = M + (M-C) = (a,a) + (a-2a, a-0) = (a,a) + (-a,a) = (0,2a)$.Новая фигура будет иметь вершины $D(0,0)$, $C(2a,0)$ и $C'(0,2a)$. Это треугольник с катетами $DC$ (по оси X) и $DC'$ (по оси Y) длиной $2a$. Это и есть искомый равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: Нужно разрезать прямоугольник от одной из вершин на длинной стороне до середины противоположной длинной стороны. Затем из полученных пятиугольника и треугольника сложить равнобедренный прямоугольный треугольник, приложив один из катетов полученного маленького треугольника к отрезку, равному ему по длине, на стороне разреза пятиугольника.

б) равнобедренный тупоугольный треугольник;

Разрежем прямоугольник по одной из его диагоналей, например $BD$. В результате получатся два одинаковых прямоугольных треугольника $ABD$ и $CDB$, каждый с катетами $a$ и $2a$.

Теперь составим из этих двух треугольников равнобедренный тупоугольный треугольник.

1. Возьмем треугольник $CDB$.
2. Возьмем треугольник $ABD$ и приложим его к треугольнику $CDB$ так, чтобы их катеты длиной $2a$ (стороны $CD$ и $AB$) лежали на одной прямой и были направлены в разные стороны от общей точки.

Геометрически это означает, что мы берем треугольник $ABD$ и совмещаем его сторону $AB$ со стороной $CD$ треугольника $CDB$, но располагаем его "зеркально" относительно общей стороны.

Пусть вершины прямоугольника $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$, $A(0,a)$.Диагональ $DB$ делит его на треугольники $DCB$ и $DAB$.$T_1 = DCB$ с вершинами $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$.$T_2 = DAB$ с вершинами $D(0,0)$, $A(0,a)$, $B(2a,a)$.

Совместим катет $DA$ треугольника $T_2$ с катетом $CB$ треугольника $T_1$.Итоговая фигура будет иметь вершины в точках $D$ из $T_1$, $C$ из $T_1$, $B$ из $T_1$ (которая совпадет с $A$ из $T_2$), и $D$ из $T_2$.Пусть $C=(0,0), B=(2a,0), D=(0,a)$. Тогда $T_1 = CBD$.Прямоугольник будет $A(-2a,a), B(-2a,0), C(0,0), D(0,a)$.$T_2 = ABD$ с вершинами $A(-2a,a), B(-2a,0), D(0,a)$.Приложим $T_1$ к $T_2$ так, чтобы сторона $CD$ ($T_1$) совпала со стороной $AB$ ($T_2$).Получим треугольник с вершинами $D$ ($T_1$), $B$ ($T_1$) и $D$ ($T_2$).В координатах: $D_1(0,a), B_1(2a,0)$ и $D_2(-2a,a)$.Получился треугольник с основанием $4a$ (от $D_2$ до $B_1'$ на одной горизонтали) и высотой $a$.Его вершины: $(-2a,0), (2a,0), (0,a)$.Боковые стороны равны $\sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$. Треугольник равнобедренный. Угол при вершине $(0,a)$ можно проверить с помощью скалярного произведения векторов сторон: $\vec{v_1} = (-2a, -a)$, $\vec{v_2} = (2a, -a)$.$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-2a)(2a) + (-a)(-a) = -4a^2 + a^2 = -3a^2 < 0$.Так как скалярное произведение отрицательно, угол между векторами тупой.

Ответ: Нужно разрезать прямоугольник по диагонали. Получатся два равных прямоугольных треугольника. Эти треугольники нужно сложить вместе, приложив их друг к другу равными короткими катетами.

в) равнобедренный остроугольный треугольник.

Построим равнобедренный треугольник с основанием $2a$ и высотой $2a$. Его площадь будет $S = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$, что равно площади прямоугольника. Проверим, является ли он остроугольным. Боковая сторона равна $\sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.Углы при основании имеют косинус, равный отношению прилежащего катета ($a$) к гипотенузе ($a\sqrt{5}$), то есть $\cos\alpha = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} > 0$. Углы острые. Угол при вершине $\beta$ можно найти по теореме косинусов:$(2a)^2 = (a\sqrt{5})^2 + (a\sqrt{5})^2 - 2(a\sqrt{5})(a\sqrt{5})\cos\beta$$4a^2 = 5a^2 + 5a^2 - 10a^2\cos\beta$$10a^2\cos\beta = 6a^2 \implies \cos\beta = \frac{3}{5} > 0$.Все углы острые, значит, треугольник остроугольный.

Чтобы получить такой треугольник, разрежем прямоугольник следующим образом:

1. Пусть прямоугольник $ABCD$ имеет вершины $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$, $A(0,a)$.
2. На длинной стороне $AB$ отметим точки $R(\frac{a}{2}, a)$ и $Q(\frac{3a}{2}, a)$.
3. Проведем разрезы от вершины $D$ к точке $R$ и от вершины $C$ к точке $Q$.

• Треугольник $ADR$ (прямоугольный, катеты $a$ и $a/2$).
• Треугольник $BCQ$ (прямоугольный, катеты $a$ и $a/2$).
• Центральная часть — четырехугольник $RQCD$.

1. Возьмем треугольники $ADR$ и $BCQ$. Они одинаковы.
2. Соединим их вместе по катетам длиной $a$ (стороны $AD$ и $BC$).

Получится новый равнобедренный треугольник с основанием $a/2 + a/2 = a$ и высотой $a$.Приложим этот новый треугольник основанием к стороне $RQ$ четырехугольника $RQCD$. Длина $RQ$ равна $\frac{3a}{2} - \frac{a}{2} = a$.В результате получится равнобедренный треугольник с основанием $DC$ длиной $2a$ и высотой, равной высоте четырехугольника ($a$) плюс высоте приставленного треугольника ($a$), то есть $2a$. Это и есть искомый треугольник.

Ответ: Прямоугольник $ABCD$ (где $CD$ — длинная сторона) нужно разрезать на три части двумя разрезами: из вершины $D$ в точку $R$ на стороне $AB$, отстоящую от $A$ на расстояние $a/2$, и из вершины $C$ в точку $Q$ на стороне $AB$, отстоящую от $B$ на расстояние $a/2$. Затем два полученных боковых треугольника нужно соединить по их самым длинным катетам и приставить к центральной части сверху.

C 375 Дан прямоугольник, длины сторон которого относятся как $2:1$. Разрежь его на части так, чтобы из них можно было составить:

a) равнобедренный прямоугольный треугольник;

б) равнобедренный тупоугольный треугольник;

в) равнобедренный остроугольный треугольник.

376 Сколько равносторонних треугольников ты видишь на рисунке?

Чтобы найти общее количество равносторонних треугольников, мы подсчитаем их, сгруппировав по размеру. За единицу длины ($1$) примем сторону самого маленького треугольника.

Треугольники со стороной 1

Это самые маленькие треугольники, из которых составлена фигура. Их можно посчитать по рядам сверху вниз: в первом ряду – 1, во втором – 3, в третьем – 5, и в четвертом – 7. Всего: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ треугольников.

Треугольники со стороной 2

Эти треугольники состоят из 4 маленьких треугольников. Они могут быть направлены вершиной вверх или вниз.
• Вершиной вверх: 6 треугольников.
• Вершиной вниз: 1 треугольник (расположен в центре).
Всего: $6 + 1 = 7$ треугольников.

Треугольники со стороной 3

Эти треугольники состоят из 9 маленьких. Все они направлены вершиной вверх. Треугольников такого размера, направленных вершиной вниз, на рисунке нет.
Всего: 3 треугольника.

Треугольники со стороной 4

Это самый большой треугольник, который образует всю фигуру.
Всего: 1 треугольник.

Общий подсчет

Теперь сложим количество треугольников всех размеров, чтобы найти итоговое число:

$16 + 7 + 3 + 1 = 27$

Ответ: 27

376 Сколько равносторонних треугольников ты видишь на рисунке?