Страница 63, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

252. Построй треугольник ABC так, чтобы $\angle A = 56^{\circ}$ и $AB = 4$ см. Сколько ещё можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

Построение треугольника $ABC$ по заданным условиям ($ \angle A = 56^\circ $ и $ AB = 4 $ см) начинается с построения угла $A$ и откладывания на одном из его лучей отрезка $AB$ длиной 4 см. Вершина $C$ должна лежать на втором луче, выходящем из точки $A$. Однако её точное положение на этом луче не определено, что не позволяет построить единственный треугольник.

Сколько ещё можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию?

Поскольку вершина $C$ может быть выбрана в любом месте на втором луче угла $A$ (кроме самой точки $A$), существует бесконечное множество возможных положений для точки $C$. Каждое такое положение определяет новый треугольник $ABC$, который удовлетворяет исходным условиям. Следовательно, можно построить бесконечно много таких треугольников.

Ответ: можно построить бесконечно много треугольников.

Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

Чтобы треугольник был определён однозначно, необходимо добавить ещё одно независимое условие, которое зафиксирует положение вершины $C$. Это можно сделать несколькими способами, основываясь на признаках равенства треугольников:

1. Задать длину стороны AC. Если задать длину стороны $AC$, то треугольник $ABC$ будет единственным по признаку равенства "по двум сторонам и углу между ними" (SAS).

2. Задать величину угла B. Если задать величину угла $\angle B$, прилежащего к известной стороне $AB$, то треугольник $ABC$ будет единственным по признаку равенства "по стороне и двум прилежащим к ней углам" (ASA). Третий угол $C$ при этом также определится однозначно: $ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B $.

3. Задать величину угла C. Если задать величину угла $\angle C$, то можно однозначно найти угол $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$. Тогда задача сведётся к предыдущему случаю (построение по стороне и двум прилежащим углам).

Ответ: чтобы решение стало единственным, необходимо дополнительно задать одно из следующих условий: длину стороны AC, или величину угла B, или величину угла C.

252 Построй треугольник $ABC$ так, чтобы $\angle A = 56^\circ$ и $AB = 4$ см. Сколько еще можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

253 Вычисли и определи, какую часть полученное число составляет от 4. Вырази эту часть в процентах.

$\left( \frac{2.8 + 1 \frac{1}{3}}{2.8 - 1 \frac{1}{3}} \cdot \frac{5 \frac{1}{4} - 2.5}{5 \frac{1}{4} + 2.5} \right) : \left( \frac{7.5 : 1 \frac{2}{3} - 2.5}{0.2 - \frac{3}{40}} \cdot 0.45 + 5.3 \right)$

Вычислим

Решим заданное выражение по действиям. Для удобства вычислений переведем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби.

1) Вычислим первую дробь в первых скобках:
$ \frac{2,8 + 1\frac{1}{3}}{2,8 - 1\frac{1}{3}} = \frac{\frac{14}{5} + \frac{4}{3}}{\frac{14}{5} - \frac{4}{3}} = \frac{\frac{14 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{15}}{\frac{14 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15}} = \frac{\frac{42 + 20}{15}}{\frac{42 - 20}{15}} = \frac{\frac{62}{15}}{\frac{22}{15}} = \frac{62}{15} \cdot \frac{15}{22} = \frac{62}{22} = \frac{31}{11} $

2) Вычислим вторую дробь в первых скобках:
$ \frac{5\frac{1}{4} - 2,5}{5\frac{1}{4} + 2,5} = \frac{\frac{21}{4} - \frac{5}{2}}{\frac{21}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\frac{21 - 5 \cdot 2}{4}}{\frac{21 + 5 \cdot 2}{4}} = \frac{\frac{21 - 10}{4}}{\frac{21 + 10}{4}} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{31}{4}} = \frac{11}{4} \cdot \frac{4}{31} = \frac{11}{31} $

3) Найдем произведение результатов первых двух действий (значение первых скобок):
$ \frac{31}{11} \cdot \frac{11}{31} = 1 $

4) Вычислим числитель дроби во вторых скобках:
$ 7,5 : 1\frac{2}{3} - 2,5 = \frac{15}{2} : \frac{5}{3} - \frac{5}{2} = \frac{15}{2} \cdot \frac{3}{5} - \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} - \frac{5}{2} = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

5) Вычислим знаменатель дроби во вторых скобках:
$ 0,2 - \frac{3}{40} = \frac{1}{5} - \frac{3}{40} = \frac{1 \cdot 8}{40} - \frac{3}{40} = \frac{8 - 3}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} $

6) Найдем значение дроби во вторых скобках:
$ \frac{2}{\frac{1}{8}} = 2 \cdot 8 = 16 $

7) Вычислим значение выражения во вторых скобках:
$ 16 \cdot 0,45 + 5,3 = 16 \cdot \frac{9}{20} + \frac{53}{10} = \frac{4 \cdot 9}{5} + \frac{53}{10} = \frac{36}{5} + \frac{53}{10} = \frac{72}{10} + \frac{53}{10} = \frac{125}{10} = 12,5 $

8) Выполним конечное деление:
$ 1 : 12,5 = 1 : \frac{125}{10} = 1 : \frac{25}{2} = 1 \cdot \frac{2}{25} = \frac{2}{25} = 0,08 $

Ответ: 0,08.

Определим, какую часть полученное число составляет от 4

Для этого разделим полученное число (0,08) на 4:
$ \frac{0,08}{4} = 0,02 $
Представим эту часть в виде обыкновенной дроби:
$ 0,02 = \frac{2}{100} = \frac{1}{50} $

Ответ: полученное число составляет $\frac{1}{50}$ часть от 4.

Выразим эту часть в процентах

Чтобы выразить полученную часть в процентах, необходимо умножить ее значение (0,02) на 100%:
$ 0,02 \cdot 100\% = 2\% $

Ответ: 2%.

253 Вычисли и определи, какую часть полученное число составляет от 4. Вырази эту часть в процентах.

$\left(\frac{2,8 + 1\frac{1}{3}}{2,8 - 1\frac{1}{3}} \cdot \frac{5\frac{1}{4} - 2,5}{5\frac{1}{4} + 2,5}\right) : \left(\frac{7,5 : 1\frac{2}{3} - 2,5}{0,2 - \frac{3}{40}} \cdot 0,45 + 5,3\right).$

$(2,8 - 1\frac{1}{3} - \frac{5}{4} + 2,5) / |0,2 - \frac{1}{40}|$

C 254 Старинная задача

Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. Почтальон А проезжает за 2 ч 7 миль, а почтальон В – за 3 ч 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Сколько миль проедет почтальон В до встречи с почтальоном А?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорости почтальонов

Скорость — это отношение расстояния ко времени.
Скорость почтальона А ($v_A$) равна:
$v_A = \frac{7 \text{ миль}}{2 \text{ ч}} = 3,5$ мили/ч.
Скорость почтальона В ($v_B$) равна:
$v_B = \frac{8 \text{ миль}}{3 \text{ ч}} = \frac{8}{3}$ мили/ч.

2. Определим расстояние, которое проехал почтальон А до выезда почтальона В

По условию, почтальон В отправляется в путь на 1 час позже почтальона А. За этот час почтальон А успел проехать:
$S_1 = v_A \times 1 \text{ ч} = 3,5 \text{ мили/ч} \times 1 \text{ ч} = 3,5$ мили.

3. Вычислим расстояние между почтальонами в момент выезда почтальона В

Изначальное расстояние в 59 миль сократилось на расстояние, которое проехал почтальон А:
$S_2 = 59 \text{ миль} - 3,5 \text{ миль} = 55,5$ миль.

4. Найдём общую скорость сближения почтальонов

Поскольку почтальоны движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = v_A + v_B = 3,5 + \frac{8}{3} = \frac{7}{2} + \frac{8}{3}$
Приведём дроби к общему знаменателю 6:
$v_{сбл} = \frac{21}{6} + \frac{16}{6} = \frac{37}{6}$ мили/ч.

5. Рассчитаем время, через которое почтальоны встретятся

Это время ($t$) равно оставшемуся расстоянию, делённому на скорость сближения. Это и будет время, которое почтальон В находился в пути.
$t = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{55,5}{\frac{37}{6}} = \frac{111/2}{37/6} = \frac{111}{2} \times \frac{6}{37}$
Так как $111 = 3 \times 37$, получаем:
$t = \frac{3 \times 37}{2} \times \frac{6}{37} = \frac{3 \times 6}{2} = 9$ часов.

6. Найдём расстояние, которое проедет почтальон В до встречи

Чтобы найти это расстояние ($S_B$), нужно скорость почтальона В умножить на время его движения:
$S_B = v_B \times t = \frac{8}{3} \text{ мили/ч} \times 9 \text{ ч} = 8 \times 3 = 24$ мили.

Ответ: 24 мили.

С. 254 Старинная задача.

Два почтальона $A$ и $B$, которых разделяет расстояние в $59$ миль, выезжают утром навстречу друг другу. Почтальон $A$ проезжает за $2$ часа $7$ миль, а почтальон $B$ – за $3$ часа $8$ миль, при этом $B$ отправляется в путь часом позже $A$. Сколько миль проедет почтальон $B$ до встречи с почтальоном $A$?

255 Мимо моего дома проходят три автобусных маршрута. Их номера – трёхзначные числа, причём все они – точные квадраты. Более того, они записываются одними и теми же цифрами. Какие номера у автобусов?

1. Найти все трёхзначные числа, являющиеся точными квадратами.

По условию, номера автобусов – это трёхзначные числа, которые являются точными квадратами. Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Найдём целые числа $n$, квадраты которых попадают в этот диапазон: $100 \le n^2 \le 999$.

Чтобы найти границы для $n$, извлечём квадратный корень: $\sqrt{100} \le n \le \sqrt{999}$.

Получаем $10 \le n \le 31.6...$ . Поскольку $n$ – целое число, его возможные значения – от 10 до 31 включительно.

Выпишем все трёхзначные точные квадраты:

• $10^2 = 100$
• $11^2 = 121$
• $12^2 = 144$
• $13^2 = 169$
• $14^2 = 196$
• $15^2 = 225$
• $16^2 = 256$
• $17^2 = 289$
• $18^2 = 324$
• $19^2 = 361$
• $20^2 = 400$
• $21^2 = 441$
• $22^2 = 484$
• $23^2 = 529$
• $24^2 = 576$
• $25^2 = 625$
• $26^2 = 676$
• $27^2 = 729$
• $28^2 = 784$
• $29^2 = 841$
• $30^2 = 900$
• $31^2 = 961$

2. Найти среди этих квадратов три числа, состоящие из одних и тех же цифр.

Теперь нам нужно найти в этом списке три числа, которые являются перестановками (анаграммами) одного и того же набора из трёх цифр.

Проанализируем список чисел, обращая внимание на цифры, из которых они состоят.

• Рассмотрим число 169. Оно состоит из цифр {1, 6, 9}.
• Проверим, есть ли в списке другие числа, составленные из этих же цифр:
  • 196 — есть в списке ($14^2 = 196$).
  • 961 — есть в списке ($31^2 = 961$).

Мы нашли три числа: 169, 196 и 961. Все они являются трёхзначными, все являются точными квадратами, и все они состоят из одних и тех же цифр {1, 6, 9}.

Можно убедиться, что другие наборы чисел не подходят. Например, числа 144 ($12^2$) и 441 ($21^2$) образуют пару, состоящую из цифр {1, 4, 4}, но третьего числа нет. Аналогично, числа 256 ($16^2$) и 625 ($25^2$) образуют пару из цифр {2, 5, 6}, но третьего числа нет. Других подобных групп из трёх чисел в списке не существует.

Таким образом, единственная подходящая тройка чисел — это 169, 196 и 961.

Ответ: 169, 196, 961.

255 Мимо моего дома проходят три автобусных маршрута. Их номера – трехзначные числа, причем все они – точные квадраты. Более того, они записываются одними и теми же цифрами. Какие номера у автобусов?

256* Таня в 6 раз моложе своего прадедушки. Кроме того, она заметила, что если между цифрами её возраста поставить ноль, то как раз получится возраст прадедушки. Сколько ей лет?

Для решения задачи обозначим возраст Тани как $T$, а возраст её прадедушки как $G$.

Из первого условия задачи, "Таня в 6 раз моложе своего прадедушки", следует уравнение:

$G = 6 \cdot T$

Из второго условия, "если между цифрами её возраста поставить ноль, то как раз получится возраст прадедушки", следует, что возраст Тани — это двузначное число. Пусть первая цифра её возраста (десятки) — это $a$, а вторая (единицы) — это $b$. Тогда возраст Тани можно записать в виде:

$T = 10a + b$

При этом, так как это двузначное число, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ — любой цифрой от 0 до 9.

Если между цифрами $a$ и $b$ поставить ноль, получится трехзначное число $a0b$, которое равно возрасту прадедушки $G$. Это число можно записать как:

$G = 100a + 0 \cdot 10 + b = 100a + b$

Теперь у нас есть система уравнений. Подставим выражения для $T$ и $G$ в первое уравнение:

$100a + b = 6 \cdot (10a + b)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$100a + b = 60a + 6b$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а с $b$ — в правую:

$100a - 60a = 6b - b$

$40a = 5b$

Разделим обе части уравнения на 5:

$8a = b$

Теперь нам нужно найти такие цифры $a$ (от 1 до 9) и $b$ (от 0 до 9), которые удовлетворяют этому равенству.

Рассмотрим возможные значения для $a$:

• Если $a = 1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$. Это допустимое значение, так как 8 является цифрой.

• Если $a = 2$, то $b = 8 \cdot 2 = 16$. Это недопустимое значение, так как 16 не является цифрой.

• При $a > 1$ значение $b$ будет еще больше, поэтому другие варианты для $a$ не подходят.

Единственное возможное решение — это $a=1$ и $b=8$.

Таким образом, возраст Тани $T = 10a + b = 10 \cdot 1 + 8 = 18$ лет.

Проверим решение. Если Тане 18 лет, то возраст прадедушки (число 18 с нулем посередине) — 108 лет. Проверим, выполняется ли первое условие: $108 \div 18 = 6$. Условие выполняется, прадедушка в 6 раз старше.

Ответ: Тане 18 лет.

256 Таня в 6 раз моложе своего прадедушки. Кроме того, она заметила, что если между цифрами ее возраста поставить ноль, то как раз получится возраст прадедушки. Сколько ей лет?

262 Выполни действия и расшифруй математические термины. Какие из них тебе уже известны, а какие – ещё нет?

О $0.768 + 4.32$

М $8 - 7.095$

А $4.24 - 2.756$

Н $40.7 - 4.07$

Ф $3.6 \cdot 41.25$

И $2.75 \cdot 4.08$

Л $1500 \cdot 0.602$

Е $80.4 \cdot 4.05$

Г $0.216 : 0.06$

У $0.6606 : 0.009$

Р $0.0595 : 1.7$

Т $213.3 : 0.79$

К $0.6472 : 0.8$

П $293.48 : 5.8$

Я $14.408 : 1.6$

Ц $1701.6 : 0.24$

1,484

903

3,6

5,088

0,035

11,22

270

0,905

50,6

0,035

5,088

3,6

0,035

1,484

0,905

0,905

1,484

5,088

50,6

325,62

0,035

1,484

7090

11,22

9,005

148,5

73,4

36,63

0,809

7090

11,22

9,005

Для того чтобы расшифровать математические термины, необходимо последовательно выполнить все предложенные действия с десятичными дробями.

О
Выполним сложение: $0,768 + 4,32 = 5,088$
Ответ: 5,088

М
Выполним вычитание: $8 - 7,095 = 0,905$
Ответ: 0,905

А
Выполним вычитание: $4,24 - 2,756 = 1,484$
Ответ: 1,484

Н
Выполним вычитание: $40,7 - 4,07 = 36,63$
Ответ: 36,63

Ф
Выполним умножение: $3,6 \cdot 41,25 = 148,5$
Ответ: 148,5

И
Выполним умножение: $2,75 \cdot 4,08 = 11,22$
Ответ: 11,22

Л
Выполним умножение: $1500 \cdot 0,602 = 903$
Ответ: 903

Е
Выполним умножение: $80,4 \cdot 4,05 = 325,62$
Ответ: 325,62

Г
Выполним деление: $0,216 : 0,06 = 21,6 : 6 = 3,6$
Ответ: 3,6

У
Выполним деление: $0,6606 : 0,009 = 660,6 : 9 = 73,4$
Ответ: 73,4

Р
Выполним деление: $0,0595 : 1,7 = 0,595 : 17 = 0,035$
Ответ: 0,035

Т
Выполним деление: $213,3 : 0,79 = 21330 : 79 = 270$
Ответ: 270

К
Выполним деление: $0,6472 : 0,8 = 6,472 : 8 = 0,809$
Ответ: 0,809

П
Выполним деление: $293,48 : 5,8 = 2934,8 : 58 = 50,6$
Ответ: 50,6

Я
Выполним деление: $14,408 : 1,6 = 144,08 : 16 = 9,005$
Ответ: 9,005

Ц
Выполним деление: $1701,6 : 0,24 = 170160 : 24 = 7090$
Ответ: 7090

Теперь сопоставим полученные ответы с числами в таблицах и впишем соответствующие буквы, чтобы расшифровать термины.

• Первая таблица: АЛГОРИТМ (1,484; 903; 3,6; 5,088; 0,035; 11,22; 270; 0,905)
• Вторая таблица: ПРОГРАММА (50,6; 0,035; 5,088; 3,6; 0,035; 1,484; 0,905; 0,905; 1,484)
• Третья таблица: ОПЕРАЦИЯ (5,088; 50,6; 325,62; 0,035; 1,484; 7090; 11,22; 9,005)
• Четвертая таблица: ФУНКЦИЯ (148,5; 73,4; 36,63; 0,809; 7090; 11,22; 9,005)

Какие из них тебе уже известны, а какие — ещё нет?

Ответ на этот вопрос индивидуален, но можно предположить следующее:

• Слово «операция», скорее всего, уже известно из уроков математики. Арифметические операции — это сложение, вычитание, умножение и деление, которые мы только что выполняли.
• Понятие «алгоритм» тоже может быть знакомо. Это последовательность шагов или правил для решения какой-либо задачи. Например, последовательность действий в этом задании — это тоже алгоритм.
• Термин «функция» изучается в курсе алгебры. Это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества.
• Слово «программа» чаще всего ассоциируется с информатикой и компьютерами. Это набор инструкций для компьютера, созданный на основе какого-либо алгоритма. Возможно, этот термин менее знаком с точки зрения математики, но широко известен в повседневной жизни.

262 Выполни действия и расшифруй математические термины. Какие из них тебе уже известны, а какие – еще нет?

О $0,768 + 4,32$

Ф $3,6 \cdot 41,25$

Г $0,216 : 0,06$

К $0,6472 : 0,8$

М $8 - 7,095$

И $2,75 \cdot 4,08$

У $0,6606 : 0,009$

П $293,48 : 5,8$

А $4,24 - 2,756$

Л $1500 \cdot 0,602$

Р $0,0595 : 1,7$

Я $14,408 : 1,6$

Н $40,7 - 4,07$

Е $80,4 \cdot 4,05$

Т $213,3 : 0,79$

Ц $1701,6 : 0,24$

1,484
903
3,6
5,088
0,035
11,22
270
0,905

50,6
0,035
5,088
3,6
0,035
1,484
0,905
0,905
1,484

5,088
50,6
325,62
0,035
1,484
7090
11,22
9,005

148,5
73,4
36,63
0,809
7090
11,22
9,005

263 Что общего и что различного в выражениях? Прочитай выражения и найди их значения при $a = \frac{1}{3}$, $b = 0,5$:

1) $3a + b^2$;

2) $(3a + b)^2$;

3) $3(a + b)^2$;

4) $3(a + b^2)$.

Что общего: Все четыре выражения состоят из одних и тех же чисел (3), переменных ($a$ и $b$) и математических действий (сложение, умножение, возведение в степень).

Что различного: Выражения отличаются порядком выполнения действий, который задается скобками и расположением знака степени. Из-за этого, несмотря на одинаковый состав, значения выражений получаются разными.

1) $3a + b^2$;
Выражение читается: "сумма утроенного $a$ и квадрата $b$".
Найдем значение выражения при $a = \frac{1}{3}$ и $b = 0,5$:
$3a + b^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} + (0,5)^2 = 1 + 0,25 = 1,25$.
Ответ: 1,25

2) $(3a + b)^2$;
Выражение читается: "квадрат суммы утроенного $a$ и $b$".
Найдем значение выражения при $a = \frac{1}{3}$ и $b = 0,5$:
$(3a + b)^2 = (3 \cdot \frac{1}{3} + 0,5)^2 = (1 + 0,5)^2 = (1,5)^2 = 2,25$.
Ответ: 2,25

3) $3(a + b)^2$;
Выражение читается: "утроенный квадрат суммы $a$ и $b$".
Найдем значение выражения при $a = \frac{1}{3}$ и $b = 0,5$. Для удобства вычислений представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$.
$3(a + b)^2 = 3 \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^2 = 3 \cdot (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})^2 = 3 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 3 \cdot \frac{25}{36} = \frac{3 \cdot 25}{36} = \frac{25}{12} = 2 \frac{1}{12}$.
Ответ: $2 \frac{1}{12}$

4) $3(a + b^2)$.
Выражение читается: "утроенная сумма $a$ и квадрата $b$".
Найдем значение выражения при $a = \frac{1}{3}$ и $b = 0,5$. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$, $(0,5)^2 = 0,25 = \frac{1}{4}$.
$3(a + b^2) = 3 \cdot (\frac{1}{3} + (\frac{1}{2})^2) = 3 \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = 3 \cdot (\frac{4}{12} + \frac{3}{12}) = 3 \cdot \frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 7}{12} = \frac{7}{4} = 1,75$.
Ответ: 1,75

263 Что общего и что различного в выражениях? Прочитай выражения и найди их значения при $a = \frac{1}{3}$, $b = 0,5$:

1) $3a + b^2$;

2) $(3a + b)^2$;

3) $3(a + b)^2$;

4) $3(a + b^2).$

264 Переведи на математический язык.

1) Разность удвоенного числа $a$ и куба числа $b$ на 4 больше половины числа $c$.

2) 40 % числа $d$ на 5 меньше отношения квадратов чисел $m$ и $n$.

3) Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго чисел.

4) Произведение разности двух чисел и вычитаемого составляет 20 % от утроенного квадрата уменьшаемого.

1) Разность удвоенного числа a и куба числа b на 4 больше половины числа c.

Для того чтобы перевести данное утверждение на математический язык, разберем его по частям:
- Удвоенное число $a$ — это $2a$.
- Куб числа $b$ — это $b^3$.
- Разность удвоенного числа $a$ и куба числа $b$ — это $2a - b^3$.
- Половина числа $c$ — это $\frac{c}{2}$.
- Утверждение "на 4 больше" означает, что разность $(2a - b^3)$ превышает половину числа $c$ на 4. Чтобы уравнять эти две величины, нужно к меньшей из них ($\frac{c}{2}$) прибавить 4.
Запишем итоговое равенство: $2a - b^3 = \frac{c}{2} + 4$.

Ответ: $2a - b^3 = \frac{c}{2} + 4$.

2) 40 % числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n.

Разберем данное утверждение на составные части:
- 40 % от числа $d$ можно записать как $0.4d$ (поскольку $40 \% = \frac{40}{100} = 0.4$).
- Квадраты чисел $m$ и $n$ — это $m^2$ и $n^2$.
- Отношение квадратов чисел $m$ и $n$ — это частное от их деления, то есть $\frac{m^2}{n^2}$.
- Утверждение "на 5 меньше" означает, что величина $0.4d$ меньше величины $\frac{m^2}{n^2}$ на 5. Чтобы их уравнять, нужно из большей величины ($\frac{m^2}{n^2}$) вычесть 5.
Составляем уравнение: $0.4d = \frac{m^2}{n^2} - 5$.

Ответ: $0.4d = \frac{m^2}{n^2} - 5$.

3) Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго чисел.

Поскольку числа не названы, введем свои обозначения. Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$.
- Сумма двух чисел: $x + y$.
- Частное суммы двух чисел и первого из них: $\frac{x+y}{x}$.
- Разность квадратов первого и второго чисел: $x^2 - y^2$.
- Утверждение "в 12 раз меньше" означает, что первая величина ($\frac{x+y}{x}$) равна второй величине ($x^2 - y^2$), деленной на 12.
Получаем следующее равенство: $\frac{x+y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{12}$.

Ответ: $\frac{x+y}{x} = \frac{x^2-y^2}{12}$, где $x$ — первое число, $y$ — второе число.

4) Произведение разности двух чисел и вычитаемого составляет 20 % от утроенного квадрата уменьшаемого.

Для перевода этого утверждения используем стандартные обозначения для компонентов вычитания. Пусть уменьшаемое — это $x$, а вычитаемое — это $y$.
- Разность этих чисел: $x - y$.
- Произведение разности и вычитаемого: $(x-y) \cdot y$.
- Утроенный квадрат уменьшаемого: $3x^2$.
- 20 % от этой величины: $0.2 \cdot (3x^2) = 0.6x^2$.
- Слово "составляет" означает знак равенства.
Приравниваем полученные выражения: $(x-y)y = 0.6x^2$.

Ответ: $(x-y)y = 0.6x^2$, где $x$ — уменьшаемое, $y$ — вычитаемое.

264 Переведи на математический язык:

1) Разность удвоенного числа a и куба числа b на 4 больше половины числа c.

$2a - b^3 = \frac{c}{2} + 4$

2) 40% числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n.

$0.4d = \frac{m^2}{n^2} - 5$

3) Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго числа.

$\frac{x+y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{12}$

4) Произведение разности двух чисел и вычитаемого составляет 20% от утроенного квадрата уменьшаемого.

$y(x - y) = 0.6x^2$

265 Дачи двух друзей – Петра и Антона – находятся на одном шоссе: дача Петра – на расстоянии 60 км от Москвы, а дача Антона – на расстоянии 80 км от Москвы. Однажды друзья выехали одновременно со своих дач в Москву на велосипедах. Пётр ехал со скоростью 15 км/ч, а Антон – со скоростью 20 км/ч. Запиши формулу зависимости расстояния $d$ км между ними от времени движения $t$ ч (до момента встречи). Эта формула: $d = 20 - 5t$. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений $0 \le t \le 4$.

Запиши формулу зависимости расстояния d км между ними от времени движения t ч (до момента встречи)

Пусть Москва находится в точке 0 на числовой оси. Тогда начальное положение дачи Петра — 60 км, а дачи Антона — 80 км. Оба друга едут в сторону Москвы, то есть их расстояние до Москвы уменьшается со временем.

Расстояние Петра от Москвы через $t$ часов будет описываться формулой:
$S_П(t) = 60 - 15t$

Расстояние Антона от Москвы через $t$ часов будет описываться формулой:
$S_А(t) = 80 - 20t$

Расстояние $d$ между ними — это разница между их положениями. Поскольку Антон начинает дальше от Москвы и едет быстрее, он будет догонять Петра. До момента встречи расстояние Антона до Москвы будет больше, чем у Петра, поэтому формула для расстояния $d$ между ними будет:
$d(t) = S_А(t) - S_П(t) = (80 - 20t) - (60 - 15t)$
$d(t) = 80 - 20t - 60 + 15t$
$d(t) = (80 - 60) + (-20t + 15t)$
$d(t) = 20 - 5t$

Эта формула верна до момента встречи, когда $d=0$. Найдем время встречи:
$20 - 5t = 0 \implies 5t = 20 \implies t = 4$ часа.
Таким образом, формула работает для $0 \le t \le 4$.

Ответ: $d = 20 - 5t$

Составь таблицу этой зависимости для значений $0 \le t \le 4$

Используем полученную формулу $d = 20 - 5t$ для вычисления значений расстояния $d$ при $t$, равном 0, 1, 2, 3 и 4 часам.

• При $t=0$: $d = 20 - 5 \cdot 0 = 20$ км
• При $t=1$: $d = 20 - 5 \cdot 1 = 15$ км
• При $t=2$: $d = 20 - 5 \cdot 2 = 10$ км
• При $t=3$: $d = 20 - 5 \cdot 3 = 5$ км
• При $t=4$: $d = 20 - 5 \cdot 4 = 0$ км

Сведем результаты в таблицу:

Ответ: Выше представлена таблица зависимости.

Построй график этой зависимости для значений $0 \le t \le 4$

Зависимость $d = 20 - 5t$ является линейной, поэтому её график — это отрезок прямой. Для построения отрезка достаточно двух точек. Возьмем крайние значения из таблицы:

• Начальная точка (при $t=0$): $(0; 20)$
• Конечная точка (при $t=4$): $(4; 0)$

Построим график, отложив по горизонтальной оси время $t$ (в часах), а по вертикальной — расстояние $d$ (в км).

Ответ: Выше представлен график зависимости.

265 Дачи двух друзей – Петра и Антона – находятся на одном шоссе: дача Петра – на расстоянии 60 км от Москвы, а дача Антона – на расстоянии 80 км от Москвы. Однажды друзья выехали одновременно со своих дач в Москву на велосипедах. Петр ехал со скоростью 15 км/ч, а Антон – со скоростью 20 км/ч. Запиши формулу зависимости расстояния $d$ км между ними от времени движения $t$ ч (до момента встречи). Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений $0 \le t \le 4$.

283 Прочитай высказывания разными способами:

а) $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$ $(a > 0);$

б) $|x| > a \Leftrightarrow x > a$ или $x < -a$ $(a > 0);$

в) Число a на 7 меньше, чем число b $\Leftrightarrow a = b - 7;$

г) Число n кратно 9 $\Leftrightarrow$ Сумма цифр числа n кратна 9.

а) $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \ (a > 0)$

Это высказывание можно прочитать следующими способами:

• Модуль числа $x$ меньше положительного числа $a$ тогда и только тогда, когда число $x$ больше, чем $-a$, и меньше, чем $a$.
• Неравенство $|x| < a$ (при $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < x < a$.
• Для того чтобы модуль числа $x$ был меньше положительного числа $a$, необходимо и достаточно, чтобы $x$ находился в интервале от $-a$ до $a$.

Ответ: Модуль числа $x$ меньше положительного числа $a$ тогда и только тогда, когда $x$ заключен между числами $-a$ и $a$.

б) $|x| > a \Leftrightarrow x > a$ или $x < -a \ (a > 0)$

Данное утверждение можно прочитать так:

• Модуль числа $x$ больше положительного числа $a$ тогда и только тогда, когда $x$ больше $a$ или $x$ меньше $-a$.
• Неравенство $|x| > a$ (при $a > 0$) равносильно совокупности неравенств: $x > a$ или $x < -a$.
• Условие, что $x$ больше $a$ или $x$ меньше $-a$, является необходимым и достаточным для того, чтобы модуль числа $x$ был больше положительного числа $a$.

Ответ: Модуль числа $x$ больше положительного числа $a$ в том и только в том случае, если $x$ больше $a$ или $x$ меньше $-a$.

в) Число $a$ на 7 меньше, чем число $b \Leftrightarrow a = b - 7$

Это равносильное утверждение можно прочитать разными способами:

• Число $a$ на 7 меньше, чем число $b$, тогда и только тогда, когда $a$ равно разности $b$ и 7.
• Утверждение "число $a$ на 7 меньше, чем число $b$" равносильно равенству $a = b - 7$.
• Для того чтобы число $a$ было на 7 меньше числа $b$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $a = b - 7$.
• Если число $a$ на 7 меньше, чем число $b$, то $a = b - 7$, и наоборот, если $a = b - 7$, то число $a$ на 7 меньше, чем число $b$.

Ответ: Утверждение "число $a$ на 7 меньше, чем число $b$" и равенство $a = b - 7$ являются равносильными.

г) Число $n$ кратно 9 $\Leftrightarrow$ Сумма цифр числа $n$ кратна 9

Это утверждение, известное как признак делимости на 9, можно прочитать так:

• Число $n$ кратно 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9.
• Утверждение "число $n$ кратно 9" равносильно утверждению "сумма цифр числа $n$ кратна 9".
• Для того чтобы натуральное число $n$ делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
• Если число $n$ делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9, и наоборот, если сумма цифр числа $n$ делится на 9, то и само число делится на 9.

Ответ: Число $n$ делится на 9 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9 без остатка.

283 Прочитай высказывания разными способами:

a) $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a, (a > 0);$

б) $|x| > a \Leftrightarrow x > a \text{ или } x < -a, (a > 0);$

в) Число a на 7 меньше, чем число b $\Leftrightarrow a = b - 7;$

г) Число n кратно 9 $\Leftrightarrow$ Сумма цифр числа n кратна 9.

284 Запиши высказывания на математическом языке и прочитай два следования, которые объединены в каждом предложении.

а) Число $x$ в 2 раза больше, чем число $y$, тогда и только тогда, когда $x = 2y$.

б) Для того чтобы число $a$ было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа $a$ была кратна 3.

в) Вычесть из числа $a$ число $b$ – это значит найти такое число $c$, которое при сложении с $b$ даёт $a$.

г) Квадрат числа $x$ равен 9 в том и только в том случае, когда $x = 3$ или $x = -3$.

а) Это утверждение является эквиваленцией, поскольку содержит оборот «тогда и только тогда, когда». Это означает, что из первой части утверждения следует вторая, и наоборот, из второй части следует первая.

Запишем это высказывание на математическом языке, используя знак эквивалентности $ \Leftrightarrow $. Пусть первая часть «Число x в 2 раза больше, чем число y» — это утверждение A, а вторая часть «$x = 2y$» — это утверждение B. Утверждение A само по себе означает $x = 2y$. Таким образом, математическая запись всего высказывания выглядит так: $(x = 2y) \Leftrightarrow (x = 2y)$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование: Если число x в 2 раза больше, чем число y, то верно равенство $x = 2y$.

2. Обратное следование: Если верно равенство $x = 2y$, то число x в 2 раза больше, чем число y.

Ответ: Математическая запись: $(x = 2y) \Leftrightarrow (x = 2y)$. Два следования: 1) Если число x в 2 раза больше, чем число y, то $x = 2y$. 2) Если $x = 2y$, то число x в 2 раза больше, чем число y.

б) Утверждение содержит оборот «необходимо и достаточно», что является синонимом «тогда и только тогда, когда» и обозначает эквивалентность двух условий.

Запишем высказывание на математическом языке. Обозначим условие «число a кратно 3» как $a \vdots 3$, а условие «сумма цифр числа a кратна 3» как $S(a) \vdots 3$. Тогда математическая запись утверждения будет: $(a \vdots 3) \Leftrightarrow (S(a) \vdots 3)$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование (необходимость): Если число a кратно 3, то сумма его цифр кратна 3.

2. Обратное следование (достаточность): Если сумма цифр числа a кратна 3, то само число a кратно 3.

Ответ: Математическая запись: $(a \vdots 3) \Leftrightarrow (S(a) \vdots 3)$, где $S(a)$ — сумма цифр числа $a$. Два следования: 1) Если число a делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3. 2) Если сумма цифр числа a делится на 3, то и само число a делится на 3.

в) Это предложение является определением операции вычитания. Оно устанавливает эквивалентность между операцией вычитания и операцией сложения.

Запишем это определение на математическом языке. «Вычесть из числа a число b» означает найти разность $a - b$. Обозначим результат этой операции, то есть разность, как $c$. Тогда первая часть утверждения записывается как $c = a - b$. Вторая часть «найти такое число c, которое при сложении с b даёт a» записывается как $c + b = a$. Знак «—» (тире) в данном контексте означает «это значит», то есть эквивалентность. Математическая запись: $(c = a - b) \Leftrightarrow (c + b = a)$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование: Если число $c$ является разностью чисел $a$ и $b$, то сумма чисел $c$ и $b$ равна $a$.

2. Обратное следование: Если сумма чисел $c$ и $b$ равна $a$, то число $c$ является разностью чисел $a$ и $b$.

Ответ: Математическая запись: $(c = a - b) \Leftrightarrow (c + b = a)$. Два следования: 1) Если $c = a - b$, то $c + b = a$. 2) Если $c + b = a$, то $c = a - b$.

г) Утверждение использует оборот «в том и только в том случае, когда», что означает эквивалентность.

Запишем высказывание на математическом языке. Условие «Квадрат числа x равен 9» записывается как $x^2 = 9$. Условие «$x = 3$ или $x = -3$» записывается с использованием знака дизъюнкции (логического «ИЛИ») $ \lor $: $(x = 3) \lor (x = -3)$. Таким образом, всё утверждение можно записать так: $(x^2 = 9) \Leftrightarrow ((x = 3) \lor (x = -3))$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование: Если квадрат числа x равен 9, то $x$ равен 3 или $x$ равен -3.

2. Обратное следование: Если $x$ равен 3 или $x$ равен -3, то квадрат числа $x$ равен 9.

Ответ: Математическая запись: $(x^2 = 9) \Leftrightarrow ((x = 3) \lor (x = -3))$. Два следования: 1) Если $x^2 = 9$, то $x = 3$ или $x = -3$. 2) Если $x = 3$ или $x = -3$, то $x^2 = 9$.

284 Запиши высказывания на математическом языке и прочитай два следования, которые объединены в каждом предложении.

a) Число $x$ в 2 раза больше, чем число $y$, тогда и только тогда, когда $x = 2y$.

б) Для того чтобы число $a$ было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа $a$ была кратна 3.

в) Вычесть из числа $a$ число $b$ – это значит найти такое число $c$, которое при сложении с $b$ дает $a$.

г) Квадрат числа $x$ равен 9 в том и только в том случае, когда $x = 3$ или $x = -3$.