Страница 69, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

275 Докажи высказывания.

1) Сумма числа 219 и любого числа, которое при делении на 14 даёт остаток 3 ($14k + 3$), является чётным числом.

2) Сумма числа 49 и любого числа, которое при делении на 6 даёт остаток 5 ($6m + 5$), кратна шести.

1) Сумма числа 219 и любого числа, которое при делении на 14 даёт остаток 3, является чётным числом.

Пусть $a$ — это любое число, которое при делении на 14 даёт в остатке 3. Такое число можно представить в виде формулы: $a = 14k + 3$, где $k$ — любое целое неотрицательное число (частное от деления).

Нам нужно доказать, что сумма $S = 219 + a$ является чётным числом. Подставим выражение для $a$ в формулу суммы: $S = 219 + (14k + 3)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: $S = (219 + 3) + 14k = 222 + 14k$

Чтобы доказать, что число $S$ является чётным, нужно показать, что оно делится на 2 без остатка. Для этого вынесем общий множитель 2 за скобки: $S = 2 \cdot 111 + 2 \cdot 7k = 2(111 + 7k)$

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $(111 + 7k)$ также является целым числом. Обозначим его как $n$. Тогда сумма $S$ равна $2n$. Любое число, которое можно представить в виде $2n$, где $n$ — целое число, по определению является чётным. Следовательно, высказывание доказано.

Ответ: Высказывание доказано.

2) Сумма числа 49 и любого числа, которое при делении на 6 даёт остаток 5, кратна шести.

Пусть $b$ — это любое число, которое при делении на 6 даёт в остатке 5. Такое число можно представить в виде формулы: $b = 6k + 5$, где $k$ — любое целое неотрицательное число (частное от деления).

Нам нужно доказать, что сумма $S = 49 + b$ кратна шести, то есть делится на 6 без остатка. Подставим выражение для $b$ в формулу суммы: $S = 49 + (6k + 5)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: $S = (49 + 5) + 6k = 54 + 6k$

Чтобы доказать, что число $S$ кратно 6, нужно показать, что оно делится на 6 без остатка. Для этого вынесем общий множитель 6 за скобки: $S = 6 \cdot 9 + 6 \cdot k = 6(9 + k)$

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $(9 + k)$ также является целым числом. Обозначим его как $m$. Тогда сумма $S$ равна $6m$. Любое число, которое можно представить в виде $6m$, где $m$ — целое число, по определению кратно 6. Следовательно, высказывание доказано.

Ответ: Высказывание доказано.

275 Докажи высказывания:

1) Сумма числа 219 и любого числа, которое при делении на 14 дает остаток 3, является четным числом.

2) Сумма числа 49 и любого числа, которое при делении на 6 дает остаток 5, кратна шести.

276 Вставь вместо звёздочек пропущенные числа и сделай проверку.

a) $\begin{array}{r} 7\,3\,*\,8\,* \\+ \,1\,*\,4\,*\,2 \\\hline 2\,5\,9\,5\,7\,2\end{array}$

б) $\begin{array}{r} 5\,4\,*\,*\,3\,* \\- \,*\,*\,3\,4\,*\,0 \\\hline 1\,4\,5\,7\,5\end{array}$

в) $\begin{array}{r} 1\,*\,9\,*\,0\,* \\\times \quad *\,*\,4 \\\hline 5\,5\,8\,4 \\ *\,*\,1\,6\,*\phantom{0} \\\hline *\,*\,*\,*\,*\,*\end{array}$

г) $\begin{array}{r l r l} & \overline{\,5\,*\,1\,*\,*} \quad & \vline & 7\,5 \\- & *\,*\,5 & \vline & \overline{\, *\,*\,*\,*} \\ \cline{1-2} & *\,*\,* \\- & *\,* \\ \cline{1-2} & \quad *\,* \\- & \quad *\,* \\ \cline{1-2} & \quad \quad 0\end{array}$

а)

Для решения этой задачи будем восстанавливать цифры, двигаясь справа налево по разрядам.

1. Разряд единиц: $* + 2 = 2$. Отсюда следует, что $* = 0$. Первое слагаемое оканчивается на 0.
2. Разряд десятков: $8 + * = 7$. Это возможно, если сумма равна 17, то есть $8 + 9 = 17$. Значит, $* = 9$. Переносим 1 в следующий разряд.
3. Разряд сотен: $1$ (из переноса) $+ * + 4 = 5$. Получаем $* + 5 = 5$, значит $* = 0$.
4. Разряд тысяч: $3 + * = 9$. Отсюда $* = 6$.
5. Разряд десятков тысяч: $7 + * = 5$. Это возможно, если сумма равна 15, то есть $7 + 8 = 15$. Значит, $* = 8$. Переносим 1 в следующий разряд.
6. Разряд сотен тысяч: Сумма двух пятизначных чисел не может быть больше $199998$. Однако результат равен $259572$, что является шестизначным числом. Это означает, что одно из слагаемых — шестизначное. Судя по расположению, второе слагаемое больше. $1$ (из переноса) $+ * = 2$. Отсюда $* = 1$.

Таким образом, получаем слагаемые: $73080$ и $186492$. Давайте сложим их для проверки:

 73080+ 186492---------- 259572

Результат совпадает с данным в задаче. Однако, если мы посмотрим на исходный шаблон для второго слагаемого `**4*2`, мы увидим, что в разряде сотен должна стоять цифра 4. В нашем решении ($186492$) в разряде сотен стоит цифра 6. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи. Если предположить, что в шаблоне `**4*2` цифра 4 — это опечатка и там должна быть цифра 6, то решение верное.

Проверка: $259572 - 73080 = 186492$.

Ответ: Заполненный пример (с учётом исправления опечатки в условии с 4 на 6):

 73080+ 186492---------- 259572

Недостающие числа: $0$ и $0$ в первом слагаемом; $1, 8, 6, 9$ во втором.

б)

Решим задачу на вычитание, двигаясь справа налево по разрядам.

1. Разряд единиц: $* - 0 = 5$. Отсюда $*=5$.
2. Разряд десятков: $3 - * = 7$. Необходимо занять из старшего разряда: $13 - * = 7$, значит $* = 6$.
3. Разряд сотен: Мы заняли единицу, поэтому $(*-1) - 4 = 5$. То есть $* - 5 = 5$, что невозможно. Значит, нужно снова занять из старшего разряда: $(10 + * - 1) - 4 = 5$. $9 + * - 4 = 5$, $5 + * = 5$, значит $*=0$.
4. Разряд тысяч: Мы заняли единицу, поэтому $(*-1) - 3 = 4$. То есть $* - 4 = 4$, значит $* = 8$.
5. Разряд десятков тысяч: $4 - * = 1$. Отсюда $* = 3$.
6. Разряд сотен тысяч: $5 - * = 0$ (так как в разности нет цифры в этом разряде). Отсюда $* = 5$.

Получаем: уменьшаемое — $548035$, вычитаемое — $533460$.

Проверка: $548035 - 533460 = 14575$.

Ответ: Заполненный пример:

 548035- 533460---------- 14575

Недостающие числа: $8, 0, 5$ в уменьшаемом; $5, 3, 6$ в вычитаемом.

в)

В данном примере умножения содержатся противоречивые данные. Проанализируем его.

Первое частичное произведение равно $55*84$. Оно получено умножением первого множителя ($1*9*0*$) на последнюю цифру второго множителя (4).
Значит, $(1*9*0*) \times 4 = 55*84$.
Отсюда, первый множитель можно найти делением: $N = \frac{55*84}{4}$.
Минимальное значение $N$ будет $\frac{55084}{4} = 13771$. Максимальное — $\frac{55984}{4} = 13996$.
Таким образом, первый множитель $N$ должен находиться в диапазоне от $13771$ до $13996$.
Шаблон для первого множителя — $1*9*0*$. Из найденного диапазона этому шаблону могут соответствовать числа вида $139*0*$. Однако, ни одно из возможных значений $N$ (например, $13771, 13796, \dots, 13996$) не соответствует шаблону $1*9*0*$. Например, у числа $13946$ на пятой позиции стоит 4, а не 0.

Если предположить, что в шаблоне `1*9*0*` есть опечатка и он должен быть, например, `1*9**`, то мы можем найти число `13946`, для которого $13946 \times 4 = 55784$. Это соответствует первому частичному произведению `55*84` (где `*`=7).
Однако, при проверке второго частичного произведения `**16*`, которое равно $13946 \times B$ (где B - вторая цифра множителя), мы не находим подходящего значения B (от 1 до 9), которое дало бы результат вида `**16*`.

Ответ: Задача в текущем виде не имеет решения из-за противоречий в исходных данных.

г)

Решим задачу на деление в столбик.

1. Первая цифра частного. Делим `5*1` на $75$. Произведение первой цифры частного на $75$ представляет собой трехзначное число вида `**5`, которое меньше или равно `5*1`. Из таблицы умножения на $75$ ($75 \times 1=75, \dots, 75 \times 7=525, 75 \times 8=600$), подходит $75 \times 7 = 525$. Значит, первая цифра частного — 7. Делимое начинается на $5*1$, что больше или равно $525$. После вычитания `5*1 - 525` должен получиться двузначный остаток `**`. Это значит, что $5*1 \ge 525 + 10 = 535$. Возьмем наименьшее подходящее число, например, $541$. Тогда $541 - 525 = 16$. Это двузначный остаток. Итак, делимое начинается на $541$.
2. Вторая цифра частного. К остатку $16$ сносим следующую цифру делимого (пусть это $D$). Получаем число `16D`. Делим его на $75$. $75 \times 2 = 150$, а $75 \times 3 = 225$. Значит, вторая цифра частного — 2. Вычитаемое равно $150$.
3. Третья цифра частного. Остаток от второго деления равен $16D - 150 = (160+D) - 150 = 10+D$. К этому остатку сносим последнюю цифру делимого (пусть $E$). Получаем число `(10+D)E`. Это число должно делиться на $75$ без остатка. Проверяем значения $D$ от 0 до 9:
   • Если $D=5$, остаток $10+5=15$. Сносим $E$, получаем число $15E$. Чтобы оно делилось на $75$, оно должно быть равно $150$. Значит $E=0$. Тогда $150 / 75 = 2$. Третья цифра частного — 2.

Таким образом, делимое: $54150$. Частное: $722$.

Проверка: $722 \times 75 = 54150$.

Ответ: Заполненный пример:

_54150 | 75 525 |--- ---- | 722 _165 150 --- _150 150 --- 0

Недостающие числа: в делимом — $4, 5, 0$; в частном — $7, 2, 2$; в промежуточных вычислениях — $5, 2$ (первое вычитаемое), $1, 6, 5$ (первый остаток со сносом), $1, 5, 0$ (второе вычитаемое), $1, 5, 0$ (второй остаток со сносом), $1, 5, 0$ (третье вычитаемое).

276 Вставь вместо звездочек пропущенные числа и сделай проверку:

a)

б)

в)

г)

277 Построй отрицание высказываний.

1) Существует треугольник с двумя тупыми углами.

2) Все окружности имеют равные радиусы.

3) Хорда окружности может быть больше её диаметра.

4) Каждый параллелограмм является прямоугольником.

5) Некоторые параллельные плоскости перпендикулярны.

1) Исходное высказывание «Существует треугольник с двумя тупыми углами» содержит квантор существования «существует» ($\exists$). Отрицанием для такого высказывания является утверждение об отсутствии объектов с данным свойством, то есть «Не существует...» или «Любой ... не ...».
Ответ: Не существует треугольника с двумя тупыми углами.

2) Исходное высказывание «Все окружности имеют равные радиусы» содержит квантор всеобщности «все» ($\forall$). Отрицанием для него является утверждение о существовании хотя бы одного объекта, не обладающего указанным свойством. Это можно выразить как «Не все...» или «Существуют... которые не...».
Ответ: Не все окружности имеют равные радиусы.

3) Исходное высказывание «Хорда окружности может быть больше её диаметра» утверждает о наличии возможности. Это равносильно утверждению «существует хорда, которая больше диаметра». Отрицание утверждает о невозможности, то есть «не может быть» или «любая хорда не больше диаметра».
Ответ: Хорда окружности не может быть больше её диаметра.

4) Исходное высказывание «Каждый параллелограмм является прямоугольником» содержит квантор всеобщности «каждый» ($\forall$). Его отрицанием будет высказывание с квантором существования ($\exists$), указывающее на наличие контрпримера.
Ответ: Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.

5) Исходное высказывание «Некоторые параллельные плоскости перпендикулярны» содержит квантор существования «некоторые» ($\exists$, то есть, «хотя бы один»). Отрицанием является утверждение, что ни один объект (ни одна пара) не обладает данным свойством.
Ответ: Никакие параллельные плоскости не перпендикулярны.

277 Построй отрицание высказываний:

1) Существует треугольник с двумя тупыми углами.

2) Все окружности имеют равные радиусы.

3) Хорда окружности может быть больше ее диаметра.

4) Каждый параллелограмм является прямоугольником.

5) Некоторые параллельные плоскости перпендикулярны.

278 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists a \in N: \frac{a}{7}$ – несократимая дробь;

2) $\forall a \in N:$ НОД $(a, 7) = 1;$

3) $\forall b, n \in N: b^n = bn;$

4) $\exists b, n \in N: b^n = bn.$

1) Высказывание $ \exists a \in N: \frac{a}{7} $ — несократимая дробь, читается как: «существует такое натуральное число $a$, что дробь $ \frac{a}{7} $ является несократимой». Дробь является несократимой, если наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя равен 1. То есть, нужно проверить, существует ли натуральное $a$, для которого $ \text{НОД}(a, 7) = 1 $.

Поскольку 7 — простое число, его делителями являются только 1 и 7. Следовательно, для того чтобы $ \text{НОД}(a, 7) = 1 $, число $a$ не должно быть кратно 7. Мы можем легко найти такое натуральное число, например, $a=1$. Для $a=1$, $ \text{НОД}(1, 7) = 1 $, значит, дробь $ \frac{1}{7} $ несократимая. Так как мы нашли хотя бы одно такое число $a$, высказывание является истинным.

Ответ: Истинно.

2) Высказывание $ \forall a \in N: \text{НОД}(a, 7) = 1 $ читается как: «для любого натурального числа $a$ наибольший общий делитель чисел $a$ и 7 равен 1». Это означает, что любое натуральное число является взаимно простым с числом 7.

Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $a$, для которого $ \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $. Возьмем $a=7$. Тогда $ \text{НОД}(7, 7) = 7 $, что не равно 1. Следовательно, высказывание ложно.

Построим отрицание для ложного высказывания. Отрицанием для $ \forall a \in N: P(a) $ является $ \exists a \in N: \neg P(a) $. В данном случае $ P(a) $ — это $ \text{НОД}(a, 7) = 1 $, а $ \neg P(a) $ — это $ \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $. Таким образом, отрицание выглядит так: $ \exists a \in N: \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a \in N: \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $.

3) Высказывание $ \forall b, n \in N: b^n = bn $ читается как: «для любых натуральных чисел $b$ и $n$ выполняется равенство $ b^n = bn $».

Это универсальное высказывание, для его опровержения достаточно найти один контрпример. Возьмем, например, $b=2$ и $n=3$. Подставим эти значения в равенство: $ b^n = 2^3 = 8 $ и $ bn = 2 \cdot 3 = 6 $. Поскольку $ 8 \neq 6 $, равенство не выполняется. Следовательно, высказывание ложно.

Построим отрицание. Отрицанием для $ \forall b, n \in N: P(b, n) $ является $ \exists b, n \in N: \neg P(b, n) $. В данном случае $ P(b, n) $ — это $ b^n = bn $, а $ \neg P(b, n) $ — это $ b^n \neq bn $. Таким образом, отрицание: $ \exists b, n \in N: b^n \neq bn $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists b, n \in N: b^n \neq bn $.

4) Высказывание $ \exists b, n \in N: b^n = bn $ читается как: «существуют такие натуральные числа $b$ и $n$, для которых выполняется равенство $ b^n = bn $».

Это экзистенциальное высказывание, для его подтверждения достаточно найти хотя бы одну пару натуральных чисел $ (b, n) $, удовлетворяющую равенству. Например, если взять $n=1$, то равенство принимает вид $b^1 = b \cdot 1$, или $b=b$. Это равенство верно для любого натурального $b$. Так, пара $ (b, n) = (5, 1) $ является решением. Также, пара $ (b, n) = (2, 2) $ является решением, так как $ 2^2 = 2 \cdot 2 $ (то есть $4=4$). Поскольку мы нашли примеры, для которых равенство выполняется, высказывание является истинным.

Ответ: Истинно.

278 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists a \in N: \frac{a}{7}$ - несократимая дробь;

2) $\forall a \in N:$ НОД $(a, 7) = 1$;

3) $\forall b, n \in N: b^n = bn$;

4) $\exists b, n \in N: b^n = bn$.

279 Реши уравнения:

1) $4\frac{3}{14} - (0,5x + 2\frac{1}{6}) : 6\frac{1}{3} = 3\frac{5}{7};$

2) $(2,6 - 2,2 : y) : 0,19 - 1\frac{7}{12} = 8\frac{5}{12};$

3) $2,3z + 4\frac{1}{2}z - 1\frac{4}{5}z + z = 25;$

4) $5(2k - 1\frac{1}{3}) = 2,4k + \frac{14}{15}.$

1) $4\frac{3}{14} - (0,5x + 2\frac{1}{6}) : 6\frac{1}{3} = 3\frac{5}{7}$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. В данном случае вычитаемое — это выражение $(0,5x + 2\frac{1}{6}) : 6\frac{1}{3}$.
$(0,5x + 2\frac{1}{6}) : 6\frac{1}{3} = 4\frac{3}{14} - 3\frac{5}{7}$
Выполним вычитание в правой части, приведя дроби к общему знаменателю $14$:
$4\frac{3}{14} - 3\frac{10}{14} = \frac{59}{14} - \frac{52}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
Уравнение принимает вид:
$(0,5x + 2\frac{1}{6}) : 6\frac{1}{3} = \frac{1}{2}$
Теперь найдем неизвестное делимое, умножив частное на делитель. Преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные:
$0,5 = \frac{1}{2}$; $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$; $6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$
$\frac{1}{2}x + \frac{13}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{19}{3}$
$\frac{1}{2}x + \frac{13}{6} = \frac{19}{6}$
Найдем неизвестное слагаемое:
$\frac{1}{2}x = \frac{19}{6} - \frac{13}{6}$
$\frac{1}{2}x = \frac{6}{6}$
$\frac{1}{2}x = 1$
Найдем $x$:
$x = 1 : \frac{1}{2} = 1 \cdot 2 = 2$
Ответ: $x=2$.

2) $(2,6 - 2,2 : y) : 0,19 - 1\frac{7}{12} = 8\frac{5}{12}$
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$(2,6 - 2,2 : y) : 0,19 = 8\frac{5}{12} + 1\frac{7}{12}$
$(2,6 - 2,2 : y) : 0,19 = 9\frac{12}{12} = 10$
Теперь найдем неизвестное делимое:
$2,6 - 2,2 : y = 10 \cdot 0,19$
$2,6 - 2,2 : y = 1,9$
Найдем неизвестное вычитаемое:
$2,2 : y = 2,6 - 1,9$
$2,2 : y = 0,7$
Найдем неизвестный делитель:
$y = 2,2 : 0,7 = \frac{22}{10} : \frac{7}{10} = \frac{22}{10} \cdot \frac{10}{7} = \frac{22}{7}$
$y = 3\frac{1}{7}$
Ответ: $y=3\frac{1}{7}$.

3) $2,3z + 4\frac{1}{2}z - 1\frac{4}{5}z + z = 25$
Вынесем общий множитель $z$ за скобки:
$(2,3 + 4\frac{1}{2} - 1\frac{4}{5} + 1)z = 25$
Для удобства вычислений преобразуем дроби в десятичный формат:
$4\frac{1}{2} = 4,5$; $1\frac{4}{5} = 1,8$
$(2,3 + 4,5 - 1,8 + 1)z = 25$
Выполним действия в скобках:
$(6,8 - 1,8 + 1)z = 25$
$(5 + 1)z = 25$
$6z = 25$
Найдем $z$:
$z = \frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$
Ответ: $z=4\frac{1}{6}$.

4) $5(2k - 1\frac{1}{3}) = 2,4k + \frac{14}{15}$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$10k - 5 \cdot 1\frac{1}{3} = 2,4k + \frac{14}{15}$
Преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные:
$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$; $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$
$10k - 5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{5}k + \frac{14}{15}$
$10k - \frac{20}{3} = \frac{12}{5}k + \frac{14}{15}$
Перенесем члены с переменной $k$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$10k - \frac{12}{5}k = \frac{14}{15} + \frac{20}{3}$
Приведем к общему знаменателю в обеих частях уравнения:
$(\frac{50}{5} - \frac{12}{5})k = \frac{14}{15} + \frac{100}{15}$
$\frac{38}{5}k = \frac{114}{15}$
Найдем $k$, разделив правую часть на коэффициент при $k$:
$k = \frac{114}{15} : \frac{38}{5} = \frac{114}{15} \cdot \frac{5}{38}$
Сократим дробь: $114$ и $38$ на $38$ (получим $3$ и $1$), $15$ и $5$ на $5$ (получим $3$ и $1$).
$k = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 1} = 1$
Ответ: $k=1$.

279 Реши уравнения:

1) $4\frac{3}{14} - (0,5x + 2\frac{1}{6}) : \frac{1}{3} = 3\frac{5}{7}$;

2) $(2,6 - 2,2 : y) : 0,19 - 1\frac{7}{12} = 8\frac{5}{12}$;

3) $2,3z + 4\frac{1}{2}z - 1\frac{4}{5}z + z = 25$;

4) $5(2k - 1\frac{1}{3}) = 2,4k + \frac{14}{15}$;

280 Пешеход вышел в 8 ч утра из села на станцию, удалённую от села на расстояние 15 км, со скоростью 3 км/ч. Через 1,5 ч из того же села по тому же маршруту вышел второй пешеход со скоростью 6 км/ч. Через 1 ч после своего выхода второй пешеход сделал получасовую остановку, а затем продолжил путь с прежней скоростью. Построй график движения пешеходов и ответь на вопросы.

1) В котором часу второй пешеход догнал первого?

2) Какое расстояние было между пешеходами в момент выхода второго пешехода? В 11 ч 30 мин?

3) В какие моменты времени расстояние между ними было равно 3 км?

Для решения задачи введем систему координат. Пусть ось времени t (в часах) начинается в 8:00 утра ($t=0$). Ось расстояния S (в км) начинается в селе ($S=0$).

Уравнение движения первого пешехода (П1):

Он вышел в 8:00 ($t=0$) со скоростью $v_1 = 3$ км/ч. Его положение в любой момент времени t описывается уравнением:

$S_1(t) = 3t$

Уравнение движения второго пешехода (П2):

Он вышел через 1,5 часа, то есть в 9:30 ($t=1,5$), со скоростью $v_2 = 6$ км/ч.

• С 9:30 ($t=1,5$) до 10:30 ($t=2,5$): он шел 1 час. Расстояние: $S_2(t) = 6 \cdot (t - 1,5)$. В 10:30 он прошел $6 \cdot (2,5 - 1,5) = 6$ км.
• С 10:30 ($t=2,5$) до 11:00 ($t=3$): он стоял 0,5 часа. Его положение не менялось: $S_2(t) = 6$ км.
• После 11:00 ($t>3$): он продолжил движение со скоростью 6 км/ч с отметки 6 км. Его положение: $S_2(t) = 6 + 6 \cdot (t - 3) = 6 + 6t - 18 = 6t - 12$.

Таким образом, движение второго пешехода описывается системой:

$S_2(t) = \begin{cases} 0 & \text{при } 0 \le t < 1,5 \\ 6(t - 1,5) & \text{при } 1,5 \le t \le 2,5 \\ 6 & \text{при } 2,5 < t \le 3 \\ 6t - 12 & \text{при } t > 3 \end{cases}$

График движения пешеходов:

Для построения графика нужно нанести на координатную плоскость (ось X – время в часах от 8:00, ось Y – расстояние в км) две линии, соответствующие функциям $S_1(t)$ и $S_2(t)$.

• График П1: прямая линия, выходящая из точки (8:00, 0 км) и проходящая через точки (9:00, 3 км), (10:00, 6 км), (11:00, 9 км), (12:00, 12 км) и (13:00, 15 км).
• График П2: ломаная линия. Начинается в точке (9:30, 0 км), идет до точки (10:30, 6 км), затем горизонтальный участок до точки (11:00, 6 км), и далее снова поднимается, проходя через точку (12:00, 12 км) и достигая цели в точке (12:30, 15 км).

1) В котором часу второй пешеход догнал первого?

Встреча произойдет, когда их координаты совпадут, то есть $S_1(t) = S_2(t)$. Судя по графику, это произойдет после 11:00 ($t>3$). Приравниваем соответствующие уравнения:

$3t = 6t - 12$

$3t = 12$

$t = 4$ часа.

Время $t=4$ часа соответствует 4 часам после 8:00 утра. 8:00 + 4 часа = 12:00.

Проверим расстояние в этот момент: $S_1(4) = 3 \cdot 4 = 12$ км. $S_2(4) = 6 \cdot 4 - 12 = 12$ км. Все верно.

Ответ: Второй пешеход догнал первого в 12:00.

2) Какое расстояние было между пешеходами в момент выхода второго пешехода? В 11 ч 30 мин?

В момент выхода второго пешехода:

Второй пешеход вышел в 9:30, что соответствует $t = 1,5$ часа. В этот момент:

Положение П1: $S_1(1,5) = 3 \cdot 1,5 = 4,5$ км.

Положение П2: $S_2(1,5) = 0$ км.

Расстояние между ними: $\Delta S = 4,5 - 0 = 4,5$ км.

В 11 ч 30 мин:

Время 11:30 соответствует $t = 3,5$ часа (11,5 - 8). Этот момент времени попадает в интервал $t>3$.

Положение П1: $S_1(3,5) = 3 \cdot 3,5 = 10,5$ км.

Положение П2: $S_2(3,5) = 6 \cdot 3,5 - 12 = 21 - 12 = 9$ км.

Расстояние между ними: $\Delta S = 10,5 - 9 = 1,5$ км.

Ответ: В момент выхода второго пешехода расстояние было 4,5 км; в 11 ч 30 мин расстояние было 1,5 км.

3) В какие моменты времени расстояние между ними было равно 3 км?

Нужно решить уравнение $|S_1(t) - S_2(t)| = 3$. Поскольку до встречи первый пешеход всегда впереди, уравнение можно записать как $S_1(t) - S_2(t) = 3$. Рассмотрим разные интервалы времени:

Интервал 1: $0 \le t < 1,5$ (второй еще не вышел)

$S_1(t) - S_2(t) = 3t - 0 = 3 \implies t = 1$ час.

Время: 8:00 + 1 час = 9:00. Этот момент входит в интервал.

Интервал 2: $1,5 \le t \le 2,5$ (второй идет)

$S_1(t) - S_2(t) = 3t - 6(t - 1,5) = 3$

$3t - 6t + 9 = 3 \implies -3t = -6 \implies t = 2$ часа.

Время: 8:00 + 2 часа = 10:00. Этот момент входит в интервал.

Интервал 3: $2,5 < t \le 3$ (второй на остановке)

$S_1(t) - S_2(t) = 3t - 6 = 3 \implies 3t = 9 \implies t = 3$ часа.

Время: 8:00 + 3 часа = 11:00. Этот момент является границей интервала.

После 11:00 ($t > 3$), до встречи в 12:00 ($t = 4$), расстояние между ними ($S_1 - S_2 = 3t - (6t-12) = 12-3t$) уменьшается с 3 км (в 11:00) до 0 км (в 12:00), поэтому новых решений здесь нет.

После встречи ($t > 4$), второй пешеход обгоняет первого. Расстояние между ними $S_2(t) - S_1(t) = (6t-12) - 3t = 3t-12$. Проверим, будет ли оно равно 3 км.

$3t - 12 = 3 \implies 3t = 15 \implies t=5$ часов.

Время 8:00 + 5 часов = 13:00. В этот момент первый пешеход как раз прибывает на станцию ($S_1(5)=15$ км). Второй пешеход в это время уже прошел бы $S_2(5) = 6 \cdot 5 - 12 = 18$ км, что дальше станции. Однако второй пешеход прибыл на станцию (15 км) раньше, в 12:30 ($t=4,5$). После этого он остановился. В 13:00 они оба на станции, и расстояние между ними равно 0. Таким образом, после встречи расстояние между ними не достигало 3 км.

Ответ: Расстояние между ними было равно 3 км в 9:00, в 10:00 и в 11:00.

280 Пешеход вышел в 8 ч утра из села на станцию, удаленную от села на расстояние 15 км, со скоростью 3 км/ч. Через 1,5 ч из того же села по тому же маршруту вышел второй пешеход со скоростью 6 км/ч. Через 1 ч после своего выхода второй пешеход сделал получасовую остановку, а затем продолжил путь с прежней скоростью. Построй график движения пешеходов и определи по графику:

1) В котором часу второй пешеход догнал первого?

2) Какое расстояние было между пешеходами в момент выхода второго пешехода? В 11 ч 30 мин?

3) В какие моменты времени расстояние между ними было равно 3 км?

305 Прочитай выражение и найди его значение при $y = -0,5$:

а) $(-2y)^3$;

б) $-2y^3$;

в) $(-2)^3y$.

а)

Выражение $(-2y)^3$ читается как "куб произведения минус двух и игрек". Это означает, что все выражение $-2y$ возводится в третью степень.

Подставим значение $y = -0,5$ в выражение:

$(-2 \cdot (-0,5))^3$

Сначала выполним действие в скобках:

$-2 \cdot (-0,5) = 1$

Теперь возведем полученный результат в третью степень:

$1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

б)

Выражение $-2y^3$ читается как "минус два, умноженное на игрек в кубе". Согласно порядку действий, сначала возводится в степень переменная $y$, и только потом результат умножается на $-2$.

Подставим значение $y = -0,5$ в выражение:

$-2 \cdot (-0,5)^3$

Сначала возведем $-0,5$ в третью степень:

$(-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \cdot (-0,5) = -0,125$

Теперь умножим $-2$ на полученный результат:

$-2 \cdot (-0,125) = 0,25$

Ответ: 0,25

в)

Выражение $(-2)^3y$ читается как "минус два в кубе, умноженное на игрек". В этом случае в третью степень возводится только число $-2$, а затем результат умножается на $y$.

Подставим значение $y = -0,5$ в выражение:

$(-2)^3 \cdot (-0,5)$

Сначала возведем $-2$ в третью степень:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Теперь умножим полученный результат на $-0,5$:

$-8 \cdot (-0,5) = 4$

Ответ: 4

305 Прочитай выражения и найди их значения при $y = -0,5$:

а) $(-2y)^3;$

б) $-2y^3;$

в) $(-2)^3y.$

D 306 Запиши, используя знак $def$, определение:

а) неправильной дроби;

б) гипотенузы прямоугольного треугольника.

а) неправильной дроби;

Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$, у которой числитель $a$ больше или равен знаменателю $b$. При этом подразумевается, что числитель и знаменатель являются натуральными числами ($a, b \in \mathbb{N}$).

Запись этого определения с использованием знака def выглядит следующим образом:

Дробь $\frac{a}{b}$ является неправильной $\overset{def}{\iff} (a \in \mathbb{N} \land b \in \mathbb{N}) \land (a \geq b)$.

Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ является неправильной $\overset{def}{\iff} (a \in \mathbb{N} \land b \in \mathbb{N}) \land (a \geq b)$.

б) гипотенузы прямоугольного треугольника.

Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла (угла, равного $90^\circ$). Две другие стороны называются катетами.

Пусть в треугольнике есть сторона $c$ и противолежащий ей угол $\gamma$. Запись определения гипотенузы с использованием знака def выглядит так:

Сторона $c$ является гипотенузой $\overset{def}{\iff}$ (данный треугольник является прямоугольным) $\land$ (угол $\gamma = 90^\circ$).

Ответ: Сторона $c$ является гипотенузой $\overset{def}{\iff}$ (треугольник является прямоугольным) $\land$ (противолежащий ей угол $\gamma = 90^\circ$).

306 Запиши, используя знак def, определение:

a) неправильной дроби;

б) гипотенузы прямоугольного треугольника.

307 В двух сёлах было 800 жителей. Через год в одном селе число жителей уменьшилось на 10 %, а в другом увеличилось на 10 %. В результате общее число жителей в двух сёлах увеличилось на 10 человек. Сколько жителей было в каждом селе первоначально?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальное число жителей в селе, где население уменьшилось, а $y$ — первоначальное число жителей в селе, где население увеличилось.

Согласно условию, изначально в двух сёлах было 800 жителей. Это даёт нам первое уравнение:

$x + y = 800$

Через год население первого села уменьшилось на 10%, то есть изменение составило $-0.1x$. Население второго села увеличилось на 10%, то есть изменение составило $+0.1y$. Общее число жителей увеличилось на 10 человек, что позволяет составить второе уравнение, отражающее изменение численности:

$-0.1x + 0.1y = 10$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 800 \\ -0.1x + 0.1y = 10 \end{cases}$

Чтобы упростить второе уравнение, умножим обе его части на 10:

$-x + y = 100$

Теперь решим систему:

$\begin{cases} x + y = 800 \\ -x + y = 100 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную $x$:

$(x + y) + (-x + y) = 800 + 100$

$2y = 900$

$y = \frac{900}{2}$

$y = 450$

Таким образом, первоначальное число жителей в селе, где население увеличилось, составляло 450 человек.

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + 450 = 800$

$x = 800 - 450$

$x = 350$

Следовательно, первоначальное число жителей в селе, где население уменьшилось, составляло 350 человек.

Проверка:

Изначально: $350 + 450 = 800$ жителей.

Через год: в первом селе стало $350 - 0.1 \times 350 = 350 - 35 = 315$ жителей. Во втором селе стало $450 + 0.1 \times 450 = 450 + 45 = 495$ жителей.

Общее число жителей через год: $315 + 495 = 810$.

Увеличение составило $810 - 800 = 10$ человек, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в одном селе было 350 жителей, а в другом — 450 жителей.

307 В двух селах было 800 жителей. Через год в одном селе число жителей уменьшилось на $10\%$, а в другом – увеличилось на $10\%$. В результате общее число жителей в двух селах увеличилось на 10 человек. Сколько жителей было в каждом селе первоначально?

308 Найди неизвестный член пропорции

$\frac{0,1862 - 4,05 \cdot 0,204}{12,8 \cdot \frac{3}{4} - 31,64 : 3\frac{1}{2}} = \frac{\left(1\frac{17}{63} - \frac{5}{21} + \frac{1}{9}\right) : 1\frac{3}{7}}{x}$

Для того чтобы найти неизвестный член пропорции, необходимо последовательно упростить ее левую часть и числитель правой части.

1. Вычисление левой части пропорции

Выражение в левой части: $\frac{0,1862 - 4,05 \cdot 0,204}{12,8 \cdot \frac{3}{4} - 31,64 : 3\frac{1}{2}}$

Сначала вычислим значение числителя:

$4,05 \cdot 0,204 = 0,8262$

$0,1862 - 0,8262 = -0,64$

Затем вычислим значение знаменателя:

$12,8 \cdot \frac{3}{4} = 3,2 \cdot 3 = 9,6$

$31,64 : 3\frac{1}{2} = 31,64 : 3,5 = 9,04$

$9,6 - 9,04 = 0,56$

Теперь найдем значение всей левой части, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{-0,64}{0,56} = -\frac{64}{56} = -\frac{8 \cdot 8}{7 \cdot 8} = -\frac{8}{7}$

2. Вычисление числителя правой части пропорции

Выражение в числителе правой части: $(1\frac{17}{63} - \frac{5}{21} + \frac{1}{9}) : 1\frac{3}{7}$

Сначала выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 63:

$1\frac{17}{63} - \frac{5}{21} + \frac{1}{9} = \frac{80}{63} - \frac{5 \cdot 3}{21 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{80}{63} - \frac{15}{63} + \frac{7}{63} = \frac{80 - 15 + 7}{63} = \frac{72}{63} = \frac{8}{7}$

Теперь выполним деление:

$\frac{8}{7} : 1\frac{3}{7} = \frac{8}{7} : \frac{10}{7} = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

3. Нахождение неизвестного члена пропорции

После всех вычислений исходная пропорция принимает вид:

$-\frac{8}{7} = \frac{\frac{4}{5}}{x}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), найдем $x$:

$-\frac{8}{7} \cdot x = \frac{4}{5}$

$x = \frac{4}{5} : (-\frac{8}{7})$

$x = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{7}{8})$

$x = -\frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 8} = -\frac{28}{40} = -\frac{7}{10} = -0,7$

Ответ: $-0,7$.

308. Найди неизвестный член пропорции:

$\frac{0,1862 - 4,05 \cdot 0,204}{12,8 \cdot \frac{3}{4} - 31,64 : 3\frac{1}{2}} = \frac{\left(1\frac{17}{63} - \frac{5}{21} + \frac{1}{9}\right) \cdot 1\frac{3}{7}}{x}$

C 309 Участок квадратной формы расширили так, что получили новый квадрат, сторона которого на 5 м больше стороны первоначального, а площадь при этом увеличилась на $225 \text{ м}^2$. Чему равна площадь первоначального участка?

Пусть $x$ (м) — длина стороны первоначального квадратного участка. Тогда его площадь $S_1$ равна $x^2$ (м²).

После расширения сторона нового квадратного участка стала равна $(x + 5)$ (м). Площадь нового участка $S_2$ соответственно равна $(x + 5)^2$ (м²).

По условию задачи, площадь увеличилась на 225 м². Это означает, что разница между площадью нового участка и площадью первоначального участка составляет 225 м². Составим и решим уравнение:

$S_2 - S_1 = 225$

$(x + 5)^2 - x^2 = 225$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 10x + 25) - x^2 = 225$

$x^2 + 10x + 25 - x^2 = 225$

Приведем подобные слагаемые:

$10x + 25 = 225$

Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$10x = 225 - 25$

$10x = 200$

$x = \frac{200}{10}$

$x = 20$

Таким образом, сторона первоначального участка равна 20 м.

Найдем площадь первоначального участка:

$S_1 = x^2 = 20^2 = 400$ (м²)

Ответ: 400 м².

Участок квадратной формы расширили так, что получили новый квадрат, сторона которого на 5 м больше стороны первоначального, а площадь при этом увеличилась на $225 \text{ м}^2$. Чему равна площадь первоначального участка?

310 Найди значение выражения:

a) $4(x - 7) - 8(x - 3)$, если $x = -0,6;$

б) $-2(a - b) - 5(a + b)$, если $a = -1, b = 0,5;$

в) $x^2 - 3x - 6 + x + 8 - 2x^2 + 5x$, если $x = -2.$

311 Реши уравнение:

а) $4(x - 7) - 8(x - 3)$, если $x = -0,6$

Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки, умножив число перед скобками на каждый член внутри скобок:

$4(x - 7) - 8(x - 3) = 4 \cdot x + 4 \cdot (-7) - 8 \cdot x - 8 \cdot (-3) = 4x - 28 - 8x + 24$

2. Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и постоянные члены):

$(4x - 8x) + (-28 + 24) = -4x - 4$

3. Теперь подставим значение $x = -0,6$ в упрощенное выражение:

$-4x - 4 = -4 \cdot (-0,6) - 4 = 2,4 - 4 = -1,6$

Ответ: -1,6

б) $-2(a - b) - 5(a + b)$, если $a = -1, b = 0,5$

Сначала упростим выражение.

1. Раскроем скобки:

$-2(a - b) - 5(a + b) = -2 \cdot a - 2 \cdot (-b) - 5 \cdot a - 5 \cdot b = -2a + 2b - 5a - 5b$

2. Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$):

$(-2a - 5a) + (2b - 5b) = -7a - 3b$

3. Теперь подставим значения $a = -1$ и $b = 0,5$ в упрощенное выражение:

$-7a - 3b = -7 \cdot (-1) - 3 \cdot 0,5 = 7 - 1,5 = 5,5$

Ответ: 5,5

в) $x^2 - 3x - 6 + x + 8 - 2x^2 + 5x$, если $x = -2$

Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые.

1. Сгруппируем подобные члены:

$(x^2 - 2x^2) + (-3x + x + 5x) + (-6 + 8)$

2. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$-x^2 + 3x + 2$

3. Теперь подставим значение $x = -2$ в упрощенное выражение. Обратите внимание, что сначала нужно возвести $x$ в степень, а потом применить знак минуса перед $x^2$.

$-x^2 + 3x + 2 = -(-2)^2 + 3 \cdot (-2) + 2 = -(4) - 6 + 2 = -4 - 6 + 2 = -10 + 2 = -8$

Ответ: -8

310 Найди значения выражений:

a) $4(x - 7) - 8(x - 3)$, если $x = -0,6$;

б) $-2(a - b) - 5(a + b)$, если $a = -1$, $b = 0,5$;

в) $x^2 - 3x - 6 + x + 8 - 2x^2 + 5x$, если $x = -2$.

311 Реши уравнение:

а) $10 - 3y = -4 + 7y;$

б) $3(4 - c) = 6 - (8c + 3);$

в) $ - \frac{x}{4} + 5 = \frac{x}{3} - 9;$

г) $1.6b - 0.4 = 3.2 - 0.8(2 - b);$

д) $2(n - 3) - 4(5 - 2n) = -5(4n + 7);$

е) $-\frac{0.2(6x + 1)}{3.6} = \frac{0.5x}{-9};$

а) $10 - 3y = -4 + 7y$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения, а числа - в другую. При переносе слагаемых из одной части в другую меняем их знаки на противоположные:

$10 + 4 = 7y + 3y$

Приведем подобные слагаемые:

$14 = 10y$

Найдем $y$, разделив обе части на 10:

$y = \frac{14}{10}$

$y = 1,4$

Ответ: $1,4$.

б) $3(4 - c) = 6 - (8c + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим 3 на каждый член в скобках. В правой части, так как перед скобкой стоит знак минус, поменяем знаки всех слагаемых в скобках на противоположные:

$12 - 3c = 6 - 8c - 3$

Упростим правую часть:

$12 - 3c = 3 - 8c$

Перенесем слагаемые с переменной $c$ в левую часть, а числа - в правую:

$-3c + 8c = 3 - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$5c = -9$

Найдем $c$:

$c = -\frac{9}{5}$

$c = -1,8$

Ответ: $-1,8$.

в) $-\frac{x}{4} + 5 = \frac{x}{3} - 9$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12:

$12 \cdot (-\frac{x}{4}) + 12 \cdot 5 = 12 \cdot (\frac{x}{3}) - 12 \cdot 9$

$-3x + 60 = 4x - 108$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а числа - в другую:

$60 + 108 = 4x + 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$168 = 7x$

Найдем $x$:

$x = \frac{168}{7}$

$x = 24$

Ответ: $24$.

г) $1,6b - 0,4 = 3,2 - 0,8(2 - b)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$1,6b - 0,4 = 3,2 - 0,8 \cdot 2 - 0,8 \cdot (-b)$

$1,6b - 0,4 = 3,2 - 1,6 + 0,8b$

Упростим правую часть:

$1,6b - 0,4 = 1,6 + 0,8b$

Перенесем слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а числа - в правую:

$1,6b - 0,8b = 1,6 + 0,4$

Приведем подобные слагаемые:

$0,8b = 2$

Найдем $b$:

$b = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

$b = 2,5$

Ответ: $2,5$.

д) $2(n - 3) - 4(5 - 2n) = -5(4n + 7)$

Раскроем все скобки:

$2n - 6 - (20 - 8n) = -20n - 35$

$2n - 6 - 20 + 8n = -20n - 35$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2n + 8n) + (-6 - 20) = -20n - 35$

$10n - 26 = -20n - 35$

Перенесем слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а числа - в правую:

$10n + 20n = -35 + 26$

Приведем подобные слагаемые:

$30n = -9$

Найдем $n$:

$n = \frac{-9}{30} = -\frac{3}{10}$

$n = -0,3$

Ответ: $-0,3$.

е) $\frac{-0,2(6x + 1)}{3,6} = \frac{0,5x}{-9}$

Это пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$-9 \cdot (-0,2(6x + 1)) = 3,6 \cdot 0,5x$

Выполним умножение в обеих частях:

$1,8(6x + 1) = 1,8x$

Раскроем скобки в левой части:

$1,8 \cdot 6x + 1,8 \cdot 1 = 1,8x$

$10,8x + 1,8 = 1,8x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а числа - в другую:

$10,8x - 1,8x = -1,8$

Приведем подобные слагаемые:

$9x = -1,8$

Найдем $x$:

$x = \frac{-1,8}{9}$

$x = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

311 Реши уравнения:

а) $10 - 3y = -4 + 7y;$

б) $3(4 - c) = 6 - (8c + 3);$

в) $-\frac{x}{4} + 5 = \frac{x}{3} - 9;$

г) $1,6b - 0,4 = 3,2 - 0,8(2 - b);$

д) $2(n - 3) - 4(5 - 2n) = -5(4n + 7);$

е) $\frac{-0,2(6x + 1)}{3,6} = \frac{0,5x}{-9}.$

312 В магазин завезли фрукты и продали их за 3 дня. В первый день продали 30 % всех фруктов, во второй день – $ \frac{2}{5} $ остатка, а в третий день – остальные 168 кг. Сколько всего килограммов фруктов завезли в магазин?

Пусть $x$ кг — это общее количество фруктов, которое завезли в магазин. Это количество примем за 100%.

1. В первый день продали 30% всех фруктов. Выразим это в виде десятичной дроби: $30\% = 0.3$.
Количество проданных фруктов в первый день: $0.3x$ кг.
Остаток после первого дня: $x - 0.3x = 0.7x$ кг.

2. Во второй день продали $\frac{2}{5}$ от остатка. Остаток после первого дня составляет $0.7x$ кг.
Количество проданных фруктов во второй день: $\frac{2}{5} \cdot (0.7x) = 0.4 \cdot 0.7x = 0.28x$ кг.

3. В третий день продали остальные 168 кг. Количество фруктов, проданных в третий день, можно найти, вычтя из общего количества то, что продали в первый и второй дни:
$x - 0.3x - 0.28x = 0.42x$ кг.

4. Мы знаем, что в третий день продали 168 кг, и мы также вычислили, что это составляет $0.42x$ от общего количества. Составим и решим уравнение:

$0.42x = 168$

$x = \frac{168}{0.42}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{16800}{42}$

$x = 400$

Таким образом, всего в магазин завезли 400 кг фруктов.

Проверка:

• Всего завезли: 400 кг.
• 1 день: продали 30% от 400 кг. $400 \cdot 0.3 = 120$ кг. Осталось $400 - 120 = 280$ кг.
• 2 день: продали $\frac{2}{5}$ от остатка (280 кг). $\frac{2}{5} \cdot 280 = 2 \cdot 56 = 112$ кг. Осталось $280 - 112 = 168$ кг.
• 3 день: продали остальные 168 кг.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 400 кг.

312 В магазин завезли фрукты и продали их за 3 дня. В первый день продали 30% всех фруктов, во второй день – $\frac{2}{5}$ остатка, а в третий день – остальные 168 кг. Сколько всего килограммов фруктов завезли в магазин?

313 В двух мешках 80 кг моркови, причём в первом мешке на 40 % моркови меньше, чем во втором. Сколько килограммов моркови в каждом мешке?

Пусть во втором мешке было $x$ кг моркови.

По условию, в первом мешке было на 40% моркови меньше, чем во втором. Это значит, что количество моркови в первом мешке составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от количества моркови во втором мешке.

Выразим 60% в виде десятичной дроби: $60\% = \frac{60}{100} = 0.6$.

Следовательно, в первом мешке было $0.6x$ кг моркови.

Общее количество моркови в двух мешках — 80 кг. Составим уравнение, сложив количество моркови в первом и втором мешках:

$x + 0.6x = 80$

Решим это уравнение:

$1.6x = 80$

$x = \frac{80}{1.6}$

$x = \frac{800}{16}$

$x = 50$

Итак, во втором мешке было 50 кг моркови.

Теперь найдем, сколько килограммов моркови было в первом мешке:

$0.6x = 0.6 \cdot 50 = 30$ (кг).

Проверим правильность решения. Общий вес моркови: $50 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 80 \text{ кг}$. Разница между мешками: $50 - 30 = 20$ кг. Проверим, составляет ли эта разница 40% от веса второго мешка: $\frac{20}{50} \cdot 100\% = 0.4 \cdot 100\% = 40\%$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: в первом мешке 30 кг моркови, во втором — 50 кг.

313 В двух мешках 80 кг моркови, причем в первом мешке на 40% моркови меньше, чем во втором. Сколько килограммов моркови в каждом мешке?