Страница 75, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 308 Найди 1% от:

а) 340 р.;

б) 1 км;

в) 0,3 л;

г) 6 га;

д) 200 г;

е) 6 тыс. жителей;

ж) 0,12 р.;

з) 700 овец.

Чтобы найти 1% от числа (величины), нужно это число (величину) разделить на 100.

а) 1% от 340 р.
$340 \text{ р.} \div 100 = 3,4 \text{ р.}$
Ответ: 3,4 р.

б) 1% от 1 км.
Для удобства вычислений переведем километры в метры: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
$1000 \text{ м} \div 100 = 10 \text{ м}.$
Ответ: 10 м.

в) 1% от 0,3 л.
Переведем литры в миллилитры: $0,3 \text{ л} = 300 \text{ мл}$.
$300 \text{ мл} \div 100 = 3 \text{ мл}.$
Ответ: 3 мл.

г) 1% от 6 га.
Переведем гектары в ары: $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$, следовательно $6 \text{ га} = 600 \text{ а}$.
$600 \text{ а} \div 100 = 6 \text{ а}.$
Ответ: 6 а.

д) 1% от 200 г.
$200 \text{ г} \div 100 = 2 \text{ г}.$
Ответ: 2 г.

е) 1% от 6 тыс. жителей.
Представим 6 тыс. жителей в виде числа: $6 \text{ тыс.} = 6000$.
$6000 \text{ жителей} \div 100 = 60 \text{ жителей}.$
Ответ: 60 жителей.

ж) 1% от 0,12 р.
Переведем рубли в копейки: $1 \text{ р.} = 100 \text{ коп.}$, следовательно $0,12 \text{ р.} = 12 \text{ коп.}$
$12 \text{ коп.} \div 100 = 0,12 \text{ коп.}$
Ответ: 0,12 коп.

з) 1% от 700 овец.
$700 \text{ овец} \div 100 = 7 \text{ овец}.$
Ответ: 7 овец.

K 308 Найди $1\%$ от:

а) 340 р.;

б) 1 км;

в) 0,3 л;

г) 6 га;

д) 200 г;

е) 6 тыс. жителей;

ж) 0,12 р.;

з) 700 овец.

309 Найди величину, если её 1% составляет:

а) 1 см;

б) $7 \text{ м}^2$;

в) 5,6 р.;

г) 12 с;

д) 45 г;

е) 1800 книг;

ж) 0,9 л;

з) 2,4 кг.

Для того чтобы найти всю величину, зная, чему равен её 1%, необходимо данное значение умножить на 100. Это связано с тем, что вся величина принимается за 100%, а 1% — это одна сотая её часть.

а) Если 1% составляет 1 см, то вся величина равна:

$1 \text{ см} \times 100 = 100 \text{ см}$

Так как в 1 метре 100 сантиметров, то результат можно также представить как 1 м.

Ответ: 100 см (или 1 м).

б) Если 1% составляет 7 м², то вся величина равна:

$7 \text{ м}^2 \times 100 = 700 \text{ м}^2$

Ответ: 700 м².

в) Если 1% составляет 5,6 р., то вся величина равна:

$5,6 \text{ р.} \times 100 = 560 \text{ р.}$

Ответ: 560 р.

г) Если 1% составляет 12 с, то вся величина равна:

$12 \text{ с} \times 100 = 1200 \text{ с}$

Так как в 1 минуте 60 секунд, то $1200 \text{ с} = 1200 / 60 = 20 \text{ мин}$.

Ответ: 1200 с (или 20 мин).

д) Если 1% составляет 45 г, то вся величина равна:

$45 \text{ г} \times 100 = 4500 \text{ г}$

Так как в 1 килограмме 1000 граммов, то $4500 \text{ г} = 4,5 \text{ кг}$.

Ответ: 4500 г (или 4,5 кг).

е) Если 1% составляет 1800 книг, то вся величина равна:

$1800 \text{ книг} \times 100 = 180000 \text{ книг}$

Ответ: 180000 книг.

ж) Если 1% составляет 0,9 л, то вся величина равна:

$0,9 \text{ л} \times 100 = 90 \text{ л}$

Ответ: 90 л.

з) Если 1% составляет 2,4 кг, то вся величина равна:

$2,4 \text{ кг} \times 100 = 240 \text{ кг}$

Ответ: 240 кг.

309 Найди величину, если ее 1% составляет:

а) 1 см;

б) $7 \text{ м}^2$;

в) 5,6 р.;

г) 12 с;

д) 45 г;

е) 1800 книг;

ж) 0,9 л;

з) 2,4 кг.

318 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Выпиши истинные высказывания и из соответствующих им букв составь имя русского полярного исследователя.

E $3 \in Z$ Н $0 \in N$ В $-4 \in Q$ А $812 \in N$

Д $-7 \in N$ Т $0 \in Z$ И $\frac{3}{7} \in Z$ Р $3\frac{5}{9} \notin Q$

Ж $5 \notin Q$ Б $0 \notin Q$ П $0,9 \notin N$ Л $-15 \in Z$

Для решения задачи необходимо определить, какие из предложенных математических высказываний являются истинными, а какие — ложными. Для этого вспомним определения основных числовых множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел. Это числа, которые используются при счёте предметов: $\{1, 2, 3, 4, ...\}$. В некоторых определениях 0 также включается в это множество, но в стандартной школьной программе России натуральные числа начинаются с 1.
• $Z$ — множество целых чисел. Оно включает в себя натуральные числа, числа, им противоположные, и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).

Теперь разберем каждое высказывание:

E $3 \in Z$

Высказывание "число 3 принадлежит множеству целых чисел". Число 3 является целым, поэтому высказывание истинно.
Ответ: истинно.

H $0 \in N$

Высказывание "число 0 принадлежит множеству натуральных чисел". Согласно стандартному определению, 0 не является натуральным числом. Высказывание ложно.
Ответ: ложно.

В $-4 \in Q$

Высказывание "число -4 принадлежит множеству рациональных чисел". Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $-4 = \frac{-4}{1}$. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

А $812 \in N$

Высказывание "число 812 принадлежит множеству натуральных чисел". 812 — это положительное целое число, используемое при счете. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

Д $-7 \in N$

Высказывание "число -7 принадлежит множеству натуральных чисел". Натуральные числа — положительные. -7 — отрицательное число. Высказывание ложно.
Ответ: ложно.

Т $0 \in Z$

Высказывание "число 0 принадлежит множеству целых чисел". Ноль входит в множество целых чисел. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

И $\frac{3}{7} \in Z$

Высказывание "дробь $\frac{3}{7}$ принадлежит множеству целых чисел". Множество $Z$ состоит только из целых чисел. $\frac{3}{7}$ — это дробное число. Высказывание ложно.
Ответ: ложно.

Р $3\frac{5}{9} \notin Q$

Высказывание "число $3\frac{5}{9}$ не принадлежит множеству рациональных чисел". Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$. Это число является рациональным. Утверждение о том, что оно не является рациональным, ложно.
Ответ: ложно.

Ж $5 \notin Q$

Высказывание "число 5 не принадлежит множеству рациональных чисел". Число 5 можно записать как дробь $\frac{5}{1}$, поэтому оно является рациональным. Утверждение ложно.
Ответ: ложно.

Б $0 \notin Q$

Высказывание "число 0 не принадлежит множеству рациональных чисел". Ноль можно записать как дробь $\frac{0}{1}$, поэтому он является рациональным. Утверждение ложно.
Ответ: ложно.

П $0,9 \notin N$

Высказывание "число 0,9 не принадлежит множеству натуральных чисел". Натуральные числа — это целые положительные числа. 0,9 — это десятичная дробь, а не целое число. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

Л $-15 \in Z$

Высказывание "число -15 принадлежит множеству целых чисел". -15 является целым отрицательным числом. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

Выпишем буквы, соответствующие истинным высказываниям:

Е, В, А, Т, П, Л.

Из этих букв можно составить фамилию известного русского полярного исследователя:

ЛАПТЕВ

(Дмитрий и Харитон Лаптевы — выдающиеся русские исследователи Арктики, в честь которых названо море Лаптевых).

318 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Выпиши истинные высказывания и из соответствующих им букв составь имя русского полярного исследователя.

Е $3 \in \mathbb{Z}$

Н $0 \in \mathbb{N}$

В $-4 \in \mathbb{Q}$

А $812 \in \mathbb{N}$

Д $-7 \in \mathbb{N}$

Т $0 \in \mathbb{Z}$

И $\frac{3}{7} \in \mathbb{Z}$

Р $3\frac{5}{9} \notin \mathbb{Q}$

Ж $-5 \notin \mathbb{Q}$

Б $0 \notin \mathbb{Q}$

П $0,9 \notin \mathbb{N}$

Л $-15 \in \mathbb{Z}$

319 Изобрази точкой на координатной прямой число x, если:

1) $x = -5; -2; +3; -4; +9; +2; -9; +4; -3; +5;$

2) $x = 1,5; -\frac{1}{4}; -1,75; \frac{5}{8}; 0,25; -1\frac{1}{2}; -0,625; 1\frac{3}{4}.$

1) Заданные числа $x$: $-5$; $-2$; $+3$; $-4$; $+9$; $+2$; $-9$; $+4$; $-3$; $+5$.

Это целые числа. Для их изображения на координатной прямой выберем единичный отрезок и отметим точки, соответствующие каждому числу.

Ответ:

2) Заданные числа $x$: $1,5$; $-\frac{1}{4}$; $-1,75$; $\frac{5}{8}$; $0,25$; $-1\frac{1}{2}$; $-0,625$; $1\frac{3}{4}$.

Для удобства расположения на координатной прямой, переведем все числа в десятичные дроби:

• $1,5$
• $-\frac{1}{4} = -0,25$
• $-1,75$
• $\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0,625$
• $0,25$
• $-1\frac{1}{2} = -1,5$
• $-0,625$
• $1\frac{3}{4} = 1 + 3 \div 4 = 1 + 0,75 = 1,75$

Получим следующий ряд чисел: $1,5; -0,25; -1,75; 0,625; 0,25; -1,5; -0,625; 1,75$. Теперь изобразим эти точки на координатной прямой.

Ответ:

319 Изобрази точкой на координатной прямой число x, если:

1) $x = -5; -2; +3; -4; +9; +2; -9; +4; -3; +5;$

2) $x = 1,5; -\frac{1}{4}; -1,75; \frac{5}{8}; 0,25; -1\frac{1}{2}; -0,625; 1\frac{3}{4}.$

П 320 Вычисли устно и найди произведение полученных чисел наиболее удобным способом.

$3,6 \cdot 0,5$

$: 0,6$

$\cdot 80$

$+ 260$

$\cdot 0,1$

?

$0,6 : 0,03$

$- 12$

$\cdot 0,9$

$+ 2,6$

$\cdot 0,1$

?

$6 - 1,8$

$: 7$

$+ 0,8$

$\cdot 5$

$- 4,5$

?

$1,5 + 3,6$

$: 3$

$- 0,1$

$: 0,04$

$\cdot 10$

?

$10 : 4$

$- 0,9$

$\cdot 3$

$: 48$

$- 0,08$

?

Сначала вычислим значения для каждого столбца.

Первый столбец

1) $3,6 \cdot 0,5 = 1,8$

2) $1,8 : 0,6 = 3$

3) $3 \cdot 80 = 240$

4) $240 + 260 = 500$

5) $500 \cdot 0,1 = 50$

Ответ: 50

Второй столбец

1) $0,6 : 0,03 = 20$

2) $20 - 12 = 8$

3) $8 \cdot 0,9 = 7,2$

4) $7,2 + 2,6 = 9,8$

5) $9,8 \cdot 0,1 = 0,98$

Ответ: 0,98

Третий столбец

1) $6 - 1,8 = 4,2$

2) $4,2 : 7 = 0,6$

3) $0,6 + 0,8 = 1,4$

4) $1,4 \cdot 5 = 7$

5) $7 - 4,5 = 2,5$

Ответ: 2,5

Четвертый столбец

1) $1,5 + 3,6 = 5,1$

2) $5,1 : 3 = 1,7$

3) $1,7 - 0,1 = 1,6$

4) $1,6 : 0,04 = 40$

5) $40 \cdot 10 = 400$

Ответ: 400

Пятый столбец

1) $10 : 4 = 2,5$

2) $2,5 - 0,9 = 1,6$

3) $1,6 \cdot 3 = 4,8$

4) $4,8 : 48 = 0,1$

5) $0,1 - 0,08 = 0,02$

Ответ: 0,02

Теперь найдем произведение полученных чисел наиболее удобным способом.

Мы получили следующие числа: 50; 0,98; 2,5; 400; 0,02.

Для нахождения их произведения сгруппируем множители:

$50 \cdot 0,98 \cdot 2,5 \cdot 400 \cdot 0,02 = (50 \cdot 0,02) \cdot (2,5 \cdot 400) \cdot 0,98$

Вычислим значения выражений в скобках:

1) $50 \cdot 0,02 = 1$

2) $2,5 \cdot 400 = 2,5 \cdot 4 \cdot 100 = 10 \cdot 100 = 1000$

Подставим полученные значения обратно в произведение:

$1 \cdot 1000 \cdot 0,98 = 980$

Ответ: 980

320 Вычисли устно и найди произведение полученных чисел наиболее удобным способом:

$ \begin{array}{l}3,6 \cdot 0,5 \\: 0,6 \\\cdot 80 \\+ 260 \\\cdot 0,1 \\\hline?\end{array} $$ \begin{array}{l}0,6 : 0,03 \\- 12 \\\cdot 0,9 \\+ 2,6 \\\cdot 0,1 \\\hline?\end{array} $$ \begin{array}{l}6 - 1,8 \\: 7 \\+ 0,8 \\\cdot 5 \\- 4,5 \\\hline?\end{array} $$ \begin{array}{l}1,5 + 3,6 \\: 3 \\- 0,1 \\: 0,04 \\\cdot 10 \\\hline?\end{array} $$ \begin{array}{l}10 : 4 \\- 0,9 \\\cdot 3 \\: 48 \\- 0,08 \\\hline?\end{array} $

321 Прочитай неравенство и найди множество его натуральных решений:

1) $9 < x \le 11;$

2) $4,8 \le x < 9;$

3) $2\frac{1}{7} \le x \le 3,6;$

4) $3,2 \le x \le 3\frac{9}{11}.$

Задача состоит в том, чтобы для каждого неравенства найти множество натуральных чисел (целых положительных чисел: 1, 2, 3, ...), которые ему удовлетворяют.

Данное неравенство читается как «$x$ строго больше девяти и меньше или равен одиннадцати». Мы ищем натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию. Натуральные числа, которые строго больше 9, — это 10, 11, 12 и так далее. Из них условию «меньше или равно 11» удовлетворяют только 10 и 11.

Ответ: {10, 11}.

Данное неравенство читается как «$x$ больше или равен четырём целым восьми десятым и строго меньше девяти». Натуральные числа, которые больше или равны 4,8, начинаются с 5 (поскольку 4 < 4,8). Натуральные числа, которые строго меньше 9, — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Объединяя оба условия, получаем искомое множество.

Ответ: {5, 6, 7, 8}.

Данное неравенство читается как «$x$ больше или равен двум целым одной седьмой и меньше или равен трём целым шести десятым». Нам нужно найти натуральные числа в этом промежутке. Поскольку $2 < 2\frac{1}{7}$ и $3,6 < 4$, единственное натуральное число, которое находится между $2\frac{1}{7}$ и 3,6, это 3.

Ответ: {3}.

Данное неравенство читается как «$x$ больше или равен трём целым двум десятым и меньше или равен трём целым девяти одиннадцатым». Оценим границы этого промежутка. Левая граница $3,2$ больше 3. Правая граница $3\frac{9}{11}$ меньше 4. Таким образом, мы ищем натуральные числа $x$ в интервале $(3, 4)$. В этом интервале нет ни одного целого числа, а значит, и натуральных решений у неравенства нет.

Ответ: $\emptyset$.

321 Прочитай неравенство и найди множество его натуральных решений:

1) $9 < x \leq 11$;

2) $4,8 \leq x < 9$;

3) $2 \frac{1}{7} \leq x \leq 3,6$;

4) $3,2 \leq x \leq 3 \frac{9}{11}$.

322 1) Моторная лодка прошла по течению реки 9,6 км за $\frac{3}{4}$ ч, а против течения это же расстояние она шла на 35 мин дольше. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

2) Собственная скорость катера в 8 раз больше скорости течения реки. Двигаясь против течения, катер прошёл 21 км за 1 ч 15 мин. На сколько километров больше пройдёт он за то же время, двигаясь по течению реки? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

1)

Пусть $v_с$ — собственная скорость моторной лодки (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч). Тогда скорость лодки по течению равна $v_с + v_т$, а скорость против течения — $v_с - v_т$.

Расстояние $S$ равно $9,6$ км. Время движения по течению $t_{по} = \frac{3}{4}$ ч, что равно $0,75$ ч. Найдем скорость движения лодки по течению: $v_{по} = \frac{S}{t_{по}} = \frac{9,6}{0,75} = 12,8$ км/ч. Таким образом, мы получаем первое уравнение: $v_с + v_т = 12,8$.

По условию, на путь против течения лодка затратила на 35 минут больше. Переведем 35 минут в часы: $35 \text{ мин} = \frac{35}{60} \text{ ч} = \frac{7}{12}$ ч. Время движения по течению в долях часа: $t_{по} = \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{9}{12}$ ч. Следовательно, время движения против течения составляет: $t_{против} = t_{по} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12} + \frac{7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ ч.

Теперь найдем скорость движения лодки против течения: $v_{против} = \frac{S}{t_{против}} = \frac{9,6}{4/3} = \frac{9,6 \cdot 3}{4} = 2,4 \cdot 3 = 7,2$ км/ч. Таким образом, мы получаем второе уравнение: $v_с - v_т = 7,2$.

Решим систему из двух полученных уравнений: $ \begin{cases} v_с + v_т = 12,8 \\ v_с - v_т = 7,2 \end{cases} $ Сложив два уравнения, получим: $(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 12,8 + 7,2$ $2v_с = 20$ $v_с = 10$ км/ч.

Подставим найденное значение $v_с$ в первое уравнение, чтобы найти $v_т$: $10 + v_т = 12,8$ $v_т = 12,8 - 10 = 2,8$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки равна 10 км/ч, а скорость течения реки — 2,8 км/ч.

2)

Пусть $v_к$ — собственная скорость катера, а $v_т$ — скорость течения реки. Согласно условию задачи, $v_к = 8v_т$.

Выразим скорость катера против течения и по течению через скорость течения: Скорость против течения: $v_{против} = v_к - v_т = 8v_т - v_т = 7v_т$. Скорость по течению: $v_{по} = v_к + v_т = 8v_т + v_т = 9v_т$.

За одно и то же время ($t$) пройденные расстояния ($S_{по}$ и $S_{против}$) относятся так же, как и скорости движения: $\frac{S_{по}}{S_{против}} = \frac{v_{по} \cdot t}{v_{против} \cdot t} = \frac{v_{по}}{v_{против}} = \frac{9v_т}{7v_т} = \frac{9}{7}$

В условии сказано, что расстояние, пройденное против течения, $S_{против} = 21$ км. Используя найденное соотношение, найдем расстояние, которое катер пройдет по течению за то же время: $S_{по} = \frac{9}{7} \cdot S_{против} = \frac{9}{7} \cdot 21 = 9 \cdot 3 = 27$ км.

Теперь вычислим, на сколько километров больше катер пройдёт по течению, чем против течения: $\Delta S = S_{по} - S_{против} = 27 - 21 = 6$ км.

Теперь ответим на второй вопрос: есть ли лишнее данное в условии этой задачи? Для нахождения разницы в расстоянии мы использовали только соотношение скоростей ($v_к = 8v_т$) и расстояние, пройденное против течения (21 км). Время движения (1 ч 15 мин) не потребовалось для вычислений. Следовательно, это данное является избыточным.

Ответ: по течению реки катер пройдёт на 6 км больше; да, в условии есть лишнее данное — время движения 1 ч 15 мин.

322 1) Моторная лодка прошла по течению реки 9,6 км за $3/4$ ч, а против течения это же расстояние она шла на 35 мин дольше. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

2) Собственная скорость катера в 8 раз больше скорости течения реки. Двигаясь против течения, катер прошел 21 км за 1 ч 15 мин. На сколько километров больше пройдет он за то же время, двигаясь по течению реки? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

323 Найди значения выражений:

1) $3ab$, если $a = 0,57$, $b = 2 \frac{2}{19}$;

2) $\frac{2c}{d^2}$, если $c = 2 \frac{1}{4}$, $d = 0,3$;

3) $\frac{5}{6}n - \frac{4}{15}n + \frac{1}{12}n$, если $n = 1 \frac{7}{13}$;

4) $\frac{9}{35}k + \frac{3}{14}k - \frac{5}{21}k$, если $k = \frac{9}{14}$.

Если...

1) Подставим значения $a = 0,57$ и $b = 2\frac{2}{19}$ в выражение $3ab$.
Для удобства вычислений представим значения в виде дробей: $a = 0,57 = \frac{57}{100}$, $b = 2\frac{2}{19} = \frac{2 \cdot 19 + 2}{19} = \frac{40}{19}$.
Выполним вычисления:
$3ab = 3 \cdot \frac{57}{100} \cdot \frac{40}{19} = \frac{3 \cdot 57 \cdot 40}{100 \cdot 19}$
Сократим 57 и 19 (так как $57 = 3 \cdot 19$), а также 40 и 100 (на 20):
$\frac{3 \cdot (3 \cdot 19) \cdot (2 \cdot 20)}{(5 \cdot 20) \cdot 19} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 2}{5} = \frac{18}{5} = 3,6$.
Ответ: $3,6$.

2) Подставим значения $c = 2\frac{1}{4}$ и $d = 0,3$ в выражение $\frac{2c}{d^2}$.
Переведем значения в вид неправильных дробей: $c = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$, $d = 0,3 = \frac{3}{10}$.
Выполним вычисления:
$\frac{2c}{d^2} = \frac{2 \cdot \frac{9}{4}}{(\frac{3}{10})^2} = \frac{\frac{18}{4}}{\frac{9}{100}} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{9}{100}}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$\frac{9}{2} \div \frac{9}{100} = \frac{9}{2} \cdot \frac{100}{9} = \frac{100}{2} = 50$.
Ответ: $50$.

3) Сначала упростим выражение $\frac{5}{6}n - \frac{4}{15}n + \frac{1}{12}n$, вынеся общий множитель $n$ за скобки.
$(\frac{5}{6} - \frac{4}{15} + \frac{1}{12})n$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6, 15 и 12 равно 60.
$(\frac{5 \cdot 10}{60} - \frac{4 \cdot 4}{60} + \frac{1 \cdot 5}{60})n = (\frac{50 - 16 + 5}{60})n = \frac{39}{60}n$
Сократим полученную дробь на 3: $\frac{39}{60}n = \frac{13}{20}n$.
Теперь подставим значение $n = 1\frac{7}{13}$. Переведем его в неправильную дробь: $n = \frac{1 \cdot 13 + 7}{13} = \frac{20}{13}$.
$\frac{13}{20} \cdot \frac{20}{13} = 1$.
Ответ: $1$.

4) Сначала упростим выражение $\frac{9}{35}k + \frac{3}{14}k - \frac{5}{21}k$, вынеся общий множитель $k$ за скобки.
$(\frac{9}{35} + \frac{3}{14} - \frac{5}{21})k$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 35, 14 и 21 равно 210.
$(\frac{9 \cdot 6}{210} + \frac{3 \cdot 15}{210} - \frac{5 \cdot 10}{210})k = (\frac{54 + 45 - 50}{210})k = \frac{49}{210}k$
Сократим полученную дробь на 7: $\frac{49}{210}k = \frac{7}{30}k$.
Теперь подставим значение $k = \frac{9}{14}$:
$\frac{7}{30} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7 \cdot 9}{30 \cdot 14} = \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 2} = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$.

323 Найди значения выражений:

1) $3ab$, если $a = 0,57$, $b = 2\frac{2}{19}$;

2) $\frac{2c}{d^2}$, если $c = 2\frac{1}{4}$, $d = 0,3$;

3) $\frac{5}{6}n - \frac{4}{15}n + \frac{1}{12}n$, если $n = 1\frac{7}{13}$;

4) $\frac{9}{35}k + \frac{3}{14}k - \frac{5}{21}k$, если $k = \frac{9}{14}$.

328 а) Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называется радиусом окружности.

б) Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

в) Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

г) Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две её точки.

а)

Данное утверждение является определением радиуса окружности. Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности. Пусть $O$ — центр окружности, а $A$ — точка на окружности, тогда отрезок $OA$ является радиусом. Длину этого отрезка также называют радиусом и обычно обозначают буквой $r$ или $R$. Утверждение полностью соответствует этому определению.

Ответ: Утверждение верно.

б)

Это утверждение представляет собой классическое определение окружности как геометрического места точек. Окружность — это замкнутая кривая на плоскости, все точки которой равноудалены от одной точки, называемой центром окружности. Это заданное расстояние называется радиусом. Утверждение точно и полно описывает понятие окружности.

Ответ: Утверждение верно.

в)

Данное утверждение является определением диаметра окружности. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности, и его длина равна двум радиусам ($d = 2r$). Утверждение абсолютно верное.

Ответ: Утверждение верно.

г)

Это утверждение даёт определение хорды окружности. По определению, хордой является любой отрезок, конечные точки которого (концы) лежат на окружности. Например, если точки $A$ и $B$ принадлежат окружности, то отрезок $AB$ — это хорда. Таким образом, данное утверждение является правильным определением.

Ответ: Утверждение верно.

328 а) Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности.

б) Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

в) Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

г) Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две ее точки.

329 а) Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

б) Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

в) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

г) Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

а) Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Данное утверждение является корректным определением ромба. Разберем его по частям. Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из этого следует, что у параллелограмма противоположные стороны равны. Ромб – это четырёхугольник, у которого все четыре стороны равны. Если у четырёхугольника все стороны равны, то его противоположные стороны также равны. А четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны, является параллелограммом. Таким образом, любой ромб является параллелограммом. Определение корректно выделяет ромб из множества всех параллелограммов по отличительному признаку – равенству всех сторон.

Ответ: Утверждение является верным определением ромба.

б) Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Это утверждение является классическим и верным определением параллельных прямых в евклидовой геометрии (планиметрии). Оно содержит два ключевых условия:
1. Лежат в одной плоскости (копланарность): это условие необходимо, чтобы отличать параллельные прямые от скрещивающихся прямых в трёхмерном пространстве. Скрещивающиеся прямые также не пересекаются, но лежат в разных плоскостях.
2. Не пересекаются: это означает, что у прямых нет ни одной общей точки.
Для двух различных прямых $a$ и $b$, лежащих в плоскости $\alpha$, их параллельность ($a \parallel b$) означает, что их пересечение пусто: $a \cap b = \emptyset$.

Ответ: Утверждение является верным определением параллельных прямых.

в) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Данное утверждение является основным, фундаментальным определением параллелограмма. Четырёхугольник – это фигура, состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), последовательно их соединяющих. Пусть вершины четырёхугольника $ABCD$. Противолежащими сторонами являются пары $AB$ и $CD$, а также $BC$ и $DA$. Определение гласит, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда выполняются два условия: сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ ($AB \parallel CD$) и сторона $BC$ параллельна стороне $DA$ ($BC \parallel DA$). Все остальные свойства параллелограмма (равенство противолежащих сторон и углов, деление диагоналей точкой пересечения пополам) являются следствиями этого определения.

Ответ: Утверждение является верным определением параллелограмма.

г) Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Это утверждение является корректным определением прямоугольника. Прямоугольник рассматривается как частный случай параллелограмма. Это значит, что он обладает всеми свойствами параллелограмма (попарная параллельность и равенство противолежащих сторон). Отличительным свойством, которое выделяет прямоугольник среди других параллелограммов, является наличие прямых углов ($90^\circ$). Стоит отметить, что если у параллелограмма хотя бы один угол прямой, то и все остальные его углы будут прямыми. Это следует из того, что сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, а противоположные углы равны. Тем не менее, формулировка "все углы прямые" является абсолютно верной и однозначной.

Ответ: Утверждение является верным определением прямоугольника.

329 а) Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

б) Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

в) Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

г) Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

330 Сформулируй определение квадрата, основываясь на понятии:

а) прямоугольник;

б) ромб;

в) параллелограмм.

а) прямоугольник
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$). У прямоугольника равны только противолежащие стороны. Квадрат является частным случаем прямоугольника. Чтобы прямоугольник стал квадратом, необходимо добавить условие равенства всех его сторон. Поскольку у прямоугольника противолежащие стороны уже равны, достаточно потребовать, чтобы были равны две любые смежные (соседние) стороны. Если смежные стороны прямоугольника равны, то и все четыре стороны будут равны.
Ответ: Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (или у которого равны смежные стороны).

б) ромб
Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. У ромба равны только противолежащие углы, и в общем случае они не являются прямыми. Квадрат является частным случаем ромба. Чтобы ромб стал квадратом, необходимо добавить условие, что все его углы — прямые. Поскольку ромб является параллелограммом, сумма его соседних углов равна $180^\circ$, а противолежащие углы равны. Поэтому достаточно потребовать, чтобы хотя бы один из углов ромба был прямым ($90^\circ$). В этом случае все остальные углы также станут прямыми.
Ответ: Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые (или у которого есть прямой угол).

в) параллелограмм
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Квадрат — это частный случай параллелограмма, который обладает свойствами и прямоугольника, и ромба одновременно. Следовательно, чтобы из параллелограмма получить квадрат, нужно добавить условия, превращающие его в прямоугольник и ромб.
Это можно сделать несколькими способами:
1. Добавить условие, что один из углов прямой (это делает параллелограмм прямоугольником), и условие, что смежные стороны равны (это делает его ромбом).
2. Через свойства диагоналей: добавить условие, что диагонали равны (свойство прямоугольника), и условие, что диагонали взаимно перпендикулярны (свойство ромба).
Таким образом, можно дать несколько эквивалентных определений.
Ответ: Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые. (Альтернативные определения: Квадрат — это параллелограмм, у которого смежные стороны равны, а один из углов прямой. Квадрат — это параллелограмм, диагонали которого равны и перпендикулярны).

330 Сформулируй определение квадрата, основываясь на понятии:

а) прямоугольник;

б) ромб;

в) параллелограмм.

331 Прочитай определение биссектрисы угла.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит часть плоскости, ограниченную углом, на две равные части.

Пользуясь им, предложи свой вариант определения биссектрисы угла треугольника. Сделай рисунки биссектрисы угла и биссектрисы угла треугольника.

Вариант определения биссектрисы угла треугольника

Основываясь на определении биссектрисы угла как луча, можно сформулировать определение биссектрисы для угла треугольника. В контексте треугольника биссектриса обычно рассматривается не как бесконечный луч, а как отрезок, который находится внутри треугольника.

Определение: Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне.

Ответ: Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы этого угла, который соединяет вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне.

Рисунки биссектрисы угла и биссектрисы угла треугольника

На первом рисунке показана биссектриса угла. На втором — биссектриса угла треугольника.

1. Биссектриса угла
На рисунке изображен угол $∠AOB$ с вершиной в точке $O$. Луч $l$ (показан красным пунктиром) исходит из вершины $O$ и делит угол $∠AOB$ на два равных угла. Таким образом, луч $l$ является биссектрисой угла $∠AOB$. Равенство углов показано одинаковыми дугами и символом $α$: $∠AOl = ∠lOB = α$.

2. Биссектриса угла треугольника
На рисунке изображен треугольник $ABC$. Отрезок $CD$ (показан красным цветом) является биссектрисой угла $C$ этого треугольника. Он соединяет вершину $C$ с точкой $D$ на противолежащей стороне $AB$ и делит угол $∠ACB$ на два равных угла. Равенство углов показано одинаковыми дугами и символом $β$: $∠ACD = ∠BCD = β$.

Ответ: Рисунки, демонстрирующие биссектрису угла и биссектрису угла треугольника, представлены выше.

331 Прочитай определение биссектрисы угла.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит часть плоскости, ограниченную углом, на две равные части.

Пользуясь им, предложи свой вариант определения биссектрисы угла треугольника. Сделай рисунки биссектрисы угла и биссектрисы угла треугольника.

332 Как ты считаешь, какой из нарисованных углов называют центральным? Почему? Проверь по справочнику. Нарисуй несколько центральных углов окружности и сформулируй определение этого понятия.

1) На окружности с центром $O$ изображены точки $A$, $B$, $C$. Угол $AOC$ имеет вершину в центре $O$.

2) На окружности с центром $O$ изображены точки $D$, $E$. Угол $DOE$ имеет вершину в центре $O$.

3) На окружности с центром $O$ изображены точки $K$, $M$, $N$. Угол $KMN$ имеет вершину $M$ на окружности.

Какой из нарисованных углов называют центральным и почему?

Центральными являются углы, изображенные на рисунках 1 и 2. Это углы $∠AOC$ и $∠DOE$.

Их называют центральными, потому что вершина каждого из этих углов (точка $O$) совпадает с центром окружности, а стороны ($OA$ и $OC$ для первого угла, $OD$ и $OE$ для второго) являются радиусами этой окружности.

Угол $∠MNK$ на рисунке 3 не является центральным, так как его вершина (точка $N$) лежит на окружности, а не в ее центре. Такой угол называется вписанным.

Ответ: Центральными являются углы $∠AOC$ (рисунок 1) и $∠DOE$ (рисунок 2), так как их вершина находится в центре окружности, а стороны являются радиусами.

Примеры центральных углов и определение

Чтобы нарисовать центральный угол, нужно:

1. Нарисовать окружность с центром в точке $O$.
2. Провести из центра два радиуса, например, $OP$ и $OQ$.
3. Полученный угол $∠POQ$ будет центральным.

Вот несколько примеров нарисованных центральных углов:

На основе этих примеров и анализа можно сформулировать определение.

Определение: Центральным углом окружности называется угол, вершина которого находится в центре этой окружности, а стороны являются ее радиусами.

Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Ответ: Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого пересекают окружность, являясь ее радиусами.

332 Как ты считаешь, какой из нарисованных углов называют центральным? Почему? Проверь по справочнику. Нарисуй несколько центральных углов окружности и сформулируй определение этого понятия.

1) $ \angle AOC $, $ \angle BAC $

2) $ \angle DOE $

3) $ \angle MNK $

333 Какую из прямых на рисунке можно назвать касательной к окружности, а какую – секущей? Почему? Предложи свои варианты определений касательной и секущей и сделай рисунки. Сравни свои определения с определениями этих понятий в справочнике.

1) $a$, $O$

2) $b$, $O$

3) $c$, $O$

Касательная и секущая на рисунке и обоснование

Чтобы определить, какая из прямых является касательной, а какая — секущей, необходимо посчитать количество их общих точек с окружностью.

• На рисунке 1 прямая a имеет две общие точки с окружностью. Такая прямая называется секущей.
• На рисунке 2 прямая b не имеет общих точек с окружностью. Она не является ни касательной, ни секущей.
• На рисунке 3 прямая c имеет ровно одну общую точку с окружностью. Такая прямая называется касательной.

Почему? Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяется количеством их общих точек. Это и лежит в основе определений касательной и секущей:
- если общих точек две — это секущая;
- если общая точка одна — это касательная;
- если общих точек нет — прямая не пересекает окружность.

Ответ: Прямая a — секущая, прямая c — касательная.

Варианты определений касательной и секущей с рисунками

На основе проведенного анализа можно предложить следующие варианты определений:

Определение касательной: Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к этой окружности. Эта общая точка называется точкой касания.

Рисунок-иллюстрация для касательной: На рисунке изображена окружность с центром в точке $O$. Прямая $p$ касается окружности в единственной точке $K$. Радиус $OK$, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной $p$, то есть $OK \perp p$.

Определение секущей: Прямая, имеющая с окружностью две различные общие точки, называется секущей по отношению к этой окружности.

Рисунок-иллюстрация для секущей: На рисунке изображена окружность с центром $O$. Прямая $q$ пересекает ее в двух точках: $A$ и $B$. Отрезок $AB$, соединяющий эти точки, является хордой данной окружности.

Ответ: Касательная — это прямая, имеющая одну общую точку с окружностью. Секущая — это прямая, имеющая две общие точки с окружностью.

Сравнение определений с определениями из справочника

Сравним предложенные определения с общепринятыми формулировками из учебников и справочных материалов по геометрии.

• Справочное определение касательной: «Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности».
• Справочное определение секущей: «Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей к окружности».

Вывод: Предложенные определения полностью совпадают с определениями из справочника. Они являются стандартными и точно описывают данные геометрические понятия в евклидовой геометрии.

Ответ: Предложенные определения соответствуют стандартным определениям из справочника.

333 Какую из прямых на рисунке можно назвать касательной к окружности, а какую – секущей? Почему? Предложи свои варианты определений касательной и секущей и сделай рисунки. Сравни свои определения с определениями этих понятий в справочнике.

1) $a$, $O$

2) $b$, $O$

3) $c$, $O$