Страница 79, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

329 Запиши в виде несократимой дроби часть, которую:

а) 45 составляет от 72 ($45/72$);

б) 56 составляет от 224 ($56/224$);

в) 126 составляет от 198 ($126/198$);

г) 330 составляет от 495 ($330/495$);

д) 108 составляет от 1440 ($108/1440$);

е) 135 составляет от 2400 ($135/2400$).

Какие из полученных обыкновенных дробей можно перевести в конечные десятичные дроби?

а) Часть, которую 45 составляет от 72, записывается в виде дроби $\frac{45}{72}$. Чтобы сократить эту дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Разложим 45 и 72 на простые множители: $45 = 3^2 \cdot 5$, $72 = 2^3 \cdot 3^2$. НОД(45, 72) = $3^2 = 9$. Разделим числитель и знаменатель на 9: $\frac{45 \div 9}{72 \div 9} = \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$

б) Часть, которую 56 составляет от 224, записывается как $\frac{56}{224}$. Поскольку $224 = 56 \cdot 4$, дробь можно сократить на 56: $\frac{56 \div 56}{224 \div 56} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Часть, которую 126 составляет от 198, это дробь $\frac{126}{198}$. Сократим её. Оба числа делятся на 2: $\frac{126 \div 2}{198 \div 2} = \frac{63}{99}$. Теперь оба числа делятся на 9: $\frac{63 \div 9}{99 \div 9} = \frac{7}{11}$.

Ответ: $\frac{7}{11}$

г) Часть, которую 330 составляет от 495, это дробь $\frac{330}{495}$. Сократим её. Оба числа делятся на 5: $\frac{330 \div 5}{495 \div 5} = \frac{66}{99}$. Теперь числитель и знаменатель делятся на 11: $\frac{66 \div 11}{99 \div 11} = \frac{6}{9}$. И наконец, сократим на 3: $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

д) Часть, которую 108 составляет от 1440, это дробь $\frac{108}{1440}$. Сумма цифр числителя $1+0+8=9$ и знаменателя $1+4+4+0=9$ делится на 9, значит, оба числа делятся на 9. $\frac{108 \div 9}{1440 \div 9} = \frac{12}{160}$. Теперь сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 4: $\frac{12 \div 4}{160 \div 4} = \frac{3}{40}$.

Ответ: $\frac{3}{40}$

е) Часть, которую 135 составляет от 2400, это дробь $\frac{135}{2400}$. Оба числа делятся на 5: $\frac{135 \div 5}{2400 \div 5} = \frac{27}{480}$. Сумма цифр числителя ($2+7=9$) и знаменателя ($4+8+0=12$) делится на 3. Сократим на 3: $\frac{27 \div 3}{480 \div 3} = \frac{9}{160}$. Дробь несократима, так как 160 не делится на 3.

Ответ: $\frac{9}{160}$

Какие из полученных обыкновенных дробей можно перевести в конечные десятичные дроби?

Несократимую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, если в разложении её знаменателя на простые множители содержатся только числа 2 и 5.

Проанализируем знаменатели полученных несократимых дробей:

Дробь $\frac{5}{8}$: знаменатель $8 = 2^3$. Содержит только простой множитель 2. Следовательно, можно перевести.

Дробь $\frac{1}{4}$: знаменатель $4 = 2^2$. Содержит только простой множитель 2. Следовательно, можно перевести.

Дробь $\frac{7}{11}$: знаменатель 11. Содержит простой множитель 11. Следовательно, нельзя перевести.

Дробь $\frac{2}{3}$: знаменатель 3. Содержит простой множитель 3. Следовательно, нельзя перевести.

Дробь $\frac{3}{40}$: знаменатель $40 = 2^3 \cdot 5$. Содержит только простые множители 2 и 5. Следовательно, можно перевести.

Дробь $\frac{9}{160}$: знаменатель $160 = 2^5 \cdot 5$. Содержит только простые множители 2 и 5. Следовательно, можно перевести.

Ответ: Дроби, которые можно перевести в конечные десятичные: $\frac{5}{8}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{40}$ и $\frac{9}{160}$.

329 Запиши в виде несократимой дроби часть, которую:

а) 45 составляет от 72;

б) 56 составляет от 224;

в) 126 составляет от 198;

г) 330 составляет от 495;

д) 108 составляет от 1440;

е) 135 составляет от 2400.

Какие из полученных обыкновенных дробей можно перевести в конечные десятичные дроби?

330 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $\frac{18 \cdot 3 \cdot 45 \cdot 36}{81 \cdot 48 \cdot 60}$;

2) $\frac{95 \cdot 42 + 95 \cdot 28}{95 \cdot 42 - 95 \cdot 28}$;

3) $\frac{6bc}{18abc}$;

4) $\frac{15cd}{36d^2}$;

5) $\frac{14m - m}{m^2}$;

6) $\frac{2n + 5n + n}{10n - 2n}$;

7) $\frac{12k - 4}{4 + 12k}$;

8) $\frac{24xy^2z}{64y^3z}$.

1) Сократим дробь $\frac{18 \cdot 3 \cdot 45 \cdot 36}{81 \cdot 48 \cdot 60}$, последовательно сокращая множители в числителе и знаменателе на их общие делители.
Сократим 18 и 81 на 9: $\frac{2 \cdot 3 \cdot 45 \cdot 36}{9 \cdot 48 \cdot 60}$.
Сократим 3 и 9 на 3: $\frac{2 \cdot 45 \cdot 36}{3 \cdot 48 \cdot 60}$.
Сократим 45 и 3 на 3: $\frac{2 \cdot 15 \cdot 36}{48 \cdot 60}$.
Сократим 15 и 60 на 15: $\frac{2 \cdot 36}{48 \cdot 4}$.
Сократим 36 и 48 на 12: $\frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 4}$.
Сократим 2 и 4 на 2: $\frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

2) В дроби $\frac{95 \cdot 42 + 95 \cdot 28}{95 \cdot 42 - 95 \cdot 28}$ вынесем общий множитель 95 за скобки в числителе и в знаменателе, используя распределительное свойство умножения.
Числитель: $95 \cdot 42 + 95 \cdot 28 = 95 \cdot (42 + 28) = 95 \cdot 70$.
Знаменатель: $95 \cdot 42 - 95 \cdot 28 = 95 \cdot (42 - 28) = 95 \cdot 14$.
Получаем дробь: $\frac{95 \cdot 70}{95 \cdot 14}$.
Сокращаем на общий множитель 95: $\frac{70}{14}$.
Выполняем деление: $70 \div 14 = 5$.
Ответ: $5$.

3) Сократим дробь $\frac{6bc}{18abc}$.
Сокращаем числовые коэффициенты 6 и 18 на их наибольший общий делитель 6: $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
Сокращаем одинаковые переменные $b$ и $c$ в числителе и знаменателе.
В знаменателе остается переменная $a$.
Результат: $\frac{1}{3a}$.
Ответ: $\frac{1}{3a}$.

4) Сократим дробь $\frac{15cd}{36d^2}$.
Сокращаем числовые коэффициенты 15 и 36 на их наибольший общий делитель 3: $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$.
Сокращаем степени переменной $d$: $\frac{d}{d^2} = \frac{d}{d \cdot d} = \frac{1}{d}$.
Переменная $c$ остается в числителе.
Объединяем результаты: $\frac{5c}{12d}$.
Ответ: $\frac{5c}{12d}$.

5) Для сокращения дроби $\frac{14m - m}{m^2}$ сначала упростим выражение в числителе.
$14m - m = (14-1)m = 13m$.
Получаем дробь $\frac{13m}{m^2}$.
Сокращаем дробь на $m$, помня, что $m^2 = m \cdot m$: $\frac{13m}{m \cdot m} = \frac{13}{m}$.
Ответ: $\frac{13}{m}$.

6) В дроби $\frac{2n + 5n + n}{10n - 2n}$ упростим числитель и знаменатель, приведя подобные слагаемые.
Числитель: $2n + 5n + n = (2+5+1)n = 8n$.
Знаменатель: $10n - 2n = (10-2)n = 8n$.
Получаем дробь $\frac{8n}{8n}$.
Поскольку числитель и знаменатель равны (при условии $n \neq 0$), дробь равна 1.
Ответ: $1$.

7) В дроби $\frac{12k - 4}{4 + 12k}$ вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе $12k - 4$ общий множитель 4: $4(3k - 1)$.
В знаменателе $4 + 12k$ общий множитель 4: $4(1 + 3k)$.
Получаем дробь $\frac{4(3k - 1)}{4(1 + 3k)}$.
Сокращаем общий множитель 4: $\frac{3k - 1}{1 + 3k}$.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $1+3k = 3k+1$.
Ответ: $\frac{3k - 1}{3k + 1}$.

8) Сократим дробь с переменными $\frac{24xy^2z}{64y^3z}$.
Сокращаем числовые коэффициенты 24 и 64 на их наибольший общий делитель 8: $\frac{24 \div 8}{64 \div 8} = \frac{3}{8}$.
Сокращаем степени переменных. Переменная $x$ остается в числителе. Сокращаем $\frac{y^2}{y^3} = \frac{1}{y}$. Переменная $z$ в числителе и знаменателе сокращается ($\frac{z}{z} = 1$).
Собираем все части вместе: $\frac{3x}{8y}$.
Ответ: $\frac{3x}{8y}$.

330 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $\frac{18 \cdot 3 \cdot 45 \cdot 36}{81 \cdot 48 \cdot 60}$;

2) $\frac{95 \cdot 42 + 95 \cdot 28}{95 \cdot 42 - 95 \cdot 28}$;

3) $\frac{6bc}{18abc}$;

4) $\frac{15cd}{36d^2}$;

5) $\frac{14m - m}{m^2}$;

6) $\frac{2n + 5n + n}{10n - 2n}$;

7) $\frac{12k - 4}{4 + 12k}$;

8) $\frac{24xy^2z}{64y^3z}$.

331 Аэросани прошли путь от полярной станции до посёлка, равный 360 км, за 3 ч. В первый час они прошли на 36 км меньше, чем во второй, а в третий час – в 1,6 раза больше, чем в первый. Какую часть пути проходили аэросани в каждый час? Вырази эти части обыкновенными дробями, десятичными дробями и в процентах.

Для решения задачи сначала найдем, какое расстояние аэросани проходили в каждый из трех часов. Обозначим расстояние, пройденное в первый час, за $x$ км.

Исходя из условия задачи:

- Расстояние в первый час: $x$ км.

- Расстояние во второй час (на 36 км больше, чем в первый): $(x + 36)$ км.

- Расстояние в третий час (в 1,6 раза больше, чем в первый): $1,6x$ км.

Общий путь составляет 360 км. Составим и решим уравнение, чтобы найти $x$:

$x + (x + 36) + 1,6x = 360$

$3,6x + 36 = 360$

$3,6x = 360 - 36$

$3,6x = 324$

$x = \frac{324}{3,6}$

$x = 90$

Таким образом, в первый час аэросани прошли 90 км. Теперь найдем расстояния за второй и третий часы:

- Во второй час: $90 + 36 = 126$ км.

- В третий час: $1,6 \cdot 90 = 144$ км.

Проверка: $90 + 126 + 144 = 360$ км. Расчеты верны.

Теперь найдем, какую часть от всего пути (360 км) составляет расстояние, пройденное в каждый час, и выразим эту часть в виде обыкновенной дроби, десятичной дроби и в процентах.

В первый час

Пройдено 90 км из 360 км.

- Обыкновенная дробь: $\frac{90}{360} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

- Десятичная дробь: $\frac{1}{4} = 0,25$

- В процентах: $0,25 \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: $\frac{1}{4}$; 0,25; 25%.

Во второй час

Пройдено 126 км из 360 км.

- Обыкновенная дробь: $\frac{126}{360} = \frac{63}{180} = \frac{7}{20}$ (сократили на 18)

- Десятичная дробь: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0,35$

- В процентах: $0,35 \cdot 100\% = 35\%$

Ответ: $\frac{7}{20}$; 0,35; 35%.

В третий час

Пройдено 144 км из 360 км.

- Обыкновенная дробь: $\frac{144}{360} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ (сократили на 72)

- Десятичная дробь: $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$

- В процентах: $0,4 \cdot 100\% = 40\%$

Ответ: $\frac{2}{5}$; 0,4; 40%.

331 Аэросани прошли путь от полярной станции до поселка, равный 360 км, за 3 ч. В первый час они прошли на 36 км меньше, чем во второй, а в третий час – в 1,6 раза больше, чем в первый. Какую часть пути проходили аэросани в каждый час? Вырази эти части обыкновенными дробями, десятичными дробями и в процентах.

332 Путь от дома до школы, равный 1,2 км, Серёжа прошёл за 15 мин, а обратный путь – за 20 мин. Вставь в предложения пропущенные числа.

1) Скорость Серёжи по дороге в школу была больше, чем на обратном пути:

– на ..... км/ч;

– в ..... раз;

– на ..... часть;

– на ..... процентов.

2) Скорость Серёжи на обратном пути уменьшилась:

– на ..... км/ч;

– в ..... раз;

– на ..... часть;

– на ..... процентов.

Для решения задачи сначала необходимо найти скорость Серёжи на пути в школу и на обратном пути. Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — расстояние, а $t$ — время.

Исходные данные:

• Расстояние $s = 1,2$ км.

• Время в пути до школы $t_1 = 15$ мин.

• Время на обратном пути $t_2 = 20$ мин.

Поскольку скорость нужно выразить в км/ч, переведем время из минут в часы:

• $t_1 = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25$ ч.

• $t_2 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ ч.

Теперь рассчитаем скорости:

• Скорость по дороге в школу: $v_1 = \frac{1,2 \text{ км}}{0,25 \text{ ч}} = 4,8$ км/ч.

• Скорость на обратном пути: $v_2 = \frac{1,2 \text{ км}}{1/3 \text{ ч}} = 1,2 \times 3 = 3,6$ км/ч.

1) Скорость Серёжи по дороге в школу была больше, чем на обратном пути:

• на ... км/ч:
  Находим разницу скоростей: $v_1 - v_2 = 4,8 \text{ км/ч} - 3,6 \text{ км/ч} = 1,2 \text{ км/ч}$.
  Ответ: 1,2.

• в ... раз:
  Находим отношение большей скорости к меньшей: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{4,8}{3,6} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$ раза.
  Ответ: $1 \frac{1}{3}$.

• на ... часть:
  Чтобы найти, на какую часть скорость в школу больше, нужно разницу скоростей разделить на скорость, с которой сравниваем (скорость на обратном пути): $\frac{v_1 - v_2}{v_2} = \frac{1,2}{3,6} = \frac{1}{3}$.
  Ответ: $\frac{1}{3}$.

• на ... процентов:
  Переводим полученную часть в проценты: $\frac{1}{3} \times 100\% = 33 \frac{1}{3}\%$.
  Ответ: $33 \frac{1}{3}$.

2) Скорость Серёжи на обратном пути уменьшилась:

• на ... км/ч:
  Разница скоростей остается той же: $v_1 - v_2 = 4,8 \text{ км/ч} - 3,6 \text{ км/ч} = 1,2 \text{ км/ч}$.
  Ответ: 1,2.

• в ... раз:
  Отношение первоначальной скорости к конечной: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{4,8}{3,6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$ раза.
  Ответ: $1 \frac{1}{3}$.

• на ... часть:
  Чтобы найти, на какую часть скорость уменьшилась, нужно разницу скоростей разделить на первоначальную скорость (скорость в школу): $\frac{v_1 - v_2}{v_1} = \frac{1,2}{4,8} = \frac{1}{4}$.
  Ответ: $\frac{1}{4}$.

• на ... процентов:
  Переводим полученную часть в проценты: $\frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$.
  Ответ: 25.

332 Путь от дома до школы, равный 1,2 км, Сережа прошел за 15 мин, а обратный путь – за 20 мин. Вставь в предложения пропущенные числа.

- на ..... $\text{км/ч}$;

- в ..... раз;

- на ..... часть;

- на ..... процентов.

- на ..... $\text{км/ч}$;

- в ..... раз;

- на ..... часть;

- на ..... процентов.

333 Моторная лодка, двигаясь по течению реки, прошла путь, равный 15 км, за 2 ч, а обратный путь – за 3 ч 20 мин. Найди собственную скорость лодки и скорость течения реки. Как и на сколько километров в час изменилась скорость лодки на обратном пути?

Найди собственную скорость лодки и скорость течения реки.

1. Для начала определим скорость лодки по течению реки. Лодка прошла путь $S=15$ км за время $t_{по} = 2$ ч. Скорость находится по формуле $V = S/t$.

Скорость по течению:

$V_{по} = \frac{15 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 7.5 \text{ км/ч}$.

2. Теперь определим скорость лодки на обратном пути, то есть против течения. Время в пути составило $t_{против} = 3$ ч $20$ мин. Переведем минуты в часы. В одном часе 60 минут, поэтому:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Таким образом, общее время движения против течения:

$t_{против} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ часа.

Скорость против течения:

$V_{против} = \frac{15 \text{ км}}{\frac{10}{3} \text{ ч}} = 15 \cdot \frac{3}{10} \text{ км/ч} = \frac{45}{10} \text{ км/ч} = 4.5 \text{ км/ч}$.

3. Обозначим собственную скорость лодки как $V_c$, а скорость течения реки как $V_т$. Тогда справедливы следующие соотношения:

$V_{по} = V_c + V_т$

$V_{против} = V_c - V_т$

Подставив известные значения, получим систему уравнений:

$\begin{cases} V_c + V_т = 7.5 \\ V_c - V_т = 4.5 \end{cases}$

4. Решим систему. Сложив оба уравнения, найдем собственную скорость лодки $V_c$:

$(V_c + V_т) + (V_c - V_т) = 7.5 + 4.5$

$2V_c = 12$

$V_c = \frac{12}{2} = 6$ км/ч.

5. Подставим найденное значение $V_c$ в первое уравнение, чтобы найти скорость течения $V_т$:

$6 + V_т = 7.5$

$V_т = 7.5 - 6 = 1.5$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки – 6 км/ч, скорость течения реки – 1.5 км/ч.

Как и на сколько километров в час изменилась скорость лодки на обратном пути?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить скорость лодки по течению ($V_{по}$) и ее скорость против течения ($V_{против}$).

Скорость на пути "туда" (по течению) составляла $7.5$ км/ч.

Скорость на обратном пути (против течения) составляла $4.5$ км/ч.

Поскольку $4.5 < 7.5$, скорость лодки на обратном пути уменьшилась. Чтобы найти, на сколько она уменьшилась, вычтем из большей скорости меньшую:

$7.5 \text{ км/ч} - 4.5 \text{ км/ч} = 3 \text{ км/ч}$.

Ответ: На обратном пути скорость лодки уменьшилась на 3 км/ч.

333 Моторная лодка, двигаясь по течению реки, прошла путь, равный 15 км, за 2 ч, а обратный путь – за 3 ч 20 мин. Найди собственную скорость лодки и скорость течения реки. Как и на сколько километров в час изменилась скорость лодки на обратном пути?

334. Найди ответ задачи, а затем составь и реши две обратные задачи.

1) Из 32 учащихся класса 24 человека занимаются в спортивных секциях. Какая часть учащихся занимается спортом? Ответ вырази в процентах.

2) В спортивных соревнованиях призы получили 36 человек, что составило 12 % всех участников. Сколько всего человек участвовало в соревнованиях?

1)

Чтобы найти, какую часть учащихся в процентах составляют те, кто занимается спортом, нужно количество спортсменов разделить на общее число учащихся и умножить на 100%.

Расчет: $ \frac{24}{32} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\% $.

Ответ: 75% учащихся занимаются спортом.

Обратная задача 1: В классе в спортивных секциях занимаются 24 человека, что составляет 75% от всех учащихся. Сколько всего учащихся в классе?

Решение: Нам известно, что 24 человека — это 75% от общего числа. Чтобы найти целое (100%), нужно часть (24) разделить на ее долю, выраженную в десятичной дроби ($75\% = 0.75$).

$ 24 \div 0.75 = 32 $.

Ответ: в классе 32 учащихся.

Обратная задача 2: В классе 32 учащихся, 75% из них занимаются в спортивных секциях. Сколько учащихся занимается спортом?

Решение: Чтобы найти часть от целого, нужно целое (32) умножить на долю этой части, выраженную в десятичной дроби ($75\% = 0.75$).

$ 32 \times 0.75 = 24 $.

Ответ: 24 учащихся занимаются спортом.

2)

Известно, что 36 человек — это 12% от всех участников. Чтобы найти общее число участников (целое), нужно известную часть (36) разделить на ее долю, выраженную в десятичной дроби ($12\% = 0.12$).

Расчет: $ 36 \div 0.12 = 300 $.

Ответ: всего в соревнованиях участвовало 300 человек.

Обратная задача 1: В спортивных соревнованиях участвовало 300 человек. Призы получили 12% всех участников. Сколько человек получили призы?

Решение: Чтобы найти 12% от 300, нужно 300 умножить на 0.12.

$ 300 \times 0.12 = 36 $.

Ответ: призы получили 36 человек.

Обратная задача 2: В спортивных соревнованиях из 300 участников призы получили 36 человек. Какой процент участников получил призы?

Решение: Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, нужно первое число (36) разделить на второе (300) и результат умножить на 100%.

$ \frac{36}{300} \times 100\% = 0.12 \times 100\% = 12\% $.

Ответ: призы получили 12% участников.

334 Найди ответ задачи, а затем составь и реши две обратные задачи:

1) Из 32 учащихся класса 24 человека занимаются в спортивных секциях.
Какая часть учащихся занимается спортом? Ответ вырази в процентах.

2) В спортивных соревнованиях призы получили 36 человек, что составило 12% всех участников.
Сколько всего человек участвовало в соревнованиях?

335 В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15 человек, немецкий – 10, и ещё 1 человек изучает французский язык. Возможно ли это?

Да, такая ситуация возможна. На первый взгляд может показаться, что это невозможно, так как сумма учеников по всем языковым группам превышает общее количество учеников в классе: $15 + 10 + 1 = 26$, а в классе всего 20 учеников.

Однако это противоречие разрешается, если учесть, что некоторые ученики могут изучать более одного иностранного языка. То есть, группы изучающих английский и немецкий языки могут пересекаться.

Давайте используем математический подход для доказательства.

Пусть $A$ — это множество учеников, изучающих английский язык, и его мощность (количество элементов) $|A| = 15$.

Пусть $N$ — это множество учеников, изучающих немецкий язык, и его мощность $|N| = 10$.

Количество учеников, изучающих хотя бы один из этих двух языков, обозначается как $|A \cup N|$ и вычисляется по формуле включений-исключений:

$|A \cup N| = |A| + |N| - |A \cap N|$

Здесь $|A \cap N|$ — это количество учеников, изучающих оба языка (и английский, и немецкий).

Подставим известные значения:

$|A \cup N| = 15 + 10 - |A \cap N| = 25 - |A \cap N|$

Общее число учеников, изучающих английский или немецкий, не может превышать общее число учеников в классе, то есть 20. Таким образом:

$|A \cup N| \le 20$

Подставив в это неравенство нашу формулу, получим:

$25 - |A \cap N| \le 20$

Отсюда найдем минимальное количество учеников, которые должны изучать оба языка:

$25 - 20 \le |A \cap N|$

$5 \le |A \cap N|$

Это означает, что если как минимум 5 учеников будут изучать и английский, и немецкий, то условие по этим двум языкам будет выполнимо.

Теперь учтем ученика, изучающего французский язык. Рассмотрим один из возможных сценариев, чтобы подтвердить, что ситуация реальна.

Предположим, что 6 учеников изучают и английский, и немецкий языки (что удовлетворяет условию $ |A \cap N| \ge 5 $). Тогда:

• Количество учеников, изучающих только английский: $15 - 6 = 9$.
• Количество учеников, изучающих только немецкий: $10 - 6 = 4$.
• Количество учеников, изучающих оба языка: $6$.

Сумма этих учеников: $9 + 4 + 6 = 19$.

В задаче сказано, что ещё 1 человек изучает французский язык. Этот ученик может быть 20-м учеником в классе, который изучает только французский.

В этом случае общее число учеников в классе будет: $19$ (изучающие английский/немецкий) $+ 1$ (изучающий французский) $= 20$.

Таким образом, мы построили конкретный пример распределения, который полностью соответствует условиям задачи. Следовательно, такая ситуация возможна.

Ответ: Да, это возможно.

335 В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15 человек, немецкий – 10, и еще 1 человек изучает французский язык. Возможно ли это?

336 В классе 24 ученика. Музыкой занимаются 12 человек, танцами – 10, два эти кружка посещают 3 человека, занимаются музыкой и поют в хоре – 6, поют в хоре и занимаются танцами – 2, а один ученик занимается во всех трёх кружках. Все остальные ученики класса посещают только занятия хора. Сколько всего учеников этого класса поют в хоре?

Для решения этой задачи удобно использовать диаграммы Эйлера-Венна или формулу включений-исключений для множеств. Обозначим множества учеников, посещающих кружки:

• $М$ – множество учеников, занимающихся музыкой.
• $Т$ – множество учеников, занимающихся танцами.
• $Х$ – множество учеников, поющих в хоре.

Из условия задачи нам известны размеры этих множеств и их пересечений:

• Всего учеников в классе: 24.
• Количество учеников, занимающихся музыкой: $|М| = 12$.
• Количество учеников, занимающихся танцами: $|Т| = 10$.
• Количество учеников, занимающихся и музыкой, и танцами: $|М \cap Т| = 3$.
• Количество учеников, занимающихся музыкой и поющих в хоре: $|М \cap Х| = 6$.
• Количество учеников, поющих в хоре и занимающихся танцами: $|Х \cap Т| = 2$.
• Количество учеников, занимающихся во всех трёх кружках: $|М \cap Т \cap Х| = 1$.

Фраза "Все остальные ученики класса посещают только занятия хора" означает, что в классе нет учеников, не посещающих ни одного из трёх кружков. Таким образом, общее число учеников равно объединению всех трёх множеств: $|М \cup Т \cup Х| = 24$.

Для нахождения общего числа учеников, поющих в хоре ($|Х|$), воспользуемся формулой включений-исключений для трёх множеств:

$|М \cup Т \cup Х| = |М| + |Т| + |Х| - (|М \cap Т| + |М \cap Х| + |Т \cap Х|) + |М \cap Т \cap Х|$

Подставим в формулу все известные значения:

$24 = 12 + 10 + |Х| - (3 + 6 + 2) + 1$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $|Х|$:

$24 = 22 + |Х| - 11 + 1$

$24 = 12 + |Х|$

$|Х| = 24 - 12$

$|Х| = 12$

Таким образом, общее количество учеников, которые поют в хоре, составляет 12 человек.

Проверка:
Можно решить задачу, последовательно находя количество учеников в каждой из непересекающихся областей диаграммы Венна.

1. Только музыка и танцы (без хора): $|М \cap Т| - |М \cap Т \cap Х| = 3 - 1 = 2$ человека.
2. Только музыка и хор (без танцев): $|М \cap Х| - |М \cap Т \cap Х| = 6 - 1 = 5$ человек.
3. Только танцы и хор (без музыки): $|Т \cap Х| - |М \cap Т \cap Х| = 2 - 1 = 1$ человек.
4. Все три кружка: $1$ человек.
5. Только музыка: $|М| - (2 + 5 + 1) = 12 - 8 = 4$ человека.
6. Только танцы: $|Т| - (2 + 1 + 1) = 10 - 4 = 6$ человек.

Теперь найдём, сколько учеников занимаются только музыкой и/или танцами (без учёта тех, кто ходит только в хор):
$4 (\text{только М}) + 6 (\text{только Т}) + 2 (\text{М и Т}) + 5 (\text{М и Х}) + 1 (\text{Т и Х}) + 1 (\text{все три}) = 19$ человек.
Всего в классе 24 ученика. Значит, количество учеников, которые посещают только хор, равно:
$24 - 19 = 5$ человек.
Теперь можем найти общее число учеников в хоре, сложив все группы, которые его посещают:
$5 (\text{только Х}) + 5 (\text{М и Х}) + 1 (\text{Т и Х}) + 1 (\text{все три}) = 12$ человек.

Ответ: 12

336 В классе 24 ученика. Музыкой занимаются 12 человек, танцами – 10, два эти кружка посещают 3 человека, занимаются музыкой и поют в хоре – 6, поют в хоре и занимаются танцами – 2, а один ученик занимается во всех трех кружках. Все остальные ученики класса посещают только занятия хора. Сколько всего учеников этого класса поют в хоре?